高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-第七章極限7-2 上極限和下極限

1、一、上（下）極限的基本概念 數(shù)列的上極限與下極限是非常有用的概念,通過它們可得出數(shù)列極限存在的另一個(gè)充要條件.在下冊(cè)第十二、十四章討論級(jí)數(shù)收斂性時(shí),常會(huì)遇到所考慮的某些數(shù)列不存在極限的情形,那時(shí)需要用上極限或下極限來解決問題.此外,對(duì)于不少后繼課程來說,上(下)極限也是不可缺少的工具.*2 上極限和下極限數(shù)學(xué)分析 第七章實(shí)數(shù)的完備性二、上（下）極限的基本性質(zhì)*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)定義1上(下)極限的基本概念注注 點(diǎn)集的聚點(diǎn)與數(shù)列的聚點(diǎn)之間的區(qū)別在于點(diǎn)集的聚點(diǎn)與數(shù)列的聚點(diǎn)之間的區(qū)

2、別在于: 若數(shù)列若數(shù)列nx滿足滿足: 在數(shù)在數(shù)0 x的任何一個(gè)鄰的任何一個(gè)鄰域域內(nèi)均內(nèi)均含有含有 中的中的無限多項(xiàng)無限多項(xiàng), 則稱則稱 x0 是數(shù)列是數(shù)列 的的nxnx常數(shù)列常數(shù)列()naa 只有一個(gè)聚點(diǎn)只有一個(gè)聚點(diǎn): a . 的一個(gè)聚點(diǎn)的一個(gè)聚點(diǎn). 限多個(gè)項(xiàng)限多個(gè)項(xiàng)”. 前者要求前者要求 “含有無限多個(gè)點(diǎn)含有無限多個(gè)點(diǎn)”, 后者要求后者要求 “含有無含有無 現(xiàn)舉例如下現(xiàn)舉例如下:后退 前進(jìn) 目錄 退出上（下）極限的基本概念數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)定理7.4有界數(shù)列至少存在一個(gè)聚點(diǎn)有界數(shù)列至少存在一個(gè)聚點(diǎn), 并

3、且有最大并且有最大聚點(diǎn)聚點(diǎn)和和但作為數(shù)列但作為數(shù)列來說來說, 它卻有兩個(gè)聚點(diǎn)它卻有兩個(gè)聚點(diǎn):11. 和和有五有五個(gè)聚點(diǎn)個(gè)聚點(diǎn): sin4n數(shù)列數(shù)列0,.knxxk 從數(shù)列聚點(diǎn)的定義不難看出從數(shù)列聚點(diǎn)的定義不難看出, x0 是數(shù)列是數(shù)列 的的聚聚 nx( 1) n 作為點(diǎn)集來說它僅有兩個(gè)點(diǎn)作為點(diǎn)集來說它僅有兩個(gè)點(diǎn), 點(diǎn)點(diǎn)的一個(gè)充要條件是的一個(gè)充要條件是:最小聚點(diǎn)最小聚點(diǎn). . 故沒有聚點(diǎn)故沒有聚點(diǎn);, 1 ,22 , 0,22. 1上（下）極限的基本概念,knxnx存在存在 的一個(gè)子列的一個(gè)子列數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基

4、本性質(zhì)又設(shè)又設(shè) |,nEx xx 是是的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)由于由于 E 非空有界非空有界, 故由確界原理故由確界原理, sup,inf.AEAE下面證明下面證明A是是 xn 的最大聚點(diǎn)的最大聚點(diǎn), 亦即亦即.EA證證 設(shè)設(shè)nx為有界數(shù)列為有界數(shù)列, 的一個(gè)聚點(diǎn)的一個(gè)聚點(diǎn).0nxx是是于是于是首先首先, 由上確界的性質(zhì)由上確界的性質(zhì), 由致密性定理由致密性定理, 存在一個(gè)存在一個(gè)收斂子列收斂子列,knx),(0 kxxkn,Ean 使使.Aan存在存在上（下）極限的基本概念存在存在因?yàn)橐驗(yàn)閕a是是nx的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), , , 所以對(duì)任意正數(shù)所以對(duì)任意正數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育

5、出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì),11 存在存在,1nx使使;1|11 axn,212 存在存在221(),nxnn 使使221|;2nxa,1kk 存在存在1(),knkkxnn 使使;1|kaxknk .上（下）極限的基本概念(,)iiaanx內(nèi)含有內(nèi)含有的無限多項(xiàng)的無限多項(xiàng). 現(xiàn)依次令現(xiàn)依次令這樣就得到了這樣就得到了 xn 的一個(gè)子列滿足的一個(gè)子列滿足:, knxlimlim()lim,kknnkkkkkxxaaA.AE所所以以同理可證同理可證.EA即證得即證得,nAx也也是是的的一一個(gè)個(gè)聚聚點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極

