平面幾何四心講義

1、三角形四心競賽講義一、“四心”分類討論 11、外心12、內(nèi)心23、垂心34、重心55、外心與內(nèi)心66、重心與內(nèi)心77、外心與垂心78、外心與重心79、垂心與內(nèi)心810、垂心、重心、外心 8旁心8二、“四心”的聯(lián)想 81、由內(nèi)心、重心性質(zhì)產(chǎn)生的聯(lián)想 82、重心的巧用93、三角形“四心”與一組面積公式 11三角形各心間的聯(lián)系 13與三角形的心有關(guān)的幾何命題的證明 14三角形的內(nèi)心、外心、垂心及重心(以下簡稱“四心”)是新頒發(fā)的初中數(shù)學(xué)競賽大綱特 別加強的內(nèi)容。由于與四心有關(guān)的幾何問題涉及知識面廣、難度大、應(yīng)用的技巧性強、方法 靈活，是考查學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造思維能力的較佳題型，因此，它是近幾年來

2、升學(xué)、競 賽的熱點。92、93、94、95連續(xù)四年的全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽均重點考察了這一內(nèi)容。本講擬分 別列舉四心在解幾何競賽中的應(yīng)用，以期幫助同學(xué)們掌握這類問題的思考方法，提高靈活運 用有關(guān)知識的能力。一、“四心”分類討論1、外心三解形三條垂直平分線的交點叫做三角形的外心，即外接圓圓心。ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性質(zhì)：(1) 外心到三頂點等距，即 OA=OB=QC1 11(2) / A=NBOC,NB =NAOC,NC =丄NAOB。2 22如果已知外心或通過分析“挖掘”出外心，與外心有關(guān)的幾何定理，尤其是圓周角與圓 心角關(guān)系定理，就可以大顯神通了。下面我們舉例說明例2證明三角形三

3、邊的垂直平分線相交于一點，此點稱為三角形的 外心.已知： ABC中, XX，YY，ZZ'分別是BC, AC AB邊的垂直平 分線，求證：XX，YY，ZZ'相交于一點(圖3- 111).X3-111例1、如圖9-1所示，在厶ABC中, AB=AC任意延長CA到P,再延長AB到Q,使AP=BQ 求證： ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓。pPEFQA例2、如圖9-2所示，在 ABC的大邊AB上取AN=AC BM=BC點PABC的內(nèi)心，求證：/ MPN/A+Z Bo例3、AB為半圓0的直徑，其弦AF、BE相交于Q過E、F分別作半圓的切線得交點 P,求證：PQL AB2、內(nèi)心三角形三

4、條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心ABC的內(nèi)心一般用字 母I表示，它具有如下性質(zhì)：(1) 內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點與內(nèi)心的連線平分頂角。(2) / A的平分線和 ABC的外接圓相交于點D,則D與頂點B、C、內(nèi)心I等距(即D為 BCI的外心)。111(3) / BIC=90o+ 丄 / A,Z CIA=90+1 / B，Z AIB=90o+丄 / C。222此點稱為三角形的內(nèi)心. / B,Z C的平分線，例1證明：三角形三內(nèi)角平分線交于一點， 已知： ABC中, AX BY, CZ分別是/ A， 證：AX, BY CZ交于一點(圖 3- 110).說明若證明幾條直線共點，可先證其

5、中兩條直線相交，再證這個交點分別在其余各條直 線上，則這幾條直線必共點于此交點.由于三角形三內(nèi)角平分線的交點與三邊距離相等，所以以此交點為圓心，以此點到各邊的距離為半徑作圓，此圓必與三角形三邊內(nèi)切，所以稱此交點為三角形內(nèi)切圓圓心，簡稱內(nèi) 心.說明：本題還可證明 的內(nèi)心。例2、如圖9-5所示, A B C四點共圓。O到厶ABC的三邊距離相等，得到 0 ABCIABC的內(nèi)心，求證： BIC的外心0與例3、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,順次取 ABDA ABC CDB CDA勺內(nèi)心 O,O2,O3,O4。求證：四邊形OQ2O3O4是一個矩形COO：ABO4 O3圖9-6例1、如圖9-4所示，在 ABC中

