2015年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標?。ê馕霭妫?/h1>

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1、教育資源分享店鋪 網址： 微信號：kingcsa3332015年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）設復數z滿足=i，則|z|=（）A1BCD22（5分）sin20°cos10°cos160°sin10°=（）ABCD3（5分）設命題p：nN，n22n，則p為（）AnN，n22n BnN，n22n CnN，n22n DnN，n2=2n4（5分）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（）A0.648

2、B0.432C0.36D0.3125（5分）已知M（x0，y0）是雙曲線C：=1上的一點，F1，F2是C的左、右兩個焦點，若0，則y0的取值范圍是（）ABCD6（5分）九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：”今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？“其意思為：”在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？“已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）A14斛B22斛C36斛D66斛7（5分）設D為ABC所在平面內一點，則（）ABCD8（5分）函數f（x）=

3、cos（x+）的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調遞減區(qū)間為（） A（k，k+），kzB（2k，2k+），kzC（k，k+），kzD（，2k+），kz9（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=（）A5B6C7D810（5分）（x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數為（）A10B20C30D6011（5分）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為16+20，則r=（）A1B2C4D812（5分）設函數f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整數x0使得f（x0）0，則a

4、的取值范圍是（）A）B）C）D）二、填空題（本大題共有4小題，每小題5分）13（5分）若函數f（x）=xln（x+）為偶函數，則a= 14（5分）一個圓經過橢圓=1的三個頂點且圓心在x軸的正半軸上則該圓標準方程為 15（5分）若x，y滿足約束條件則的最大值為 16（5分）在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75°BC=2，則AB的取值范圍是 三、解答題：17（12分）Sn為數列an的前n項和，已知an0，an2+2an=4Sn+3（I）求an的通項公式：（）設bn=，求數列bn的前n項和18（12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的

5、兩點，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC（）證明：平面AEC丄平面AFC（）求直線AE與直線CF所成角的余弦值19（12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（i=1，2，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值（xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i，=（）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方

6、程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（）根據（）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（）已知這種產品的年利潤z與x、y的關系為z=0.2yx根據（）的結果回答下列問題：（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數據（u1 v1），（u2 v2）.（un vn），其回歸線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：=，=20（12分）在直角坐標系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a0）交于M，N兩點（）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程（）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有OPM=OP

7、N？（說明理由）21（12分）已知函數f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）用minm，n表示m，n中的最小值，設函數h（x）=minf（x），g（x）（x0），討論h（x）零點的個數選修4一1:幾何證明選講22（10分）如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點E（）若D為AC的中點，證明：DE是O的切線；（）若OA=CE，求ACB的大小選修4一4：坐標系與參數方程23（10分）在直角坐標系xOy中，直線C1：x=2，圓C2：（x1）2+（y2）2=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系（）求C1，C2的極坐標

8、方程；（）若直線C3的極坐標方程為=（R），設C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積選修4一5：不等式選講24（10分）已知函數f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）當a=1時，求不等式f（x）1的解集；（）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍2015年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）設復數z滿足=i，則|z|=（）A1BCD2【考點】A8：復數的模菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題；5N：數系的擴充和復數【分析】先化簡復數，再求模即可【解答】解：復數z滿足=i，1+z=izi，z（

9、1+i）=i1，z=i，|z|=1，故選：A【點評】本題考查復數的運算，考查學生的計算能力，比較基礎2（5分）sin20°cos10°cos160°sin10°=（）ABCD【考點】GP：兩角和與差的三角函數菁優(yōu)網版權所有【專題】56：三角函數的求值【分析】直接利用誘導公式以及兩角和的正弦函數，化簡求解即可【解答】解：sin20°cos10°cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=故選：D【點評】本題考查誘導公式

10、以及兩角和的正弦函數的應用，基本知識的考查3（5分）設命題p：nN，n22n，則p為（）AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n2=2n【考點】2J：命題的否定菁優(yōu)網版權所有【專題】5L：簡易邏輯【分析】根據特稱命題的否定是全稱命題即可得到結論【解答】解：命題的否定是：nN，n22n，故選：C【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎4（5分）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（）A0.648B0.432C0.36D0.312【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件

