第一章82函數(shù)的的連續(xù)性

1、0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 無窮小的比較設(shè) , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小復(fù)習(xí)常用的等價無窮小.當(dāng)x0時, sinx x, tanx x, arctanx x, arcsinx x, ex1 x, ln(1+x) x, 2cos12xx)0,( ,1)1 (kRkkxxk11nxxn1函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義在在二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim

2、0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點)(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一函數(shù) f (x) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點間斷點 . 在無定義 ;xytan) 1 (2x沒有定義.例如例如:xytan2xyo2x為其無窮間斷點 . 因為xxtanlim2 xxfsgn)()2(不存在 sgnlim0 xx-1 sgnlim-0 xx1 sgnlim0 xx0 x為其跳躍間斷點 .xyo11 因函數(shù)f(x)的圖形在x0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象 我們稱x0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點 例例 2 函數(shù)xy1sin在點 x0

3、 沒有定義 當(dāng)x0時 函數(shù)值在1與1之間變動無限多次 所以點x0是函數(shù)的間斷點 所以點x0稱為函數(shù)的振蕩間斷點 xy1sin1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy12) 1(lim11lim121xxxxx處沒有定義在 1 xy處連續(xù)則函數(shù)在點時，如果令1x , 2y 1 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.1)(lim, 0)0(sgn)()4(02xffxxfx，）（0 1 sgn0 0 sgn0 1 sgnxxxxxx當(dāng)當(dāng)當(dāng))0()(lim0fxfx0 x為其可去間斷點 .xyo1

4、所以x1是函數(shù)f(x)的間斷點 如果改變函數(shù)f(x)在x1處的定義 令f(1)1 則函數(shù)在x1成為連續(xù) 所以x1也稱為此函數(shù)的可去間斷點 例例例 4 設(shè)函數(shù)1 211 )(xxxxfy 因為1lim)(lim11xxfxx) 1 ()(lim1fxfx 21) 1 ( f 間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:不是第一類間斷點的任何間斷點稱0 x若其中有一個為振蕩 ,稱0 x若極限為,為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點無窮間斷點 .為振蕩間

5、斷點振蕩間斷點 .1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(5)xoy211(6) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在 第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點在點間斷的類型)(. 1xf0 x在點連續(xù)的等價形式三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性定理定理1-3. 在某點連續(xù)的有限個

6、函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,商(分母不為 0) 運算, 結(jié)果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) .定理定理1-31-3.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)在點則處連續(xù)在點若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)故xxxx三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).證：令)()()(,)(),(0 xgxfxFxxgxf處連續(xù)在點函數(shù))()(lim)(lim00 xgxfxFxxxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx)()(00 xgxf)(0 xF),(),

7、 0(,sin1ln1)(eeDxxxxxf基本函數(shù)，x,sinx,lnx在D內(nèi)連續(xù)，所以f(x)在D內(nèi)連續(xù)指數(shù)函數(shù)ax (a0 a 1)對于一切實數(shù)x都有定義且在區(qū)間( )內(nèi)是單調(diào)的和連續(xù)的 它的值域為(0 )對數(shù)函數(shù)log ax (a0 a 1)作為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù)在區(qū)間(0 )內(nèi)單調(diào)且連續(xù)冪函數(shù)yxm 的定義域隨m的值而異 但無論m為何值 在區(qū)間(0 )內(nèi)冪函數(shù)總是有定義的設(shè)x0 則yx 因此 冪函數(shù)xm可看作是由yau umlogax 復(fù)合而成的xaalog2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理4. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)(遞減).(證明略)遞增(遞減).),(|)(,)(1續(xù)單

8、調(diào)增加（減少）且連上也在對應(yīng)的區(qū)間那么它的反函數(shù)（減少）且連續(xù)上單調(diào)增加在區(qū)間如果函數(shù)xyxIxxfyyIyfxIxfy函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于y=x對稱函數(shù)有反函數(shù)：單調(diào)例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.; 1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)在同理xy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)在xarcyxyxey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, 定理定理5.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點 x.)(00u

9、x,)(0連續(xù)在點函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu那么復(fù)合函數(shù)且即)(xf.0連續(xù)在點 x例如例如,), 0()0,(1內(nèi)連續(xù)在xu,),(sin內(nèi)連續(xù)在uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)在xy3、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .注意注意初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法)()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx內(nèi)的點的一個定義區(qū)間是點 )(0,

10、sinln)( 20 xxfxxsinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(02sinlnsinlnlim0 xxx例70 2cos0 )1ln()(xxxxxaxf當(dāng)當(dāng)在（-，+ ）內(nèi)連續(xù)，求a解：axaxxxaxffxxx000lim )1ln(lim)(lim)0(10cos2coslim)(lim)0(00 xxffxx10cos)02cos()0(f時即1 )0()0()0(afff當(dāng)f(x)在（-，+ ）內(nèi)連續(xù)例例. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (log