第一章82函數(shù)的的連續(xù)性

1、0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 無(wú)窮小的比較設(shè) , 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小, 且 是 的高階無(wú)窮小 是 的低階無(wú)窮小 是 的同階無(wú)窮小 是 的等價(jià)無(wú)窮小 是 的 k 階無(wú)窮小復(fù)習(xí)常用的等價(jià)無(wú)窮小.當(dāng)x0時(shí), sinx x, tanx x, arctanx x, arcsinx x, ex1 x, ln(1+x) x, 2cos12xx)0,( ,1)1 (kRkkxxk11nxxn1函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義在在二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim

2、0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在無(wú)定義 ;xytan) 1 (2x沒(méi)有定義.例如例如:xytan2xyo2x為其無(wú)窮間斷點(diǎn) . 因?yàn)閤xtanlim2 xxfsgn)()2(不存在 sgnlim0 xx-1 sgnlim-0 xx1 sgnlim0 xx0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .xyo11 因函數(shù)f(x)的圖形在x0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象 我們稱x0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn) 例例 2 函數(shù)xy1sin在點(diǎn) x0

3、 沒(méi)有定義 當(dāng)x0時(shí) 函數(shù)值在1與1之間變動(dòng)無(wú)限多次 所以點(diǎn)x0是函數(shù)的間斷點(diǎn) 所以點(diǎn)x0稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn) xy1sin1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy12) 1(lim11lim121xxxxx處沒(méi)有定義在 1 xy處連續(xù)則函數(shù)在點(diǎn)時(shí)，如果令1x , 2y 1 x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).1)(lim, 0)0(sgn)()4(02xffxxfx，）（0 1 sgn0 0 sgn0 1 sgnxxxxxx當(dāng)當(dāng)當(dāng))0()(lim0fxfx0 x為其可去間斷點(diǎn) .xyo1

4、所以x1是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn) 如果改變函數(shù)f(x)在x1處的定義 令f(1)1 則函數(shù)在x1成為連續(xù) 所以x1也稱為此函數(shù)的可去間斷點(diǎn) 例例例 4 設(shè)函數(shù)1 211 )(xxxxfy 因?yàn)?lim)(lim11xxfxx) 1 ()(lim1fxfx 21) 1 ( f 間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱0 x若極限為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) .為振蕩間

5、斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(5)xoy211(6) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性定理定理1-3. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)

6、函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,商(分母不為 0) 運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .定理定理1-31-3.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)在點(diǎn)則處連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)故xxxx三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).證：令)()()(,)(),(0 xgxfxFxxgxf處連續(xù)在點(diǎn)函數(shù))()(lim)(lim00 xgxfxFxxxx)(lim)(lim00 xgxfxxxx)()(00 xgxf)(0 xF),(),

7、 0(,sin1ln1)(eeDxxxxxf基本函數(shù)，x,sinx,lnx在D內(nèi)連續(xù)，所以f(x)在D內(nèi)連續(xù)指數(shù)函數(shù)ax (a0 a 1)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都有定義且在區(qū)間( )內(nèi)是單調(diào)的和連續(xù)的 它的值域?yàn)?0 )對(duì)數(shù)函數(shù)log ax (a0 a 1)作為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù)在區(qū)間(0 )內(nèi)單調(diào)且連續(xù)冪函數(shù)yxm 的定義域隨m的值而異 但無(wú)論m為何值 在區(qū)間(0 )內(nèi)冪函數(shù)總是有定義的設(shè)x0 則yx 因此 冪函數(shù)xm可看作是由yau umlogax 復(fù)合而成的xaalog2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理4. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)(遞減).(證明略)遞增(遞減).),(|)(,)(1續(xù)單

8、調(diào)增加（減少）且連上也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間那么它的反函數(shù)（減少）且連續(xù)上單調(diào)增加在區(qū)間如果函數(shù)xyxIxxfyyIyfxIxfy函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱函數(shù)有反函數(shù)：?jiǎn)握{(diào)例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.; 1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)在同理xy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)在xarcyxyxey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, 定理定理5.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點(diǎn) x.)(00u

9、x,)(0連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu那么復(fù)合函數(shù)且即)(xf.0連續(xù)在點(diǎn) x例如例如,), 0()0,(1內(nèi)連續(xù)在xu,),(sin內(nèi)連續(xù)在uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)在xy3、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .注意注意初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法)()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx內(nèi)的點(diǎn)的一個(gè)定義區(qū)間是點(diǎn) )(0,

10、sinln)( 20 xxfxxsinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(02sinlnsinlnlim0 xxx例70 2cos0 )1ln()(xxxxxaxf當(dāng)當(dāng)在（-，+ ）內(nèi)連續(xù)，求a解：axaxxxaxffxxx000lim )1ln(lim)(lim)0(10cos2coslim)(lim)0(00 xxffxx10cos)02cos()0(f時(shí)即1 )0()0()0(afff當(dāng)f(x)在（-，+ ）內(nèi)連續(xù)例例. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (log