等比數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)與典型例題+答案

1、1、等比數(shù)列的定義:等比數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)與典型例題-a-=q(q=0Xn 之2,且nw N* ), q稱為公比 an J2、通項(xiàng)公式:n 1a1an = aqqq= ABn(a1 .q=0,A E#0),首項(xiàng)：a1；公比：q推廣:_mn _man -amq qan=q = n amanam3、等比中項(xiàng)：A叫做a與b的等差中項(xiàng)，即：A2 = ab(1)如果a,A,b成等比數(shù)列，那么注意：同號的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，弁且它們的等比中項(xiàng) 有兩個(gè)(2)數(shù)列也是等比數(shù)列U an2=anan平4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和&公式:(1)當(dāng) q=1 時(shí)，Sn=nai(2)當(dāng) q,1 時(shí)，Sa1 1 qn_ a1

2、 - anq1-q 1 -qa1a11 -q 1 -qnnnq A - A B A B A'(A,B,A',B'為常數(shù))5、等比數(shù)列的判定方法:(1)用定義：對任意的n,者B有an+ = qan或包nqg為常數(shù)，an=0)u an為 an等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)：an2 =an+an(an書an#0)u an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：an=AEn(A.B#0)u凡為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義：若 且_=q(q#0)(n之2,且nw N*)或an¥=qanU為等比數(shù)列 an7、等比數(shù)列的性質(zhì)：(2)對任何m”N*,在等比數(shù)列an中，有an =amqn

3、_mo(3)若 m+ n = s+t( m n, § tw N ),貝U an 用=a$ a。特別的，當(dāng) m+n=2k時(shí)，得2an ，am aktZC . ai Hn a2 3n 1 a3Hn_2 一等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義an + an =d-q(qH0) an遞推公式an an 1 +d ； an =am_n *mdn_man =anq ； an =amq通項(xiàng)公式an =a1 +(n -1)dn -1an =aq( a1,q #0)中項(xiàng)A -2(n,k = N ,nkA0)G =i/anan 蟲(anan4kM 0) (n,kWN , n k 0 )前n項(xiàng)和nSn

4、 =2 (a1 *an )1 n(n -1)Sn na1 +2dSn="TiaNq =1)a1(1 -qn ) aanq / (q±2)1 -q1 -q重要性質(zhì)a + a = a + aamana paq*(m, n, p,q = N ,m + n = p + q)a m a n -ap a q(m, n, p, q- N ,m + n= p + q)經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例 1.等比數(shù)列an中,a1a9=64, a3+a7 =20，求 a11.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于ai和q的二元方程組，解出ai和q,可得前；或注意到下標(biāo)1+

5、9 = 3 + 7,可以利用性質(zhì)可求出a3、a7,再求an .總結(jié)升華：列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì) 算量；解題過程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目 的，故較多變形要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式11 為等比數(shù)列，ai=3, a9=768,求a6?！咀兪? 為等比數(shù)列， 0,且3289=16,求a44a45a46的值?！咀兪?】已知等比數(shù)列an,若a1+a2+a3=7, a1a2a3 =8,求an。類型二：等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式例2.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若$6=2$,求數(shù)列的公比q.舉一反三：【變式n求等比數(shù)列0”的前6項(xiàng)和【變

6、式2已知：為等比數(shù)列，aia2a3=27, 4=13,求&.【變式3】在等比數(shù)列an中，a+an=66, a2 an=128 , Sn =126 ,求n和q。類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例 3.等比數(shù)列an中1,若 a5 a =9 ,求 10g3 a1 +log3 a2 +. + log3a10.舉一反三:【變式11正項(xiàng)等比數(shù)列 凡中,若ai , ai00=100;則12+100.【變式2】在8和27之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入 32的三個(gè)數(shù)的乘積為。類型四：等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4.在等比數(shù)列an中,已知Sn=48, S2n =60,求S3no思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也

7、有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前 k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，,第n 個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。舉一反三：【變式U等比數(shù)列an中,公比2, S4=1，則S8.【變式2】已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且S10=10, S20=40，求：$0=?【變式3】等比數(shù)列an的項(xiàng)都是正數(shù)，若80, 與6560,前n項(xiàng)中最大的 一項(xiàng)為54,求n.【變式4】等比數(shù)列中，若ai2=324, a 34=36,貝U a56.【變式5】等比數(shù)列an中，若ai23=7456=56,求a789的值。類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去 32,

8、則成等 差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去 4,則又成等比數(shù)列.求原來的三個(gè) 數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的前提.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式.總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為,a,;若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為 且，x,。但還y要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng) a,公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式11 一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列.【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的

