（整理版）高二數(shù)學(xué)專題三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形人教實(shí)驗(yàn)（B）

1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué)專題：三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形專題：三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形人教實(shí)驗(yàn)版人教實(shí)驗(yàn)版bb【本講教育信息本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：專題：三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變形【考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理】一、本章考試內(nèi)容1. 角的概念的推廣，弧度制2. 任意角的三角函數(shù)、圓中的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式3. 兩角和與差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切4. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、周期函數(shù)、函數(shù) y=asinx+的圖像、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角函數(shù)值求角5. 余弦定理、正弦定理利用余弦定理、正弦定理解斜三角形二、本章考試要求1. 理解任意角的概

2、念、弧度制的意義，并能正確地進(jìn)行弧度和角度的換算2. 掌握任意角的三角函數(shù)的定義，了解余切、正割、余割的定義，掌握同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的意義3. 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式4. 能正確地運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明5. 了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù) y= asinx+的簡(jiǎn)圖，理解 a、的物理意義6. 會(huì)由三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsin ,arccos ,arctanxxx表示7

3、. 掌握余弦定理、正弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形三、全章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：【】【】分析近五年的全國(guó)高考試題，有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容平均每年有 25 分，約占 17%如：福建卷的第 17 題設(shè)函數(shù)ba)x(f，2cos ,1 ,ax其中向量cos , 3sin2bxx,.xr 113,3 3xx 若fx且求；2假設(shè)函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量,2m nmc平移后得到函數(shù) y=fx的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值此題“重視知識(shí)拓寬，開辟新領(lǐng)域，將三角與向量知識(shí)交匯【復(fù)習(xí)策略復(fù)習(xí)策略】三角函數(shù)是傳統(tǒng)知識(shí)內(nèi)容中變化最大的一局部，新教材處理這一局部?jī)?nèi)容時(shí)有明顯的降調(diào)傾向，突出“和、差、倍角公式的作用，突出正、余弦

4、函數(shù)的主體地位，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)放在課本知識(shí)的重現(xiàn)上，要注重抓根本知識(shí)點(diǎn)的落實(shí)、根本方法的再認(rèn)識(shí)和根本技能的掌握，力求系統(tǒng)化、條理化和網(wǎng)絡(luò)化，使之形成比擬完整的知識(shí)體系；第二、三輪復(fù)習(xí)以根本綜合檢測(cè)題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度當(dāng)然，這一局部知識(shí)最可能出現(xiàn)的是“結(jié)合實(shí)際，利用少許的三角變換尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用來考查三角函數(shù)性質(zhì)解答三角函數(shù)高考題的一般策略：1發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析2尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)三角公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系3合理轉(zhuǎn)化：

5、選擇恰當(dāng)?shù)娜枪?，促使差異的轉(zhuǎn)化三角函數(shù)恒等變形的根本策略：1常值代換：特別是用“1的代換，如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等2項(xiàng)的分拆與角的配湊如分拆項(xiàng)：sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+cos2x=1+cos2x；配湊角：=+，=22等3降次，即二倍角公式降次4化弦切法將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系化成弦切 5引入輔助角asin+bcos=22ba sin+ ，這里輔助角所在象限由a、b 的符號(hào)確定，角的值由 tan=ab確定【典型例題分析與解答典型例題分析與解答】例 1、化簡(jiǎn)sinsincoscoscoscos22221222 分析：分析：對(duì)

6、三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的目標(biāo)是： 1次數(shù)盡可能低； 2角盡可能少； 3三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一； 4項(xiàng)數(shù)盡可能少 觀察欲化簡(jiǎn)的式子發(fā)現(xiàn)： 1次數(shù)為 2有降次的可能 ； 2涉及的角有 、2、2， 需要把 2 化為 ，2 化為 ； 3函數(shù)名稱為正弦、余弦可以利用平方關(guān)系進(jìn)行名稱的統(tǒng)一 ； 4共有 3 項(xiàng)需要減少 ，由于側(cè)重角度不同，出發(fā)點(diǎn)不同，此題化簡(jiǎn)方法不止一種 解法一：解法一：（復(fù)角單角，從“角”入手） 原式 sinsincoscos( cos)( cos)2222221221 21 sinsincoscos( coscoscoscos)22222222124221sinsincoscoscoscos2

