相似三角形與定值問題

1、相似三角形與定值問題1、如圖，已知平面直角坐標系中， A (4, 0), P為y軸負半軸上一動點， OMLAP于點M C為OA上一點，且 AO=2OC過點A和點M分別作x軸和CM的垂線相交于點 E,則當P點在y軸負半軸上運動時，OP?ME勺值是否發(fā) 生變化，若不變，求出值；若變化，求出變化范圍。Ay解：連接CEMC為斜邊 OA的中線，所以 MC=AC>Z 1=/ 2一/ 3=/ 4-EM=EA故CE為AM的中垂線OP易得/ 5=/1,可得 AOPAEAC；故AC2、如圖，已知平面直角坐標系中，直線 yAO AO> OPX ME=AO： AC=8EA EMx 3交x軸于點A,交y軸于

2、點B, C為線段OA的中點，F(xiàn)為BC上一點，且CF= 1OB ,連AF并延長交y軸于點E,則2受的值是否發(fā)生OE變化,0)； C證明你的結論.(3 , 0); B (0, -3) ; FC=-;BC= 3 不2 CTFS.OB- FT 虹 FCOB OC BCVFT嗡CT= 3= f BF=BC-CF=3 (452.521)FC為乙AOF的AO邊上的中線，且易得 AOF為直角三角形(/OFA=90° )10 / 7根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得/CFA=/CAF,又因為/ CAF=/EOF, / CFA= / EFB- /EFB=/EOF,A BEFA BFO BEB

3、FBF f BF2=BEX BO BE=3(3-5)BO-OE=3-BE=3 (V5 1) 一 型=1 2OE1 3、已知平面直角坐標系中，直線 yi kx k經(jīng)過一定點 A,直線y2 -x 2交x軸于點B,交y軸于點C。21,過 B 點作 BDx 軸，且 BD=OC ,取 OB,AD,OC2,以 Oi (3,4)為圓心，2為半徑作。(1)如圖(2)如圖的中點F,E,H,判斷 EFH的形狀并證明。yi于點巳Q,且直線yi交線段BC于點N, M 點，探究：AM ?AN 化？若不變，求其Oi交直線解：要用到中點坐標公式、兩點間距離公式、兩直線垂直時，kik2=-i(i) FH=J5, FE=35&

4、#39; EH=5，由勾股定理的逆定理可得， EFH為直角三角形(2)過點N作NTx軸，連接OiM并延長交x軸于點R 4 2k 5k將兩直線聯(lián)立起來解得 N (,)2k i 2k i一 i 3 一直線y kx k ,則與之垂直的直線 OiR的解析式為：y= -x+-4,所以R (3-4k, 0)k k_ _ _ AN顯然 RtAANT RtAARMHARAT-AM?AN=AR XAT=AM4 2k(3-4k-i) (i-) = (2-4k)(2k i52ki)=i0y現(xiàn)給出條件：BC=CDDE=CD請你從中挑選一個條件證明：當P點運動時，PM+PN定值，并求出這個值。解：選BC=CDB （0,

5、 2 褥），A （4 4，0）顯然 RtBOCsRtAOBfC0 _BOfCo=/5,即 c（.而，。）BO AOPM BP BPMsBCA-CA BC八 八 PN DP DPNADCA-CA DC + 得，PM + PN = BP + DP 又因為 BC=CD，所以 PM + PN = BP + DP = BD 2 故 PM+PN=2CA=105CA CA BC DCCA CA BC BC BC5、如圖，已知直角坐標系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點 A和點B,且OA= OB= 1,這條曲線是函數(shù)y=工的圖像在第一限內(nèi)的一個分支，點P是這條曲線的任意一點，它的坐標是（

6、a, b）,由點2xP向x軸、y軸所作的垂線 PM PN （點M N為垂足）分別與直線 AB相交于點E和F。（1）求 OEF的面積（a, b的代數(shù)式表示）；（2） 4AOF與ABO既否一定相似，如果一定相似，請證明；如果不一定相似，請說明理由；（3）當點P在曲線上移動時， OEF隨之變動，指出在 OEF的三個內(nèi)角中，是否有大小始終保持不變的角？若有，請求出其大??；若沒有，請說明理由。（答案在后面）6、如圖，已知平面直角坐標系中，直線 y x 3交x軸于點B,交y軸于點C。M為第一象限內(nèi)一點，且MC垂直于OC,連OM ,作CPOM點P,連BP,過P點作EP± BP交y軸于點E,問：當點

