奧數(shù)講座(1年級上)(16講)

1、百度文庫42目錄第一講第二講第三講第四講第五講第六講第七講第八講第九講第十講年級奧數(shù)講座（一）速算與巧算（一）速算與巧算（二）/數(shù)數(shù)與計數(shù)（一）數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）數(shù)數(shù)與計數(shù)（三）數(shù)數(shù)與計數(shù)（四）填圖與拆數(shù)（一）填圖與拆數(shù)（二）分組與組式自然數(shù)串趣題第十一講不等與排序第十二講奇與偶第十三講是與非第十四講火柴棍游戲（一）第十五講火柴棍游戲（二）第十六講火柴棍游戲（三）附錄點、線、角附錄二長方形、正方形、三角形和圓附錄三多邊形和扇形附錄四立體圖形的認識第一講 速算與巧算（一）、湊十法:同學(xué)們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用

2、這些結(jié)果，可以使計算又快又準。例1計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：對于這道題，當然可以從左往右逐步相加:1+2=3 3+3=66+4=10 10+5=1515+6=21 21+7=2828+8=36 36+9=4545+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點是麻煩、容易 出錯；而且一步出錯，以后步步都錯。若是利用湊十法，就能克服這種缺點。10一10一1+2+344+5+6+7+8+9+10=55、湊整法同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如:1+19=20 11+9=302+18=20 12+28=403+17=20 13+37=504+16

3、=20 14+46=605+15=20 15+55=706+14=20 16+64=807+13=20 17+73=908+12=20 18+82=1009+11=20又如:15+85=100 14+86=10025+75=100 24+76=10035+65=100 34+66=10045+55=100 44+56=100等等巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標。例2計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做:922 2 22

4、T 一-一廠9例3計算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做:20 20I201I I20II2-h4-H6+E+l 0+12+14+16+1 肝 20= 1W例4計算2+13+25+44+18+37+56+75解：用湊整法:100 50 匸。刁 2+13+25444+18-H37+56+75=270、用已知求未知利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認識事物的一般過程，湊十法、湊整法的實質(zhì)就是這個道理，可見把這種認識規(guī)律用于計 算方面，可使計算更快更準。下面再舉兩個例子。例5計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+1

5、0+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3,已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10 個雙數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=(1+3+5+7+9+11+13+15+17+1) + (2+4+6+8+10+12+14+16+18+2)=100+110 （這步利用了例2和例3的結(jié)果）=210例 6 計算 5+6+7+8+9+10解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。5+6+7+8+9+10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

6、-( 1+2+3+4)（熟練后，此步驟可省略）=55-10=45四、改變運算順序在只有加減運算的算式中，有時改變加、減的運算順序可使計算顯得十分巧 妙!例7計算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：這題如果從左到右按順序進行加減運算， 是能夠得出正確結(jié)果的。但因為算 式較長，多次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減后加，就 使運算顯得非?！捌痢?。下式括號中的算式表示先算,10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9) + (8-7) + (6-5) + (4-3) + (2-1 )=1+1+1+1+1=5五、帶著“ +”、“ - ”號搬家 例8計算1-2+3-4+

7、5-6+7-8+9-10+11解：這題只有加減運算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法 解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“ +”號或“-”號，搬家時要帶著符號一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+（ 3-2）+（ 5-4）+（ 7-6）+（ 9-8）+（ 11-10）先減后加=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運算中，把“+3”搬到“ -2”的前面，把“+5”搬到了“ -4”的前面，把“+1T搬到了“ -10”的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。第二講速算與巧算（二

8、）例1哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊;接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊?解：方法1:先算哥哥共拿了多少塊?一201l-h3+5+7+9+l 1+13+15=64換)再算妹妹共拿了多少塊?20,20一+14+16=72塊)I (2012-M+6+8+10+1272-64=8 (塊)方法2:這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+

9、1+1=8 (塊)可以看出方法2要比方法1巧妙!平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運算結(jié)果，非常有助于速算。比如, 請同學(xué)記住幾個自然數(shù)相加之和:1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55例2星期天，小明家來了 9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說:“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會 分？”結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎?解：按小明提的

10、要求確實無法分。因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是:第一人分到1塊，第二人分到2塊，第十人分到10塊。但是，這種分法共需 要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5（塊）而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一 人少得1塊糖，比如說，應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了 9塊，但是這樣一來,他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人 分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。（注意：“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。 在數(shù)學(xué)上“無解”也 叫問題的答案。） 例3時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，照這樣敲下

