42開放性問題

1、開放性問題1選擇題填空題1. （2013?徐州，13 , 3分）請寫出一個是中心對稱圖形的 幾何圖形的名稱：.考點：中心對稱圖形.專題：開放型.分析：常見的中心對稱圖形有：平行四邊形、正方形、圓、 菱形，寫出一個即可.解答：平行四邊形是中心對稱圖形故答案可為：平行四 邊形.點評：本題考查了中心對稱圖形的知識，同學們需要記憶一些常見的中心對稱圖形.2. （2013上海市，15, 4分）如圖3，在 ABC和厶DEF中，點B、F、C、E在同一 直線上，BF = CE , AC / DF，請?zhí)砑右粋€條件，使 ABCDEF，這個添加的條件可以是.（只需寫一個，不添加輔助線）I福U AC-DF （菩峯不唯

2、一人I若虛】幵肘型平行的性盾.室蒔三甬形的和宅【分析】由3F -CZ根據(jù)等童?U等童，和相等，4BF+FC - CH + FG即弓O乏打田AC7/DF.根據(jù)平行璉英 內(nèi)建鶴相等的性蹤得ZACS-ZJFt和HP申有一角一邊襯應相等.二根據(jù)全等三角護的判定，麗I AC-JF.可由SAS麗EE 3-盃，可由ASA嚼AA3CiaA3ZF（ rtJZA*Z3+ 目由 AAS tAABCt（2013四川巴中，14, 3分）如圖，已知點 B、C、F、E在同一直線上，/ 仁/2, BC=EF , 要使 ABCDEF，還需添加一個條件，這個條件可以是CA=FD .（只需寫出一個）#:全等三角形的判定.:開放型.

3、:可選擇添加條件后，能用 SAS進行全等的判定，也可以選擇AAS進行添加.:解：添加CA=FD，可利用SAS判斷 ABC DEF .故答案可為CA=FD .點評：本題考查了全等三角形的判定，解答本題關鍵是掌握全等三角形的判定定理，本題答案不唯一.3. （2013江西南昌，15 , 3分）若一個一元二次方程的兩個根分別是Rt ABC的兩條直角邊長，且Sa abc=3，請寫出一個符合題意的一元二次方程 .【答案】x2 5x+6=0【解析】先確定兩條符合條件的邊長，再以它為根求作一元二次方程.【方法指導】 本題是道結論開放的題（答案不唯一），已知直角三角形的面積為3 （直角邊長未定），要寫一個兩根為

4、直角邊長的一元二次方程，我們盡量寫邊長為整數(shù)的情況（即保證方 程的根為整數(shù)），如直角邊長分別為 2、3的直角三角形的面積就是 3，以2、3為根的一元二2 2次方程為x -5x *6=0 ;也可以以1、6為直角邊長，得方程為 x -7x6=0.4. （2013山東荷澤，12, 3分）我們規(guī)定：將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“面線” “面線”被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是它的“面徑” ）已知等邊三角形的邊長為 2，則它的“面徑”長可以是 （寫出1個即可）.h, h= 2= ,3 ； (2)【答案】3或 2 .（寫出1個即可）.【解析】1）根

5、據(jù)“三線合一”等可知，面徑為底邊上的高與一邊平行的線段（如圖），設DE=x因為 ADE與四邊形 DBCE面積要相等，根據(jù)三角形相似性質(zhì)，有（-）2 =-.2 2解得x= 綜上所述，所以符合題意的面徑只有這兩種數(shù)量關系【方法指導】 根據(jù)規(guī)定內(nèi)容的定義，思考要把邊長為2的等邊三角形分成面積相等的兩部分的直線存在有兩種情形：（1 ）高（中線、角平分線）所在線；（2 ）與一邊平行的線要把一個三角形面積進行兩等份，這樣的直線有無數(shù)條，都過這個三角形三邊中線的交點（重心）經(jīng)過計算無數(shù)條中等邊三角形“面徑”長只有上述兩種情形三.解答題1. （2013山西，25, 13分）（本題13分）數(shù)學活動一一求重疊部分