11、的概率乘法公式菁優(yōu)網版權所有【專題】5I：概率與統(tǒng)計【分析】判斷該同學投籃投中是獨立重復試驗，然后求解概率即可【解答】解：由題意可知：同學3次測試滿足XB（3，0.6），該同學通過測試的概率為=0.648故選：A【點評】本題考查獨立重復試驗概率的求法，基本知識的考查5（5分）已知M（x0，y0）是雙曲線C：=1上的一點，F1，F2是C的左、右兩個焦點，若0，則y0的取值范圍是（）ABCD【考點】KC：雙曲線的性質菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】利用向量的數量積公式，結合雙曲線方程，即可確定y0的取值范圍【解答】解：由題意，=（x0，y0）（x0，y0

12、）=x023+y02=3y0210，所以y0故選：A【點評】本題考查向量的數量積公式，考查雙曲線方程，考查學生的計算能力，比較基礎6（5分）九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：”今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？“其意思為：”在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？“已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）A14斛B22斛C36斛D66斛【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積菁優(yōu)網版權所有【專題】5F：空間位置關系與距離【分析】根據圓錐的體積

13、公式計算出對應的體積即可【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，則r=8，解得r=，故米堆的體積為×××（）2×5，1斛米的體積約為1.62立方，÷1.6222，故選：B【點評】本題主要考查椎體的體積的計算，比較基礎7（5分）設D為ABC所在平面內一點，則（）ABCD【考點】96：平行向量（共線）菁優(yōu)網版權所有【專題】5A：平面向量及應用【分析】將向量利用向量的三角形法則首先表示為，然后結合已知表示為的形式【解答】解：由已知得到如圖由=；故選：A【點評】本題考查了向量的三角形法則的運用；關鍵是想法將向量表示為8（5分）函數f（x）=cos（x+）的部

14、分圖象如圖所示，則f（x）的單調遞減區(qū)間為（） A（k，k+），kzB（2k，2k+），kzC（k，k+），kzD（，2k+），kz【考點】HA：余弦函數的單調性菁優(yōu)網版權所有【專題】57：三角函數的圖像與性質【分析】由周期求出，由五點法作圖求出，可得f（x）的解析式，再根據余弦函數的單調性，求得f（x）的減區(qū)間【解答】解：由函數f（x）=cos（x+）的部分圖象，可得函數的周期為=2（）=2，=，f（x）=cos（x+）再根據函數的圖象以及五點法作圖，可得+=，kz，即=，f（x）=cos（x+）由2kx+2k+，求得 2kx2k+，故f（x）的單調遞減區(qū)間為（，2k+），kz，故選：D【點

15、評】本題主要考查由函數y=Asin（x+）的部分圖象求解析式，由周期求出，由五點法作圖求出的值；還考查了余弦函數的單調性，屬于基礎題9（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=（）A5B6C7D8【考點】EF：程序框圖菁優(yōu)網版權所有【專題】5K：算法和程序框圖【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量n的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=1，不滿足退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=2，不滿足退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=3，不滿

16、足退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=4，不滿足退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=5，不滿足退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=6，不滿足退出循環(huán)的條件；再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=，m=，n=7，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的n值為7，故選：C【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)的次數不多，或有規(guī)律時，常采用模擬循環(huán)的方法解答10（5分）（x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數為（）A10B20C30D60【考點】DA：二項式定理菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題；5P：二項式定理【分析】利用展開式的通項，即可得出結論【解答】解：（x2+x+y）

17、5的展開式的通項為Tr+1=，令r=2，則（x2+x）3的通項為=，令6k=5，則k=1，（x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數為=30故選：C【點評】本題考查二項式定理的運用，考查學生的計算能力，確定通項是關鍵11（5分）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為16+20，則r=（）A1B2C4D8【考點】L!：由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網版權所有【專題】5Q：立體幾何【分析】通過三視圖可知該幾何體是一個半球拼接半個圓柱，計算即可【解答】解：由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知，截圓柱的平面過圓柱的軸線，該幾

