3-(1-2)剛體、轉動動能、轉動慣量解析

1、1第三章 剛體的轉動剛體的轉動 飛輪的質量為什么大都分布于外邊緣？飛輪的質量為什么大都分布于外邊緣？23.1 3.1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 花樣滑冰里的一個動作叫陀轉，在轉動開始時演花樣滑冰里的一個動作叫陀轉，在轉動開始時演員手臂和腿是展開的，此時轉動速度較慢，而后演員手臂和腿是展開的，此時轉動速度較慢，而后演員會突然把手臂抱緊，轉速明顯變快。員會突然把手臂抱緊，轉速明顯變快。引言引言 在整個過程中，演員改變了什么？背后的物理機在整個過程中，演員改變了什么？背后的物理機制是什么？制是什么？ 從物理的角度分析，演員受到三個力的作用：地從物理的角度分析，演員受到三個力的作用：地面的支持力，

2、冰面的摩擦力，空氣的阻力。均面的支持力，冰面的摩擦力，空氣的阻力。均不能不能對加快轉速產生正面的影響。對加快轉速產生正面的影響。3一一 剛體剛體二二 剛體的運動形式剛體的運動形式 剛體平動剛體平動1 平動：若剛體中所有點的平動：若剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同，運動軌跡都保持完全相同，或者說剛體內任意兩點間或者說剛體內任意兩點間的連線總是平行于它們的的連線總是平行于它們的初始位置間的連線。初始位置間的連線。3-1 3-1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動定義定義：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。 （任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組

3、）（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）質點運動質點運動42 轉動轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動。：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動。 轉動又轉動又分定軸轉動和非定軸轉動。分定軸轉動和非定軸轉動。 剛體的平面運動剛體的平面運動5 剛體的一般運動剛體的一般運動質心的平動質心的平動繞質心的轉動繞質心的轉動+6三三 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動1 概念概念：轉軸固定不動的轉動。：轉軸固定不動的轉動。 剛體內各質點都在其所在的與剛體轉軸相垂直的平面內作剛體內各質點都在其所在的與剛體轉軸相垂直的平面內作圓周運動，圓心在轉軸的軸線上。圓周運動，圓心在轉軸的軸線上。POvr zx2 特點特

4、點(1)任意質點均作圓周運動，任意質點均作圓周運動， 圓面為轉動平面；圓面為轉動平面；(2)任意質點角位移任意質點角位移d， 角速度角速度w，角加速度，角加速度相同；相同；(3)方向正負規(guī)定：方向正負規(guī)定： 符合右手螺旋關系為正。符合右手螺旋關系為正。3 角量公式角量公式dtd dtd tdd22 7剛體作剛體作勻角加速度勻角加速度定軸轉動定軸轉動20021tt t 0)(20202 rtevtanaadtd dtd tdd22 8角量與線量的關系角量與線量的關系rtevtanaarv ra van Rs Rv RRvan22 Rdtdvat 9一一 剛體的平動動能剛體的平動動能 niiikv

5、mE1221平平221cMv 剛體的平動動能應為各質剛體的平動動能應為各質元的動能之和元的動能之和vc為質心的速度為質心的速度3-2 3-2 轉動動能轉動動能 轉動慣量轉動慣量10二二 轉動動能轉動動能 剛體的轉動動能應為各質元動剛體的轉動動能應為各質元動能之和，將剛體分割成能之和，將剛體分割成n個質元個質元m。222221)(2121 iiiiiirmrmvm 剛體的轉動動能剛體的轉動動能 niiiniiikrmrmE122122)(2121 ir rv 任取一質元任取一質元 mi ，距轉軸，距轉軸 ，則該質元動能：則該質元動能：ir11質量不連續(xù)分布（離散）質量不連續(xù)分布（離散）212)(

6、21 niiikrmE221021lim iininmkrmEi 22)(21 dmr221 IEk 質量連續(xù)分布質量連續(xù)分布0 im轉動動能轉動動能 dmrI2令令ir rv12221mvEk - 線分布線分布m/L- 面分布面分布m/S- 體分布體分布m/V221 IEk 轉動動能轉動動能平動動能平動動能三三 轉動慣量轉動慣量 dvdsdldm -離散分布離散分布-連續(xù)分布連續(xù)分布1 1 定義定義 ViniidmrIrmI22I單位單位： 千克千克米米213四四 決定轉動慣量的三因素決定轉動慣量的三因素O質質BhXir rvA(1) 剛體的質量；剛體的質量；如：同形狀的石磙和木磙；如：同形

