FIR濾波器設計課件

1、Digtlal Signal Processing Using MATLABFIR濾波器設計數(shù)字頻率w的概念定義： 其中：=2f為模擬角頻率 T:抽樣時間間隔，fs:抽樣頻率 所以數(shù)字濾波器設計必須給出抽樣頻率數(shù)字頻率的2等價于模擬抽樣頻率s=2fs按照Nyquist抽樣定理，基帶信號的頻率特性只能限于|w|ws/2=的范圍swTf 22/2sssssTf Tff 數(shù)字濾波器幅度響應(1)( )H ww0cwcw數(shù)字低通濾波器1)(wHwcwcw2數(shù)字高通濾波器數(shù)字濾波器幅度響應(2)1)(wHw0wcww0cww01)(wHw0wcww0cww0數(shù)字帶通數(shù)字帶阻7.1 概論濾波器設計：給定技

2、術要求設計系統(tǒng)設計步驟： n確定技術要求：由具體應用條件決定n提供一個逼近要求的濾波器的表述n根據(jù)表述實現(xiàn)濾波器下面討論時我們均假設技術要求已知7.1.1 技術要求的給定幅度要求：n絕對指標要求：對幅度響應|H(ejw)|給出要求n相對指標要求：以分貝dB形式給出相位要求：線性相位10max20log0jjH edBH e 一、絕對指標要求(1)Passband ripple通帶波紋Stopband ripple阻帶波紋Transition band過渡帶絕對指標(2)頻帶 0,wp 稱為 通帶passband, 1 是在理想通帶響應上可以接受的容度（或波紋） 頻帶ws,pi 稱為 阻帶sto

3、pband, 2 是相應的阻帶容度（或波紋） 頻帶wp, ws 稱為 過渡帶transition band, 在這個頻帶內(nèi)幅度響應不作要求二、 相對指標要求(1)pRsA0相對指標(2)Rp:以dB計的通帶波紋As:以dB計的阻帶衰減兩種指標之間的關系：11012101120log00120log011psRfor passbandAfor stopband Rp 和 As的計算見P214 ex7.1 & ex7.2 三、為什么只討論低通濾波器(LPF)上述指標都是針對低通濾波器的其他類型的頻率選擇性濾波器(如高通或帶通)也能給出類似要求濾波器設計最重要的參數(shù)是頻帶容限和頻帶邊緣頻率四

4、、技術指標舉例設計一個低通濾波器，它具有一個通帶 0,wp ，通帶內(nèi)頻帶容限為1(或Rp，單位 dB)，一個阻帶ws,pi，阻帶內(nèi)容度為2(或As,單位dB)最后求得結(jié)果是得出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)或差分方程五、FIR濾波器的優(yōu)點相位響應可以真正線性系統(tǒng)絕對穩(wěn)定，設計相對容易高效實現(xiàn)可用DFT實現(xiàn)實際應用時，我們感興趣的是線性相位的FIR濾波器六、線性相位響應的優(yōu)點7.2 線性相位FIR濾波器性質(zhì)包括脈沖和頻率響應的形狀，系統(tǒng)函數(shù)零點的位置設h(n)是長為M的脈沖響應，0nM-1，則101)1(10)()()(MnnMMMnnznhzznhzH在原點z=0處有 (M-1)階零點，在z平面其它

5、處有 M-1個零點，頻率響應函數(shù)可寫為wenheHMnjwnjw,)()(10線性相位的脈沖響應形狀(1)因為頻率響應函數(shù)具有線性相位wweHjw,)(這里是恒定相位延遲( constant phase delay)，由第6章知，h(n)是對稱脈沖響應1( )(1), 01,2Mh nh MnnM 和因此，h(n)關于對稱，根據(jù)M的奇偶有兩種對稱類型線性相位的脈沖響應形狀(1)線性相位的脈沖響應形狀(2)第二類線性相位滿足條件相位響應不通過原點，但斜率恒為常數(shù)，此時稱群時延( group delay)，可知h(n)是反對稱脈沖響應h(n)仍然關于對稱，根據(jù)M的奇偶有兩種對稱類型wweHjw,)