11、去，從1點到12點，這12個小時時鐘共敲了幾下?解：這是一道美國小學(xué)奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。方法1:湊十法1010110CTDI+2+3-M-H5+6-h7+8+S+l 0+11+12=78方法2:如果能記住從1到10前十個自然數(shù)之和是55,計算會更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 +11+12=55+11+12=78（下）第三講數(shù)數(shù)與計數(shù)（一）例1請你數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個“X”？XXXXXXXXXX X XXX X XXXX X XXXX XXXXXXX XXXXXXXXX XXX XX XXX XXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX解：分層數(shù)

12、10-R3+5+7+9+6+ld+14+n=72先按“實心”三角形計算，再減去“空白”三角形中“X”的個數(shù)（1+3+5+7+9+11+13+15+17 - （5+3+1）=7+9+11+13+15+17=72例2下圖所示的“塔”由4層沒有縫隙的小立方塊壘成，求塔中共有多少小立方塊?從頂層開始數(shù)，各層小立方塊數(shù)是:第一層:1塊;第二層:第三層:第四層:10塊;總塊數(shù) 1+3+6+10=20 （塊）。從上往下數(shù)，第一層：1塊;第二層：第一層的1塊加第二層“看得見”/2塊等于第二層的塊數(shù):1+2=3 塊;第三層：第二層的3塊加第三層“看得見”3塊等于第三層的塊數(shù):3+3=6 塊;第四層：第三層的6+

13、4=10 塊。6塊加第四層“看得見”4塊等于第四層的塊數(shù):總塊數(shù) 1+3+6+10=20（塊）/例3右圖是由小立方體碼放起來的，其中有一些小立方體被壓住看不見。請你數(shù)一數(shù)共有多少小立方體?'解：從右往左數(shù)，并且編號第一排1塊;第二排'第三排第四排7塊;第五排16塊;總數(shù)：1+7+5+9+16=38（塊）。例4數(shù)一數(shù)下面的立體圖形的面數(shù)、棱數(shù)和頂點數(shù)各是多少?面數(shù)：4棱數(shù)：6頂點數(shù):面數(shù)：5棱數(shù)：8頂點數(shù):面數(shù)：6（左圖） 棱數(shù)；12 頂點數(shù)：S第四講數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）數(shù)數(shù)與計數(shù)時，注意不應(yīng)漏掉，不應(yīng)重復(fù)。如果漏掉了，要加上；如果重復(fù)了，要減掉。例1小朋友排隊，小紅前面4個人，后面

14、3個人，問這隊共有幾個人?解:閉I這隊的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是 4+3+1=8（人）。例2排好隊，來報數(shù),正著報數(shù)我報七,倒著報數(shù)我報九,一共多少小朋友?解：見下圖倒報1。正著報數(shù)“我”報了一次，倒著報數(shù)“我”又報了一次，所以把兩次報數(shù)加 起來時，“我”被加了兩次。因此算這隊的總?cè)藬?shù)時，應(yīng)從兩次報數(shù)之和減7+9-1=15 （人）。也可以這樣想：正著報數(shù)報到我為止，倒著報數(shù)時，我就不報了，只報到我 的后面相鄰的那個人他應(yīng)該報8,所以全隊總?cè)藬?shù)是:7+（ 9-1）=15 （人）。例3少先隊員排成隊去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第 20個；從排尾數(shù)起,張英是第23個。已知劉平的前一個是張英。問這隊

15、少先隊員共有多少人?解：畫示意圖，用點代表少先隊員。風(fēng)誹頭敎起啤刻呼礙E屋數(shù)起 .=如人巧人由圖可見，從排頭數(shù)起時，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把劉 平和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點總?cè)藬?shù)時，應(yīng)減去多數(shù)的 那一次才對。20+23-2=41 （人）。例4 45個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個；從排尾往前數(shù)，小莉是第12個，問小剛和小莉中間有幾個人?解：畫示意圖。用點代表人45X“占由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是:45- （19+12） =14 （人）。例5 一班同學(xué)做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒有做花的有3人。如果全班55人，那么既做

16、紅花又做黃花的有多少人?解：畫圖如下:據(jù)人皺紅花由圖可見，做花的人：55-3=52 （人）。圖中陰影部分表示兩色花都做的人:38+39-52=25 （人）。第五講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（三）小朋友，張開手,五個手指人人有。手指之間幾個“空”，請你仔細瞅一瞅?（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思解：見右圖看看、數(shù)一數(shù)可知：5個手指間有4個“空”?！翱铡庇纸小伴g隔”，也就是，人的一只手有5個手指4個間隔。A例2小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵，共種了 11棵，問這段馬路有多長?解：畫示意圖如下:由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個“空”，也就是10個間隔。每 個間隔長1米，10個間隔長10米。