6、的面積。問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片 ABC和厶DEF疊放在一起，其中/ ACB= / E=90° ,BC=DE=6 , AC=FE=8，頂點D與邊AB的中點重合，DE經(jīng)過點C, DF交AC于點G。 求重疊部分（ DCG）的面積。（1）獨立思考：請解答老師提出的問題。【解析】解：/ ACB=90 D是AB的中點， DC=DB=DA, / B= / DCB又 ABC FDE ,/ FDE= / B/ FDE= / DCB, DG / BC AGD= / ACB=90 DG 丄 AC又 DC=DA, G是AC的中點，1111-CG= AC=

7、 W=4,DG= BC= >6=3222211 Sdcg= >CGDG= >4 >3=622(2) 合作交流：希望”小組受此問題的啟發(fā)，將 DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使DE丄AB交AC于點H , DF交AC于點G,如圖 ，你能求出重疊部分( DGH)的面積嗎？請寫出解答過程。【解析】解法一：(25題(2)5. ABC FDE, B= / 1 / C=90 ,ED 丄 AB, A+ / B=90 , / A+ / 2=90° ,/ B= / 2,./ 1 = / 2 GH=GD/ A+ / 2=90°，/ 1 + / 3=90°/ A= / 3, A

8、G=GD , AG=GH 點G是AH的中點，在 Rt ABC 中，AB= 101/ D 是 AB 的中點， AD= AB=52在厶 ADH 與厶 ACB 中，/ A = / A，/ ADH= / ACB=90AD DH 5 DH15 ADH ACB, - AC = CB , 8 = 6, DH= 4.g 11111575-Sdgh = Sa adh= >XDH AD=>X5=2224416(25 題(2) 連接 BH DE 丄 AB , D 是 AB 的中點，二 AH=BH，設 AH=x 貝U CH =8 -x 在 Rt BCH 中，CH2+BC2=BH2，即（8-x） 2+36=

9、x2，解得 x=解法二：同解法一，G是AH的中點,1 2575 SA ABH=AH BC= x 0=175 75Sa abh = x=.44162 44 o_ 111-SDGH = SaaDH = x22 2（25題（2）6解法三：同解法一，/ 仁/ 2連接 CD，由（1 ）知，/ B= / DCB= / 1，/ 1 = / 2= / B= / DCB , DGH BDC, 作DM丄AC于點M , CN丄AB于點N D是AB的中點，/ ACB=901 111一 ACBC= AB-CN ,22 CD=AD=BD，點 M 是 AC 的中點， DM= 2 bc= 2 x6=3在 Rt ABC 中，A

10、B= . AC2+ BC2 二82 +62 =10,AC 倉創(chuàng)BC _ 8 6 _ 24CN =AB 105 '# DGH sA bdc,2S、DGHi DMS、bcdc . CN#cdc1 BD CN2f 23125 75=2524 16打丿（3）提出問題：老師要求各小組向 希望”小組學習，將 DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，再提出一個求重疊部分面積的問題。愛心”小組提出的問題是：如圖 （3）,將厶DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，DE , DF分別交AC于點M , N，使DM=MN 求重疊部分（ DMN）的面積、任務：請解決 愛心”小組所提出的問題，直接寫出 DMN的面積是 請你仿照以上兩個小組，大膽提出一個符

11、合老師要求的問題，并在圖中畫出圖形，標明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎上按順時針方向旋轉(zhuǎn)）。(25 題(3)ADB(25 題(4)【答案】16注：此題答案不唯一，語言表達清晰、準確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將 DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，使 DE丄BC于點M , DF交AC于點N，求重 疊部分(四邊形 DMCN )的面積。2. (2013 濰坊，24, 13分)如圖，拋物線 y=ax2，bx關于直線x =1對稱，與坐標軸(3、交于A、B、C三點，且AB=4，點D 2,在拋物線上，直線是一次函數(shù)y=kx 2(k0)8#(1) 求拋物線的解析式；(2) 若直線平分

12、四邊形 OBDC的面積，求k的值.(3) 把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線交于 M、N兩點， 問在y軸正半軸上是否存在一定點 P，使得不論k取何值，直線 PM與PN總是關于y軸對 稱？若存在，求出 P點坐標；若不存在，請說明理由.答案：(1)因為拋物線關于直線 x = 1對稱，AB = 4,所以A( 1, 0) B(3 0)a _ b + c = 0由點D(2 1 . 5)在拋物線上，所以丿，所以3a+ 3b= 1. 5,即卩a+ b= 0. 5,、4a +2b + c = 1.52a又- -b =1 即b = 一 2a 代入上式解得 a = 0. 5 b = 1

