第七彈性力學(xué)平面問題的極坐標系解答資料

1、第七章彈性力學(xué)平面問題的極坐標系解答在平面問題中，有些物體的截面幾何形狀（邊界）為圓形、扇形，對于這類形狀的物體采用極坐標（r,e）來解，因為此時邊界條件用極坐標易描述、簡便。本章將討論采用極坐標求解平面問題一些基本方程和解法以 及算例第1節(jié) 平面極坐標下的基本公式采用極坐標系則平面內(nèi)任一點的物理量為 M 函數(shù)。體力：fr=Kr , f-=K-面力：Kr = Fr，K. = F應(yīng)力：二一 r,二 1 , ,1= r 應(yīng)變：工y , ru= U r位移：U r , Ui直角坐標與極坐標之間關(guān)系x=rcos y=rsin)r sin":cosnn nl.凸 n、n 凸x r x 口 二

2、x r r dL,L,L,L, 口L,口r - f_ cos：-sinL,L,K. 0 .f.fL, 口y r y - yr r 二口一二）；r11 十 fr = 01.1平衡微分方程f.二 0ii1.2 幾何方程UrUr 1鞏r r ”1 ：Ur：u.ur ： rr1.3變形協(xié)調(diào)方程+1 ：2r；r2(r i)1 ；(r r>r:°1.4 物理方程平面應(yīng)力問題:1(二E r6-）,ru2(1)13工？即得。平面應(yīng)變問題將上式中1.5 邊界條件1 .位移邊界條件：Ur = Ur , Ua =另 在Su上2 .力的邊界條件： r cosO,r)十7計 cos(i,s)= Kr =

3、 Fr%rcosn,r)+"rcosn，s)= K = F 在 s仃上環(huán)向邊界 nr 1 r = ±Kr Jra = ±Ka(r=r0)徑向邊界 n/s(n'r):70r=±Kr/e = ±K (0 = 0°)1.6按位移法求解基本未知函數(shù)為位移U r , U8 ,應(yīng)變、應(yīng)力均由位移導(dǎo)出平面應(yīng)力問題時的應(yīng)力由位移表示E / E Ur /1 UrUr (< -y )r ( : 一) 2 ( r )f 2.()1 -1 - 二 r r 二 9 r2 (；. r)E 2(i【ur1 - r :r:u ur) rE _ E /1

4、 ：ur ：u u. 1 a_ I . 11 2(1)2(1) r :r r上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程，即位移法的基本方程。：，:r(二 r_>Kr = 0K力的邊界條件也同樣可以用位移表示。1. 7按應(yīng)力法求解在直角坐標系中按應(yīng)力求解的基本方程為（平面應(yīng)力問題）fy 二 0CC yCT _xy .x二）=y）f：fy-(1)( x -)x y其中2_;2在極坐標按應(yīng)力求解的基本方程為（平面應(yīng)力問題）二；一 r:rC T1r r fr = 0-r2(二 r)一 2一.2-苴中=2r2力的邊界條件如前所列。1.8應(yīng)力函數(shù)解法當(dāng)體力為零fr=f 6=0時，應(yīng)力法基本方

5、程中的應(yīng)力分量可以轉(zhuǎn)為一個待求的未知函數(shù)%r,日）表示，而應(yīng)力函數(shù)*（ r, 3所滿足方程為v 4*( r, a) =0 或(:二 r1 :cQ)2 = 0而極坐標系下的應(yīng)力分量；;r,"r, 8）的微分求得，即:1 ：+一 ,r r1 ；,2第2節(jié)軸對稱問題2.1 軸對稱問題的特點1 .截面的幾何形狀為圓環(huán)、圓盤。2 .受力和約束對稱于中心軸，因此，可知體積力分量飽=0 ；在邊界上r=r0 ： F| = 0 , uj= 0 （沿環(huán)向的受力和約束為零）3 .導(dǎo)致物體應(yīng)力、應(yīng)變和位移分布也是軸對稱的:在 V 內(nèi)ue=0 ) r日=0 ) r rQ=0 ,Ur=Ur（），仃(r),二產(chǎn)、