17、也就是說這段馬路長10米。像這類問題一 般叫做“植樹問題”?？梢缘贸鲆粋€公式：當兩頭都種樹時:I棵數(shù)-1=間隔數(shù)I例3把一根粗細一樣的木頭鋸成 5段，需要4分鐘。如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？如果把這根木頭鋸成100段，需要幾分鐘?解：畫出示意圖:由圖可見，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。所以鋸一次需1分鐘。 同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。 同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。例4鼓樓的鐘打點報時，5點鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點時打12下需要 幾秒鐘?解：畫示意圖。鐘打一下用一個點代表，打 5下畫5個點。J噸<由圖可見，鐘打5

18、下中間有4個時間間隔，4個間隔是4秒鐘，每個間隔就 是1秒鐘。由此推理鐘打12下時有12-1=11個時間間隔，故用11秒鐘。第六講數(shù)數(shù)與計數(shù)（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地 把雞蛋從藍子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)。籃子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋也就數(shù)出來了。這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1用可和分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出多少個不同的二位 數(shù)？ 解:用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二立數(shù)來。它們是:例2用分別寫有數(shù)字0，1, 2的三張紙片可，可，能排出多少個不同的二位數(shù)？ 解：因為“0”不能作為首位數(shù)

19、字，所以只能排出 4個二位數(shù)，它們是:1作十位數(shù)字，0或2作個位數(shù)字:2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字:例3用分別寫有數(shù)字1,2,3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)?解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少 個。共6個不同的三位數(shù)。例4小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡廿，DO,國。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自原來的抽屜里。 然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個不同的二位數(shù)？ 解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把

20、拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33。共 9 個不同的二位數(shù)。例5有一群人，若規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少 次手？假設(shè)這群人是:兩個人，三個人，四個人解:么,畫圖。用點代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。那 點和點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。兩個人:兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握 1次手。 三個人：三點之間有三條連線，表示三個人共握 3次手。四個人:例6鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的，距離愈遠，票價愈高。 如果一段鐵路上共有五個車站，每兩

21、站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車 票價共有多少種?解:如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站， 各 點間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。t-車站1和車站人43±間共附黨價由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是：4+3+2+1=10種。例7小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有 a，b，c三條路（如下圖 所示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問有多少 種不同的走法?解：共有6種不同的走法，見下圖。第七講 填圖與拆數(shù)（一）例1如右圖，把3、4、& 7四個數(shù)填在四個空格里，使橫行、豎

22、行三個數(shù)相加 都得14。怎樣填？551 區(qū)35解：先看豎行，最上格中已有個9拆成兩個數(shù)：9=3+6,（因為5。要使5+（）=14,括號里的數(shù)就要填9。把3和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個空格里。但進一步想，應(yīng)該把哪一個填在中間空格里呢？這就需要看橫行。 橫行兩 頭的空格應(yīng)填剩下的兩個數(shù) 4和7，因為4和7相加和為11，而11+3=14,可見中間空格應(yīng)填3。例2如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于12。解：見下圖（1）、（2）、（ 3）。把12分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式:12=9+2+1 12=8+3+112=7+4+1 12=7+3+212=6

23、+5+1 12=6+4+2從各式中選擇有一個相同加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6 和 12=1+4+7 兩式，將相同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學(xué)們還可以自己選擇另外的填法。例3如右圖所示。把1、2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條件:(1)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；(2)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9；使橫行、10。豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于解：見下圖（4J（1）將8分拆成三個數(shù)之和（注意，這三個數(shù)要從1、2、3、4、5 中選?。?=1+2+5 8=1+3+4因為中間圓圈里的數(shù)

24、是要公用的，所以應(yīng)把“ T填在中間圓圈里其他四個數(shù)填在邊上;（2）解法思路與（1）相同，、分拆方式如下:9=1+3+5 9=2+3+4（3）解法思路與（1）相同10=1+4+5 10=2+3+5第八講填圖與拆數(shù)（二）本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。例1如右圖所示。把三個1、三個2、三個3分別填在九個格內(nèi)，使橫行、豎行、 斜行三個數(shù)加起來的和都等于6。解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)，所以它是關(guān)鍵 數(shù)，確定了它，其他各格就容易填了。123312231（1）嘗試法：若中間填“ 1”，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上的 數(shù)都是1,其和為3,不合題目要求。若中

25、間格填“ 3”，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是 3,其和為9,不合題目要求。32I132215若中間格填“ 2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。312I23731（2）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個“ 1”或一個“ 3”。 因為若填兩個1后，即使再填一個最大的3,這一行的這三個數(shù)之和才是5,小 于6,不符合題目要求；同樣，若填兩個 3后，即使再填一個最小的數(shù)1,這一行的三個數(shù)之和就是7,大于6,也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個“ 2”，即使在此行里再填一個2,這一行的三個數(shù) 之和也可等于6,符合題要求。由此得出，中間方格必須填“ 2”。中間方格填好之后