6、限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)定義2稱為稱為nx的上、下極限的上、下極限, 記為記為 lim,lim.nnnnAxAx上（下）極限的基本概念有界數(shù)列有界數(shù)列nx的最大聚點(diǎn)的最大聚點(diǎn)A與最小聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn) A分別分別注注 由定理由定理 7.4 得知得知, 有界數(shù)列必有上有界數(shù)列必有上、下極限下極限. 提供了一個(gè)新的平臺(tái)提供了一個(gè)新的平臺(tái). 的上的上、下極限總是存在的下極限總是存在的, 這為研究數(shù)列的性質(zhì)這為研究數(shù)列的性質(zhì) 極限來研究該數(shù)列往往是徒勞的極限來研究該數(shù)列往往是徒勞的; 數(shù)列若有界數(shù)列若有界, 它的極限可以不存在它的極限可以不存在, 此時(shí)想通過此時(shí)想通過 這樣這

7、樣, 上上、下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來了下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來了: 但是有界數(shù)列但是有界數(shù)列一個(gè)一個(gè) 數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)例例1 考察以下兩個(gè)數(shù)列的上考察以下兩個(gè)數(shù)列的上、下極限、下極限: :lim( 1)1,lim( 1)1.11nnnnnnnn 111limlim0 (lim);nnnnnn從中可大致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限從中可大致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系. . 詳細(xì)討論請(qǐng)見下文詳細(xì)討論請(qǐng)見下文. . 上（下）極限的基本概念數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)

8、的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)定理7.6定理7.5上(下)極限的基本性質(zhì)由上由上、下極限的定義下極限的定義, 立即得出立即得出:對(duì)任何有界數(shù)列對(duì)任何有界數(shù)列, nx有有 下面這個(gè)定理刻畫了極限與上下面這個(gè)定理刻畫了極限與上、下極限之間的關(guān)下極限之間的關(guān)系系.有界數(shù)列有界數(shù)列nx存在極限的充要條件是存在極限的充要條件是:limlim.nnnnxx (1)limlim.nnnnxx (2)上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)limlim.nnnnxx

9、 證證設(shè)設(shè)lim.nnxA 對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù), 在在( ; )U A 這樣這樣, 對(duì)任意的對(duì)任意的,BA 0( ;)U A 在之外在之外 只有有限項(xiàng)只有有限項(xiàng). nx那么在那么在內(nèi)內(nèi)( 此時(shí)必此時(shí)必0( ;)U B 0|0,2BA 取取反之反之, 若上式成立若上式成立, 則則 的聚點(diǎn)唯一的聚點(diǎn)唯一 (設(shè)為設(shè)為 A) , nx若若這就是說這就是說, B從而從而nx的聚點(diǎn)的聚點(diǎn),不是不是故故 僅有一個(gè)聚點(diǎn)僅有一個(gè)聚點(diǎn) A, nx有限項(xiàng)有限項(xiàng).之外之外 只有只有nx上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性

10、質(zhì)一的假設(shè)相矛盾一的假設(shè)相矛盾. .另一聚點(diǎn)另一聚點(diǎn), , 導(dǎo)致與聚點(diǎn)唯導(dǎo)致與聚點(diǎn)唯 性定理性定理, , 這無限多項(xiàng)必有這無限多項(xiàng)必有 nx的無限多項(xiàng)的無限多項(xiàng). . 0( ;)U A 之外含有之外含有使得在使得在 00, 倘若不然倘若不然, ,則存在則存在 lim.nnxA 此時(shí)易證此時(shí)易證由致密由致密上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)定理7.7設(shè)設(shè)nx為有界數(shù)列為有界數(shù)列, 則有則有1limnnxA 的充要條件是的充要條件是: 對(duì)于任意的對(duì)于任意的, 0 (i) 存在存在 N, 當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)