7、2222212sinsincossincos2222212sincos21211212 解法二：解法二：從“名入手，異名化同名 原式 sinsin(sin) coscoscos222211222 cossin(cossin)coscos22221222 cossincoscoscos2221222 coscos(sincos)222122 1222121222coscossin(sin) 12212212coscos 解法三：解法三：從“冪入手，利用降冪公式先降次 原式 1221221221221222coscoscoscoscoscos 2cos2cos1 (41)2cos2cos2cos2

8、cos1 (41 )2cos2cos2cos2cos21141412 解法四：解法四：從“形入手，利用配方法，先對(duì)二次項(xiàng)配方 原式 (sinsincoscos )sinsincoscoscoscos221222 2cos2cos212sin2sin21)(cos2 cos ()cos()21222 1)(cos221)(cos2212點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：在對(duì)三角函數(shù)式作變形時(shí)，以上四種方法，提供了四個(gè)變形的角度，這也是研究其他三角函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常要用的變形手法例 2、函數(shù)( )sincos ()f xabxcx xr的圖像過點(diǎn)(01)(1)2ab且且且，且 b0，又( )f x的最大值為2 21， 1求

9、函數(shù)( )f x 的解析式；2由函數(shù) y=( )f x圖像經(jīng)過平移是否能得到一個(gè)奇函數(shù) y=( )g x的圖像？假設(shè)能，請(qǐng)寫出平移的過程；假設(shè)不能，請(qǐng)說明理由解析：解析：122( )sincossin()(tan)cf xabxcxabcxb，由題意，可得22112 21acababc，解得122abc ，所以( )12sin2cosf xxx ；2( )12sin2cos2 2sin() 14f xxxx ，將( )f x的圖像向上平移 1個(gè)得到函數(shù)2 2sin()4yx的圖像，再向右平移4得到2 2sinyx的圖像，故將( )f x的圖像先向上平移 1 個(gè)，再向右平移4就可以得到奇函數(shù) y

10、=( )g x的圖像點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：例 3、為使方程0sincos2axx在2, 0內(nèi)有解，那么a的取值范圍是 aaba.1111 cad a. 1054 分析一：分析一：由方程形式，可把該方程采取換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)：設(shè) sinx=t，那么原方程化為0=1-a-t+t2，且10t，于是問題轉(zhuǎn)化為：假設(shè)關(guān)于t的一元二次方程012att在區(qū)間10，上有解，求a的取值范圍，解法如下： 設(shè)由已知條件f ttta( ) 21 有ffaaa( )( )0010101011 aab的取值范圍為，故選（ ）11 分析二：分析二：20sincos0sincos22，得由方程xxxaaxx 于是問題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)

11、20(xsinxcosa2，在上的值域 解法如下： axxxxx cossinsinsin(sin)22211254 x 02，sinx01， ，從而 當(dāng)時(shí)， 無限逼近；sinxa01 當(dāng)時(shí)， 取最大值sinxa 11aab的取值范圍為，故選（ ）11點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：換元法或方程思想也是高考考查的重點(diǎn)，尤其是計(jì)算型試題例 4、向量2 5(cossin )(cossin) |5abab且且=且且，1求cos()的值；2假設(shè)500sinsin2213 且且且且且的值解析：解析：1因?yàn)?cossin )(cossin)ab且且=且且所以(coscossinsin)ab且且又因?yàn)? 5|5ab，所以222