13、，從而 c = 1 . 5，所以1 3(2) 由(1)知 yx2x ，令 x = 0,得 c(0, 1. 5)，所以 CD/AB ,2 273令kx-2 = 1 . 5,得I與CD的交點F( ,),2k 22 令kx-2 = 0，得I與x軸的交點E(土 ,0),k根據(jù)S四邊形oefc = S四邊形ebdf得：OE + CF = DF + BE ,即 2 Z =(3 一勻(2 -Z),解得 k 二11,k 2kk2k5(3) 由(1)知 y = -x2x = 一丄(x -1)2 2,2 2 2所以把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為y = -1x229#假設在y軸上

14、存在一點 P(0, t), t> 0,使直線PM與PN關于y軸對稱，過點 M、N分別向y 軸作垂線 MM1、NN1，垂足分別為 M1、N1,因為/ MPO = / NPO，所以 RtA MPM 1 Rt NPN1,所以MM 1NN1PM 1PN1(1)#不妨設M(Xm , yM)在點N(xn , yN)的左側，因為P點在y軸正半軸上,則(1)式變?yōu)镸，又 yM = k xm 2, yN = k Xn 2,Xn t- yN所以(t + 2) (Xm + xn)= 2k xm xn，(2)把y = kx 2(k豐0)代入y =-】x2中，整理得 x2 + 2kx 4= 0,2所以Xm + x

15、n= 2k, Xm xn= 4,代入(2)得t = 2,符合條件，故在y軸上存在一點 P (0, 2),使直線PM與PN總是關于y軸對稱.考點：本題是一道與二次函數(shù)相關的壓軸題，綜合考查了考查了二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點及圖形面積的求法，三角形的相似，函數(shù)圖象的平移，一元二次方程的解法等知識，難度較大.點評：本題是一道集一元二次方程、二次函數(shù)解析式的求法、相似三角形的條件與性質(zhì)以及 質(zhì)點運動問題、分類討論思想于一體的綜合題，能夠較好地考查了同學們靈活應用所學知識, 解決實際問題的能力。問題設計富有梯度、由易到難層層推進，既考查了知識掌握，也考查 了方法的靈活應用和數(shù)學思想的形成。3.（

16、2013江西南昌，18，6分）先化簡，再求值:2 2x -4x 4 x -2x21，在 0,2xx1,2,11#三個數(shù)中選一個合適的，代入求值.【思路分析】 先將分式的分子分母因式分解，再將除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，約分后得到x - 2x - 2x -2 2 xx - 2 x 1，可通分得 1 = 一二，也可將化為1求解.2 2 2 2 2 2 2解原式=(x -2)22x2xx(x-2)+1#_ x= .21當x=1時，原式=2【方法指導】 本題考查的是分式的化簡求值，涉及因式分解，約分等運算知識，要求考生具 有比較嫻熟的運算技能，化簡后要從三個數(shù)中選一個數(shù)代入求值，又考查了考生的細心答題 的

17、態(tài)度，這個陷阱隱蔽但不刁鉆，看到分式，必然要注意分式成立的條件.4. （2013山東德州，22,10分）設A是由2X 4個整數(shù)組成的2行4列的數(shù)表，如果某一行（或 某一列）各數(shù)之和為負數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”。（1）數(shù)表A如表1所示，如果經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各 數(shù)之和均為非負整數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表；（寫出一種方法即可）123-7-2-101去1（2）數(shù)表A如表2所示，若經(jīng)過任意.一次“操作”以后，便可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和 與每列的各數(shù)之和均為非負整數(shù)，求整數(shù)a的值。#2）分析【思路分析】1）根據(jù)提供信息，理解題目要達到要求，答案不唯一，屬于開放題（ 各行、各列上數(shù)字和情況，同時注意其和要符合非負數(shù)（0）.【解】（1） 法 1 :123 1-7-2-1011237-2-1廿-1123721U1113-7-2-10-)23-72-101-12372-1U-1(寫出一種即可)(2)每一列所有數(shù)之和分別為2,