高一數(shù)學(人教新課標A版)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教師版

1、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、目標認知學習目標1掌握對數(shù)的概念、常用對數(shù)、對數(shù)式與指數(shù)式互化，對數(shù)的運算性質、換底公式與自然對數(shù)；2掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質.重點對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)的性質，對數(shù)運算的性質與對數(shù)知識的應用；理解對數(shù)函數(shù)的定義，掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質.難點正確使用對數(shù)的運算性質；底數(shù)a對圖象的影響及對數(shù)函數(shù)性質的作用.二、知識要點梳理知識點一、對數(shù)及其運算我們在學習過程遇到2x=4的問題時，可憑經(jīng)驗得到x=2的解，而一旦出現(xiàn)2x=3時，我們就無法用已學過的知識來解決，從而引入出一種新的運算對數(shù)運算.(一)對數(shù)概念：1如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：logaN=b.其中

2、a叫做對數(shù)的底 數(shù)，N叫做真數(shù).2對數(shù)恒等式：3對數(shù)具有下列性質： (1)0和負數(shù)沒有對數(shù)，即； (2)1的對數(shù)為0，即； (3)底的對數(shù)等于1，即.(二)常用對數(shù)與自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)， .(三)對數(shù)式與指數(shù)式的關系由定義可知:對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉化.它們的關系可由下圖表示.由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.(四)積、商、冪的對數(shù)已知(1)； 推廣：(2)；(3).(五)換底公式同底對數(shù)才能運算，底數(shù)不同時可考慮進行換底，在a>0， a1， M>0的前提下有:(

3、1) 令 logaM=b， 則有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即：.(2) ，令logaM=b， 則有ab=M， 則有 即， 即，即當然，細心一些的同學會發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結論：.知識點二、對數(shù)函數(shù)1函數(shù)y=logax(a>0，a1)叫做對數(shù)函數(shù).2在同一坐標系內，當a>1時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當0<a<1時，對數(shù)函數(shù)的圖象 隨a的增大而遠離x軸.(見圖1)(1)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a1)的定義域為(0，+)，值域為R(2)對數(shù)函數(shù)y=logax

4、(a>0，a1)的圖像過點(1，0)(3)當a>1時，三、規(guī)律方法指導容易產(chǎn)生的錯誤(1)對數(shù)式logaN=b中各字母的取值范圍(a>0 且a¹1， N>0， bÎR)容易記錯.(2)關于對數(shù)的運算法則，要注意以下兩點：一是利用對數(shù)的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.二是不能將和、差、積、商、冪的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面

5、的等式是錯誤的：loga(M±N)=logaM±logaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.(3)解決對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0且a¹1)的單調性問題時，忽視對底數(shù)a的討論.(4)關于對數(shù)式logaN的符號問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應用時經(jīng)常出錯.下面介紹一種簡單記憶方法，供同學們學習時參考.以1為分界點，當a， N同側時，logaN>0；當a，N異側時，logaN<0. 經(jīng)典例題透析類型一、指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應用1將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4

6、)；(5)；(6).思路點撥：運用對數(shù)的定義進行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).總結升華：對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.舉一反三：【變式1】求下列各式中x的值：(1) (2) (3)lg100=x (4)思路點撥：將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運算性質求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.類型二、利用對數(shù)恒等式化簡求值2求值： 解：.總結升華：對數(shù)恒等式中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對數(shù)形式；其值為真數(shù).舉一反三：【變式1】求的值(a，b，cR+，且不等

7、于1，N>0)思路點撥：將冪指數(shù)中的乘積關系轉化為冪的冪，再進行運算.解：.類型三、積、商、冪的對數(shù)3已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a舉一反三：【變式1】求值(1) (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·l

8、g50+(lg2)2 解：(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【變式2】已知3a=5b=c，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【變式3】設a、b、c為正數(shù)，且滿足a2+b2=c2.求證：.證明：.【變式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求證：.證明： a2+b2=7ab， a2+2ab+b2=

9、9ab，即 (a+b)2=9ab， lg(a+b)2=lg(9ab)， a>0，b>0， 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)-lg3=lga+lgb即 .類型四、換底公式的運用4(1)已知logxy=a， 用a表示；(2)已知logax=m， logbx=n， logcx=p， 求logabcx.解：(1)原式=；(2)思路點撥：將條件和結論中的底化為同底.方法一：am=x， bn=x， cp=x， ；方法二：.舉一反三：【變式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1) (2)；(3)法一： 法二：.總結升華：運用換底公式時，理論上換成以大于0不為1任意數(shù)