26、其他各格中的數(shù)也就容易填出了。例2如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加之和都是&解：中間圓圈里的數(shù)是個關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假 如我們已經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個圓圈中，這樣每條斜線上的 三個數(shù)相加都得&那么當我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應(yīng)為8+8=16,但是五個圓圈中所填數(shù)之和應(yīng)為1+2+3+4+5=15兩個和數(shù)之差是1,即：16-15=1。中間圓圈中這個差是如何產(chǎn)生的呢？這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時,的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1,可見此數(shù)是 1。然后，再求每條

27、斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應(yīng)為8-1=7把7分拆成兩個 數(shù)，有兩種分拆方式:把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。24把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。12。例3如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里，每 個數(shù)只能用一次，使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，應(yīng)該如何確定它呢?與例2的想法類似。假設(shè)已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈， 那么每條線 上的三個圓圈中的數(shù)相加應(yīng)該都得12。我們?nèi)绻M一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應(yīng)為：12+12+12=36不難看出，這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。 因而它比七個圓圈中的數(shù)相加之和：1+2+3

28、+4+5+6+7=28多了 36-28=8也就是8應(yīng)是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應(yīng)是8的一半,F面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方法如下：12-4=81472+ 6把這六個數(shù)適當?shù)靥钊肓鶄€圓圈。但要注意使橫3匕例4如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9。>解：見圖。三個角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因為它們中的每個都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是 1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之和是 9, 9+9+9=27這樣算每個角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個圓圈中的數(shù)之和是27-21=

29、6把6分拆成三個數(shù)之和：6=1+2+3;把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。第九講分組與組式課本上的算題，多數(shù)是已經(jīng)列好算式要求計算出結(jié)果。 但在這一講里，往往 是知道結(jié)果或要達到的目標，請你回答如何才能得出這種結(jié)果或達到目標值。 為此就要求同學(xué)們在掌握好以前所學(xué)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，還要進一步做到：仔細地 觀察，發(fā)現(xiàn)題中給出的一些數(shù)中存在的規(guī)律， 并且大膽地進行嘗試，培養(yǎng)思維的 靈活性和敏捷性。例1如下圖所示把1、2、3、4、5、& 7、8、9九個數(shù)字分成兩部分，再組成兩個數(shù)，填入下面的兩個方框里，使兩個數(shù)的和等于99999解：把九個數(shù)字分成兩部分，組成兩個

30、數(shù)，要求相加之和由五個 9組成，可見一個數(shù)應(yīng)是五位數(shù)，且9應(yīng)在最高位，另一個是四位數(shù)。把除9之外的其余八個數(shù) 字分成四對，每對的和是9,它們應(yīng)是1和8, 2和7, 3和6, 4和5。它們可以組成以下算式，如:546372S19+9 12349 5 67 8+ 4321 + 8765可見分組方法是多種多樣的。例 2 給你 1、2、3、4、16、17、18、19這八個數(shù)，要求: 把它們分成四組，使每組的兩個數(shù)相加之和相等。 再用這八個數(shù)組成如下的兩個算式。 + - = + - = 解：仔細觀察可發(fā)現(xiàn)：在這八個數(shù)中，前四個都是一位數(shù)，且后一個數(shù)比前一個數(shù)大1;后四個都是兩位數(shù)，也是后一個數(shù)比前一個數(shù)

31、大1。因此把它們互相搭配后，可使每組的兩數(shù)之和相等。分組如下:(1, 19);( 2, 18)；( 3, 17)；( 4, 16)0可以看出，每組的兩數(shù)之和都等于 20。 解：如下圖所示，由于1+19=2+18, 3+17=4+16因此可以組成符合題目要求的算式如下:注意：符合題目要求的算式不只這些，同學(xué)們自己還可以再寫出一些。例3在1、2、3、4、5、6、7之間放幾個“ +”號，使它們的和等于100,試試看。1 2 3 4 5 6 7=100解：對這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！二是可以先考 慮與目標值(此題是100)較接近的大數(shù)，再考慮用較小的數(shù)進行調(diào)整、修正, 使式子

32、的得數(shù)逐漸接近目標值，也就是使之轉(zhuǎn)化為較簡單的情況。(1) 對此題可考慮先在67前面放一個“ +”號，這樣比100還小33,也就是說，轉(zhuǎn)化成了較簡單的情況:1 2 3 4 5=33再考慮在23前放個“+”號，它比33還小10,這樣問題又轉(zhuǎn)化為:1 4 5=10這就很容易看出來了： 1+4+5=10所以最后可以確定組成的算式是:1+23+4+5+67=100(2)此題還可以有另外的解法，邊看邊想可得出：34+56=90剩下的三個數(shù):1+2+7=10所以最后可以組成如下的算式:1+2+34+56+7=100例4某公園里有三棵樹，它們的樹齡分別由 1、2、3、4、5、6這六個數(shù)字中的不同的兩個數(shù)字組