18、何體是一個半球拼接半個圓柱，其表面積為：×4r2+×r22r×2r+2r×2r+×r2=5r2+4r2，又該幾何體的表面積為16+20，5r2+4r2=16+20，解得r=2，故選：B【點評】本題考查由三視圖求表面積問題，考查空間想象能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題12（5分）設函數f（x）=ex（2x1）ax+a，其中a1，若存在唯一的整數x0使得f（x0）0，則a的取值范圍是（）A）B）C）D）【考點】51：函數的零點；6D：利用導數研究函數的極值菁優(yōu)網版權所有【專題】2：創(chuàng)新題型；53：導數的綜合應用【分析】設g（x）=ex（2x1）

19、，y=axa，問題轉化為存在唯一的整數x0使得g（x0）在直線y=axa的下方，求導數可得函數的極值，數形結合可得ag（0）=1且g（1）=3e1aa，解關于a的不等式組可得【解答】解：設g（x）=ex（2x1），y=axa，由題意知存在唯一的整數x0使得g（x0）在直線y=axa的下方，g（x）=ex（2x1）+2ex=ex（2x+1），當x時，g（x）0，當x時，g（x）0，當x=時，g（x）取最小值2，當x=0時，g（0）=1，當x=1時，g（1）=e0，直線y=axa恒過定點（1，0）且斜率為a，故ag（0）=1且g（1）=3e1aa，解得a1故選：D【點評】本題考查導數和極值，涉及數

20、形結合和轉化的思想，屬中檔題二、填空題（本大題共有4小題，每小題5分）13（5分）若函數f（x）=xln（x+）為偶函數，則a=1【考點】3K：函數奇偶性的性質與判斷菁優(yōu)網版權所有【專題】51：函數的性質及應用【分析】由題意可得，f（x）=f（x），代入根據對數的運算性質即可求解【解答】解：f（x）=xln（x+）為偶函數，f（x）=f（x），（x）ln（x+）=xln（x+），ln（x+）=ln（x+），ln（x+）+ln（x+）=0，ln（+x）（x）=0，lna=0，a=1故答案為：1【點評】本題主要考查了偶函數的定義及對數的運算性質的簡單應用，屬于基礎試題14（5分）一個圓經過橢圓=1

21、的三個頂點且圓心在x軸的正半軸上則該圓標準方程為（x）2+y2=【考點】K3：橢圓的標準方程菁優(yōu)網版權所有【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程【分析】利用橢圓的方程求出頂點坐標，然后求出圓心坐標，求出半徑即可得到圓的方程【解答】解：一個圓經過橢圓=1的三個頂點且圓心在x軸的正半軸上可知橢圓的右頂點坐標（4，0），上下頂點坐標（0，±2），設圓的圓心（a，0），則，解得a=，圓的半徑為：，所求圓的方程為：（x）2+y2=故答案為：（x）2+y2=【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，圓的方程的求法，考查計算能力15（5分）若x，y滿足約束條件則的最大值為3【考點】7C：簡單線性規(guī)劃

22、菁優(yōu)網版權所有【專題】59：不等式的解法及應用【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合確定的最大值【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）設k=，則k的幾何意義為區(qū)域內的點到原點的斜率，由圖象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），kOA=3，即的最大值為3故答案為：3【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，結合目標函數的幾何意義以及直線的斜率，利用數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法16（5分）在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75°BC=2，則AB的取值范圍是（，+）【考點】HT：三角形中的幾何計算菁優(yōu)網版權所有【專題

23、】15：綜合題；2：創(chuàng)新題型；58：解三角形【分析】如圖所示，延長BA，CD交于點E，設AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范圍【解答】解：方法一：如圖所示，延長BA，CD交于點E，則在ADE中，DAE=105°，ADE=45°，E=30°，設AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，BC=2，（x+m）sin15°=1，x+m=+，0x4，而AB=x+mx=+x，AB的取值范圍是（，+）故答案為：（，+）方法二：如下圖，作出底邊BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，傾斜角為150°的直線在平