6、，AB=AC有一個圓內(nèi)切于厶ABC 的外接圓，且與AB AC分別相切于P、Q,求證：線段PQ的中點0是厶 ABC的內(nèi)心。3. A ABC中, I是內(nèi)心，過I作DE直線交AB于D,交AC于 E.求證：DE=DB+EC3、垂心三角形三條高線所在的直線的交點叫做三角形的垂心。 ABC的垂心一般用字母H表示, 它具有如下的性質(zhì)： 頂點與垂心連線必垂直對邊，即 AHI BC, BH! AC, CHL AB(2)若H在厶ABC內(nèi)，且 AH BH CH分別與對邊相交于 D E、F,貝U A、F、H、E; B、D H F; C E、H、D; B、C、E、F; C、A、F、D; A B、D E共六組四點共圓。

7、ABH勺垂心為BHC勺垂心為、 ACH勺垂心為B。三角形的垂心到任一頂點的距離等于外心到對邊距離的2倍。例4證明：三角形三條高線交于一點，這點稱為三角形的垂心.已知：如圖3- 114, ABC中，三邊上的高線分別是 AX BY CZ X, Y, Z為垂足，求證：AX, BY CZ交于一點.分析要證AX BY, CZ相交于一點，可以利用前面的證明方法去證，也可以轉(zhuǎn)化成前面幾 例的條件利用已證的結(jié)論來證明.為此，可以考慮利用三角形三邊垂直平分線交于一點的現(xiàn) 有命題來證，只須構(gòu)造出一個新三角形 A B' C',使AX BY, CZ恰好是 A B' C的三邊上的垂直平分線，則A

8、X BY CZ必然相交于一點.例1、設(shè)H是等腰三角形ABC的垂心。在底邊BC保持不變的情 況下，讓頂點A至底邊BC的距離變小，問這時乘積S abc Shbc的值 變大？變小？還是不變？證明你的結(jié)論。例2、設(shè) H為銳角 ABC的三條高 AD BE CF的交點，若 BC=a AC=b, AB=c,則 AH- AD+BH BE+CH CF等于()(A)丄(ab+bc+ca) ;(B)- (a2 b2 c2)；2 2(C) 2 (ab+bc+ca) ;(D)2 (a2 b2 c2)。3 3例3、求證：銳角三角形的垂心 H必為其垂足三角形的內(nèi)心。分析、由性質(zhì)不難得到證明。由本例結(jié)論，可得到下述命題的簡捷

9、證明：已知厶ABC中,H為垂心，AD BE、CF是高，EF交AD于G,求證： 如=_§企。例4、如圖9-8所示，已知 ABC的高AD BE交于H,A ABC ABH的外接圓分別為O O和O01,求證：O 0與O01的半徑相等。DH DG4設(shè)G為厶ABC勺垂心，D, E分別為AB, AC邊的中點，如果 Sa ab（=1 , 那么 Sagd= ?4、重心三角形三條中線的交點叫三角形的重心。 ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的 性質(zhì)：（1）頂點與重心G的連線必平分對邊。重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍。ABC3(3) S.BGC例3證明：三角形的三條中線相

10、交于一點，此點稱為三角形的重心重心到頂點與到對 邊中點的距離之比為2： 1.3-112已知： ABC中, AX BY, CZ分別是BC AC, AB邊上的中線，求 證：AX, BY CZ相交于一點 G,并且 AG： GX=： 1（圖 3- 112）.明為什么稱G點為 ABC的重心呢？這可以從力學(xué)得到解釋.設(shè) ABC為一個質(zhì)量均勻 的三角形薄片，并設(shè)其重量均勻集中于 A, B, C三點，如果把B, C兩點的重量集中于BC邊 中點X時，那么 ABC的三頂點A, B, C的集中重量作了重新分配.若A點為1,則X點為2, 因此在AX上的重心支撐點必在 AG： GX=2： 1處的G點.這樣一來，如果在