6、(r), r= r (r), k i(r).各待求函數(shù)為r的函數(shù)（單變量的）2.2 軸對稱平面問題的基本公式1.平面微分方程（僅一個）dLr.<j 9a -1fr = 0r2.幾何方程（二個）：,dur dr 'Ur3.變形協(xié)調(diào)方程（一個）：1 F2；r 1 ：21 ：；.(r r1)- 1 r = 0r 二 r1 d- T 22r 丁 r 二 r ,、 rd"1d-0 r dr變形協(xié)調(diào)方程由幾何方程：r ； 1 = Ur=d (J)/% =；dr(" dr rd 1dr4.物理方程（兩個）1 .、1 /、平面應(yīng)力問題，=E(IJr-.'汴=忑3-&#

7、39;JE ,、. E ,、或 仃,=；2(孫巾七)， 仃-2 (S6 +Fr)1 -1 -平面應(yīng)變問題時彈性系數(shù)替換。5.按位移法求解將仃r、仃J用Ur表示，并代入平衡微分方程，一二E_ dUrUr對于平面應(yīng)力問題r 1 - v 2 ( dr ' rE /Urdu2 (x)1 - rdr位移法的基本方程為：22、d Ur 1 dUr Ur (1 -).2, - 2fr = 0dr r dr r E相應(yīng)邊界條件：軸對稱問題邊界r=r 0 (常數(shù))位移邊界條件：Ur Ur 在Su上力的邊界條件：訂r = ± Fr 在S口上平面應(yīng)力問題的力邊界條件用位移表示：")= r

8、Fr在Sa上當(dāng)Ur由基本方程和相應(yīng)邊界條件求出后，則相應(yīng)應(yīng)變、應(yīng)力均可求出。6.按應(yīng)力法解應(yīng)力法基本方程dr2（二.二 1=-（1 +8）（-+-）平面應(yīng)力可題dr其中' 2=dr2 r dr邊界條件為力的邊界條件:二Fr在Sa上7.按應(yīng)力函數(shù)求解當(dāng)無體力時應(yīng)力法基本方程為:dr, 2（；）= 0選取應(yīng)力函數(shù)，=（r）單變量的函數(shù) 應(yīng)力分量與巾（r）的關(guān)系:crrd2V自然滿足平衡微分方程，則應(yīng)力函數(shù) （r）應(yīng)滿足的基本方程為相容方程，即、2/c 二 =2（r ）（rdrd2dr2四階變系數(shù)的微分方程（尤拉方程）H24> =先十 而dr21 d*1, d2。d。、1 d / d。

9、、(r2) (r ) r dr r dr dr r dr dr, 4 = (d'dr2r dr1d(rd)=1 % “d) _r dr dr r dr dr _r dr dr逐次積分(四次)可將軸對稱問題的 (r)基本形式得到: (r)= Alnr+Br 2lnr+Cr 2+D其中A 、B、C、D為任意常數(shù)，D可去掉。將(r)代入應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式，可得平面應(yīng)力、 平面應(yīng)變問題應(yīng)力表達式：I rdII d”A2B(1 21n r) 2Cr2Aodr2 r2B(3 21n r) 2c對于圓環(huán)或圓筒，力邊界條件僅兩個，不能確定三個系數(shù)。但圓環(huán)或圓筒為復(fù)連域，除了力的邊界條件滿足外還

10、要考慮位移A=015將應(yīng)力分量表達代入幾何方程的第二式，得ur = r (；r) = 1 - (1 .) A Br 3 -2(1 - )lnr 1 2Cr(1- -.)(a)UrF應(yīng)力分量表達代入幾何方程的第一式并積分，得(b)2(1 - ) ln r 1 2Cr(1 - ) F考慮位移單值性比較 （a）和（b）式:4Br-F=0 =B=F=0軸對稱問題的應(yīng)力和位移解為：A -A丁 2c ，-丁 2c r 'rA、C由兩個力的邊界條件確定U1 = 0對于無體力圓盤（或圓柱）的軸對稱問題,則根據(jù)圓盤（或圓柱）中心應(yīng)力和位移有限值彳導(dǎo)圖示圓盤受力情況，得應(yīng)力為r=二產(chǎn)2C= -qii2.3