6、( )(1), 01,1,22h nh MnnMM 線性相位的脈沖響應形狀(2)對應頻率響應特性H(ejw)將M為奇和偶數(shù)結(jié)合對稱和反對稱的情況， 得到四種類型的線性FIR濾波器對應每種類型其頻率響應特性都有獨特性質(zhì)，令;10,22jjrH eHeM 其中，Hr(w)是連續(xù)的振幅響應函數(shù)，可正可負的實函數(shù) 相位響應是一個不連續(xù)函數(shù)例：設脈沖響應為h(n)=1，1，1，1，求出并畫出頻率響應解：頻率響應函數(shù)為 323043/211sin(2 )1sin2jwjwnjwjwjwnjwj wjwH eh n eeeeeweew 由方程可得：sin 2sin232rjHH e I類線性相位：對稱脈沖響

7、應，M為奇數(shù)這種情況下，beta=0，alpha=(M-1)/2是整數(shù) h(n)=h(M-1-n)， 0nM-1 1 /2120cosMMjjnH ea nn e 10:21-32122MahMMa nhnn中間樣本，將兩式比較可得： -120cosMrnHa nnII類線性相位:對稱脈沖響應，M為偶數(shù)這種情況下，beta=0，alpha=(M-1)/2不是整數(shù) h(n)=h(M-1-n)， 0nM-12/ )1(2/121cos)()(MjwMnjwenwnbeH2, 2 , 1,22)(MnnMhnb2/121cos)()(MnrnwnbwH注意： Hr(pi)=0,因此不能采用這種類型設

8、高通or帶阻濾波器III類線性相位：反對稱脈沖響應，M為奇數(shù)這種情況下，beta=pi/2，alpha=(M-1)/2是整數(shù) h(n)=-h(M-1-n)， 0nM-1wjMnjwMewnnceH2122/ )1(0sin)()(21, 2 , 1,212)(MnnMhnc2/ )1(0sin)()(MnrwnncwHHr(0)=Hr(pi)=0, 因此這種濾波器不適合設計低通或高通濾波器exp(jpi/2)=j，這種特性非常適合設計希爾伯特變換器和微分器IV類線性相位：反對稱脈沖響應，M為偶數(shù)這種情況和II類似，有/2(1)/2211()( )sin2Mjw MjwnH ed nw ne2,

9、 2 , 1,22)(MnnMhnd2/121sin)()(MnrnwndwHHr(0)=0 and exp(jpi/2)=j. 因此這種類型適合用于設計數(shù)字希爾伯特變換器和微分器MATLAB實現(xiàn)Hr_type1:求I類線性相位的Hr(w)n調(diào)用格式：Hr,w,a,L=Hr_type1(h)Hr_type2:求II類線性相位的Hr(w)n調(diào)用格式：Hr,w,b,L=Hr_type2(h)Hr_type3:求III類線性相位的Hr(w)n調(diào)用格式：Hr,w,c,L=Hr_type3(h)Hr_type4:求IV類線性相位的Hr(w)n調(diào)用格式：Hr,w,d,L=Hr_type4(h)小結(jié)了解了線

10、性相位FIR濾波器的各種特性，便可根據(jù)實際需要選擇合適的FIR濾波器，同時設計時要遵循有關約束條件。如：第3、4種情況，對于任何頻率都有固定的/2相移，一般微分器及90相移器采用這兩種情況，而選頻性濾波器則用第1、2種情況。(1)設計線性相位的低通Digtal Filter從幅度特性考慮，只能選擇第1種或第2種第一種：第二種10( )cos10(0)()210( )2 ()2NrnHwa nwnNnahNna nhn）其中：101( )cos( ()2( )2 (1,222NrnHwb nw nNNb nhnn），(2)設計線性相位的高通DF從幅度特性看，可用第一種或第四種第一種第四種/211