10、為底均可，但具體到每一個題，一般以題中某個對數(shù)的底為標準，或都換成以10為底的常用對數(shù)也可.類型五、對數(shù)運算法則的應用5求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 舉一反三：【變式1】求值：解：另解：設 =m (m>0). ， ， ， lg2=lgm， 2=m，即.【變式2】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=?解

11、： ，類型六、函數(shù)的定義域、值域求含有對數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類似，但要注意對數(shù)函數(shù)本身的性質（如定義域、值域及單調性）在解題中的重要作用.6. 求下列函數(shù)的定義域：(1)； (2).思路點撥：由對數(shù)函數(shù)的定義知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定義域.解：(1)因為x2>0，即x0，所以函數(shù)；(2)因為4-x>0，即x<4，所以函數(shù).舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域.(1) y= (2) y=ln(ax-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因為， 所以，

12、所以函數(shù)的定義域為(1，)(，2).(2)因為 ax-k·2x>0， 所以()x>k. 1當k0時，定義域為R； 2當k>0時， (i)若a>2，則函數(shù)定義域為(k，+)； (ii)若0<a<2，且a1，則函數(shù)定義域為(-，k)； (iii)若a=2，則當0<k<1時，函數(shù)定義域為R；當k1時，此時不能構成函數(shù)，否則定義域為.【變式2】函數(shù)y=f(2x)的定義域為-1，1，求y=f(log2x)的定義域.思路點撥：由-1x1，可得y=f(x)的定義域為，2，再由log2x2得y=f(log2x)的定義域為，4.類型七、函數(shù)圖象問題7作出

13、下列函數(shù)的圖象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.解：(1)如圖(1)； (2)如圖(2)； (3)如圖(3). 類型八、對數(shù)函數(shù)的單調性及其應用利用函數(shù)的單調性可以：比較大小；解不等式；判斷單調性；求單調區(qū)間；求值域和最值.要求同學們：一是牢固掌握對數(shù)函數(shù)的單調性；二是理解和掌握復合函數(shù)的單調性規(guī)律；三是樹立定義域優(yōu)先的觀念.8. 比較下列各組數(shù)中的兩個值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a1)思路點撥：由數(shù)形結合

14、的方法或利用函數(shù)的單調性來完成.(1)解法1：畫出對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象，橫坐標為3.4的點在橫坐標為8.5的點的下方，所以，log23.4<log28.5； 解法2：由函數(shù)y=log2x在R+上是單調增函數(shù)，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5； 解法3：直接用計算器計算得：log23.41.8，log28.53.1，所以log23.4<log28.5；(2)與第(1)小題類似，log0.3x在R+上是單調減函數(shù)，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類討論a的范圍，再由函數(shù)單調性判

15、斷大小. 解法1：當a>1時，y=logax在(0，+)上是增函數(shù)，且5.1<5.9，所以，loga5.1<loga5.9當0<a<1時，y=logax在(0，+)上是減函數(shù)，且5.1<5.9，所以，loga5.1>loga5.9 解法2：轉化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調性判斷大小，令b1=loga5.1，則，令b2=loga5.9，則當a>1時，y=ax在R上是增函數(shù)，且5.1<5.9所以，b1<b2，即當0<a<1時，y=ax在R上是減函數(shù)，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.舉一反三：【變式1】（20

16、11 天津理 7）已知則（ ）A B C D解析：另，在同一坐標系下作出三個函數(shù)圖像，由圖像可得 又為單調遞增函數(shù)， 故選C.9. 證明函數(shù)上是增函數(shù).思路點撥：此題目的在于讓學生熟悉函數(shù)單調性證明通法，同時熟悉利用對函數(shù)單調性比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法.證明：設，且x1<x2則又y=log2x在上是增函數(shù)即f(x1)<f(x2)函數(shù)f(x)=log2(x2+1)在上是增函數(shù).舉一反三：【變式1】已知f(logax)=(a>0且a1)，試判斷函數(shù)f(x)的單調性.解：設t=logax(xR+， tR).當a>1時，t=logax為增函數(shù)，若t1<t2，則0<x