33、成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半， 你知 道這三棵樹各是多少歲嗎?解：這道題的實質(zhì)就是：把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分成三組，每組兩個數(shù),組成二位數(shù)，使其中的兩個二位數(shù)之和等于第三個二位數(shù)的2倍。順便說一下,把生活中的趣味問題轉(zhuǎn)化成為純數(shù)學(xué)型的題目是一種重要的本領(lǐng)，同學(xué)們要從小 就注意增強這種能力，以便將來能夠運用數(shù)學(xué)知識解決實際工作中遇到的難題。仔細觀察、大膽嘗試，將這六個數(shù)分組、組合，可得出的三個數(shù)是：12, 34, 56,因為12+56=34X2即這三棵樹的樹齡是12歲、34歲、56歲。這道題有幾種不同的答案，請你 動動腦筋找出另外的答案。第十講自然數(shù)串趣題從1開始，1

34、、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12連起來成一串,像一串糖葫蘆，我們把這樣的一串數(shù)叫作自然數(shù)串（也叫自然數(shù)列），其中的每 一個數(shù)都叫作自然數(shù)。自然數(shù)串的特點是: 從1開始，1是頭; 在相鄰的兩個數(shù)中，后一個數(shù)比前一個數(shù)大1; 后面的數(shù)要多大有多大，也就是說，自然數(shù)串是有頭無尾的。在自然數(shù)串中, 數(shù)串。這一講的題目,都是與（有限）自然數(shù)串有關(guān)的。如果寫到某一個數(shù)為止，就叫做有限自然數(shù)串，也簡稱自然例1如下頁圖所示。一份學(xué)習(xí)材料放在桌上，一陣風(fēng)把材料吹落了一地。小軍 揀起來一看，糟糕，少了兩張。根據(jù)下面揀到的材料的頁碼，你能說出少了哪幾 頁嗎?解：一張材料的正反兩面用兩個自然數(shù)作頁碼

35、， 這兩個自然數(shù)是相鄰的。仔細觀 察找到的材料的頁碼，根據(jù)自然數(shù)串的特點，可知少了的兩張紙的頁碼是（7、8）和（13、14）。例2從1連續(xù)地寫到100,“ 0”出現(xiàn)了多少次?解：“0”出現(xiàn)了 11次。因為從1到100含有“0”的自然數(shù)是:10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。數(shù)一數(shù)，這些自然數(shù)中共有11 個“ 0”。例3把1, 2, 3, 4, 5,28, 29, 30這三十個數(shù)，從左往右依次排列起來,成為一個數(shù)，你知道這個數(shù)共有多少個數(shù)字嗎?解：把這個數(shù)寫出一部分來看看:123456789101112131415282930F面，分段計算這個數(shù)共包含有多少個數(shù)字:1至

36、9共有9個數(shù)字;10至19共有10個自然數(shù)，每個都由兩個數(shù)字組成，這一段共有2X 10=20個數(shù)字。20至29這一段也有10個自然數(shù),共有20個數(shù)字。30這個數(shù)由兩個數(shù)字組成。所以這個數(shù)所包含的數(shù)字總數(shù)是:例4小青每年都和家長一起參加植樹節(jié)勞動。七歲那年，他種了第一棵樹，以后每年都比前一年多種一棵?，F(xiàn)在他已經(jīng)長到15歲了，連續(xù)地種了九年樹。請你算一算，這九年中小青一共種了多少棵樹?解：先把小青每年種幾棵樹寫出來年齡（歲*7S310111213'1415種樹（棵*1345&7S9再把每年種樹的棵樹加起來1+2+3+4+5+6+7+8+9=4（棵）。例5如下圖所示。商店的貨架上堆放

37、著一堆火腿腸。你能很快地算出它的總數(shù) 有多少根嗎?解：從上向下數(shù)，每層的火腿腸的根數(shù)組成一個自然數(shù)串，1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9方法1：利用湊十法求和-10-10-10- LlOr+2+3+445+6+7+8+-45根）方法2:用兩串數(shù)“頭尾相加”法求和和=1 亠豐 8+9+和=9+時田+3+2*12X和=W + W + 10 + lQ4W + W10 + iq = 90和=90- 2=45這種自然數(shù)串的求和方法很巧妙，很重要，希望同學(xué)們能學(xué)會它。例 6 把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16 填入正方形的方格中，使每一橫行豎行、

