正弦定理余弦定理應用舉例課件

1、正弦定理、余弦定理應用舉例正弦定理、余弦定理應用舉例1解斜三角形的常見類型及解法解斜三角形的常見類型及解法 在三角形的在三角形的6個元素中要已知三個個元素中要已知三個(除三角外除三角外)才能求解，常才能求解，常見類型及其解法如表所示見類型及其解法如表所示.已知條件已知條件應用定理應用定理一般解法一般解法一邊和兩角一邊和兩角(如如a, B, C )兩邊和夾角兩邊和夾角(如如a, C , b )三邊三邊 (a, b, c)兩邊和其中兩邊和其中一邊的對角一邊的對角 (a, b, A)正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理由由A+B+C=180

2、, 求角求角A, 再用正弦再用正弦定理求出定理求出b與與c.用余弦定理求出用余弦定理求出A, B, 再由再由A+B+C=180求出角求出角C角角.由余弦定理求第三邊由余弦定理求第三邊c；由正弦定；由正弦定理求出小邊所對的角；再由理求出小邊所對的角；再由ABC180求出另一角求出另一角 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B;由由ABC180 ,求出角求出角C;再利用正弦定理或余再利用正弦定理或余弦定理求弦定理求c.可有兩解可有兩解,一解或無解一解或無解 測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面 積問題、航海問題、物理問題等積問題、航海問題、物理問題等2. 用

3、正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型(1)仰角、俯角：仰角、俯角：3實際問題中的常用角實際問題中的常用角 與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角線在水平視線下方叫俯角 指北或指南方向線與目標方向線所成的小于指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90 的水平角的水平角, 叫方向角叫方向角.(2)方向角方向角 目標方向線方向一般可用目標方向線方向一般可用“偏偏”多少度來表示多少度來表示,這里第一這里第一

4、個個“”號是號是“北北”或或“南南”字字,第第二個二個“”號是號是“東東”字或字或“西西”字字.OA的方向角為；的方向角為；OB的方向角為；的方向角為；OC的方向角為；的方向角為；OD的方向角為的方向角為.北偏東北偏東6060 北偏西北偏西3030 西南方向西南方向南偏東南偏東2020 (4)水平距離、垂直距離、坡面距離水平距離、垂直距離、坡面距離(3) 方位角方位角 從正北方向順時針轉到目標方向從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如線的水平角，如B點的方位角為點的方位角為 如圖如圖BC代表水平距離代表水平距離, AC代表垂直距離代表垂直距離, AB代表坡面代表坡面距離距離.14i 即即.

5、 . 如圖把如圖把坡面的鉛直高度坡面的鉛直高度h和水平寬度為和水平寬度為l 的的比比叫做叫做坡度坡度(或叫做坡比或叫做坡比),用字母用字母i表示表示,坡度一般寫成坡度一般寫成h:l的形式的形式.如如i=1:4,(5)坡度、坡角：坡度、坡角： 坡面與水平面所成的坡面與水平面所成的二面角二面角的度數(shù)叫做的度數(shù)叫做坡坡角角, 坡角與坡度之間有如下關系：坡角與坡度之間有如下關系：tan.hil hil 即即. .hlhil 130 610 3B500( 31) 題號題號答案答案12345B 這類實際應用題，實質就是解三角形問題，一般都離不這類實際應用題，實質就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦

6、定理，在解題中，首先要正確地畫出符合開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解題意的示意圖，然后將問題轉化為三角形問題去求解 【例【例2】某人在塔的正東沿著南偏西】某人在塔的正東沿著南偏西60 的方向前進的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱雒缀?，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫榻菫?0，求塔高，求塔高 在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準確在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準確的示意圖，恰當?shù)剡x取相關的三角形和正、余弦定理逐步進行的示意圖，恰當?shù)剡x取相關的三角形和正、余弦定理逐步

7、進行求解注意綜合應用方程和平面幾何、立體幾何等知識求解注意綜合應用方程和平面幾何、立體幾何等知識【例【例2】某人在塔的正東沿著南偏西】某人在塔的正東沿著南偏西60 的方向前進的方向前進40米后米后,望望見塔在東北方向見塔在東北方向,若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫槿粞赝緶y得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0 ,求塔高求塔高 (2011廣東揭陽一模廣東揭陽一模)如圖如圖,某人在塔的正東方向上的某人在塔的正東方向上的C處處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60 的方向以每小時的方向以每小時6千米的千米的速度步行了速度步行了1分鐘以后，在點分鐘以后，在點D處望見塔的底端處望見塔的底端B在東北方向在

