推理與證明.板塊三.數(shù)學(xué)歸納法.學(xué)生(高中數(shù)學(xué)選修題庫(kù))

1、典例分析板塊三 .數(shù)學(xué)歸納法題型一：數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)【例 1】已知 n 為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 11112(111 )234n 1n2n 42n時(shí)，若已假設(shè)nk (k2 為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）A nk1時(shí)等式成立B nk2時(shí)等式成立C n2k2 時(shí)等式成立D n2( k2) 時(shí)等式成立【例 2】已知 n 是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k（ k2 且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需證明（）A.n=k+1 時(shí)命題成立B. n=k+2 時(shí)命題成立C. n=2k+2 時(shí)命題成立D. n=2 （ k+2）時(shí)命題成立【例 3】某個(gè)命題與正整數(shù)n 有關(guān)，如果當(dāng) nk(kN

2、) 時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n k 1 時(shí)命 題也成立 .現(xiàn) 已知當(dāng) n7時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A 當(dāng) n=6 時(shí)該命題不成立B當(dāng) n=6 時(shí)該命題成立C當(dāng) n=8 時(shí)該命題不成立D當(dāng) n=8 時(shí)該命題成立【例 4】利用數(shù)學(xué)歸納法證明“ ( n 1)(n2)(n n)2n1 3(2n1), nN *”時(shí)，從“ n k ”變到“ nk 1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是（）A 2k 12k1C(2k1)(2k2)D2k3B1k1k1k【例 5】用數(shù)學(xué)歸納法證明1 aa2an1an 2(a1, nN) ，在驗(yàn)證 n=1 時(shí)，1a左邊計(jì)算所得的式子是（）A. 1B. 1 aC.1 a a2D.1 a

3、 a2a4【例 6】用數(shù)學(xué)歸納法證明(n 1)( n2)(nn)2n1 3( 2n1)(nN ) ，從“k到 k+1 ”左端需乘的代數(shù)式是（）A.2k+1B. 2(2k1)C. 2k1D. 2k3k1k1【例 7】用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+ 1 + 1 +1n, (nN ,n1) 時(shí)，在第二步證明232n1從 n=k 到 n=k+1 成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A. 2kB. 2k1C. 2k 1D. 2k1【例 8】設(shè)f (n) nf (1)f ( 2)f (n1)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“ nf (1)f (2)f (n1)nf (n) ”時(shí)，第一步要證的等式是【例 9】用數(shù)學(xué)歸納法證明“( n1

4、)(n2)(nn)2n1 2(2n1) ”（ nN ）時(shí)，從 “ nk 到 nk1 ”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是_?！纠?10】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1112n113 的過(guò)程中，由k 推導(dǎo)nnn24到 k+1 時(shí)，不等式左邊增加的式子是【例 11】是否存在常數(shù)a, b, c 是等式 1(n21)2(n222 )n (n2n2 )an4bn2c對(duì)一切 nN * ) 成立？證明你的結(jié)論。題型二：證明整除問(wèn)題【例 12】若存在正整數(shù)m ，使得 f (n)( 2n7)3n9(nN ) 能被 m 整除，則 m =【例 13】證明： 1(x3)n , (nN ) 能被 x2 整除【例 14】已知數(shù)列an，1

5、，當(dāng) n N * 時(shí)， an 2an 1 an 滿足 a1 0 a2求證：數(shù)列an的第 4m1(mN*) 項(xiàng)能被3 整除【例 15】 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 7n3n1(nN*) 能被 9 整除【例 16】設(shè) n 是任意正整數(shù)，求證：n 35n能被 6 整除【例 17】用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于一切正整數(shù)n ，72 n42 n33 能被 264 整除【例 18】 n2 (n 4 且 n N* )個(gè)正數(shù)排成一個(gè)n 行 n 列的數(shù)陣：第 1 列第 2 列第 3 列第 n 列第 1行a11a12a13a1n第 2行a21a22a23a2n第 n 行an1an2an 3ann其中 aik (1 i n，1 k