11、( )( )sin2MrnHwd nw n2, 2 , 1,22)(MnnMhnd10( )cos10(0)()210( )2 ()2NrnHwa nwnNnahNna nhn）其中：(3)設計線性相位的帶阻DF從幅度特性考慮，只能選擇第一種10( )cos10(0)()210( )2 ()2NrnHwa nwnNnahNna nhn）其中：(4)設計線性相位的帶通DF從幅度特性考慮，可以選擇任一種線性相位濾波器的零點位置對實序列而言，零點是共軛出現(xiàn)的;對對稱序列而言，零點是鏡像出現(xiàn)的;n令q=z 1,f(q) 的系數(shù)與f(z)剛好倒序.n由于h(n)的系數(shù)是對成的，倒序并不會改變系數(shù).n如果

12、zk是多項式的根 ，則pk=zk-1也是. 對稱系數(shù)多項式的鏡像零點如果 zk 滿足多項式:h0+h1zk-1+ h2zk-2 +.+ hM-2zk-M+2 + hM-1zk-M+1=0 此時 hM-1=h0 , hM-2 =h1, 那么 rk = zk 1 同樣會滿足方程 h0+h1rk+ h2rk2 + + h1rkM-2 + h0rkM-1 = h0zkM-1 + h1zkM-2 + + h2zk2+ h1zk + h0= zkM-1(h0+ h1zk-1 + + h1zk-M+2 + h0zk M+1) =0 -2-1.5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.

13、5Real PartImaginary Part1/z11/conj(z1)z1conj(z1)特殊的如果零點為實數(shù)，則只有兩個零點：z2,1/z2如果零點在單位圓上且為虛數(shù)，則只有兩個零點z3,z3*如果零點在單位圓上且為實數(shù)，則只有一個零點z42z12z3z*3z4z)Re( z)Im( zj7.3 窗口設計法設計步驟n給定要求設計的理想濾波器的頻率響應Hd(ejw)n設計一個FIR濾波器頻率響應H(ejw)n由于設計是在時域中進行，使所設計濾波器的h(n)去逼近理想單位取樣響應序列hd(n)理想濾波器的頻率響應Hd(ejw)設希望設計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejw)，對應脈沖響應為hd(

14、n)，則它們滿足關系： 12jwjwnddnjwjwnddHehn ehnHeedw若已知Hd(ejw)，即可求出hd(n)，再經(jīng)過z變換，就可以求出系統(tǒng)函數(shù)H(z)，從而設計出系統(tǒng)一般情況下，Hd(ejw)逐段恒定逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點邊界頻率處有不連續(xù)點，因而hd(n)是無限時寬無限時寬的，且是非因果序列。例：理想低通濾波器的傳輸函數(shù)Hd(ejw)無失真的理想低通的傳輸函數(shù)為()0jwjwcdcewwHewwsin()1( )2()ccwjwjwncdww nh needwn相應的單位取樣響應hd(n)由上式可知，hd(n)無限長，且為非因果序列)(nhdn0)(jwdeHw0c

15、wcw理想低通濾波器的Hd(ejw)和h(n)波形設實際實現(xiàn)的低通濾波器單位取樣響應為h(n)，長為N，其系統(tǒng)函數(shù)設計過程相當于找到一個有限長序列h(n)，去逼近理想低通的hd(n)，這必然會引入誤差頻域的吉布斯(Gibbs)效應(截斷效應)后果：引起通帶和阻帶內(nèi)的波動效應，尤其是使阻帶衰減減小設計實現(xiàn)一個FIR濾波器H(ejw)10( )( )NnnH zh n z例：設計截止頻率wc=/3時延為6的具有線性相位的FIR低通濾波器為了構(gòu)造一個長為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證對(N-1)/2對稱設截取的段用h(n)表示，則其中W(n)：長為N的窗函數(shù)(這里取矩形序列)當