11、時(shí), ; Axn(ii),1, 2,.kknnxxAk 存在存在lim2nnxB 的充要條件是的充要條件是: 對(duì)于任意的對(duì)于任意的0, (i) 存在存在 N, 當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí), ; Bxn(ii),1, 2,.kknnxxBk 存在存在證證 在形式上是對(duì)稱的在形式上是對(duì)稱的, 所以僅證明所以僅證明 .12和和1 上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)必要性必要性.limAxnn設(shè)設(shè)因?yàn)橐驗(yàn)?A 是是nx的一個(gè)的一個(gè)聚點(diǎn)聚點(diǎn), ,所以存在所以存在, knx使得使得(),knxAk 故對(duì)于任故對(duì)于任意的

12、意的0, 當(dāng)當(dāng) k K 時(shí)，時(shí)，.knAx 將將knx中的前面中的前面 K 項(xiàng)剔除項(xiàng)剔除, 這樣就證明了這樣就證明了(ii).,)A 上上, 至多只含至多只含nx的有限項(xiàng)的有限項(xiàng). 話話, 因?yàn)橐驗(yàn)閚x有界有界, 這與這與 A 是最大聚點(diǎn)相矛盾是最大聚點(diǎn)相矛盾. 又因又因 A 是是nx的最大聚點(diǎn)的最大聚點(diǎn), 所以對(duì)上述所以對(duì)上述 , ,0,K 存在存在在區(qū)間在區(qū)間不然的不然的nx在在,)A 故故上上還有聚點(diǎn)還有聚點(diǎn),上（下）極限的基本性質(zhì)設(shè)這有限項(xiàng)設(shè)這有限項(xiàng)的最大下標(biāo)為的最大下標(biāo)為 N, .nxA 那么當(dāng)那么當(dāng) n N 時(shí)時(shí),數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（

13、下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)充分性充分性 任給任給,0 綜合綜合 (i) 和和 (ii), 上含有上含有 xn 的無限項(xiàng)的無限項(xiàng), 02nAAxA 的項(xiàng)至多只有有限個(gè),的項(xiàng)至多只有有限個(gè),這說明在這說明在),(00 AA),( AA在在即即 A 是是 xn 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn).而對(duì)于任意的而對(duì)于任意的,AA ,20AA 令令由于滿足由于滿足上（下）極限的基本性質(zhì)lim.nnxA xn 的有限項(xiàng)的有限項(xiàng), 上也上也至多只有至多只有從而有從而有所以所以 A 是是 的最大聚點(diǎn)的最大聚點(diǎn) .nxA 故故 不是不是 xn 的的聚點(diǎn)聚點(diǎn),數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極

14、限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)定理7.8(保不等式性)設(shè)設(shè) xn , yn 均為有界數(shù)列均為有界數(shù)列, 并且滿足并且滿足: : 存在存在.nnxy 當(dāng)當(dāng) n N0 時(shí)時(shí), , 有有00,N 則取上則取上(下下)極限后極限后, 原來的不等號(hào)方向保持不變?cè)瓉淼牟坏忍?hào)方向保持不變:特別若特別若 則更有則更有,nnaxyblimlim,limlim.nnnnnnnnxyxy(3).limlimbyxannnn(4)上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)證證 設(shè)設(shè)lim, lim,nnnnxAyB

15、 因?yàn)橐驗(yàn)?B 是是 yn 的的lim.kjnjxA .AAB 而而 (4) 式則可由式則可由,kkjjnnxy 又因又因 (1) 與與 (3) 式直接推得式直接推得. nx的最小聚點(diǎn)的最小聚點(diǎn) A 理應(yīng)理應(yīng)滿足滿足它與它與nxA 也也是是由于由于.AB j 的極限的極限, ,便得便得取取聚點(diǎn)聚點(diǎn),.limByknk ,knx又又有有界界故存在故存在 的一個(gè)收斂子列的一個(gè)收斂子列 ,knxkjnx的聚點(diǎn)的聚點(diǎn),同理可證關(guān)于上極限的不等式同理可證關(guān)于上極限的不等式;所以存在所以存在 , kny上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本

16、概念上（下）極限的基本性質(zhì)證證 這里這里只證明只證明 (i) , (ii) 可同理證明可同理證明. lim,lim.nnnnAaBb由定理由定理7.7, 存在存在 N, ,2,2 BbAann(i) lim()limlim;nnnnnnnabab(5)(ii) lim()limlim.nnnnnnnabab(6)例例1, nnba都是有界數(shù)列都是有界數(shù)列, 那么那么設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí),上（下）極限的基本性質(zhì)設(shè)設(shè)故故. BAbann數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)再由定理再由定理 7.8 的的 (4) 式式, 得得l