8、東北方向上，已知沿途塔的仰角上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值為的最大值為60 . (1)求該人沿南偏西求該人沿南偏西60 的方向走到仰角的方向走到仰角最大時，走了幾最大時，走了幾分鐘；分鐘； (2)求塔的高求塔的高AB. (2011廣東揭陽一模廣東揭陽一模)如圖如圖,某人在塔的正東方向上的某人在塔的正東方向上的C處處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60 的方向以每小時的方向以每小時6千米的千米的速度步行了速度步行了1分鐘以后，在點分鐘以后，在點D處望見塔的底端處望見塔的底端B在東北方向在東北方向上，已知沿途塔的仰角上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值為的最大值為60

9、 . (2)求塔的高求塔的高AB. 【例【例3】如圖所示】如圖所示 , 在梯形在梯形ABCD中中, ADBC , AB5 ,AC9, BCA30 , ADB45 , 求求BD的長的長 【例【例3】如圖所示】如圖所示, 在梯形在梯形ABCD中中, ADBC, AB5,AC9, BCA30 , ADB45 , 求求BD的長的長 要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成要利用正、余弦定理解決問題，需將多邊形分割成若干個三角形在分割時，要注意有利于應用正、余弦若干個三角形在分割時，要注意有利于應用正、余弦定理定理 如圖所示，如圖所示，ACD是等邊三角形，是等邊三角形，ABC是等腰直角三角是等腰直角

10、三角形，形，ACB90，BD交交AC于于E，AB2. (1)求求cosCBE的值；的值； (2)求求AE.運用正、余弦定理解決實際應用問題運用正、余弦定理解決實際應用問題 (1)分清已知條件和未知條件分清已知條件和未知條件(待求待求). (2)將問題集中到一個三角形中將問題集中到一個三角形中,如如ABC和和BCD. (3)利用正弦定理或余弦定理求解利用正弦定理或余弦定理求解運用正、余弦定理解決實際應用問題運用正、余弦定理解決實際應用問題運用正、余弦定理解決實際應用問題運用正、余弦定理解決實際應用問題運用正、余弦定理解決實際應用問題運用正、余弦定理解決實際應用問題 解斜三角形應用題的一般步驟為：

11、解斜三角形應用題的一般步驟為：第一步：第一步：分析：分析：理解題意理解題意,分清已知與未知分清已知與未知,畫出示意圖；畫出示意圖；第二步：第二步：建模：建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與 求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一 個解斜三角個解斜三角形的數(shù)學模型；形的數(shù)學模型；第三步：第三步：求解：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解；形，求得數(shù)學模型的解；第四步：第四步：檢驗：檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而

12、得出實際問題的解而得出實際問題的解方法與技巧方法與技巧 1合理應用仰角、俯角、方位角、方向角等合理應用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函數(shù)模型概念建立三角函數(shù)模型 2把生活中的問題化為二維空間解決，即在把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個平面上利用三角函數(shù)求值一個平面上利用三角函數(shù)求值 3合理運用換元法、代入法解決實際問題合理運用換元法、代入法解決實際問題失誤與防范失誤與防范 在解實際問題時，應正確理解如下角的含義在解實際問題時，應正確理解如下角的含義 1方向角方向角從指定方向線到目標方向線的水從指定方向線到目標方向線的水平角平角 2方位角方位角從正北方向線順時針到目標方向從正北方

13、向線順時針到目標方向線的水平角線的水平角 3坡度坡度坡面與水平面的二面角的度數(shù)坡面與水平面的二面角的度數(shù) 4仰角與俯角仰角與俯角與目標視線在同一鉛直平面與目標視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時稱為仰角，目標視線在水平視線下方時視線上方時稱為仰角，目標視線在水平視線下方時稱為俯角稱為俯角作業(yè)紙作業(yè)紙:課時規(guī)范訓練課時規(guī)范訓練:P.1- -2 預祝各位同學，預祝各位同學，20132013年高考取得好成績年高考取得好成績! !一、選擇題一、選擇題二、填空題二、填空題題號題號1234答案答案BCDA7.8 28.135.