11、G點支起三角形， 那么 ABC必保持平衡，所以G點為三角形的重心（圖3- 113）.例1、已知6是厶ABC的中心，過 A G的圓與BG切于G CG的延長線交圓于D,求證：2AG =GC GD。分析、構(gòu)造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC并巧用A、D F、C四點共圓巧證乘積ADEGPC延長 GP至 F,使 PF=PG 邊 FB FC AD(圖 9-9)例2、設(shè)G是等腰 ABC底邊上的高、AD與腰AC上的中線BE的交點。若AD=18 BE=15 則這個等腰三角形的面積為多少？例3、平行四邊形ABCD勺面積是60, E、F分別是AB BC的中點，AF分別與ED BD交于G H,則四邊形BHGE勺面積

12、是。例7如圖3118.設(shè)ABC勺重心，從各頂點及G向形外一直線I弓I垂線AA , BB', CC , GG （其中 A , B' , C , G 為垂足）.求證：AA +BB +CC =3GG .分析由于圖中有許多可以利用的梯形，故可考慮利用梯形中位線定理來證明.A說明當(dāng)本題中AA , BB , CC , GG不垂直于I，但仍保持互相平行時，本題結(jié)論是 否還成立？試作出你的猜想，并加以證明.5、外心與內(nèi)心例1、已知 ABC中, 0為外心，I為內(nèi)心，且 AB+AC=2B。求證：01丄Al（圖9-10）。2.如圖3 119.在厶ABC中, O為外心, (1) / OAI>Z

13、OBI; (2) / OAI>Z OCI.I為內(nèi)心，且AB>BC>CA求證:3-1196、重心與內(nèi)心例1、如圖9-11所示，已知 ABC的重心G與內(nèi)心I的連線Gl/ BC求證：AB BC CA 成等差數(shù)列。C例1、如圖9-12所示，在 ABC中, H為垂心，0為外心，/C7、外心與垂心例2、證明：三角形任一頂點至垂心的距離等于外心到它的對邊的距離的2倍把條件改寫一下：已知 ADABC的兩高線，其交點為 H, OM ON分別為BC CA的中垂線且交于 Q 須證：AH=2OMBH=2ON例6如圖3- 116.已知H是厶ABC的垂心，O是外心，OL±BC于L.求證：AH=

14、2OL3-1168、外心與重心例1、如圖9-14所示，已知Rt ABC中, AH為斜邊BC上的高，M 為BC中點，0為厶ABC外心, OB交AH于B 求證：AD=2DH5.在 ABC中, Z A=60°, O是外心，H是垂心.求證：AO= AH9、垂心與內(nèi)心例1、如圖9-15所示，已知0為正三角形ABC的高AD BE、CF的交點，P是厶ABC所PLEMN0DC在平面上的任一點，作 PL丄AD于L, PML BE于M，PNLCF于N。試 證：PL、PM PN中較大的一條線段等于其它兩條線段的和。10、垂心、重心、外心例題、證明： ABC的垂心H、重心G和外心O在同一條直線上旁心例5證明

15、：三角形兩外角平分線和另一內(nèi)角平分線交于一點，此點稱為三角形的旁心.已知：BX CY分別是 ABC的外角/ DBC和/ECB的平分線，AZ為/ BAC的平分線（圖3 115），求證：AZ, BX CY相交于一點.四心”的聯(lián)想1、由內(nèi)心、重心性質(zhì)產(chǎn)生的聯(lián)想內(nèi)心性質(zhì)：在 ABC中, AD是角平分線，I是內(nèi)心，則° = AC Ab 。ID BC重心性質(zhì)：在 ABC中, AD是一條中線，G是重心，則 如 =2。GD聯(lián)想：若P是厶ABC內(nèi)的任意一點，是否有通用的類似性質(zhì)？性質(zhì)：設(shè)PABC內(nèi)任意一點（稱PABC的內(nèi)點），AP交BC于 D,令厶BPC CPA APB的面積分別為Sa,Sb,Sc，則

16、如二邑 0 （探）aPDSa證明：如圖9-19所示，作AA1丄BC于A1 , PP1丄BC于P1，并設(shè) ABC面積為 Sob則匹PDAA1PP11-BC AA1 。2 =_SBC PP1 - Sa,從而AD - PDPDS-SaSa即 AP _ Sb ScPD Sa圖 9-20例2、設(shè)OA ABC內(nèi)任意一點，AO,AO. AO CO ,O COOA1 OB1 OA1 OC1 OB1 OC1求證:BO, CO分別交對邊于A1，B1，C1，令W 12。111（探）式中，當(dāng)P為內(nèi)心時，Sa =BC r,Sb二丄CA r,S_ AB r （r為內(nèi)切圓半徑），于2 2 2是養(yǎng)篤嚴(yán)；當(dāng) P為重心時，Sa=