9、積為27,它們的平方和為91, 求這三個(gè)數(shù)?！咀兪?1有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列， 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是 16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為 12,求這 四個(gè)數(shù).類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：5(1)(n ),求出數(shù)列的通項(xiàng)公式, 并判斷是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列的前n項(xiàng)和可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷類型.舉一反三：【變式11已知數(shù)列,其中23n,且數(shù)歹U 1為等比數(shù)歹U,求常數(shù)p【答案】2或3;【證明】設(shè)數(shù)列、的公比分別為p, q ,且p中q【變式3】判斷正誤：。為等比數(shù)列=a73a4；若b2,則a, b, c為等比數(shù)列；。

10、，均為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列；。是公比為q的等比數(shù)列，則a；、1工；仍為等比數(shù)列； an若a, b, c成等比，則，成等差.ai5類型七：與的關(guān)系例7.已知正項(xiàng)數(shù)列,其前n項(xiàng)和滿足10Sn =a；+5an+6,且a1，a3,成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng).總結(jié)升華： 等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，它們是ans （：；1；），尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系.舉一反三：【變式】命題1:若數(shù)列的前n項(xiàng)和（a中1）,則數(shù)列是等比數(shù)列; 命題2：若數(shù)歹U 的前n項(xiàng)和，則數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列。上 述兩個(gè)命題中，真命題為 個(gè).經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例 1 .等比數(shù)歹U an ap

11、 a a1a9 = 64 , a3 + a7 = 20 ,求用.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過已知條件可列出關(guān)于a和q的二元方程組，解出Q和q,可得前；或注意到下標(biāo)1+9 = 3 + 7,可以利用性質(zhì) 可求出a3、a7,再求闞1 .解析:法一：設(shè)此數(shù)列公比為則%=”、6：26a3 a7 = a1q a1q : 20由(2)得:a1q2(1 + q4) =20(3)由(1)得：(aiq4)2 =64 ,aiq4 =8 (4)/4+(4)得：與=3=5, q 82 2q4 -5q2 +2=0,解得 q2 =2 或 q2 =g當(dāng) q2=2 時(shí)，a1 =2 , 為 = a，q10 = 64 ;、

12、當(dāng) q2=；時(shí)，a1=32, aLaq1=1.法一*：: a1a9 =a3 a7 =64 , 又 a3 +a7 =20 ,二a3、 a7為方程x2 -20x+64=0的兩實(shí)數(shù)根,. ；a3 =16 或a7 = 4A =4 =a7 = 162a3 a11 = a7.a?2.a1 = 1 ah an =64.a3總結(jié)升華:列方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時(shí)利用性質(zhì)可以減少計(jì) 算量;解題過程中具體求解時(shí)，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達(dá)降次目 的，故較多變形要用除法（除式不為零）舉一反三:【變式1】為等比數(shù)列，a1=3, a9=768,求a6?！敬鸢浮客?96法一：設(shè)公比為 q,貝U 76&

13、amp;q q8=256,.±2, /. ae=±96;法二： a521a9= a5=± 48= ±2, a6=±96?！咀兪?】為等比數(shù)列， 0,且a1a89=16,求a44a45a46的值?！敬鸢浮?4;29 =a：5 =16,又 0,345=4a44a45a46= a；5 =64?！咀兪?】已知等比數(shù)列aj,若a-a2+a3=7 , aia2a3 =8 , 求an?！敬鸢浮縨=21或小=23;2 3aa3 a2)砌 a2a3 a2 = 8 ) * * a2 2從而!&十%5解之得ai =1 , a3=4或a1=4, a3 = 1

14、I a a3 =4當(dāng) a1=1 時(shí)，q=2;當(dāng) a=4 時(shí)，q =g。故烝=2n，或a。=23。法二：由等比數(shù)列的定義知a2 a1q , a3 aq代入已知得a1a1q：q2=7 2 a1 aq a1q =8r , .2._ f2_1(1+q +q ) =7,_ ja(1+q+q ) =7，一 a；q3=8- 即=2(2)將 a =2 代入(1)得 2q2 -5q +2=0, q解得q = 2或q =1 21r A1 =4一、r由(2)得戶1 1或1,以下同方法q = 2 q =.J 2類型二：等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式例2.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若46=2S9,求數(shù)列的公比q.解析：若 1,

15、則有 S3=3a, &=6a1, &=9a1.因a尸0,得46字2s9,顯然1與題設(shè)矛盾，故q中1.,，3、 一 69、由 S3+S6=2S9 得，31(1-q)+ 31(1-q)=2酬(1-q),1 - q 1 - q 1 - q整理得 q3(2q63-1)=0 ,由 q a2 an4 =a1 1an , 313n =1280,得 2q63-1=0,從而(2q3+1)(q 3-1)=0 ,因 q3* 1 ,故 q3舉一反三:【變式11求等比數(shù)列1,1,1,中的前6項(xiàng)和。3 9答案3642431 一 31 = 1 , q = , n3364o1-13243【變式2已知：為等比數(shù)