38、斜行的四個數(shù)相加得數(shù)都是34。解：(1)把這16個數(shù)依次排成如下四行59132610143711154g12(2) 把帶箭頭的線的兩端的數(shù)互換h 33.-4I、隊戶 :8 卜： ,r :P廣13盃W1亍力巧(3) 互換后，把16個數(shù)填到正方形的空格里你會發(fā)現(xiàn)每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)相加的和都等于 34。16231351110SgT£13414151如果你仔細觀察的話，還可以發(fā)現(xiàn)這個圖中的奇妙的性質(zhì)：不但每一橫行、每一豎行和每一斜行的四個數(shù)相加之和都等于34,而且 四個角上的四個小正方形里的四個數(shù)之和都是34；中間的一個小正方形里的四個數(shù)之和也是 34； 大正方形四個角上的四個數(shù)相

39、加之和也是 34。真是不可思議！人們給它起了個有趣的名字一一幻方。見圖。IS21S_.3iriIL 丁-|12L4J14it1下表排列，請問-A0* c -D-E-FG1234J67g31011121314151617 4 - 例7如果全體自然數(shù)如 數(shù)20在哪個字母下面? 數(shù)27在哪個字母下面? 數(shù)70在哪個字母下面? 數(shù)71在哪個字母下面?3, 4, 5, 6, 7分別排如 1+7=8, 1+7+7=15,就能求出哪個數(shù)在哪解：仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)排列的規(guī)律：開頭的七個數(shù) 1, 2,在A, B, C, D, E, F, G的下面以后每加七個數(shù)就又從頭排起,則8和15都和1那樣，排在字母A的下面利

40、用這個規(guī)律, 個字母下面。 20=6+7+7,可見20和6排在同一個字母下，即在字母 F下面;27=20+7=6+7+7+7可見27也是排在字母F的下面；©70 = 7+7 +7+7+7 +7 十 7+7+7-H7, 'im*可見70排在字母G下面； 71=1+70,可見71和1都排在字母A的下面。講不等與排序兩個數(shù)或者相等或者不等，不等關(guān)系又分為大于和小于。排序就是把互相不 等的一些數(shù)通過比較按大小順序排列起來，或是按照一定的要求把一些東西排列 起來。例1把下面圈里的數(shù)從大到小排起隊來。2S37596473932016解：容易看出，圈里的數(shù)都是兩位數(shù)，比較兩個兩位數(shù)的大小時

41、，首先看十位數(shù) 字，十位數(shù)字大的數(shù)比十位數(shù)字小的數(shù)大，因此這些數(shù)從大到小排隊如下:、9? , SO, 7S , 4 , 59 , 37 , 28 , 16,例2把下面圈里的數(shù)從小到大排排隊，并用“V”連接起來。425327S283E5515解：這些數(shù)是一位數(shù)和兩位數(shù)。根據(jù)下面的原則對這些數(shù)進行比較、排隊:(1) 一位數(shù)比兩位數(shù)小,(2)比較十位數(shù)字相同的兩個兩位數(shù)時，要看它們的個位數(shù)字，個位數(shù)字小的那個兩位數(shù)小。排隊結(jié)果如下:4 < 15 < 25 < 23 < 32 < 38 < 65 < 7£例3見下圖，把右邊大圓圈里的數(shù)分別填入左邊的小

42、圓圈里，使圖中所示的不 等關(guān)系成立。專©解：仔細觀察不等關(guān)系圖可以發(fā)現(xiàn):所以應(yīng)填最左端的小圓圈中應(yīng)填的數(shù)都大于其他三個小圓圈中應(yīng)填的數(shù), 最大的數(shù)4； 最上面的小圓圈應(yīng)填的數(shù)最小，所以應(yīng)填1,這樣其他兩個小圓圈中的數(shù)就容易填了。見圖。例4請把1、2、3、4、5、6、7填入右圖中的小圓圈里，使圖中的“大于”、“小于”關(guān)系成立。解：仔細觀察圖中不等關(guān)系符號的方向可知，在由小圓圈組成的三角形中:最上面的小圓圈中的數(shù)最小，應(yīng)填 1，左下角的小圓圈中的數(shù)最大，應(yīng)填 7；從上往下數(shù)，第二層的小圓圈中的數(shù)都大于最上面的小圓圈中的數(shù)1,而小于第三層圓圈中的三個數(shù)，所以第二層應(yīng)填2、3、4,而第三層應(yīng)