24、面內移動，分別交EB、EC于A、D，則四邊形ABCD即為滿足題意的四邊形；當直線移動時，運用極限思想，直線接近點C時，AB趨近最小，為；直線接近點E時，AB趨近最大值，為+；故答案為：（，+）【點評】本題考查求AB的取值范圍，考查三角形中的幾何計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題三、解答題：17（12分）Sn為數列an的前n項和，已知an0，an2+2an=4Sn+3（I）求an的通項公式：（）設bn=，求數列bn的前n項和【考點】8E：數列的求和；8H：數列遞推式菁優(yōu)網版權所有【專題】54：等差數列與等比數列【分析】（I）根據數列的遞推關系，利用作差法即可求an的通項公式：（）求出bn=，利

25、用裂項法即可求數列bn的前n項和【解答】解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3兩式相減得an+12an2+2（an+1an）=4an+1，即2（an+1+an）=an+12an2=（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an=2，a12+2a1=4a1+3，a1=1（舍）或a1=3，則an是首項為3，公差d=2的等差數列，an的通項公式an=3+2（n1）=2n+1：（）an=2n+1，bn=（），數列bn的前n項和Tn=（+）=（）=【點評】本題主要考查數列的通項公式以及數列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關鍵18（12分）如圖，四邊

26、形ABCD為菱形，ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC（）證明：平面AEC丄平面AFC（）求直線AE與直線CF所成角的余弦值【考點】LM：異面直線及其所成的角；LY：平面與平面垂直菁優(yōu)網版權所有【專題】5F：空間位置關系與距離；5G：空間角；5H：空間向量及應用【分析】（）連接BD，設BDAC=G，連接EG、EF、FG，運用線面垂直的判定定理得到EG平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（）以G為坐標原點，分別以GB，GC為x軸，y軸，|GB|為單位長度，建立空間直角坐標系Gxyz，求得A，E，

27、F，C的坐標，運用向量的數量積的定義，計算即可得到所求角的余弦值【解答】解：（）連接BD，設BDAC=G，連接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨設BG=1，由ABC=120°，可得AG=GC=，BE平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AEEC，所以EG=，且EGAC，在直角EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，從而EG2+FG2=EF2，則EGFG，（或由tanEGBtanFGD=1，可得EGB+FGD=90°，則EGFG）ACFG=G，可得EG平面AFC，由EG平面

28、AEC，所以平面AEC平面AFC；（）如圖，以G為坐標原點，分別以GB，GC為x軸，y軸，|GB|為單位長度，建立空間直角坐標系Gxyz，由（）可得A（0，0），E（1，0，），F（1，0，），C（0，0），即有=（1，），=（1，），故cos，=則有直線AE與直線CF所成角的余弦值為【點評】本題考查空間直線和平面的位置關系和空間角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和異面直線所成的角的求法：向量法，考查運算能力，屬于中檔題19（12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量

29、yi（i=1，2，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值（xi）2（wi）2（xi）（yi）（wi）（yi）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=i，=（）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（）根據（）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；（）已知這種產品的年利潤z與x、y的關系為z=0.2yx根據（）的結果回答下列問題：（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數據（u1 v1）

30、，（u2 v2）.（un vn），其回歸線v=+u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：=，=【考點】BK：線性回歸方程菁優(yōu)網版權所有【專題】5I：概率與統(tǒng)計【分析】（）根據散點圖，即可判斷出，（）先建立中間量w=，建立y關于w的線性回歸方程，根據公式求出w，問題得以解決；（）（i）年宣傳費x=49時，代入到回歸方程，計算即可，（ii）求出預報值得方程，根據函數的性質，即可求出【解答】解：（）由散點圖可以判斷，y=c+d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型；（）令w=，先建立y關于w的線性回歸方程，由于=68，=56368×6.8=100.6，所以y關于w的線性回歸方程為=10

31、0.6+68w，因此y關于x的回歸方程為=100.6+68，（）（i）由（）知，當x=49時，年銷售量y的預報值=100.6+68=576.6，年利潤z的預報值=576.6×0.249=66.32，（ii）根據（）的結果可知，年利潤z的預報值=0.2（100.6+68）x=x+13.6+20.12，當=6.8時，即當x=46.24時，年利潤的預報值最大【點評】本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準確的計算是本題的關鍵，屬于中檔題20（12分）在直角坐標系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a0）交于M，N兩點（）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程（）y軸上是否