16、列，318233=27, &=13,求&.恪案】121或£3a2= 27 =32 =3 ,，3、,13 = -q= q = 3m£ q = _ ,則 31 = 1 或 31=91 -q3一 S51 -351 -3二 121 或 S5=9父 11 I35/121解方程組需二6,得:：r或已【變式3】在等比數(shù)列3n中，31+3n=66 , 32 金=128, &=126,求：和q?！敬鸢浮縬=1或2, n=6;2將F1 =64代入& = 土財(cái)，得q, an an,公比為 q ,貝u ai = 8 , a§ = 27 21 - q2由 a

17、n = aiqn ,解得 n = 6 ；將對1=2代入0=亙3,得q=2, an =641-q由 an =aiqn 解得 n=6。1, , q =或 2, n = 6 o類型三：等比數(shù)列的性質(zhì)例 3.等比數(shù)列an中,若 a5=9，求 log3 a +log3 a2 十十 10g3a10.解析：,an是珞比數(shù)列， a1a10= a2 a9 =a3，a8=a4，a7= a5，a6= 955, , log 3 a log 3 a2 ' log 3ao=10g3(a1a2 a3UIa10) = 10g3(a5a6)= 10g3 9= 10舉一反三：【變式11正項(xiàng)等比數(shù)列 凡中,若a1 , a0

18、0=100;則12+100.【答案】100;: 123+©(a 1 a2 a3 a©)而 a1 a002 a993 . a98=50 . a51原式(a1 a©) 50=50(a 1 &0。)=50 x 100=100。【變式2】在8和27之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入 32的三個(gè)數(shù)的乘積為?！敬鸢浮?16;:設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為an,其公比為8 a1=4327484%="2=aq =3 q ,8129一 ,q =164233= a1q a1qa1q = a1平j(luò) 肉* = 216。34法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為加入的三項(xiàng)分別為a2, a3

19、, a4,由題意a” a3, a5也成等比數(shù)列，小上步36,故a3=6,23 a2 3 日4 3 日3 33 216 o類型四：等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的性質(zhì)例4.在等比數(shù)列%中,已知Sn=48, S2n =60,求S3n。思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目， 我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決 辦法，即等比數(shù)列中前 k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，,第 個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。解析:法一：令 bi48, b 2260-48=12 , b332n觀察bii2+b2i2+2(a 12+),b32122+ 32n(a 12+) 22易知b123成等比數(shù)列，4=上=一 =3, b148. S3323+60

20、=63.法二：: S2n #2Sn ,. q #1 ,'"©=48 由已知得 1-q2|01=60 1 -q+得1 +qn =5 ,即qn =144代入得 a =64,1 -q二 S3日(1-武)1 -'q1= 64(1 -) = 63 °4法三：:an為等比數(shù)列，S2n-S, S3n -S2n也成等比數(shù)列,一 (S2n-Sn)2 =&(S3n 一5加),一 S3n2 _ 2干+S2n=*+60 = 63。舉一反三：【變式U等比數(shù)列an中,公比2, S4=1，則S8.【答案】17;Sb456784iQ 2 3 4 4 (a 1234)4 S

21、44(14)=1 X(1+24)=17【變式2】已知等比數(shù)列a。的前n項(xiàng)和為，且S10=10, So=4O，求：&o=?【答案】130;法一t S10, S2010, S3020 構(gòu)成等比數(shù)列，.二(S2010) 210 (S 302。)即 3O2=1O(S3o-4O), S30=130.法二：.2&0中 S20, q#1,.ca1(1 - q10)a1(1 - q20) 八 Sw =10, S20 =-40 ,1-q1-q10 1 -q 1 . 10 。. a1廣；20-=", . q =3, =-51 -q 41 - q二. S30 /()=(-5)(1 -33)

22、 =130. 1 -q80, 與6560,前n項(xiàng)中最大的【變式3】等比數(shù)列第的項(xiàng)都是正數(shù)，若 一項(xiàng)為54,求n.【答案】: &=巫q=1(否貝產(chǎn))S2n 6560S2n 2.Sn j(1_qn)=80 (1)1 -q2n82n =a1(1 q )=6560(2),1 -q(2) +(1)得：182, /.81(3).該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，.由(3)知q>1.為遞增數(shù)列，.二為最大項(xiàng)54. 11=54,a154q, 81a1=54q(4).5422為=q = q 代入(1)得q(1 81) =80(1 -q),81333.4.【變式4】等比數(shù)列an中,若312=324, a 34=36