17、Sb=Sc，于是詈二2。故（）式是三角形內(nèi)心。重心性質(zhì)的推廣，我們不妨稱之為三角形內(nèi)點性質(zhì)。利用它，許多數(shù)學(xué) 競賽題都可求解。例1、已知R為銳角 ABC外接圓半徑，0是外心，AO BO CO分別3交對邊于 A1, B1,C1 （圖 9-20）。求證：OA1 OB1 OC1 _ 3 R。2P1GP2圖 9-212、重心的巧用重心，在物理學(xué)中指質(zhì)點的重心，所謂“他山之石可以攻玉”，這一概念在解決數(shù)學(xué)問題，尤其是比值問題上，也大有“用武之地”。關(guān)于質(zhì)點重心，我們結(jié)合圖形給出幾個真命題（證明過程略去）命題1:設(shè)質(zhì)點P1,P2的質(zhì)量分別為葉口2，它們的重心為G,則G 在P1, P2的連線上，mG = m

18、il m2，且滿足P1G : GP1二m2 = m （這里mG指質(zhì)點G的質(zhì)量）。命題2:在如圖9-21所示的 ABC中，若E為質(zhì)點B A的重心，F(xiàn) 為質(zhì)點B、C的重心，EC與AF相交于G,則G必為三個質(zhì)點A、B、C 的重心。連接BG延長交AC于 H,則H必為質(zhì)點A、C的重心。命題3:如果平面上有n個質(zhì)點P（Xj,yJ（i =1,2,n）,它們的質(zhì)量為mdi =1,2,n）,則這些質(zhì)點的重心 G的坐標(biāo)為nn'、miiXi、rnijXi-1i4XG =二。圖 9-22' mi'mii 4i 4這幾個命題看似簡單，但它卻為解平面幾何問題提供了一種嶄新的 思路。例1、三只蒼蠅沿

19、 ABC勺三邊爬行，使由這三只蒼蠅構(gòu)成的三角形 的與 ABC的重心保持不變，求證：如果某只蒼蠅爬過了三角形的三條 邊，那么三只蒼蠅構(gòu)成的三角形的重心與原三角形的重心重合。例2、如圖9-23所示，已知 P1P2P3和其內(nèi)任一點P,直線P1P P2P和P3P分別與對 邊交于Q1, Q2, Q3證明：在比值-,2P , P3P中至少有一個不大于20PQ1 PQ2 PQ3P3例3、從三角形的一個頂點到對三等分點作線段，過第二頂點的中 線被這些線段分成邊比x : y : z，設(shè)x>y>z，求x : y : z （圖9-24）例 4、如圖 9-25 所示，在 ABC中 D E分別為 BC CA

20、上一點，且 BD： DC=m： 1, CE：EA=n： 1, AD與 BE相交于F,求：SabF是S abc的幾倍?3、三角形“四心”與一組面積公式有這樣一道競賽題： ABC為銳角三角形，過A、B、C分別作此三角形外接圓三條直徑AA , BB , CC，求證：S.abc = S a Be ' S ab C ' S abc。該題中，三直徑之交點即為 ABC的外心，若就外心這一條件進(jìn)行一些聯(lián)想和變化，經(jīng) 探索可得一系列與面積有關(guān)的結(jié)果。我們歸納如下（證明略去）。定理：設(shè)PABC平面內(nèi)的點，AP BP、CP所在直線分別交 ABC的外接圓于A ,B ,C， 那么 若P* ABC勺外心，

21、則對銳角三角形，有 S abc二S abc S abc S abc。對非銳角三角形（不妨設(shè)/ A>900,下同），有S.abc二Sabc -S.ABC -Sabl。（2）若PABC勺垂心，則對銳角三角形，有式成立，對非銳角三角形，有式成立。（3）若 P 為 ABC勺重心，則有 S abc 乞 S.ABC - S ABC - S abc。當(dāng)且僅當(dāng)厶ABC為正三角形的時等號成立。若PABC勺內(nèi)心，貝U有式成立，當(dāng)且僅當(dāng) ABC為正三角形時等號成立。據(jù)以上定理，可得以下若干推論：CA=b ， AB=c ，aae2 bbb2 cc1c2推論1、已知。O的內(nèi)接銳角三角形ABC AA：BB：CC是的

