排列組合知識(shí)點(diǎn)匯總及典型例題

1、一. 基本原理1 加法原理：做一件事有 n類(lèi)辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類(lèi)方法數(shù)相加。2 乘法原理：做一件事分 n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。二. 排列：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m ( m < n ) 個(gè)元素，按照一定的順序排成 列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所 有排列的個(gè)數(shù)記為A；.1.公式：1. A； n n 1 n 2n!n m!總二朋去Al,燒HQ跟朋eN2.-1規(guī)定：0!1(1)n! n(n 1)!,( n1) n!(n 1)!(2) n n!(；1)1 n! (n

2、1) n!n!(n1)! n!;1 1n 11 11(；1)!組合：從(n 1)! (n 1)!n個(gè)不同元素中任取(n 1)! n! (n 1)!m( nK n)個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不同的m元素中任取m個(gè)元素的組合數(shù)，記作 Cn。1.公式：AmmnC nmmmn n1 nm 1n!龍工燒岸>Af規(guī)定:C0 1m!m!n m !cmn mc n ，2組合數(shù)性質(zhì):cn 2n二；-：-；匚、-注：C：c： 1 c：r 2 L c； 1 c；C：11 c： 1 c：2 L c；1 c；c： 2 C： 2 L c；1 c；cn;若c；1 c；2則 m4=m2或m1+m2 n四.處理排列組合

3、應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無(wú)序分步還是分類(lèi)。2 .解排列、組合題的基本策略(1) 兩種思路：直接法；間接法：對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。(2) 分類(lèi)處理：當(dāng)問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常分成若干類(lèi)，再由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得岀結(jié)論。注意：分類(lèi)不重復(fù)不遺漏。即：每?jī)深?lèi)的交集為空集，所有各類(lèi)的并集為全集。(3) 分步處理：與分類(lèi)處理類(lèi)似，某些問(wèn)題總體不好解決時(shí)， 常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。 在處理排列組合問(wèn)題時(shí)， 常常既要分類(lèi),又要分步。其原則是先分類(lèi)，后分步。(4) 兩種途徑：元素分析法；位置分析

4、法。3 排列應(yīng)用題：(1) 窮舉法(列舉法)：將所有滿(mǎn)足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉岀來(lái)；(2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；(3) .相鄰問(wèn)題：捆邦法：對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問(wèn)題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。(4) 、全不相鄰問(wèn)題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法.即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再將不相 鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。(5) 、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，

5、然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選岀定序元素的位置不參加排列，先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè)位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有 2種排法；(6) “小團(tuán)體”排列問(wèn)題一一采用先整體后局部策略對(duì)于某些排列問(wèn)題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體"時(shí)，可先將“小團(tuán)體"看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體"內(nèi)部的排列。(7) 分排問(wèn)題用“直排法"把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸納為一排考慮，再分段處理。(8) .數(shù)字問(wèn)題(組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù) 能被2整

6、除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5 能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25, 50，75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4 .組合應(yīng)用題：(1). “至少"“至多"問(wèn)題用間接排除法或分類(lèi)法：(2). “含"與“不含" 用間接排除法或分類(lèi)法：3 .分組問(wèn)題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得

7、組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4. 分配問(wèn)題:定額分配：(指定到具體位置)即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：(不指定到具體位置)即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5. 隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問(wèn)題例1.電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告， 則共有種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示)解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A2種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有 代4種，從而應(yīng)當(dāng)填 A48.從而應(yīng)填48.例人排成

8、一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即 a6 A5 A5 A：7202 120 24504解二：(1)分類(lèi)求解：按甲排與不排在最右端分類(lèi).（i）甲排在最右端時(shí)，有a5種排法；（2）甲不排在最右端（甲不排在最左端）時(shí)，則甲有a4種排法，乙有a1種排法，其他人有 A種排法，共有a4 a4 a4種排法，分類(lèi)相加得共有 a5+a4 a4 a4 =504種排法例.有4個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個(gè)位置上任取4個(gè)位置排男生，有 A；種排法.剩余的3個(gè)位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法

9、，故共有 A； 仁840種.1.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取 3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有333解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C9 C4 C570種,選.C解析2:至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型i臺(tái)乙型2 臺(tái);甲型2臺(tái)乙型i 臺(tái);故不同的取法有c；c： c5c270臺(tái)，選c .2 從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽.（1）如果4人中男生和女生各選 2人，有 種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的 乙必須在內(nèi)，有 _種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有 1人