43、填7、& 5；再考慮到第二層和第三層各層的不等號方向， 填圖就可以最后完成了。見 圖。gll例5老師發(fā)了數(shù)學(xué)考卷，一班（1）組的六個同學(xué)的分數(shù)是這樣的:小王和小錢的分數(shù)一樣多;小趙比小李的分數(shù)多，可比小王的分數(shù)少; 小樂沒有小王、小趙的分數(shù)多，但比小李的多; 小錢的分數(shù)比小顧的又要少一些。 請給他們排排隊，并回答誰分數(shù)最多?誰分數(shù)最少?解：由：小王=小錢由：小王小趙小李由：小王小趙小樂小李由：小顧小錢=小王小趙小樂小李可見小顧的分數(shù)最多，小李的分數(shù)最少。例6如圖。有六間家畜欄圈，首尾接成一圓形，每個欄圈只關(guān)著一頭家畜。已知驢與騾相隔兩個欄圈；羊的欄圈號碼比騾的欄圈號碼多；豬與驢、馬相鄰

44、；牛在 5號欄圈。請說明驢、騾、馬、羊、豬、牛各關(guān)在幾號欄圈里。解:見圖。4羊311»先把牛填在5號欄圈;因為豬與驢、馬相鄰，所以試著把豬填在 1號，而驢填在6號，馬填在2號; 因為羊的欄圈號比騾的欄圈號多，所以試著把騾填在3號，把羊填在4號。 檢查，題中要求驢和騾相隔兩個欄圈，上面填的滿足這一條件。這樣全部 已知的要求條件就都滿足了，所填無誤。注意：此題答案不惟一，還有其他種填法也能滿足題中所要求的條件， 如圖 所示。馬驟講奇與偶整數(shù)0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,可以被分為兩類，一類是1, 3, 5, 7, 9,叫奇數(shù)；另一類是0, 2, 4, 6, 8, 10叫偶

45、數(shù)。一般習(xí)慣上，人們也把1, 3, 5, 7, 9叫單數(shù)；把2, 4, 6, 8, 10叫雙數(shù)。F面是有關(guān)奇數(shù)與偶數(shù)方面的趣題。例1傍晚開電燈，小虎淘氣，一連拉了 7下開關(guān)。請你說說這時燈是亮了還是 沒亮？我們還不妨接著問，拉8下呢？拉9下呢？拉10下呢？甚至拉100下呢?你都能知道燈是亮還是不亮嗎?解：見下表。為了回答上面這些問題，我們從簡單情況考慮起，并作出下表，便 可一目了然。幵黃次數(shù)1234567S910;燈殼嗎？亮不殼不殼不殼環(huán)不rr仔細觀察，就可以找出規(guī)律:拉奇數(shù)次，燈亮；拉偶數(shù)次，燈不亮。對于大的數(shù)，比如說拉100下，可知燈不亮。因為100是個偶數(shù)。例2前十個自然數(shù)即1, 2,

46、3,10的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：方法1：先把十個數(shù)加起來，再看和數(shù)的奇偶性。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5555是奇數(shù)，即前十個自然數(shù)之和是奇數(shù)。方法2:不用把和求出來也可以進行判斷:先把前十個自然數(shù)的奇偶性寫出來1234奇 偶 奇 偶567S910奇偶奇偶奇偶通過考察這些數(shù)相加相減的結(jié)果,不難理解:兩個偶數(shù)的和與差，都是偶數(shù);兩個奇數(shù)的和與差也都是偶數(shù)；一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和與差，都是奇數(shù)；進一步還可以得出:只有奇數(shù)個奇數(shù)的和或差，才是奇數(shù)。現(xiàn)在再來數(shù)一數(shù)，前十個自然數(shù)中，一共有五個奇數(shù)，所以可以肯定它們的 和必是奇數(shù)。例3把10個球分成三組，要求每組球的個數(shù)都是奇數(shù)，怎樣分?

47、把11個蘋果分給三個小朋友，要求每個小朋友分得偶數(shù)個蘋果，怎樣分?解：不能分。因為如果三組球，每組都是奇數(shù)個球的話，總數(shù)必是奇數(shù)，而不 可能是偶數(shù)，而10個球卻是個偶數(shù)。不能分。因為如果每個小朋友都得到偶數(shù)個蘋果，那么三個小朋友得到的 蘋果總數(shù)也必定是個偶數(shù)。而11個蘋果是個奇數(shù)，所以無法分。例4小華買了一支鉛筆、2塊橡皮、2個練習(xí)本，付了 1元錢，售貨員找給他5分錢。小華看了看1支鉛筆的價錢是8分，就說：“叔叔，您把賬算錯啦?！毕?一想，小華為什么這么快就知道賬算錯了?因為1支鉛筆的價2塊橡皮，以及2個解：利用數(shù)的奇偶性判斷，不用計算就可知道這筆賬算錯了。 錢8分是個偶數(shù)，另外，不論橡皮和練

