高數(shù)下-習(xí)題課Anppt課件

1、第十一章第十一章 曲線積分與曲面曲線積分與曲面積分習(xí)題課積分習(xí)題課 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 例題例題 各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系1/19一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、曲線積分、曲線積分（1 1概念概念 LdsMf)(第一類第一類第二類第二類 LdxMf,)( LdyMf,)( LdzMf)(（2 2兩類曲線積分的聯(lián)系兩類曲線積分的聯(lián)系2/19 sddst0ds)cos,cos,(cos ),(dzdydx （3 3計(jì)算計(jì)算直接計(jì)算法直接計(jì)算法第一類：從小參數(shù)到大參數(shù)；第一類：從小參數(shù)到大參數(shù)；第二類：從起點(diǎn)參數(shù)到終點(diǎn)參數(shù)。第二類：從起點(diǎn)參數(shù)到終點(diǎn)參數(shù)?；癁閷癁閷 L的定位參數(shù)的定積分

2、。的定位參數(shù)的定積分。注意：注意：先化簡；先化簡；間接計(jì)算法間接計(jì)算法用兩類曲線積分的聯(lián)系；用兩類曲線積分的聯(lián)系；用用GreenGreen公式及其推論、公式及其推論、StokesStokes公式公式* *及其推及其推論論. .第二類與定向有關(guān)。第二類與定向有關(guān)。3/192 2、曲面積分、曲面積分（1 1概念概念 dSMf)(第一類第一類第二類第二類.)( dxdyMf（2 2兩類曲面積分的聯(lián)系兩類曲面積分的聯(lián)系,)( dydzMf ,)(dzdxMf SddSn0dS)cos,cos,(cos ),(dxdydzdxdydz 4/19（3 3計(jì)算計(jì)算直接計(jì)算法直接計(jì)算法第一類：化為對某兩個(gè)直角

3、坐標(biāo)（第一類：化為對某兩個(gè)直角坐標(biāo)（的定位參的定位參 數(shù)的二重積分；數(shù)的二重積分；第二類：將對第二類：將對x x、y y的曲面積分化為對的曲面積分化為對x x、y y的的二重積分。二重積分。注意：注意：先化簡；先化簡；間接計(jì)算法間接計(jì)算法用兩類曲面積分的聯(lián)系；用兩類曲面積分的聯(lián)系；用高斯公式用高斯公式* *及其推論。及其推論。第二類與定向有關(guān)。第二類與定向有關(guān)。5/193 3、GreenGreen公式、公式、GaussGauss公式、公式、StokesStokes公式公式（1 1建立了不同維數(shù)積分間的聯(lián)系建立了不同維數(shù)積分間的聯(lián)系注意：注意： 定向。定向。（2 2公式及其推論在計(jì)算曲線積分、曲

4、公式及其推論在計(jì)算曲線積分、曲面積分中的應(yīng)用面積分中的應(yīng)用注意：條件。注意：條件。6/19例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(O到到點(diǎn)點(diǎn))1 , 1(A的的曲曲線線xy2sin . . 思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非閉補(bǔ)充曲線再用公式補(bǔ)充曲線再用公式二、例題二、例題7/19解解xyP2 由于由于xxQ2 ,xQyP 有有xyo11A 104102)1(dyydxx故故原原式式.1523 例例

5、1 1 計(jì)計(jì)算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(O到到點(diǎn)點(diǎn))1 , 1(A的的曲曲線線xy2sin . . 8/19例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , L為為由由)0 ,(a到到)0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. . 解解myeyPx cosyexQxcos xQyP 有有xyo)0 ,(aAMmxQyP 但但 AMOAOAOAOALIdxdy)yPxQ(D 0 Ddxdym.82am 9/19在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè)為平面為平面，其中其中求求1 C),( ,

6、),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例3xyoz111 解解),1 , 1, 1( n的的法法向向量量為為.31cos,31cos,31cos ),(31xzyxfI dSzyx)(31 dS31方程方程.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 10/19所所截截部部分分外外側(cè)側(cè)被被平平面面為為錐錐面面求求2, 1, 222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例4解解 21220rdrrd.215 xyDdxdyyx)(22dxdyzI 2對對稱稱性性41:22 yxDxy11/19例例 5 5 求求yzdxdy

7、dzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , ：曲曲線線)31(01 yxyz繞繞 y 軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面, , 法法向向量量與與y軸軸正正向向夾夾角角恒恒大大于于2 . . 解解221 xzy 旋轉(zhuǎn)面方程為旋轉(zhuǎn)面方程為 *I dvyyy)4418( *2)31(2dzdx dv zxDdzdx)(16 322 .34 xyzo132 *12/19,)(lim)(10 niiiMfdMf .)()(, badxxfdMfbaR 上上區(qū)區(qū)間間.),()(,2 DdyxfdMfDR 上上區(qū)區(qū)域域三、三、 各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分積分概念的聯(lián)系積

8、分概念的聯(lián)系13/19 dVzyxfdMfR),()(,3 上上區(qū)區(qū)域域.)()(,32 dsMfdMfRR 上上（有有向向）曲曲線線或或.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 上上（有有向向）曲曲面面曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()( SdxdyzyxfdMf .)()( dxMfdMf 14/19計(jì)算上的聯(lián)系計(jì)算上的聯(lián)系)(),(),()()(21面面積積元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)()(),(),(2121),(),( baLdxyxyxfdsyxf21)(,),( baLdxd

9、xxyxfdxyxf)()(,),(投投影影元元素素,),( baDxdydzzyxfdx或或,),(),(),(21 yxzyxzDdzzyxfdxdyxy或或)(體積元素體積元素dV弧弧長長元元素素）（ds15/19 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)(,(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsRQPRdzQdyPdxLL)coscoscos( )(面面積積元元素素dS)(投影元素投影元素dxdy16/19理論上的聯(lián)系理論上的聯(lián)系1. 定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2. 二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)( )(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式17/193. 三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4. 曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dx