12、 5(coscos )(sinsin)5，即4322cos()cos()55且；2 00 022且且，又因?yàn)?cos()5，所以 4sin()5，因?yàn)?sin13 ，所以12cos13 ，所以63sinsin()65點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：例 5、向量1 , 1m，向量n與向量m的夾角為43，且1nm，1求向量n；2假設(shè)向量n與向量0, 1q的夾角為2，向量2cos2,cos2cap，其中cba、為abc的內(nèi)角，且cba、依次成等差數(shù)列，求pn 的取值范圍分析：分析：1就轉(zhuǎn)化為解方程組的問題了，而問題2就化歸為三角形中的三角函數(shù)問題了解析：解析：1設(shè)yxn,，由1nm，有1 yx向量n與向量m的夾角為43

13、，有143cosnmnm，1 n，那么122 yx由、解得：1001yxyx或1,00, 1nn或2由n與q垂直知1,0 n，由,320,32,3,2acabcab知假設(shè)1,0 n，那么cacapncos,cos12cos2,cos2，2221 cos2a1 cos2cnpcos acos c22 32cos211234cos2cos211aaa，35323,320aa，2132cos1a25,22,45,21,4532cos211212pnpna即例 6、如圖，某園林準(zhǔn)備綠化一塊直徑為 bc 的半圓形空地，abc 外的地方種草，abc 的內(nèi)接正方形 pqrs 為一水池，其余的地方種花.假設(shè)

14、bc=a，abc=，設(shè)abc的面積為 s1，正方形的面積為 s21用 a，表示 s1和 s2；2當(dāng) a 固定，變化時(shí)，求21ss取最小值時(shí)的角解析：解析：122111sin ,cossincossin224acaabasaa設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，那么cot ,tancottanbqxrcxxxxa2sincossin2cottan11 sincos2sin2aaax22222sin2sin 22sin24sin 24sin2aas2當(dāng)a固定，變化時(shí)，1214sin244 sin2ss令1211sin2,44sttst則 10,01.2tf ttt 令，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以證明：函數(shù) 1f ttt 在0,

15、1上是減函數(shù)，于是當(dāng)1t 時(shí)，12ss取最小值，此時(shí)4點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，此題就是一個(gè)典型的范例通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的符號(hào)語言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)tttf1【模擬試題模擬試題】一、選擇題1、函數(shù)yxsin()252的圖象的一條對(duì)稱軸方程是 a. x 2b. x 4 c. x 8d. x 542、以下函數(shù)中，以2為周期的函數(shù)是 a. 1cos22xy b. 321tanxy c. yxxsincos22 d. yxxsincos223、是第三象限的角，假設(shè)sincossin44592，則等于 a. 2 23b. 2 23 c. 43d. 234、 3s

16、in 23f xx，那么以下選項(xiàng)正確的選項(xiàng)是a. 312fffb. 123fffc. 321fff d. 132fff5、函數(shù) 0 xcosxsinxf以 2 為最小正周期，且能在 x=2 時(shí)取得最大值，那么的一個(gè)值是 a、43 b、45 c、47 d、26、如圖，半徑為 2 的m 切直線 ab 于 o 點(diǎn)，射線 oc 從 oa 出發(fā)繞著 o 點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到 ob旋轉(zhuǎn)過程中，oc 交m 于 p，記pmo 為 x，弓形 pno 的面積為 xfs ，那么 xf的圖象是 7、tan15cot15a. 2b. 32c. 4d. 3281存在實(shí)數(shù) ，使 sincos=1；2存在實(shí)數(shù) ，使 sin+c

17、os=23；3 xxf225sin是偶函數(shù)；4假設(shè) 、 是第象限的角，且 ，那么 tgtg5在abc 中 ab 是 sinasinb 的充要條件a. 1b. 2c. 3d. 49、函數(shù)114sin5sinyxx的值域?yàn)?a. 11,12 6 b. 11,30 12 c. 1 1,9 3 d. 1 1,15 910、函數(shù)sincosyxxx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)a. 3(,)22b. (0, )c. (,)2 2 d. 35(,)22 11、假設(shè)點(diǎn) p(sincos)，tg在第一象限，那么在，2內(nèi)的取值范圍是 a. ()()23454， b. ()()4254， c. ()()2345432，