17、1<x2， f(t1)-f(t2)=， 0<x1<x2， a>1， f(t1)<f(t2)， f(t)在R上為增函數(shù)，當0<a<1時，同理可得f(t)在R上為增函數(shù). 不論a>1或0<a<1， f(x)在R上總是增函數(shù).10求函數(shù)y=(-x2+2x+3)的值域和單調區(qū)間.解：設t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4. y=t為減函數(shù)，且0<t4， y=-2，即函數(shù)的值域為-2，+.再由：函數(shù)y=(-x2+2x+3)的定義域為-x2+2x+3>0，即-1<x<3. t=-x2+2x+3在-1，1）上遞增而

18、在1，3)上遞減，而y=t為減函數(shù). 函數(shù)y=(-x2+2x+3)的減區(qū)間為(-1，1)，增區(qū)間為1，3.類型九、函數(shù)的奇偶性11. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1) (2).(1)思路點撥：首先要注意定義域的考查，然后嚴格按照證明奇偶性基本步驟進行. 解：由 所以函數(shù)的定義域為：(-1，1)關于原點對稱 又 所以函數(shù)是奇函數(shù)；總結升華：此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對數(shù)的運算性質.說明判斷對數(shù)形式的復合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結論，而應注意對數(shù)式的恒等變形.(2)解：由所以函數(shù)的定義域為R關于原點對稱又即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù).總結升華：此題定義域的確定

19、可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.類型十、對數(shù)函數(shù)性質的綜合應用12已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函數(shù)f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.思路點撥：與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問題相比，本題屬非常規(guī)問題，關鍵在于轉化成常規(guī)問題.f(x)的定義域為R，即關于x的不等式ax2+2x+1>0的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問題.f(x)的值域為R與ax2+2x+1恒為正值是不等價的，因為這里要求f(x)取遍一切實數(shù)，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，

20、我們會發(fā)現(xiàn)，使u能取遍一切正數(shù)的條件是. 解：(1)f(x)的定義域為R，即：關于x的不等式ax2+2x+1>0的解集為R， 當a=0時，此不等式變?yōu)?x+1>0，其解集不是R； 當a0時，有 a>1. a的取值范圍為a>1.(2)f(x)的值域為R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù) a=0或0a1， a的取值范圍為0a1.13已知函數(shù)h(x)=2x(xR)，它的反函數(shù)記作g(x)，A、B、C三點在函數(shù)g(x)的圖象上，它們的橫坐標分別為a，a+4，a+8(a>1)，記ABC的面積為S.(1)求S=f(a)的表達式； (2)求函數(shù)f(a)的值域；(3) 判斷函

21、數(shù)S=f(a)的單調性，并予以證明；(4)若S>2，求a的取值范圍.解：(1)依題意有g(x)=log2x(x>0). 并且 A、B、C三點的坐標分別為A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4)， C(a+8， log2(a+8) (a>1)，如圖. A，C中點D的縱坐標為log2a+log2(a+8) S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)變形得：S=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8)=2log2 =2log2(1+). 由于a>

22、1時，a2+8a>9， 1<1+<，又函數(shù)y=log2x在(0，+)上是增函數(shù)， 0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定義域(1，+)上是減函數(shù)，證明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+，則： (1+)-(1+)=16()=16·， 由a1>1，a2>1，且a2>a1， a1+a2+8>0， +8a2>0， +8a1>0， a1-a2<0， 1<1+<1+，再由函數(shù)y=log2x在(0，+)上是增函數(shù)， 于是可得f(a1)&

23、gt;f(a2) S=f(a)在(1，+)上是減函數(shù).(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.學習成果測評基礎達標一、選擇題1.下列說法中錯誤的是( )A.零和負數(shù)沒有對數(shù)B.任何一個指數(shù)式都可化為對數(shù)式C.以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)D.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)2.有以下四個結論：lg(lg10)=0；ln(lne)=0；若10=lgx，則x=10；若e=lnx，則x=e2，其中正確的是( )A. B. C. D.3.下列等式成立的有( )；A. B.C. D.4.已知，那么用表示是( )A. B. C. D. 5.（2011 天津文6）設，則（）A.B. C.