11、軸對稱問題舉例例題1等厚圓盤在勻速H轉(zhuǎn)動中計算（按位移法解）已知：等厚圓盤繞盤心勻速轉(zhuǎn)動（單位厚）角速度為 慚（常數(shù)）、圓盤密度為ra圓盤勻速轉(zhuǎn)動時受體力（離心力）作用：fr=Kr=ffl2r , fe=Ke=0在r = a邊界上Kr = K"l= 0 （或Fr =did,、(1- 2) ,2 人3)一Er=°符合軸對稱問題（平面應(yīng)力問題）位移法的基本方程：- C2（1 - 2）-2 3積分兩次： ur二C1rrr 8 e確定C1和C2： 當(dāng)r = 0時，ur為有限值，須C2=0然后，利用 r = a 時，Kr = Fr = ( r )r=a = ° ,得（1 -

12、 2）C1 = （）：8代回位移表達式并求應(yīng)力a2(11 一” 2 2)=(3+R)蜩2a28，ur 二r 8E、r一)(1a(1-)(3)() a813 r2(3)22 r2仃 r -(2a2(1-T)?3 a28a如果圓環(huán)勻速（0）轉(zhuǎn)動，則Ur表達公式中的C2器，Cl和C2由力的邊界條件定：（r） r=a =0,（ r） r=b =0例題2 圓環(huán)（或圓筒）受內(nèi)外壓力作用。已知： 體力fr=f e=0（或力的邊界條件：在r = a邊界（內(nèi)徑）：° r= -q a,飛=0在r = b邊界（外徑）：° r= q b, r H=0本問題仍為軸對稱問題，且體力為零,可采用前述的應(yīng)

13、力函數(shù)求解方程，也可按位移法求解1.按應(yīng)力函數(shù)法求解按應(yīng)力函數(shù)求解前面已導(dǎo)出應(yīng)力分量和位移表達式：AA仃 r = T + 2C %=一二+ 2CB r J = 0r 'r ' r平面應(yīng)力問題的位移：%*卜+）2Cr（1）|u卜 0利用力的邊界條件：A亞2C 一 qa及A2 2C = -qb b2a2b2(qb - qa),22b - a2 .按位移法求解:由基本方程dr _ r dr2c =(rur) 0 022qaa 一 qbbb2Ur 二c C2C1r r代入應(yīng)力與位移之間關(guān)系式，對于平面應(yīng)力問題，有_ E /dururE ,CT( 十 教" |r21 - dr

14、r 1 -同樣利用力的邊界條件導(dǎo)出同樣結(jié)果。討論:”一C2(1-)當(dāng) qaI 0,當(dāng) qa= 0, 組合圓筒。qb= 0僅受內(nèi)壓，以及qb= 0、6 qb I 0僅受外壓；內(nèi)筒：內(nèi)徑a,外徑b,彈性系數(shù)E、圾,外筒：內(nèi)徑b,外徑c,彈性系數(shù)E'、一O內(nèi)筒應(yīng)力和位移:CTrA2 r平面應(yīng)變問題urr二 0u = 0外筒應(yīng)力和位移:A' AT+ 2C ,-2 + 2C , Ire - 0 rr211A 一'一Ur |- + 2Cr（1-21） , U,= 0組合圓筒應(yīng)力和位移表達式中共有四個待定系數(shù)A、C、A'、C',利用四個條件定。如果內(nèi)筒受內(nèi)壓qa外筒外