18、 d. ()()4234，12、定義在 r 上的函數(shù) xf即是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，假設(shè) xf的最小正周期是，且當(dāng)2, 0 x時(shí)， xxfsin，那么35f的值為a. 21b. 21c. 23d. 23二、填空題13、的值為，則，且已知sincos2481cossin_14、如圖，一個(gè)半徑為 10 米的水輪按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn) 4 圈，記水輪上的點(diǎn) p 到水面的距離為d米p 在水面下那么d為負(fù)數(shù) ，那么d米與時(shí)間t秒之間滿足關(guān)系式：sin0,0 ,22datk a，且當(dāng) p 點(diǎn)從水面上浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：(1)10a ； 2215； 36； 45k ，那么其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

19、15、給出問題：abc中，滿足coscosaabb，試判定abc的形狀，某學(xué)生的解答如下：由條件可得：22222222bcaacbabbcac，去分母整理可得2222222abcabab，222cab故abc是直角三角形該學(xué)生的解答是否正確？假設(shè)正確，請(qǐng)將他的解題主要依據(jù)填在下面橫線上；假設(shè)不正確，將正確的結(jié)果填在下面的橫線上 16、1sincos0tan5且且且且且_三、解答題17、函數(shù)2sin( )1 cos2xf xx，1求函數(shù)( )f x的定義域、值域、最小正周期；2判斷函數(shù)( )f x的奇偶性18、 1：kkz，求證：1 costan2sin；2：4sin5，求：tan24的值19、

20、偶函數(shù)( )cos sinsin()(tan2)sinsinf xxxx的最小值為 0，求( )f x的最大值及此時(shí) x 的集合20、在abc中，角cb、a所對(duì)的邊分別為cba、，且31cosa，1求acb2cos2sin2的值；2假設(shè)3a，求bc的最大值21、向量()(cossin)amnbxx且且且，其中mn且且是常數(shù)，且0 xr且，函數(shù)( )yf xa b的周期為，當(dāng)12x 時(shí)，函數(shù)取得最大值 11求函數(shù)( )yf x的解析式；2寫出( )yf x的對(duì)稱軸，并證明之22、如圖，足球比賽場(chǎng)的寬度為 a 米，球門寬為 b 米，在足球比賽中，甲方邊鋒沿球場(chǎng)邊線，帶球過人沿直線向前推進(jìn)試問：該邊

21、鋒在距乙方底線多遠(yuǎn)時(shí)起腳射門可命中角的正切值最大？注：圖中表示乙方所守球門，所在直線為乙方底線，只考慮在同一平面上的情形 【試題答案試題答案】1、a2、d3、a4、a5、a6、a7、d8、b9、b10、d11、b12、d13、23 14、 1 2 4 15、不正確，直角三角形或等腰三角形16、3417、解：1tan(22)2sinsin22( )3|cos|1 cos2tan(22)22xxkkxxf xkzxxxxkk且且且且，定義域： |2x xkkz且，值域?yàn)椋簉，最小正周期為2t；2 sin()sin()( )|cos()|cos|xxfxf xxx ，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以( )

22、f x為奇函數(shù)18、解：1,22kkkz2sin2sin1 cos22tan2sincos2sincos222243sin,cos55 當(dāng)34cos,sin55時(shí)，1 cos1tan2sin2， tan112tan2431tan2 當(dāng)34cos,sin55 時(shí)，1 costan22sin，tan112tan2431tan219、解：( )cos sinsin()(tan2)sinsinf xxxx sincos(tan2)sinsinxx，因?yàn)? )f x為偶函數(shù)，所以，對(duì)xr，有()( )fxf x，即sincos()(tan2)sin()sinsincos(tan2)sinsinxxxx，亦即(tan2)sin0 x，所以tan2 ，由22sincos1sintan2cos，解得2 52 5sinsin5555coscos55 且，此時(shí)( )