16、=(N-1)/2時，截取的h(n)對(N-1)/2對稱，保證設計的濾波器具有線性相位( )( )( )dh nh n W n)(nWn12N 01N 1,6,32sin(6)3( )13(6)cdNwnh nNn這里，hd(n)是以n=6為中心偶對稱的無限長序列現(xiàn)用一個有限長N=13的因果序列h(n)逼近它最簡單的方法：給hd(n)加矩形窗RN(n)， 即令W(n)=RN(n)，則 ( )01( )( )0ddh nnNh nh n W nn其它n162N)(nhd低通濾波器脈沖響應波形截斷處理示意圖截斷處理后，由于h(n)滿足對稱脈沖響應，所以一定滿足第一類線性相位設計步驟先由Hd(ejw)

17、求付里葉反變換hd(n).砍頭去尾。n因為我們要設計FIR濾波器h(n)必須滿足：n因果性： t砍頭n線性相位：要求h(n)中心對稱或反對稱，由于砍頭，所以必須去尾，讓它們中心對稱中心對稱。 即用有限長的h(n)去逼近無限長的hd(n).利用卷積過程。即h(n)=W(n)hd(n)可見窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇是設計關鍵。 1*2jwjwdH eHeW w窗口法設計數(shù)字濾波器主要任務：尋找最有效的方法截斷hd(n)，即用一個有限長度的窗口函數(shù)序列W(n)來截取hd(n)，使H(ejw)最逼近Hd(ejw)通過加窗可得到不同類型的數(shù)字濾波器n數(shù)字低通n數(shù)字高通n數(shù)字帶通n數(shù)字帶阻數(shù)字低通設h(

18、n)是長為N，以=(N-1)/2為中心偶對稱的函數(shù)201( )()2sin()()jwjwnddch nHeedww nn( )( )( )1sin()2( )1)2(1)dch nh n W nNw nW nNnh Nn 0,1,21nNh(n)的設計根據(jù)前面討論可知，低通濾波器只能選擇對稱脈沖響應當N為奇數(shù)時，設計第一種情況的線性相位低通DF當N為偶數(shù)時，設計第二種情況的線性相位低通DF設選用矩形窗，即 1010NnNW nRn其他1sin()2( )( )( )1)2cdNw nh nh n W nNn設計舉例：用矩形窗設計截止頻率wc=/3的具有線性相位的FIR低通濾波器若取N=13，

19、為奇數(shù)，則對稱脈沖響應sin(6)3( )(12)6)nh nhnn)(nhnsin(5.5)3( )(11)5.5)nh nhnn)(nhn若取N=12，為偶數(shù)，則數(shù)字高通理想的線性相位高通DF的頻率特性為：cccwjjwdwwwwweeH00)()(其幅度特性：1()rHwwcwcw2pcww截 止 頻 率沖激響應理想高通濾波器沖激響應加窗處理后的數(shù)字濾波器沖激響應201( )()2sin()( 1)()jwjwnddcnh nH eedww nnn ( )( )( )sin()( )( 1)0,1,2,1()dcnh nh n W nw nW nnNn分析因為 為偶函數(shù)，W(n)為常數(shù)當

20、N為奇數(shù)時，對應第一種線性相位，h(n)=h(N-1-n)為對稱脈沖響應當N為偶數(shù)時，對應第四種線性相位，h(n)=-h(N-1-n)為反對稱脈沖響應sin()()cw nn取矩形窗時，W(n)=RN(n)取N=13，為奇數(shù)，則sin()( )( )( )( 1)()0,1,2,1cndw nh nh n W nnnN sin(6)3( )( 1)(6)nnh nn 取N=12，為偶數(shù)，則sin(5.5)3( )( 1)(5.5)nnh nn 理想數(shù)字帶通濾波器理想的線性相位帶通DF的頻率特性為：0000()( )00jwjwddjwccccH eHw eewwwwwwwwwww1)(wHw0