15、徑無面力，則確定系數(shù)的四個條件為：（-r）r=a = -q a , （ - r ）r=c =0 ，（° r）r=b =（仃 r ）r=b ,（Ur）r=b =（Ur ） r=b又如：內(nèi)筒無內(nèi)壓qa = 0,外筒無外壓qc= 0,但內(nèi)筒外徑大一點，內(nèi)筒外徑為b+A ,外筒內(nèi)徑仍為b,過盈配合問題，邊界條件如何寫：（仃r） r=a=。，3r'） r=c=。,9r）r=b= 3r'） r=b ,（Ur ） r=b =（Ur） r=b + ' （或1（Ur ） r=b1 +（Ur） r=b1=，）第3節(jié)-對稱應(yīng)力問題一一曲梁的純彎曲曲梁為單連域，當(dāng)無體力作用，且受純彎

16、曲作用時，從受力分析知曲梁1=c的截面上內(nèi)力為M,各截面上的應(yīng)力分布也相同與d無關(guān)的，因此屬于軸對稱應(yīng)力問題。但位移不是軸對稱的，即Ue圖0 ,所以不能按軸對稱問題的位移法求解，但可按軸對稱應(yīng)力（應(yīng)力函數(shù)）解法求 應(yīng)力并由應(yīng)力導(dǎo)出位移。按軸對稱應(yīng)力函數(shù)解：應(yīng)力函數(shù)® =。（ r）。（r）= Alnr+Br 2lnr+Cr2 （已導(dǎo)出）1 d A2 B(1 2ln r) 2C r dr rd2 A-2 = - 2B(3 2lnr) 2Cdr r利用力的邊界條件確定A、B、C:在主要邊界上r = a ：(° r) r=a = 0 ,(二 rJ) r=a = 0 ,A(1)(2)

17、2B(1 2ln a) 2c = 0ar = b ：(° r) r=b = 0 ,(二 rfl r=b = 0，A B(1 21nb) 2C = 0在次要邊界上不清楚垂直邊界的面力具體分布，利用圣維南原理：b在日=0： 日力=0由于主要邊界滿足，則此式自然滿足；b在=0：:rdr = Ma0）： 7：=（嘰 + （）a = M 主要邊界滿足時，由（1）、（2）、（3）求出A、B、C,應(yīng)力求出后,依次可求出應(yīng)變和位移表達式，詳細推導(dǎo)在徐芝綸（上冊）P91-92。在徐芝綸（4-13）中I、K、H為剛體位移，I = u0、K = v0, H =?？衫眉s束確定，如令ro =（a+b）/2

18、，曾=0處：Urur = UH = - 0 0 得 H = K =0, ：r1A八I =(1)B(1)r0-2(1- )Br0lnr0-2C(1- )r°E _ro第4節(jié)圓孔的孔邊應(yīng)力集中問題從本節(jié)和后面兩節(jié)討論一些工程中經(jīng)常用到的一些解，仍采用應(yīng)力 函數(shù)解法。本節(jié)討論一個無體力的矩形薄板，薄板內(nèi)有一個小圓孔(圓孔 半徑a很小)，薄板兩個對邊分別受均勻拉力q1和q2作用，由于板內(nèi)有微 小圓孔，孔邊應(yīng)力將遠大于距孔稍遠處的應(yīng)力一一稱應(yīng)力集中問題。42.什什竹竹葉,一 qkqiq2q=(qi+q2)/2q' =(qq2 )/2HHHH I IL=(qq2 )/2圖(c)+ +Ui

19、uuuurq=(qi+q2)/2圖(b)圖(a )受力情況，依照線彈性力學(xué)疊加原理:圖（a ）的解=圖（b ）的解+圖（c ）的解。（a）,（c）二.二二.r r r , ,rir? r?下面分別討論圖（b ）和圖（c ）的解：圖（b ）情況,遠離孔的位置應(yīng)力為仃xb）=仃yb） = q, xy）= 0其中q=（qi+q2）/2,圖（b ）解相當(dāng)圓環(huán)內(nèi)徑無內(nèi)壓qa= 0,外徑受外壓qb= q作用情況，已有解，只須將a/b t 0代入，得二r2a(1 一下)q =ra、(qiq2)(1 下)2(i a2)q 二r2(1 y q2)r 2(b)圖（c ）情況，遠離孔的位置應(yīng)力為 CTx= - by