24、D.6.已知，且等于( )A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象關于( )A.軸對稱 B.軸對稱 C.原點對稱 D.直線對稱8.函數(shù)的定義域是( )A. B. C. D.9.函數(shù)的值域是( )A. B. C. D.10.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是( )A. B.C. D.二、填空題11.3的_次冪等于8.12.若，則x=_；若log2003(x2-1)=0，則x=_.13.(1)=_； (2) 若_； (3)=_； (4)_； (5)=_；14.函數(shù)的定義域是_.15.函數(shù)是_(奇、偶)函數(shù).三、解答題16.已知函數(shù)，判斷的奇偶性和單調性.17.已知函數(shù)，(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性.

25、18.已知函數(shù)的定義域為，值域為，求的值.能力提升一、選擇題1設a，b，c為正數(shù)，且3a=4b=6c，則有( )A. B. C. D.2已知，那么a的取值范圍是( )A. B. C. D.或a>13.圖中曲線是對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象，已知a值取，則相應于C1，C2，C3，C4的a值依次為( )A. B.C. D.4.（2011 重慶理5）下列區(qū)間中，函數(shù)在其上為增函數(shù)的是 A. B. C. D. 5.設偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在(-，0)上是增函數(shù)，則f(a+1)與f(b+2)的大小關系是( )A.f(a+1)=f(b+2) B.f(a+1)>f(b+2)C.f(a

26、+1)<f(b+2) D.不能確定6.設方程2x+x-3=0的根為，方程log2x+x-3=0的根為，則的值是( )A.1 B.2 C.3 D.6二、填空題7.已知函數(shù)y=loga(kx2+4kx+3)，若函數(shù)的定義域為R，則k的取值范圍是_； 若函數(shù)的值域為R，則k的取值范圍是_.8.（2011 遼寧理 9）設函數(shù)f(x)則滿足f(x)2的x的取值范圍是A1，2B0，2C1，) D0，).9已知a=0.33，b=30.3， c=log30.3， d=log0.33，則a，b，c，d的大小關系是_.三、解答題10.設logac， logbc是方程x2-3x+1=0的兩根，求的值.11.設

27、1)判斷f(x)的單調性，并給出證明；2)若f(x)的反函數(shù)為f-1(x)，證明f-1(x)=0有唯一解；3)解關于x的不等式.12.光線通過一塊玻璃板，其強度要損失10%，把幾塊這樣的玻璃板重疊起來，設光線原來的強度為a，通過x塊玻璃板以后強度值為y.1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式；2)通過多少塊玻璃板以后，光線強度減弱到原來的以下.答案與解析基礎達標一、選擇題1.B2.C3.B4.A5. D6.D7.C8.A9.C10.D二、填空題11.；12.-13，；13. (1)1；(2)12；(3)-3；(4)2；(5)4；14. 由 解得；15.奇， 為奇函數(shù).三、解答題16.(1)，是奇函數(shù)

28、(2)，且，則，為增函數(shù).17.(1)，又由得， 的定義域為. (2)的定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù).18.由，得，即 ，即 由，得，由根與系數(shù)的關系得，解得.能力提升一、選擇題1.設3a=4b=6c=k， 則a=log3k， b=log4k， c=log6k， 同理，而， ，即.2.當a>1時，由知，故a>1；當0<a<1時，由知0<a<， 故.綜上知：a的取值范圍是或a>1.3.在第一象限內，從順時針方向看圖象，逐漸增大，；在第四象限內，從順時針方向看圖象，逐漸增大，；所以相應于C1，C2，C3，C4的a值依次為.選A.4.用圖象法解決，將

29、的圖象關于軸對稱得到，再向右平移兩個單位，得到，將得到的圖象在x軸下方的部分翻折上來，即得到的圖象.由圖象，選項中是增函數(shù)的顯然只有D.5.由f(x)是偶函數(shù)，得b=0；又因為f(x)在(-，0)上是增函數(shù)，得0<a<1.所以0<a+1<2=b+2，由f(x)在(0，+)上是減函數(shù)，得f(a+1)>f(b+2)6.將方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如圖所示，可知是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=-x+3的交點A的橫坐標；是對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與直線y=-x+3的交點B的橫坐標.由于函數(shù)y=2x與函數(shù)y=log2x互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y=x對稱，所以A，B兩點也關于直線y=x對稱，所以，.注意到在直線y=-x+3上，所以有，即.二、填空題7.要使函數(shù)的定義域為R，只需對一切實數(shù)x， kx2+4kx+3>0恒成立，其充要