17、im().nnnabAB 因?yàn)橐驗(yàn)?是任意的是任意的, 故故 lim ()limlim.nnnnnnnabABab注注 這里嚴(yán)格不等的情形確實(shí)會(huì)發(fā)生這里嚴(yán)格不等的情形確實(shí)會(huì)發(fā)生, 例如例如1( 1),( 1) .nnnnab lim1 , lim1 ,nnnnablim ()0.nnnab而而上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)例例2 設(shè)設(shè) , 且且limlimnnnnxABx1lim ()nnnxx .0 求證求證 的全體聚點(diǎn)的集合為的全體聚點(diǎn)的集合為nx.,BA證證 設(shè)設(shè) E 是是 的全體聚點(diǎn)的集

18、合的全體聚點(diǎn)的集合, 顯然有顯然有nx,BAE ,.AEBE,00 內(nèi)僅含內(nèi)僅含 的有限的有限項(xiàng)項(xiàng):nx00(;)U x 在在任給任給 , 欲證欲證),(0BAx 0.xE 如若不然如若不然, 則存在則存在上（下）極限的基本性質(zhì)1212,().NnnnNxxxnnn 所以存在所以存在,K 當(dāng)當(dāng)這就是說這就是說, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 所有的所有的 均不在均不在Nnn nx0(; )U x 之內(nèi)之內(nèi).1lim ()0,nnnxx 又因又因數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)nK 時(shí),有時(shí),有010.(7)nnxx max,NKK n

19、令令當(dāng)當(dāng) n K 時(shí)時(shí), 由由 (7) 導(dǎo)致所有導(dǎo)致所有前者與前者與 B 是是 的聚的聚點(diǎn)矛盾點(diǎn)矛盾; nx00.nxx 或者都有或者都有00,nxx 的的 或者都有或者都有nxnx后者與后者與 A 是是.,BAE 故證得故證得 , 即即Ex 0,A BE 的聚點(diǎn)矛盾的聚點(diǎn)矛盾.上（下）極限的基本性質(zhì)從而從而數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)定理7.9設(shè)設(shè) xn 為有界數(shù)列為有界數(shù)列. 則有則有(i) A 是是 xn 的上極限的充要條件是的上極限的充要條件是(ii) B 是是 xn 的下極限的充要條件是的下極限的充要條件

20、是lim sup;knknAx (8)lim inf .knknBx (9)上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)遞減數(shù)列遞減數(shù)列, 并且有界并且有界, lim.nnaa 設(shè)設(shè)一方面一方面, 因?yàn)橐驗(yàn)?,nnxa 所以所以另一方面另一方面, , 0, 112sup,axx 由于由于根根 據(jù)上確界定義據(jù)上確界定義, ,1111,.nnxa 使得使得又因又因,1,2,nnaaa n遞減 故遞減 故所以有所以有11.nxaa同理同理, , 由于由于 證證na顯然顯然 是一是一這里僅證這里僅證 (i). 設(shè)設(shè)

21、, supnkknax nnnnaxA limlimnna lim.a 上（下）極限的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)這樣得到的子列這樣得到的子列 因仍為有界的因仍為有界的, ,knx照此做下去照此做下去, ,可求得可求得 使使12,knnn11,1, 2,.(10)kknnxaak 111112sup,nnnaxx 211.,nnxaa 2111,nnn使得使得2 .AAa 不等式性質(zhì)不等式性質(zhì) (4), 得出得出故其上極限故其上極限(10) 式關(guān)于式關(guān)于 k求上極限求上極限,.aA 從而證得從而證得.aA

22、所以又得所以又得 因因 是任意的是任意的, 上（下）極限的基本性質(zhì)亦存在亦存在, , 設(shè)為設(shè)為,A .AA 且且顯顯然然有有數(shù)學(xué)分析 第七章 實(shí)數(shù)的完備性高等教育出版社*2 上極限和下極限上（下）極限的基本概念上（下）極限的基本性質(zhì)例例3 3 用上、下極限證明用上、下極限證明: 若若 為有界發(fā)散數(shù)列為有界發(fā)散數(shù)列,nxlimlimlimlim.jjnnnnjnjnxxxx注注 本例命題用現(xiàn)在這種證法本例命題用現(xiàn)在這種證法, ,可以說是最簡(jiǎn)捷的可以說是最簡(jiǎn)捷的. . , ,jjnnxx 使得使得 nx證證 由定理由定理7.6 , 有界數(shù)列有界數(shù)列 發(fā)散的充要條件發(fā)散的充要條件 nx則存在則存在 的兩個(gè)子列的兩個(gè)子列, , 收斂于不同的極限收斂于不同的極限. . lim