數(shù)學(xué)建模論文之圓形工件的檢

1、產(chǎn)品檢驗(yàn)問題(圓形工件的檢驗(yàn))內(nèi)容摘要 某種圓形工件需要一個(gè)檢驗(yàn)正/次品的方法，本論文針對(duì)該問題，給出了圖像分析模型；關(guān)鍵詞  圖像分析模型問題的重述與分析 某工件為圓形，半徑為10mm±0.1mm，超出此范圍即為次品。測(cè)量?jī)x器自動(dòng)在每個(gè)工件的圓周上測(cè)量36個(gè)數(shù)據(jù)。假定測(cè)量出的二位數(shù)據(jù)（xi,yi）是足夠精確的，要求建立一個(gè)合理的檢驗(yàn)正/次品的模型，對(duì)每個(gè)工件的36個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算后給出判斷。 本問題是一個(gè)通過采樣評(píng)定工件正/次品等級(jí)的問題。問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)在于判定： 36個(gè)離散的點(diǎn)能否位于一個(gè)r=9.9mm，R=10.1mm的

2、同心圓環(huán)之間。 也就是說，我們要做的，是判斷對(duì)每組數(shù)據(jù)，能否找到這樣一個(gè)點(diǎn)，使得題目所給的36個(gè)點(diǎn)能夠被包含于以該點(diǎn)為圓心，分別以r=9.9mm，R=10.1mm為半徑的圓環(huán)之間。 我們首先考慮到一種基于圖形的分析法，通過直接觀察做出判斷。之后，為了尋找一種更通用、更精確的方法，我們考慮一種逐步加細(xì)步長(zhǎng)的搜索法。但問題的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于，如何盡可能小的確定初始的考查范圍（在此處，我們從第一種方法中獲得了一些啟發(fā)）。另外，還存在著更為快速、有效的算法。在模型中我們把對(duì)半徑的限制轉(zhuǎn)化為某一目標(biāo)函數(shù)的約束條件，進(jìn)而利用懲罰因子，建立無約束的優(yōu)化模型，并利用Matlab在此方面的強(qiáng)大

3、功能，順利求解?；炯僭O(shè) 136個(gè)數(shù)據(jù)采樣已經(jīng)能夠判定此工件是否為正品； 2不考慮測(cè)量誤差，即認(rèn)為所給的數(shù)據(jù)是足夠精確的； 3數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)是比較均勻的分布在圓周上(見封面),以保證采樣的全面性，有效性。 4半徑在10mm±0.1mm的范圍內(nèi)的工件為正品，其余為次品。 5當(dāng)某工件用我們的模型無法判斷是正品或次品時(shí)，我們就認(rèn)為該工件是次品。 符號(hào)說明 Oi（ai ，bi） ：若第i個(gè)工件是正品，用所給36個(gè)點(diǎn)所確定的半徑為10mm±0.1mm的圓的圓心；Aij (x/ij,

4、0;y/ij) ：我們首先將第i組的36個(gè)數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系下表出，以該組的第一對(duì)數(shù)據(jù)為起點(diǎn)，按照順時(shí)針的方向依次標(biāo)定為 Ai1，Ai2，Ai36 （1i5）； Li ：由Ai1，Ai2，Ai36，Ai1  按順序首尾相連而形成的閉合折線； r ：r9.9mm，即工件半徑的下限； R ：R10.1mm，即工件半徑的上限；模型的建立與求解  2. 模型 ）圖像分析模型  我們?cè)O(shè)計(jì)了一種能夠直觀判斷Oi存在與否的方法。 首先利

5、用平面幾何的知識(shí)，我們得到下面兩個(gè)有用的引理： 引理1. 分別以Ai1，Ai2，Ai36 為圓心，r=9.9mm為半徑作圓，若Li 中存在與任何圓Aij（1j36）都不相交的區(qū)域，則Oi（存在的話）必然在此區(qū)域中。 證明：記上述區(qū)域?yàn)镾(1)© 。顯然，Oi應(yīng)位于Li圍成的區(qū)域中。下用反證法： 反若定理不成立，即存在某j0 （1j036）,使得Oi在圓Aij0中。則顯然， |Oi Aij0|r=9.9， 這與Oi的存在性，即工件是正品的假設(shè)矛盾，因此定理得證。 類似

6、地，有以下結(jié)論：引理2. 分別以Ai1，Ai2，Ai36 為圓心，R=10.1mm為半徑作圓，若這36個(gè)圓在Li中有公共的交域（記為S(2)i），則Oi（存在的話）必然在此區(qū)域中。 綜合上述兩個(gè)引理，我們得到一個(gè)判斷Oi存在與否，即工件是不是正品的充要條件：  定理1. Oi存在Û S(1)© S(2)© 。并且，當(dāng)S(1)© S(2)© 時(shí)，Oi S(1)© S(2)© 。 

7、 為了便于應(yīng)用我們給出以下兩個(gè)推論： 推論1. 若S(1)i=時(shí) Oi 不存在。 推論2. 若S(2)i=時(shí) Oi 不存在。  在定理1的基礎(chǔ)上，我們可以采用圖像分析法直接判斷Oi的存在性。 當(dāng)我們用Matlab實(shí)現(xiàn)上述做法時(shí)，我們?yōu)楸阌谥苯佑^察，具體步驟如下： （1）我們首先將以r為半徑的圓的內(nèi)部涂色，S(1)i由于不屬于任何以Aij 為圓心，r為半徑的圓，它仍然是白色的；此時(shí)由推論1知，若此圖中不存在白色區(qū)域，說明Oi 不存在，我們可以下結(jié)論

8、，該工件是次品。否則，我們進(jìn)行下一步； （2）在另一幅圖中，我們以R為半徑的圓的外部涂色，S(2)i由于屬于所有以Aij 為圓心，R為半徑的圓，因而它也仍保持白色；此時(shí)由推論2知，若此時(shí)不存在白色區(qū)域，說明Oi 不存在，我們可以下結(jié)論，該工件是次品。否則，我們進(jìn)行下一步；（3）使這兩部分區(qū)域疊加，看是否仍然存在空白區(qū)域，若是，則認(rèn)為工件是正品，否則為次品。 對(duì)5個(gè)工件，我們用圖像分析法檢測(cè)如下（所給均為放大后的圖）：2. 工件1由圖知，（21.37mm，34.64mm）S(1)© S(2)© ，即同時(shí)存在

9、于兩個(gè)空白區(qū)域，因此它可以作為一個(gè)滿足要求的圓心位置。  2.  結(jié)掄一 ：工件1是正品。3.                   因?yàn)閞=9.9mm時(shí)，空白區(qū)域?yàn)榭占碨(1)i=。由推論1知： 2.  結(jié)論二：工件2是次品.因?yàn)閞=10.1mm時(shí)，空白區(qū)域?yàn)榭占碨(2)i=。由推論2知：  結(jié)論三：工件3是次品。 如圖，（3.83， -37.18）S(1)©