10、在內(nèi)，有_種選法;（4）如果4人中必須既有男生又有女生，有 種選法.分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問(wèn)題.由于選岀的人沒(méi)有地位的差異，所以是組合問(wèn)題.2 2 2 2解：（1）先從男生中選2人，有c5種選法，再?gòu)呐羞x2人，有c4種選法，所以共有C5C4 =60 （種）；（2）除去甲、乙之外，其余 2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有 C；C；=21（種）；44（3） 在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條件的選法數(shù)：C9C7 =91 （種）；直接法，則可分為3類(lèi)：只含甲；只含乙；同時(shí)含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)clc； clc3 c；c： C C； C； =

11、91 （種）.（4） 在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)c4 C： c4 =120 （種）.直接法：分別按照含男生1、2、3人分類(lèi)，得到符合條件的選法為c5c3 c；c2 c；c；=i2o（種）.1 6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車(chē)，每輛車(chē)最多坐4人，則不同的乘車(chē)方法數(shù)為（）A. 40B. 50C. 60D. 70c3解析先分組再排列，一組2人一組4人有C6= 15種不同的分法；兩組各 3人共有冗=10種不同的分法，所以乘車(chē)方法數(shù)為25X 2= 50,故選B.2 .有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有 3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有（）A. 36 種B. 48 種 C

12、 . 72 種D. 96 種解析恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共A3A2= 72種排法，故選C.3.只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）A. 6 個(gè)B. 9 個(gè)C . 18 個(gè)D. 36 個(gè)解析注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C3= 3（種）選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有A；X c3 = 6（種）排法，所以共有3 X 6= 18（種）情況，即這樣的四位數(shù)有 18個(gè).4 男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，

13、從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）A. 2人或3人 B . 3人或4人 C . 3人 D . 4人解析設(shè)男生有n人，則女生有（8 n）人，由題意可得 GcLn= 30,解得n= 5或n = 6,代入驗(yàn)證，可知女生為 2人或3人.5 某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（）A. 45 種B. 36 種 C . 28 種D. 25 種解析因?yàn)?0- 8的余數(shù)為2,故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)階的有6步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有 2步，那么共有C = 28種走法.6. 某公司招聘來(lái)8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門(mén)，

14、其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能分在同一個(gè)部門(mén)，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門(mén)，則不同的分配方案共有（）A . 24 種B . 36 種 C . 38 種D. 108 種解析本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門(mén)，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C種分法，然后再分到兩部門(mén)去共有CA2種方法，第三步只需將其他 3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個(gè)部門(mén)各4人，故分組后兩人所去的部門(mén)就已確定，故第三步共有C種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2C3Aia = 36（種）.7. 已知集合A= 5，B= 1,2，C= 1,3,4

15、，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A . 33B . 34 C . 35D . 36解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有C2 A3 = 12個(gè)； 所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有 1個(gè)1的有C A3+ &= 18個(gè)； 所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有 2個(gè)1的有C = 3個(gè).故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12+ 18 + 3= 33個(gè)，故選A.8 .由1、2、3、4、5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且 1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A . 72B . 96 C . 108D. 144解析分兩類(lèi)：若1與3相鄰，有A1 少話=

16、72（個(gè)），若1與3不相鄰有 險(xiǎn)A3= 36（個(gè)）故共有72+ 36= 108個(gè).9.如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有（）A . 50 種B . 60 種 C . 120 種D. 210 種解析先安排甲學(xué)校的參觀時(shí)間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6種：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任選一種為 C，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀， 安排方法有A種，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有不同的安排方法c6A2= 120種，故選C.