23、,則356.【答案】4;令 b1121(1) , b2341q2(1 ) 3561q4(1),易知：b1, b 2, b 3成等比數(shù)列，b3匹36-4,即356=4.匕324【變式5】等比數(shù)列an中,若3123=7456=56,求3789的值。【答案】448;. 是等比數(shù)列，.二(3 456) = (3 123)q3, . q3=8,.二 3789=(3456)q 3=56X 8=448.類型五：等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例5.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去 32,則成等 差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去 4,則又成等比數(shù)列.求原來的三個(gè) 數(shù).思路點(diǎn)撥：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是順利解方程組

24、的前提.考慮到有三個(gè)數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，弁將其設(shè)為整式形式.解析：法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為,.則，3, 32成等比數(shù)列，,4,成等比數(shù)列.2.32 =(3 -d)(3 +d +32)(1)2.l(3-4) =(3-d)(3+d),2由(2)得 d-(3)8由(1)得 322+32d(4)(3)代(4)消3,解得d=8或8.3當(dāng) d =8 時(shí)，3=26；當(dāng) 8 時(shí) 1039，原來三個(gè)數(shù)為2,生，當(dāng)或2,10,50.999法二：設(shè)原來三個(gè)數(shù)為3, , 2,則3, 2-32成等差數(shù)列，3, 4,2-32成等比數(shù)列 2 .2aq =a + aq -32(1)v 22Jaq -4) =a(aq

25、-32).(2)由(2)得a=3,代入(1)解得5或13 q -4當(dāng)5時(shí)2;當(dāng)13時(shí)a=29 -原來三個(gè)數(shù)為2, 10, 50或2,里當(dāng). 999總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為,a,；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為x,。但還y要就問題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a,公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式11 一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32,那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列.【答案】為2, 6, 18或2,一也更；99 9設(shè)所求的等比數(shù)列為a, 2；則 2(

26、4) 2,且(4) 2(2+32);解得2, 3或a=2, 5;9故所求的等比數(shù)列為2, 6, 18或2, 一絲,50.99 9【變式2】已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27,它們的平方和為91, 求這三個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?、3、9 或一1、3、- 9 或 9、3、1 或一9、3、一 1設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為 -,a,aq ,q由已知得a _ _ cr一 a aq = 27q2當(dāng) a2 a2q2 :91 q2a =3I2 12a2( +q2 +1) = 91 q得 9q482q2+9=0 ,所以 q2 =9：q2=1 ,9 '即4=±3或4=土13故所求二個(gè)數(shù)為：1、3、9或一1、3、

27、 9或9、3、1或一9、3、一1【變式31有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，弁且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求這四個(gè)數(shù).【答案】0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1 ;設(shè)四個(gè)數(shù)分別是,12,16.；2y = x+12-y.(1)一、(12-y)2 =y(16-x).(2)由(1)得 312,代入(2)得 144-24 2(16-312) 144-24 23y2+28y, 4y2-52144=0, .y2-1336=0, . 4 或 9, 二 0 或 15, 四個(gè)數(shù)為 0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.類型六：等

28、比數(shù)列的判斷與證明例6.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：5(1)(n ),求出數(shù)列的通項(xiàng)公式， 弁判斷是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列的前n項(xiàng)和可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷類型.解析：-. 5(1), . .1=6, . .51 (n ), a11=5 -1=4,當(dāng) n>2 時(shí)，1=(51)-(5 1-1)=55 1=51(5-1)=4 X 51而 1 時(shí)，4X 51=4X 511=4i, nG 時(shí)，4X 51由上述通項(xiàng)公式，可知為首項(xiàng)為4,公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式11已知數(shù)列,其中23n,且數(shù)歹U 1為等比數(shù)歹U,求常數(shù)p?！敬鸢浮?或3;1是等比數(shù)列，對任意 n NH n&g

29、t;2,有(1)2222222CiC3 =(abi)(apbq)=apbq4b1(pq ) Ci C3 -C22 =a1b1(p-q)2,又,: p 中q, a 10, b 10, C1 c3 -C22 #0 即 C1 C3 #C；數(shù)列不是等比數(shù)列.【變式3】判斷正誤：(1)為等比數(shù)列=a73a4；(2)若b2,則a, b, c為等比數(shù)列;(3) , 均為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列；(4)是公比為q的等比數(shù)列，則a2、1工I仍為等比數(shù)列； an=(21)( 1)/23n, /.(2 1+31)(23 n) 2=(2 2+32)(2 1+31) (23 n)(2 1+31) 即(2) 2(3) 3n2=(2