32、存在點P，使得當k變動時，總有OPM=OPN？（說明理由）【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網版權所有【分析】（I）聯(lián)立，可得交點M，N的坐標，由曲線C：y=，利用導數的運算法則可得：y=，利用導數的幾何意義、點斜式即可得出切線方程（II）存在符合條件的點（0，a），設P（0，b）滿足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為x24kx4a=0，利用根與系數的關系、斜率計算公式可得k1+k2=k1+k2=0直線PM，PN的傾斜角互補OPM=OPN即可證明【解答】解：（I）聯(lián)立，不妨取M，N，由曲線C：y=可得：y=，

33、曲線C在M點處的切線斜率為=，其切線方程為：ya=，化為同理可得曲線C在點N處的切線方程為：（II）存在符合條件的點（0，a），下面給出證明：設P（0，b）滿足OPM=OPNM（x1，y1），N（x2，y2），直線PM，PN的斜率分別為：k1，k2聯(lián)立，化為x24kx4a=0，x1+x2=4k，x1x2=4ak1+k2=+=當b=a時，k1+k2=0，直線PM，PN的傾斜角互補，OPM=OPN點P（0，a）符合條件【點評】本題考查了導數的運算法則、利用導數的幾何意義研究切線方程、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題21（12分

34、）已知函數f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）用minm，n表示m，n中的最小值，設函數h（x）=minf（x），g（x）（x0），討論h（x）零點的個數【考點】6E：利用導數研究函數的最值；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網版權所有【專題】2：創(chuàng)新題型；53：導數的綜合應用【分析】（i）f（x）=3x2+a設曲線y=f（x）與x軸相切于點P（x0，0），則f（x0）=0，f（x0）=0解出即可（ii）對x分類討論：當x（1，+）時，g（x）=lnx0，可得函數h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，即可得出零點的個

35、數當x=1時，對a分類討論：a，a，即可得出零點的個數；當x（0，1）時，g（x）=lnx0，因此只考慮f（x）在（0，1）內的零點個數即可對a分類討論：當a3或a0時，當3a0時，利用導數研究其單調性極值即可得出【解答】解：（i）f（x）=3x2+a設曲線y=f（x）與x軸相切于點P（x0，0），則f（x0）=0，f（x0）=0，解得，a=因此當a=時，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）當x（1，+）時，g（x）=lnx0，函數h（x）=min f（x），g（x）0，故h（x）在x（1，+）時無零點當x=1時，若a，則f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=g（1）=0，

36、故x=1是函數h（x）的一個零點；若a，則f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=f（1）0，故x=1不是函數h（x）的零點；當x（0，1）時，g（x）=lnx0，因此只考慮f（x）在（0，1）內的零點個數即可當a3或a0時，f（x）=3x2+a在（0，1）內無零點，因此f（x）在區(qū)間（0，1）內單調，而f（0）=，f（1）=a+，當a3時，函數f（x）在區(qū)間（0，1）內有一個零點，當a0時，函數f（x）在區(qū)間（0，1）內沒有零點當3a0時，函數f（x）在內單調遞減，在內單調遞增，故當x=時，f（x）取得最小值=若0，即，則f（x）在（0，1）內無零點若=0，即a=，則f（x）

37、在（0，1）內有唯一零點若0，即，由f（0）=，f（1）=a+，當時，f（x）在（0，1）內有兩個零點當3a時，f（x）在（0，1）內有一個零點綜上可得：a時，函數h（x）有一個零點當時，h（x）有一個零點；當a=或時，h（x）有兩個零點；當時，函數h（x）有三個零點【點評】本題考查了導數的運算法則、利用導數的幾何意義研究切線方程、利用導數研究函數的單調性極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題選修4一1:幾何證明選講22（10分）如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點E（）若D為AC的中點，證明：DE是O的切線；（）若OA=CE，求ACB的大小【考點】N9：圓的切線的判定定理的證明菁優(yōu)網版權所有【專題】5B：直線與圓【分析】（）連接AE和OE，由三角形和圓的知識易得OED=90°，可得DE是O的切線；（）設CE=1，AE=x，由射影定理可得關于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度【解答】解：（）連接AE，由已知得AEBC，ACAB，在RTABC中，由已知可得DE=DC，DE