14、 50 76. 30 2A組組專項基礎訓練題組專項基礎訓練題組三、解答題三、解答題一、選擇題一、選擇題二、填空題二、填空題題號題號123答案答案ACB7.60 5. 2 710 66.3B組專項能力提升題組組專項能力提升題組4.15 3三、解答題三、解答題9. 如圖所示，海中小島如圖所示，海中小島A周圍周圍38海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在在B處測得小島處測得小島A在船的南偏東在船的南偏東30方向方向,航行航行30海里后，在海里后，在C處處測得小島測得小島A在船的南偏東在船的南偏東45方向，如果此船不改變航向，繼方向，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行續(xù)向南航行,有無

15、觸礁的危險？有無觸礁的危險？ 解題是一種實踐性技能解題是一種實踐性技能, ,就象游泳、就象游泳、滑雪、彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實滑雪、彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實踐來學到它！踐來學到它！ 波利亞波利亞任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)任意角三角函數(shù)定義任意角三角函數(shù)定義同角三角函數(shù)的關系同角三角函數(shù)的關系誘導公式誘導公式和差化積，積化和差和差化積，積化和差二倍角公式二倍角公式三角函數(shù)線三角函數(shù)線平方關系、商式關系平方關系、商式關系奇變偶不變符號看象限任意角任意角正角、負角、零角正角、負角、零角象限角、軸線角象限角、軸線角終邊相同的角終邊相同的角任意角與弧度制；任意角與弧度制；單位圓單位圓弧度制

16、弧度制定義定義1弧度的角弧度的角正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx三角函數(shù)的圖象三角函數(shù)的圖象余弦函數(shù)余弦函數(shù)y=cosx正切函數(shù)正切函數(shù)y=tanx圖象：圖象：描點法(五點法)、圖象變換法性質：定義域、值域、對稱軸、對稱中心 單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性圖象可由正弦曲線經(jīng)過平移、伸縮得到，但要注意先平移后伸縮與先伸縮后平移不同；圖象可由正弦曲線經(jīng)過平移、伸縮得到，但要注意先平移后伸縮與先伸縮后平移不同；圖象也可以用五點作圖法；圖象也可以用五點作圖法；用整體代換求單調(diào)區(qū)間（注意用整體代換求單調(diào)區(qū)間（注意 的符號）；的符號）；最小正周期最小正周期 ；對稱軸對稱軸 ,對稱中心為對稱中心為2|T (21

17、)22kx (, ),Zkb k 三角函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)模型的簡三角函數(shù)模型的簡單應用單應用建筑學、航海、天文建筑學、航海、天文物理學等物理學等sin()yAxb 角度與弧度互化；特殊角的弧度數(shù)；弧長公式、扇形面積公式 1運用正、余弦定理處理實際測量中的距離、高運用正、余弦定理處理實際測量中的距離、高度、角度等問題，實質是數(shù)學知識在生活中的應用，度、角度等問題，實質是數(shù)學知識在生活中的應用，要解決好，就要把握如何把實際問題數(shù)學化，也就是要解決好，就要把握如何把實際問題數(shù)學化，也就是一個抽象、概括的問題，即建立數(shù)學模型一個抽象、概括的問題，即建立數(shù)學模型 (2)一般步驟：一般步驟： 分析：分析

18、：建模：建模：求解：求解：檢驗：檢驗：憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點例例1.(2010福建高考福建高考)某港口某港口O要將一件重要物品用小要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時，輪船位于港口位于港口O北偏西北偏西30且與該港口相距且與該港口相距20海里的海里的A處，處，并正以并正以30海里海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行小時的航行速度沿正東方向勻速行駛假設該小艇沿直線方向以駛假設該小艇沿直線方向以v海里海里/小時的航行速度小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇小時與輪船相遇 (1)若希望相遇時小艇的航行若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？小應為多少？ (2)假設小艇的最高航行速度只能達到假設小艇的最高航行速度只能達到30海里海里/小小時時,試設計航行方案試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大即確定航行方向和航行速度的大小小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明理由并說明理由.解解: 如圖如圖,設在時刻設在時刻 t (小時小時)臺風中心為臺風中心為Q, 此時臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑為此時臺風侵襲的圓形區(qū)域半徑為 10t60(千米千米)1. 地平面上一旗桿地平面上