高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽 高階等差數(shù)列專題培訓(xùn)

1、高階等差數(shù)列一、基本知識(shí)1.定義：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列an，把它的連結(jié)兩項(xiàng)an+1與an的差an+1-an記為bn，得到一個(gè)新數(shù)列 bn，把數(shù)列bn你為原數(shù)列an的一階差數(shù)列，如果cn=bn+1-bn，則數(shù)列cn是an的二階差數(shù)列依此類推，可得出數(shù)列an的p階差數(shù)列，其中pÎN2.如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一非零常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列3.高階等差數(shù)列是二階或二階以上等差數(shù)列的統(tǒng)稱4.高階等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)如果數(shù)列an是p階等差數(shù)列，則它的一階差數(shù)列是p-1階等差數(shù)列(2)數(shù)列an是p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列an的通項(xiàng)是關(guān)于n的p次多項(xiàng)式(3) 如果數(shù)列an是p階等差數(shù)列

2、，則其前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的p+1次多項(xiàng)式5.高階等差數(shù)列中最重要也最常見的問(wèn)題是求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，更深層次的問(wèn)題是差分方程的求解，解決問(wèn)題的基本方法有：(1)逐差法：其出發(fā)點(diǎn)是an=a1+(2)待定系數(shù)法：在已知階數(shù)的等差數(shù)列中，其通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn是確定次數(shù)的多項(xiàng)式(關(guān)于n的)，先設(shè)出多項(xiàng)式的系數(shù)，再代入已知條件解方程組即得(3)裂項(xiàng)相消法：其出發(fā)點(diǎn)是an能寫成an=f(n+1)-f(n)(4)化歸法：把高階等差數(shù)列的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易求的同階等差數(shù)列或低階等差數(shù)列的問(wèn)題，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的二、例題精講例1.數(shù)列an的二階差數(shù)列的各項(xiàng)均為16，且a63=a89=10，求a51解：法一：顯然an的

3、二階差數(shù)列bn是公差為16的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a,則bn=a+(n-1)×16,于是an= a1+=a1+(n-1)a+8(n-1)(n-2)這是一個(gè)關(guān)于n的二次多項(xiàng)式，其中n2的系數(shù)為8，由于a63=a89=10,所以an=8(n-63)(n-89)+10，從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658解：法二：由題意，數(shù)列an是二階等差數(shù)列，故其通項(xiàng)是n的二次多項(xiàng)式，又a63=a89=10，故可設(shè)an=A(n-63)(n-89)+10由于an是二階差數(shù)列的各項(xiàng)均為16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16即a3-2a2+a1=16，所以A(3-63)(3-89)

4、+10-2A(2-63)(2-89)+10+A(1-63)×(1-89)+10=16解得：A=8an=8(n-63)(n-89)+10，從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658例2.一個(gè)三階等差數(shù)列an的前4項(xiàng)依次為30,72,140,240，求其通項(xiàng)公式解：由性質(zhì)(2)，an是n的三次多項(xiàng)式，可設(shè)an=An3+Bn2+Cn+D由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得解得：所以an=n3+7n2+14n+8例3.求和：Sn=1×3×22+2×4×32+n(n+2)(n+1)2解：Sn是是數(shù)列n(n+2)(n+1)

5、2的前n項(xiàng)和，因?yàn)閍n=n(n+2)(n+1)2是關(guān)于n的四次多項(xiàng)式，所以an是四階等差數(shù)列，于是Sn是關(guān)于n的五次多項(xiàng)式k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求Sn可轉(zhuǎn)化為求Kn=和Tn=k(k+1)(k+2)(k+3)= k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)，所以Kn=Tn=從而Sn=Kn-2Tn=例4.已知整數(shù)列an適合條件：(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,(2)2a2=a1+a3-2(3)a5-a4=9,a1=1求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn解：設(shè)bn=an+1

6、-an,Cn=bn+1-bnCn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1=Cn-1 (n=2,3,4,)所以 Cn是常數(shù)列由條件(2)得C1=2,則an是二階等差數(shù)列因此an=a1+由條件(3)知b4=9，從而b1=3，于是an=n2例5.求證：二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為證明：設(shè)an的一階差數(shù)列為bn，二階差數(shù)列為cn，由于an是二階等差數(shù)列，故cn為常數(shù)列又c1=b2-b1=a3-2a2+a1所以例6.求數(shù)列1,3+5+7,9+11+13+15+17,的通項(xiàng)解：

7、問(wèn)題等價(jià)于：將正奇數(shù)1,3,5,按照“第n個(gè)組含有2n-1個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組：(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17), 然后求第n組中各數(shù)之和an依分組規(guī)則，第n組中的數(shù)恰好構(gòu)成以2為公差的項(xiàng)數(shù)為2n-1的等差數(shù)列，因而確定了第n組中正中央這一項(xiàng)，然后乘以(2n-1)即得an將每一組的正中央一項(xiàng)依次寫出得數(shù)列：1,5,13,25,這個(gè)數(shù)列恰為一個(gè)二階等差數(shù)列，不難求其通項(xiàng)為2n2-2n+1，故第n組正中央的那一項(xiàng)為2n2-2n+1，從而an=(2n-2n+1)(2n-1)例7.數(shù)列an的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求an的通項(xiàng)公式解：易算出a

8、n的二階差數(shù)列cn是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,則cn=2n,an的一階差數(shù)列設(shè)為bn，則b1=1且從而例8.設(shè)有邊長(zhǎng)為1米的正方形紙一張，若將這張紙剪成一邊長(zhǎng)為別為1厘米、3厘米、(2n-1)厘米的正方形，愉好是n個(gè)而不剩余紙，這可能嗎？解：原問(wèn)題即是是否存在正整數(shù)n，使得12+32+(2n-1)2=1002由于12+32+(2n-1)2=12+22+(2n)2-22+42+(2n)2=隨著n的增大而增大，當(dāng)n=19時(shí)=9129<10000，當(dāng)n=20時(shí)=10660>10000故不存在例9.對(duì)于任一實(shí)數(shù)序列A=a1,a2,a3,，定義DA為序列a2-a1,a3-a2,，它的第n項(xiàng)為an+1-an，假