6、 n，且 i ，kN)表示該數(shù)陣中位于第i 行第 k 列的數(shù) .已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成公比為2 的等比數(shù)列，且 a23 =8 ， a34 =20. ( )求 a11 和 aik ；( )設(shè) Ana1na2( n 1)a3( n 2)an1 ，證明：當(dāng) n 為 3 的倍數(shù)時(shí)， ( Ann )能被21整除.題型三：證明恒等式與不等式【例 19】證明不等式 1111n （ nN）232n1 2【例 20】用數(shù)學(xué)歸納法證明：nN*，111.13n.2232n22n 1【例 21】證明： nN *， 111 1.1111.1.2 3 42n 1 2n n 1 n 22n【例 22】

7、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1111n cot(m，mZ ，nN*) tan22 tan 22n tan2n2n cot2222【例 23】是否存在常數(shù)a、 b、 c，使等式1 22232n( n1) 2n(n1) (an 2bnc) 對(duì)一切正整數(shù) n 都成立？12證明你的結(jié)論【例 24】在數(shù)列 an 中， a1tan x,an 11an，1an（ 1）寫(xiě)出 a1 ,a2 , a3 ；（2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式【例 25】用數(shù)學(xué)歸納法證明：arctan 1 2arctan1 2arctan1 2arctann(nN*)2 1222 nn1【例 26】用數(shù)學(xué)歸納法證明：（） 1222(2nn21)n(

8、n1)；1 3351)(2n2(2n1)（） 11111n ；2342 n1【例 27】對(duì)于 n 2 的自然數(shù)，證明： 2 n1n2n 1 【例 28】已知 0 a1 ，求證：對(duì)任意大于1 的自然數(shù) n ，a(an12n ) n a1a題型四：數(shù)列中的數(shù)學(xué)歸納法【例 29】設(shè) a1 , a2,.an 均為正數(shù)，且a1a2.an1，求證：當(dāng) n 2 的時(shí)候，a12a2 2.an2 1n【例 30】已知數(shù)列an中，an10 ，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 .Sn1,an2an【例 31】在數(shù)列an (nN*) 中， a111 ， Sn 是它的前 n 項(xiàng)和，當(dāng) n 2 時(shí)， an ，Sn ，Sn2成等比數(shù)列

9、，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例 32】設(shè)整數(shù)數(shù)列 an 滿足 a1 1 ， a2 12 ， a320 ，且 an32an 22an 1 an 證明：任意正整數(shù) n ，14an an 1 是一個(gè)整數(shù)的平方【例 33】由正實(shí)數(shù)組成的數(shù)列an滿足： an2 anan 1 ，n1，2 ，證明：對(duì)任意nN * ，都有 an1 n【例 34】實(shí)數(shù)數(shù)列an定義如下 a1，an )， ，tR ，已知 a2009 0t an 1 4an (1n12證明：對(duì)任意nN * ， 0 an 1 ；問(wèn)有多少個(gè)不同的 t ，使得 a20090 【例 35】?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列xn、 yn滿足： x1y1tan，3xn 1xn，2， ，1x

10、 2yn 1yn1 ynn 1 21n證明： n1時(shí)， 2xn yn3【例 36】在數(shù)列an中，若它的前n 項(xiàng)和 Sn1nan (nN*) 計(jì)算 a1 ，a2 ，a3 ，a4 的值；猜想 an 的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論【例 37】已知函數(shù)x3滿足 a11 ，an 1f (an ) ，數(shù)列 bn 滿f ( x)(x1) ，設(shè)數(shù)列 anx1足 bn an3 ， nN 用數(shù)學(xué)歸納法證明bn (31)n2n 1【例 38】設(shè)數(shù)列 a1 ， a2 ， an 中的每一項(xiàng)都不為0證明： an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n N ，都有111na1a2a2a3an an 1a1an 1題型五：

11、其他類型題【例 39】已知函數(shù)f( )(*) ，滿足條件：f (2) 2；f (x y)f (x) f ( y)；n n N f (n) N * ；當(dāng) xy 時(shí)，有 f ( x)f ( y) .(1) 求 f (1) ， f (3) 的值；(2) 由 f (1) ， f ( 2) ， f (3) 的值，猜想 f (n) 的解析式；(3) 證明你猜想的 f ( n) 的解析式的正確性 .【例 40】數(shù)列 an， a11,an 12an n 23n(nN )（ ）是否存在常數(shù)， 使得數(shù)列 ann2n 是等比數(shù)列， 若存在求、的值，若不存在，說(shuō)明理由。（ ）設(shè) bn11 ， Snb1b2b3bn 求證：