7、M運動時，CMCE的值是否發(fā)生變化，若不變求出值；若變化求出變化范圍。解：顯然/ CPEhOPB一CP又' CPIVh OPC> OPCE故可得CEOB/ CEP4 OBP 故4CE PCPCa APOB-OB POCMOcCM ,又因為OB=OC ,所以OCCE=CM，故 CM =1CE7、如圖，以原點O為圓心，N,過N的切線交x軸于點Po273為半徑的。交坐標軸于 A,B,C,D四點,M為OA上一點，BM的延長線交。于(1)若M為OA的中點，求P點坐標。解：過點N作NT ±x軸(1) M(H 0), B (0,273),得BM= ,15 ,由相交弦定理得,BM X

8、NM=CM3 15XAMR MN=-5 BOMNT MH BO OMNT TMBM6.3->NT=NM3,353.3N (、.3 56.3)5顯然 RtAOTNRtANTP OTNTNTTP前+述=5/3 故5+102 '5.3P ( ， 0)2(2)由 OA=OB=3OM, f OM=2,根據(jù)勾股定理得 BM=4=2MO , 一/ OBM=30 ° ,易得 OM=MN , MNP 為(3)選E為線段BQ中點利用中點坐標公式及兩點間的距離公式即可解決設Q (2a, 0),則中點E (a, J3),根據(jù)OE=24,由兩點間距離公式得Va3 =243,得 a=3一E (3,

9、 J3 )MQ=4 , EQ=2 33 ,EQMQ2 ,3_ .3 OQ 6 _ .3EQ _ OQ=, -=,-= 42 BQ 4,32 MQ BQ8、已知平面直角坐標系中,B(-3, 0), A為y軸正半軸上一動點，半徑為_5的。A交y軸于點G、H(點G在點2H的上方)，連接BG交。A于點Co(1)如圖，當。A與x軸相切時，求直線 BG的解析式；(2)如圖，若 CG=2BC,求OA的長；(3)如圖，D為半徑AH上一點，且 AD=1 ,過點D作。A的弦CE,連結GE并延長交x軸于點F,當。A與x軸相離時，給出下列結論：2吼的值不變；OFOG - OF的值不變。其中有且只有一個結論是正確的，請

10、(答案在后面)1分 2分當利£刊V與線段/B都相交時,如圖L Sa3F = S44Al - SjkM =j- X 1 X 1 - y X 1 x (1 - a)當PMJN中有一條與A8相文.另一條與BA延長線或AB延長線相交時，如用2和BB 3.$3 " S右血 4 sM = yxlxi+yxlx(a-l)1 * - 1=-x 1 x (A - 1) > - x 1 x a «，九如 " J ； (2)A0F和AEEO一定相似. ,j 如圖 1,CM = OH 1, A lOAF » LEBO .二 BE BA AE 。- j( 1 ;

11、G)，+ (l a)” .AF = BA - BF 小 7(1 -I)3 + (I -h)T -瓜T點尸是函數(shù)廠 或甥象上任意一點,一 為': Jia t Jib e 1 K 11J. 8AOF s MEO,AF OA*' OB= BE'對圖2,圖3,同理可江.1。分“分A LAOF s AEEO.(3)當點產(chǎn)在曲線上移動時，在0EF中，££0F 一定等于45上 由%.加5 are。,:.LAFO » LBOE.如朗 I .在 QBOF 中，tAF。 £80尸+ £B.而 LBOE = lBOF + 乙EOF.：. &#

12、163;EOF ,乙B = 45、 對圖2,圖3,同理可穆.： LEOF M 45久25.（本題14分）（1）解：:OH與工軸相切.（7/（= | f jq。, 設直線BG的解析式為：尸Mb,6 = 55則 -匚 t rt * K 1 g51| + 5 = 03.直線BG的解析式為：尸x+5. 3（2）過點C作CM工GH千點."則CM/BO.（4分）5).CC CM 2VCG=2BC, 0g,:.- =-,BG BO 39GJWr,則此和5-t，尺5一工六寸,二JMA1 或 MG7.又 CMJf BO* = .* G(y6 或 50=,GO EG 3255當 8-=彳則乂點在尸物的負并軸.不合履意故舍. 2.01工 GC6、UA"G0f AQ _ ,2fyr*1<3> 7記的值不變,其值為7.證明：連結EH.作DML£G于點N.則、：GH 為0。的直徑./. ZGFO= ZG/f£= ZGPy： 乙