48、習(xí)本的價錢是多少，他付了練習(xí)本的錢也都是偶數(shù)，所以小華應(yīng)付的總錢數(shù)應(yīng)當是個偶數(shù)，100分，售貨員找回的錢數(shù)也應(yīng)是個偶數(shù)。但售貨員叔叔實際找給他的1元即5分是個只是根據(jù)奇奇數(shù)，所以小華說售貨員把這筆賬算錯了， 可見小華并不需要計算，偶性進行判斷，就知道這筆賬算錯了。例5如下頁圖所示。在10米長的一段馬路的一側(cè)種樹，每隔1米種一棵，兩頭 都種，共種了 11棵。如果把三塊“愛護樹木”的小牌任意掛在三棵樹上，然后再把每兩棵掛牌的樹之間的距離是多少米都算出來，看一看這三個距離數(shù)（即多 少米），至少有一個數(shù)是偶數(shù)，對嗎？然后把三塊小牌再掛在不同的三棵樹上,再算算看。解：這三個距離數(shù)（即多少米）中，至少有一

49、個數(shù)是偶數(shù)這話是對的。比如像上圖那樣掛牌。A樹和B樹之間的距離AB=3（米）（奇數(shù)）B樹和C樹之間的距離BC=5（米）（奇數(shù)）A樹和C樹之間的距離AC=3+5=8（米）（偶數(shù)）這是為什么呢？可以這樣想:假設(shè)距離AB和距離BC之中有一個為偶數(shù)，則自不待言；若AB和BC這兩個 距離都是奇數(shù)，則AB和BC之和必是偶數(shù)，因為兩個奇數(shù)之和是偶數(shù)。所以說這 三個距離中至少有一個是偶數(shù)。二講是與非判斷下面說法的對或錯:兩點間的直線距離最短。兩條直線相交，只有一個交點。(3)在紙面上畫兩條直線，這兩條直線，或者相交，或者平行。三角形的兩邊之和大于第三邊。解:(1)對（2）對（3）對（4）對。例2判斷下列說法的

50、對與錯:(1) 兩個數(shù)或者相等，或者不等即：兩個數(shù)a和b，或者a=b，或者ab.(2) 兩個數(shù)如果第一個數(shù)大于第二個數(shù)，那么第二個數(shù)小于第一個數(shù),即：兩個數(shù)a和b，如果a>b，那么bva.(3) 如果第一個數(shù)等于第二個數(shù)，第二個數(shù)等于第三個數(shù)，那么第一個數(shù)就等于第三個數(shù)。即：如果 a=b，b=c，那么 a=c(4) 如果第一個數(shù)大于第二個數(shù)，第二個數(shù)又大于第三個數(shù)，那么第一個數(shù)就大于第三個數(shù)。即：如果a>b，b>c，那么a>c.(5) 如果第一個數(shù)小于第二個數(shù)，第二個數(shù)又小于第三個數(shù)，那么第一個數(shù)就小于第三個數(shù)。即：如果avb，bvc，那么avc.(6) 如果兩個數(shù)相等

51、，那么它們分別加上或者減去同一個數(shù)之后，仍相等。即：如果a=b，那么a+c=b+c a-c=b-c ；(7) 如果兩個數(shù)相等，那么它們分別加上相等的數(shù)之后，仍相等。即：如果a=b，而且c=d，那么 a+c=b+d.或是寫成如下形式:=b+) c=da-c=b-d+)表示兩個等式的兩邊分別相加(8) 如果兩個數(shù)相等，那么它們分別減去相等的數(shù)之后，仍相等。即：如果a=b，而且c=d，那么 a-c=b-d或是寫成如下形式:a=15一)c=da-c=b-d-）表示兩個等式的兩邊分別相減（9）如果兩個數(shù)不等，那么它們分別加上同一個數(shù)之后，仍不等；大數(shù)對應(yīng)的和大于小數(shù)對應(yīng)的和即：如果a>b,那么a+c>b+c 解：（1）對 （2）對 （3）對 （4）對 （5）對（6）對（7）對（8）對（9）對。例3判斷下列說法的對與錯:（1）有一個角是直角的三角形叫直角三角形。（2）有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。（3）既有一個直角，又有兩條邊相等的三角形叫直角等腰三角形或叫等腰直角三角形。解：（1）對 （2）對 （3）對例4判斷下列說法的對與錯(1)四個角都是直角的四邊形叫長方形。四條邊長度相等的四邊形叫菱形。不但四個角都是直角，而且四條邊長度也相等的四邊形叫正方形。解：（1）對（2）對例5如果第一個數(shù)大于第二個數(shù)，那么分別加上或是減去同一個數(shù)之后，差不變。對嗎?即a>