高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.2.1平面的基本性質(zhì)學案蘇教版必修2

1、平面的基本性質(zhì)學習目標1. 掌握平面的表示法，點、直線與平面的位置關(guān)系.2. 掌握有關(guān)平面的三個公理及三個推論 .3. 會用符號表示圖形中點、線、面之間的位置關(guān)系.知識點一平面的概念思考幾何里的“平面”有邊界嗎？用什么圖形表示平面？梳理(1) 平面的概念廣闊的草原、平靜的湖面都給我們以平面的形象 . 和點、直線一樣，平面也是從現(xiàn)實世界中抽象出來的幾何概念 .(2) 平面的畫法一般用水平放置的_ 作為平面的直觀圖一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強立體感，被遮擋部分用_ 畫出來 .(3) 平面的表示方法平面通常用希臘字母 ， ， 表示，也可以用平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如圖中的平面、平

2、面 AC等 .知識點二點、線、面之間的位置關(guān)系思考直線和平面都是由點組成的，聯(lián)系集合的觀點，點和直線，平面的位置關(guān)系，如何用符號來表示？直線和平面呢？梳理點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達1/11位置關(guān)系符號表示點 P在直線 AB上P AB點 C不在直線 AB上C?AB點 在平面上平面ACMACM點 A 不在平面 AC內(nèi)A?平面 AC11直線 AB與直線 BC交于點 BAB BC B直線 AB在平面 AC內(nèi)AB? 平面 AC直線 AA 不在平面 AC內(nèi)AA?平面 AC11知識點三平面的基本性質(zhì)思考 1直線 l 與平面 有且僅有一個公共點P. 直線 l 是否在平面 內(nèi)？有兩個公共點呢？思

3、考 2觀察下圖，你能得出什么結(jié)論？思考 3觀察正方體ABCD A1B1C1D1( 如圖所示 ) ，平面 ABCD與平面 BCC1B1 有且只有兩個公共點 B、 C嗎？梳理公理文字語言圖形語言符號語言作用2/11(推論)如果一條直線上的兩點在平公理 1面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)如果兩個平面有一個公共點，那AB?P(1) 判定直線在平面內(nèi)；(2) 證明點在平面內(nèi)(1) 判斷兩個平面是么它們還有其他公理 2公共點，這些公P?否相交；(2) 判定點是否在直共點的集合是的一條直線經(jīng)過公理 3，有且只有一個平面經(jīng)過一條直線和推論 1這條直線的一點，有且只有一個平面經(jīng)過兩條推論 2直線，有且

4、只有一個平面經(jīng)過兩條推論 3直線，有且只有一個平面_A， B，C不共線? A，B， C確定一個平面 A?l ? A和 l 確定一個平面a bA? a， b確定一個平面a b? a， b 確定一個平面線上；(3) 證明點共線問題(1) 確定一個平面的依據(jù) .(2) 證明平面重合；(3) 證明點、線共面類型一點、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號表示例 1如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.3/11反思與感悟(1) 用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.(2) 根據(jù)符號語言或文字語言畫

5、相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別.跟蹤訓練1根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應的圖形：(1) A ， B? ；(2) l ? ， m A， A?l ；(3) 平面 ABD平面 BDC BD，平面 ABC平面 ADCAC.類型二點線共面例 2如圖，已知：a? ， b? ， a bA， P b， PQ a，求證： PQ? .引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi) .反思與感悟證明多線共面的兩種方法(1) 納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi).(2) 重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另

6、一些直線在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合 .4/11跟蹤訓練 2已知 l 1 l 2 A， l 2 l 3 B，l 1 l 3 C如圖所示 . 求證：直線l 1， l 2， l 3 在同一平面內(nèi) .類型三 點共線、線共點問題命題角度1點共線問題例 3如圖，在正方體 1 1 1 1中，設(shè)線段1與平面1 1交于點，求證： ，ABCD A BCDA CABCDQBQ， D1 三點共線 .反思與感悟證明多點共線通常利用公理2，即兩相交平面交線的惟一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在直線上 .跟蹤訓練 3已知ABC在平面外，其三邊

7、所在的直線滿足 ， ，AB PBC QAC R，如圖所示 . 求證： P， Q， R三點共線 .5/11命題角度2線共點問題例 4如圖所示，在正方體1111中，E為AB的中點，F(xiàn)為1 的中點 . 求證：、ABCD A BCDAACED1F， DA三線交于一點 .反思與感悟證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上. 此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點.跟蹤訓練4已知：平面 ， ， 兩兩相交于三條直線l ，l ， l ，且 l ， l2不平行.求1231證： l 1