7、狀的石磙和木磙；(2) 剛體的質量分布；剛體的質量分布；如：圓環(huán)與圓盤的不同如：圓環(huán)與圓盤的不同(3) 剛體轉軸的位置。剛體轉軸的位置。如：細棒繞中心、繞一端。如：細棒繞中心、繞一端。14例例1 質量為質量為m,長為長為L的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：(1) 轉軸通過棒的中心轉軸通過棒的中心O并與棒垂直；并與棒垂直；(2) 轉軸通過棒的一端轉軸通過棒的一端B并與棒垂直；并與棒垂直；(3) 轉軸通過棒上距質心為轉軸通過棒上距質心為h的一點的一點A并與棒垂直。并與棒垂直。解：解：以棒中心為原點建立坐標以棒中心為原點建立坐標OX，將棒分割成許多質元將棒分割成

8、許多質元dmdxdm Lm / hO質質BAdmxX15(1)求：求：IO2312112mLL (2)求：求：IB dmxLdmrIB22)2(23313mLL 2/2/2)2/(LLdxxL dmrIO2 dmx2 2/2/2LLdxx hO質質BAdmxX16 dmrIA2LhL 2312 2/2/2)(LLdxxh 22121mhmL (3) 求：求：IAhO質質BAdmxX2121mLIO 231mLIB 17222)()2(12131LmmLmLIIOB 質心質心2222)(121)121(mhmLmhmLIIOA 質質心心或或2)2(LmIIOB 2mhIIoA 注意：注意：hO質

9、質BAdmxX18平行軸定理平行軸定理：剛體對任一軸：剛體對任一軸A的轉動慣量的轉動慣量IA和通過質心并與和通過質心并與A軸平行的轉動慣量軸平行的轉動慣量IO有如下關系：有如下關系： IA= Ic+ md2m為剛體的質量；為剛體的質量；d為軸為軸A與與C軸之間的垂直距離。軸之間的垂直距離。AdMC正交軸定理：正交軸定理：（僅適用于薄板狀剛體）（僅適用于薄板狀剛體） Iz= Ix+ Iyzxy軸所在剛體平面軸所在剛體平面Iz - 垂直于轉動平面的轉軸的轉動慣量；垂直于轉動平面的轉軸的轉動慣量；Ix , Iy - 在轉動平面內兩個正交軸的轉動慣量。在轉動平面內兩個正交軸的轉動慣量。zyx19例例2

10、 半徑為半徑為R的質量均勻分布的細圓環(huán)及薄圓盤，質量均為的質量均勻分布的細圓環(huán)及薄圓盤，質量均為m，試分別求出對通過質心并與環(huán)面或盤面垂直的轉軸的轉動慣量。試分別求出對通過質心并與環(huán)面或盤面垂直的轉軸的轉動慣量。RR20R解：解：(1) 細圓環(huán)的轉動慣量細圓環(huán)的轉動慣量dl dldm LOdlRdmRI 222mR RRdlRL 222 問題問題: :若轉軸在圓環(huán)上時，若轉軸在圓環(huán)上時， 圓環(huán)的轉動慣量？圓環(huán)的轉動慣量？22mRmR 2CA mdII 21drrdmrdI322 rdrdsdm 2 (2) 盤面垂直的轉軸的轉動慣量。盤面垂直的轉軸的轉動慣量。drrdIIRmO302 424R 221mR 4242RRm 2mRI 細圓環(huán)221mRI 盤盤薄圓Rdrr2Rm 22例例3 求一質量為求一質量為m的均勻實心球對一條直徑為軸的轉動慣量。的均勻實心球對一條直徑為軸的轉動慣量。解：解：一球繞一球繞Z軸旋轉，離球心軸旋轉，離球心z處切處切一厚為一厚為dz的薄圓盤。其半徑為的薄圓盤。其半徑為22zRr dzzRdZrdV)(222 dzzRdVdm)(22 dzzRdmrdI2222)(2121 體積體積質量質量轉動慣量轉動慣量YXZORrdz23dmrdI221 334Rm dII RRdzzR222)(21dZZR222)(21 5158R 2