20、 =q' , 1xy= 0 ,其中 q' =（q-q2）/2,通過應(yīng)力轉(zhuǎn)換式可得 仃r =q' coS2,仃日=-q' coS2 ?a= -qSin2e。可見，圖（c ）的應(yīng)力不是軸對稱的（結(jié)構(gòu)為軸對稱），關(guān) 鍵是要設(shè)應(yīng)力函數(shù)"，!），采用半逆解法:（1）根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式判斷。（r,6）應(yīng)有cos2,項 （因子）。1 :21在較遠處t q' coS2 + r2 T 2r 二 口 r r:2燈在較遠處t - q' coS2 r1,卜作；才在較遠處t - qsin2M(2)假設(shè)應(yīng)力函數(shù)4( r, I)可以分離變量，設(shè)為(r,尸

21、f(r)g(戶f(r)cos2 二將所設(shè)。(r, 的形式，代入，4。= 0，得；d4 J2d3f9 d2 9 dfOHc o SB4-320dr r dr r dr r dr42八 D解出 f(r) = Ar+Br +C十二代回應(yīng)力函數(shù)( r,4得r(戶)=(Ar4 Br2 C D2 )co 2 r可求得應(yīng)力分量表達式為4C 6D二 r = -(2B24 )co2r r2 6D；r -(12Ar2 2B 4 )coQ r2 2C 6D一(6Ar 2B - - - -)si 2 r r應(yīng)力分量中的四個系數(shù)由四個力邊界條件確定，即(- r)r=a = 0,( r 1)r=a = 0 ,(°

22、; r)r=b = q coS2("a) r=b =-qsin2"；由此四各方程解得其中'2Nbam'2q2Na 6 i(b)一 .，a、2 _aN = 1 - 4( )6()b b64當(dāng) a/b，0 （無限大板中有小孔）代入上述各系數(shù)表達式，得N=1, A=0, B= -q' /2, C=q2 ： D= -q' 4/2再代入上面圖（c ）應(yīng)力表達式，可得應(yīng)力最后表達式:220 r = q （1 - 告"）（1 - 3句）c o S" r r4仃 Ic） = q'（1 + 3a7）c o SM ra2a2-q (1

23、- 2)(1 3 2)si2rr最后圖（a ）應(yīng)力由圖（b ）應(yīng)力解和圖（c ）應(yīng)力解相加而得。(a) cr ' 'r二 J)(a) r 口22%產(chǎn)1 q2)(q1-q2) a2a2)8S2r 22 r r-a2、(q1 q2) (q1 - q2)a2、=(1 一)1(1 3)coSr222r222一(q1 一 q2)(1 . a2)(i 3a2)si 22 r r當(dāng)qi = q , q2 = 0代入上式，可得齊爾西解，徐芝綸（上冊）：P101（4-17）式。n qBsX -二二三二第5節(jié)曲梁的一般彎曲曲梁無體力作用，曲梁頂部受集中力P作用。仍采用半逆解法:考慮曲梁截面上內(nèi)力表

24、達式，推出應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)變化。在 “截面內(nèi)力:aQ 一 PCO* r:1一()二 r r 二1根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式判斷也r,與應(yīng)有sin雷項（因子）。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)。（r,日）可以分離變量,設(shè)為(r, 1 )=f(r)g(，)=f(r)sin ?代入翻4。= 0,得4_3_2_.-d4f2 d3f3d2f3df3f、八sin( 4-3一27 23*一4尸0dr r dr r dr r dr r解得 f(r)=Ar 3+ Br +Crlnr + D/r則 由(r,日)=(Ar3+ Br +Crlnr + D/r ) sin其中 Brsine =By可略去。將e( r, e )代入應(yīng)力分量

25、表達式<Tr2 r2r ：r=(2Ar C r - 2D r3)si na6:r2=(6Ar C r 2D r3)si n) = -(2ArC r - 2D r3)cos足。A、C、D由力的邊界條件來定。力的邊界條件：在主要邊界上，在 r = a ： r = 0 , BrJ= 0, 2Aa+C/a-2D/a 3= 0在 r = b ：%= 0 , r戶 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0在次要邊界上，在日=0 ,環(huán)向方向的面力為零，仃F日=端=0滿b 徑向方向的面力Fr的分布未給出，但給出Fr的合力。Frdr = - Pb利用圣維南原理(r)=°dr = Pa=-b(2Ar

26、 C r - 2D r3)dr ' Pa22b b - a或 - A(b - a ) - Cl n D 2= Pa a b由上述方程解出A = -P-C =P 22P2.2- (a b ) D = - a bN, 2N其中N = (a2222b- b2) (a2 b2)ln- a二二P(rr NP 0(3r -N222.a b a b+3r r222.a b a b2)sin1. riP(r - Nra2 b2)sin?22 2a b3 )cos1r代回應(yīng)力分量表達式情況1楔形體不考慮體力，楔形體頂部注意：這個應(yīng)力解在曲梁兩端是不能用的。應(yīng)變和位移可由物理和幾何方程導(dǎo)出。第6節(jié)楔形體在

27、楔頂或楔面受力本節(jié)討論楔形體分別受三種不同荷載作用時，其應(yīng)力解答如何， 并將其中某些解答推廣到半無限體情況。楔形體分別受三種不同荷載作用時， 應(yīng)力函數(shù),( r, 9)的選取考慮:(1 )采用分離變量法( r, 4)=g(r)f( I)；(2 ) 考慮應(yīng)力函數(shù)在楔形體邊界上的變化規(guī)律，將 "r,日)中的g( r)的形式假設(shè)出來，然后利用 日” =0求f( a)的形式;(3)利用邊界條件確定f(日)的表達式的待定系數(shù)。受集中力P作用/2/2已知：頂角為 也 的楔形體受集中力P作用,P的作用方向與楔形體頂角平分線(x軸)夾角為設(shè)應(yīng)力函數(shù)(r, D=g(r)f( D且利用無體力時，應(yīng)力函數(shù)

28、(r r, Q)在邊界上的值及偏微分與邊界上面力的關(guān)系式來確定 g(r)的形式。BBB 一 A ,(x- XB)Yds- /y - yB)XdsA.A.首先可設(shè)邊界上始點A的。A = 0,則邊界上在OA段任意點B的中值為B = 0 ,任意點經(jīng)過。點，在OB段的中值為®=Prsin(B+，/2)；。與r 一次式有關(guān)。可設(shè)(r, 9 ) = g(r)f( ) = r f(")P之間量綱關(guān)系來設(shè)。代入置44 = 0 ,得:f(1) =0d4f d4。(r,日)的假設(shè)也可以由"r,日)與應(yīng)力分量的關(guān)系及應(yīng)力分量與集中力解得f)= Acos +Bsin 口 + ? (Cco

29、s+Dsin 口)而應(yīng)力函數(shù)(r, ) A r cos + B r sin - + - r (Ccos "Dsin )由( r,日)可得應(yīng)力分量表達式21 :21 :+2 一=-(D cos:-Csin。)仃 e =即日=0系數(shù)C、D的確定:首先應(yīng)考慮邊界條件來定，即 日=/2時，仃9=0 ,0伯=0 ,自然滿足。可見僅靠力的邊界條件不能確定所有待定系數(shù)，這是由于本問題 的載荷是作用于一點的集中力，在頂點有奇點，待定系數(shù)需靠部分楔形體的平衡而確定，即三 Fy = 0：二 2一：c0mdiPsin = 0三 Fx = 0:PcosD 二sin ：Psin:一sin：代回應(yīng)力分量表達式2P(cos cos"sin sin"sin-sin-r1二 0討論:1.crr2P cosr : sin'2P2.當(dāng)腳4時楔形體變?yōu)榘霟o限體，受集中力作用:2Prsi n s i n)0xy2P c