8、，l 2， l 3 相交于一點 .1. 用符號表示“點A 在直線 l 上， l 在平面 外”為 _.2. 平面 ， 有公共點 A，則 ， 有 _個公共點 .3. 下圖中圖形的畫法正確的是 _.( 填序號 )4. 空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是_.5. 如圖， a b A， ac B， a d F， b c C， c d D， b d E，求證： a， b， c， d 共面 .6/111. 解決立體幾何問題首先應過好三大語言關(guān)，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言. 文字語

9、言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛.2. 在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想 .7/11答案精析問題導學知識點一思考沒有水平放置的正方形的直觀圖梳理(2) 正方形的直觀圖虛線知識點二思考點和直線，平面的位置關(guān)系可用數(shù)學符號“”或“?”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學符號“ ? ”或“ ?”表示知識點三思考 1前者不在，后者在思考 2不共線的三點可以確定一個平面思考 3不是，平面ABCD與平面 BCC1B1 相交于直線BC.梳理一個AB? 經(jīng)過這個公共點 l 且 P l不在同一條直線上的三點外相

10、交平行題型探究例 1解在 (1) 中， l ， a A， a B.在(2) 中， ?， ?， ，labalPb l P.跟蹤訓練1解(1) 點 A 在平面 內(nèi)，點 B 不在平面 內(nèi)，如圖.(2) 直線 l 在平面 內(nèi)，直線 m與平面 相交于點 A，且點 A 不在直線 l 上，如圖.(3) 平面 ABD與平面 BDC相交于 BD，平面 ABC與平面 ADC相交于 AC，如圖.例 2證明因為 PQ a，所以 PQ與 a 確定一個平面，所以直線a? ，點 P . 因為，?，所以.又因為 ?，所以與重合，所以?.P bbPaPQ 引申探究解已知： ，l ， ， .a bca A lb B lc C求證

11、： a， b， c 和 l 共面證明：如圖，ab，8/11 a 與 b 確定一個平面 . l aA， l b B， A ， B.又 A l ， Bl ， l ? . bc， b 與 c 確定一個平面 ，同理 l ? .平面 與 都包含 l和 b，且 b l B，由公理 3 的推論知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，平面 與平面 重合， a， b，c 和 l 共面跟蹤訓練2 證明方法一( 納入平面法 )12 ，1 和l2 確定一個平面.llAl l2l B， B l .32又 l2? ， B . 同理可證 C. B l 3， C l 3， l 3? .直線 l ， l， l3在同一平面內(nèi)12方

12、法二( 輔助平面法 ) l 1 l 2 A， l 1 和 l2 確定一個平面. l 2 l 3 B， l 2， l3 確定一個平面. 2，2?， .AllA A l 2， l 2? ， A.同理可證 B ，B ，C ， C.不共線的三個點， ，既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，平面和重合，即直A B C線 l 1， l 2， l 3 在同一平面內(nèi)例 3證明如圖，連結(jié)A1B，CD1，顯然 B 平面 A1BCD1，D1 平面 A1BCD1. BD1? 平面 A1BCD1.9/11同理 BD1? 平面 ABC1D1. 平面 ABC1D1 平面 A1BCD1 BD1. A1C 平面 ABC1D1 Q， Q 平面

13、 ABC1D1. 又 A1C? 平面 A1BCD1， Q 平面 A1BCD1. Q在平面 A1BCD1與 ABC1D1 的交線上，即 Q BD1， B，Q， D1 三點共線跟蹤訓練 3 證明 方法一 AB P， P AB， P平面 .又 AB? 平面 ABC， P平面 ABC.由公理 2 可知：點P 在平面 ABC與平面 的交線上同理可證 Q、R也在平面 ABC與平面 的交線上 P、 Q、R三點共線方法二AP ARA，直線 AP與直線 AR確定平面 APR.又 AB P，AC R，平面 APR平面 PR. B平面 APR，C平面 APR，BC? 平面 APR.Q BC， Q平面 APR.又 ，

14、 ，、 、三點共線QQPRP Q R例 4證明如圖，連結(jié) EF， DC， A B.11 E 為 AB的中點， F 為 AA1 的中點，1 EF綊 2A1B.又 A1B 綊 D1C，1 EF綊2D1C，E， F， D1，C四點共面， D1F與 CE相交，設(shè)交點為P.又 D1F? 平面 A1D1DA，CE? 平面 ABCD，10/11 P 為平面 A1D1DA與平面 ABCD的公共點又平面 A1D1DA平面 ABCD DA，根據(jù)公理 2，可得 PDA，即 CE、 D1F、 DA相交于一點跟蹤訓練4證明如圖， l 1， l 2， l 3. l 1? ， l 2? ，且 l 1， l 2 不平行， l 1 與 l 2 必相交設(shè) l 1 l 2 P，則 P l 1? ， P l 2? ，