22、三角條直徑，且BC=aBA = a, AC =a2,CB'JbB A 二 b2,AC'rcCB 二 c2， 二abc。若 a2 二C|,b2 =6,0 = d，貝U又可得旦B .2c,a,a, b, c,abC，它等于三角恒等 tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC。D E、F，其他條推論2、設(shè)厶ABC勺重心為 G AG BG CG的延長線分別交三邊 BC CA AB于 交厶ABC的外接圓于A ,B,C ，則4D 旦旦.耳 _,。（若將“重心”改為“內(nèi)心”DA EB FC件不變，可知該結(jié)論仍成立）。A圖 9-26例1、已知銳角厶ABC內(nèi)接于圓0,作厶ABC的BC邊上的高，C

23、A 邊上的中線，/ C的平分線并延長，分別交圓0于A1、B2、C2S.abc - S.aBcSabCS.abc '0例2、如圖9-27所示，銳角 ABC中，/ A的平分線與三角形的外接圓交于另一點 A,點B, d與此類似，直線AA,與B、C兩角的外角平分線相交于 A0,點 B0 C0與此類似。求證： 厶A0B0C0勺面積是六邊形 AC1BA1CB面積的2倍； 厶A0B0C0勺面積至少是 ABC0積的4倍。練習(xí)題1、在厶ABC中，/ A=2Oo, AB=AC 在 AB AC上各取一點 D E,滿足 BD=BC AE=BE 求 / BED的度數(shù)。2、如圖 9-28 所示，已知/ ACE2

24、CDE=90,點 B在 CE上, CA=BC=CD過 A C D三點的圓交AB于F,求證：FCDE的內(nèi)心。3、在厶ABC中，/ C=9Oo,Z A和/B的平分線相交于 P點，又PE丄 AB于 E 點。若 BC=2 AC=3 貝U AE- BE=4、A ABC中, G為重心，I是過G的一條動直線，且分別交 AB AC 于點E、F,設(shè)Sabc =1，問I在何處時，所截得的 AEF面積取到最大 值或最小值。5、 銳角三角形ABC的三邊長滿足不等式 ABvACvBC如果IABC的內(nèi)心，0為外心， 求證：直線I0與線段AB及BC相交。6、已知 ABC中，/ A=60b, H為垂心，0為外心，I是內(nèi)心，直

25、線 AI交O 0于F,交BH 于 G 求證：（1）AO=AH / OAGMHAG （3）B、O I、H、C五點共圓。7、（同圖9-11）已知重心 G,內(nèi)心I，且AB+AC=2BC求證：GI / BG&已知 ABC中, H為垂心，AD BE CF是高，EF交ADG求證： 如=少。DH DA9、 A ABC的/ A、/ B、/ C的內(nèi)角平分線分別與外接圓交于A1, B1, C1，證明： S.A 1B1C1 X S 叢BC。10、已知BD/ EF, B、D分別在AE AF上, DE BF交于點C, AC交EF于點M求證： EM=MF11、設(shè) H> ABC的垂心，求證：AH 2 BC2

26、=HB2 ACHC 2 AB2。12、 設(shè)O是ABC的外心，AB=AC D為AB的中點，E是厶ACD勺重心。證明：OEL CD二角形各心間的聯(lián)系四心定理的證明具有統(tǒng)一性利用塞瓦定理可以簡便地證明重心定理、內(nèi)心定理和垂心 定理：女口果AD, BE。卩是厶ABC的中線，貝U BD=DCCE=AEAF=FB.BDCEAF",1因此AD BEDCCAFB如果AD,BE ,CF是、ABCABCE BCAF AC-AC，EA -AB，F(xiàn)B - 。BC.BDCEAF ABBCACrDCEAFBACABBCCF三條中線交于的內(nèi)角平分線，則BDDC圖 7-126占。八、°1，因此AD BE, CF三條內(nèi)角平分線交于一點。如果AD, B