17、10 .安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5月1日和2日，不同的安排方法共有 種.（用數(shù)字作答）解析先安排甲、乙兩人在后5天值班，有A = 20（種）排法，其余5人再進(jìn)行排列，有 A = 120（種）排法，所以共有20X 120= 2400（種）安排方法.11. 今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有 種不同的排法.（用數(shù)字作答）解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問(wèn)題，共有C4 C5 CU 1260（種）排法.種（用數(shù)字作答）.種不同的種法（用數(shù)12. 將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，

18、另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有C2C2解析先將6名志愿者分為4組，共有百種分法，再將4組人員分到4個(gè)不同場(chǎng)館去，共有 啟種分法，故所有分配C2 c方案有：一a4= 1 080種.(B) 18 種C；r_ RjCA： =1S*種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有主種方法，共有 At *(C) 36 種(D) 54 種種,解析5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，.有 4 X 3X 2X （1 X 2+ 1 X 1） = 72 種.14將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中若

19、每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A） 12 種7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不【解析】標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有 故選B.15.某單位安排7位員工在10月1日至 排在10月7日，則不同的安排方案共有A. 504 種13. 要在如圖所示的花圃中的 5個(gè)區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有 字作答）.B. 960C. 1008種 D. 1108214解析：分兩類(lèi)：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào) 共有2 A；A；A：種方法甲乙排中間，丙排7號(hào)或不排7號(hào)，共有4A；（A：a3a3a3 ）種方法

20、故共有1008種不同的排法1. 排列和組合的X別和聯(lián)系=名稱(chēng):排列；組合一個(gè)從“個(gè)不同元淚屮取出m個(gè)元 素，按一定的順序排成一列從H個(gè)不冋元狷屮収出H1個(gè)元 秦*把它并成一級(jí)"數(shù)所有排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)符號(hào)IVU；種數(shù) 公式47 =1）（/七一FFt+】）心冊(cè)爲(wèi)!強(qiáng)=曲0!=11>- -WH-1)If 1關(guān)系性質(zhì)J”蟲(chóng)fH十 j全排列：n個(gè)不同兀索全部取出的一個(gè)排夕嘰全排例數(shù)公式：所 冇全排列的個(gè)數(shù)，即=-1）x（/z-2） X2x I排列組合二項(xiàng)式定理1，分類(lèi)計(jì)數(shù)原理 完成一件事有幾類(lèi)方法，各類(lèi)辦法相互獨(dú)立每類(lèi)辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨(dú)立的完成這個(gè)事情）分步

21、計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法2, 排列排列定義：從n個(gè)不同元素中，任取 m(me n)個(gè)元素(被取出的元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列mAn公式m _ n!An (n m)!規(guī)定0!=1排列數(shù)定義；從n個(gè)不同元素中，任取 m(me n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)3, 組合組合定義 從n個(gè)不同元素中，任取 m(men)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素 中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中，任取 m(me n)個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)m= n! Cn m!( n m)!mn mmmm 1性質(zhì) Cn=Cn

22、 Cni。6排列組合題型總結(jié)一. 直接法1 .特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，試求滿(mǎn)足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)(1) 數(shù)字1不排在個(gè)位和千位(2) 數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。分析：(1)個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇 A；,其余2位有四個(gè)可供選擇 A：,由乘法原理：A5 a4 =2402.特殊位置法(2)當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有a；=60,1不在千位時(shí)，千位有a4種選法，個(gè)位有a4種，余下的有a"，共有a4a4a： =192所以總共有 192+60=252二間接法 當(dāng)直接法求解類(lèi)別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中(2)可用間接法 A4

23、 2A； A4=252Eg有五張卡片，它的正反面分別寫(xiě)0與1, 2與3, 4與5, 6與7, 8與9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù) C； 23 A3個(gè)，其中0在百位的有C： 22 A個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù) C； 23 A33- C42 22 Af =432Eg三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排(1) 女生必須全排在一起有多少種排法(捆綁法)(2) 女生必須全分開(kāi)(插空法須排的元素必須相鄰)(3) 兩端不能排女生(4) 兩端不能全排女生(5) 如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法二. 插空法

24、 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目 且保持原節(jié)引順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有A9 Aw =100中插入方法。三. 捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。23i 四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有種(),2，某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有(C；9 A；：)(注意連續(xù)參觀2天，即需把

25、30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來(lái)選有C；9其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列)四. 閣板法名額分配或相同物品的分配問(wèn)題，適宜采閣板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共_種。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有c：種五平均分推問(wèn)題eg 6本不同的書(shū)按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？(1) 平均分成三堆，(2) 平均分給甲乙丙三人(3) 一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本(4) 甲得一本，乙得兩本，丙得三本(一種分組對(duì)應(yīng)一種方案)(5) 一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析：1,分出三堆書(shū)(a,a2),(a 3,a"，(a5,a6)由順序