21、wcww0cww0其沖激響應hd(n)2001( )()2sin()2cos()()jwjwnddch nH eedww nw nnn 加矩形窗處理后，得到0( )( )( )sin()2cos()()0,1,2,1dch nh n W nw nw nnnN分析：sin() ( )()( )( )(1)cwnW nnh nh nh NnNFIRNFIR 偶函數(shù),為常數(shù)一定為偶對稱，當為奇數(shù)時，對應于第一種線性相位帶通當為偶數(shù)時，對應于第二種線性相位帶通若選擇相位有相移的理想帶通DF頻率特性為：)200)200()( )220jwjwddjwccjwccHeHw eewwwwwewwwww（）（

22、止帶此時的脈沖響應2001( )()2sin()2sin()()jwjwnddch nHeedww nw nn0( )( )( )1sin()122sin()12()2dch nh n W nNw nNw nNn加矩形窗處理后分析此時的h(n)一定為反對稱序列 (1)h nh Nn 當N為奇數(shù)時，對應第三種線性相位，當N為偶數(shù)時，對應第四種線性相位，7.4 加窗對系統(tǒng)頻率響應的影響根據(jù)頻域卷積定理，加窗后，濾波器的頻率響應現(xiàn)在我們以低通濾波器為例來討論：n加窗后，頻率響應發(fā)生了什么變化n加什么樣的窗，可以使變化減至最小()1)()(2jwjj wdH eHeW ed（7.4.1 矩形窗矩形窗口

23、的頻率特性為11001()2()( )sin()121sin()2NNjwjwnjwnRNnnNjwNjwjwWeRn eewNeewesin()12( ),( )()2sin()2RwNNWwwww 用幅度響應和相位響應的乘積表示為矩形窗（2）當w很小時，當w很大時，WR(w)為周期函數(shù))(wWRw31)(w211Ntg主瓣N2N2N4N4w( )()2RwNWwNSa矩形窗處理后的頻率響應根據(jù)頻域卷積定理可得 12sin122sin2ccrrHWdNd Wr(w-wc)Wr(w-wc+2 /N)Wr(w-wc-2 /N)加窗后的低通濾波器頻譜幾個特殊頻率點w=0處，響應值 為窗函數(shù)頻譜Wr

24、(w-)和理想低通濾波器頻率特性Hd()的乘積的積分，可近似看作Wr()在- 到的全部積分面積w=wc處， Hd()剛好與Wr(w-)的一半重疊，因此H(wc)=0.5H(0)w=wc-2 /N處， Wr(w-)的全部主瓣在Hd()的通帶之內(nèi)，因此卷積結(jié)果有最大值，頻率響應出現(xiàn)正肩峰w=wc+2 /N處， Wr(w-)的全部主瓣在Hd()的通帶之外，通帶內(nèi)的旁瓣負的面積大于正的面積，因此卷積結(jié)果有最負值，頻率響應出現(xiàn)負肩峰幾個特殊頻率點（2）當wwc+2 /N后， Wr(w-)的左邊旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積值圍繞零值而波動當wwc+2 /N時， Wr(w-)的右旁瓣進入通帶，卷積值圍繞H(

25、0)而波動加矩形窗對理想低通濾波器的影響使理想頻率特性不連續(xù)點處邊沿加寬，形成過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻譜主瓣寬度4/N在截止頻率wc的兩邊 處，H(w)出現(xiàn)肩峰，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，振蕩幅度取決于旁瓣相對幅度，振蕩多少，取決于旁瓣的多少增加截取長度，則主瓣附近的窗的頻率響應 可見改變N，只能改變窗的主瓣寬度，w坐標的比例和Wr(w)的絕對值大小，而不能改變主瓣與旁瓣的相對比例2cwwN sin2sin22sin22rNNWNSaN矩形窗的頻譜示意圖各種窗函數(shù)矩形窗階段造成府肩峰為8.95%，阻帶最小衰減為21dB，不符合工程需要為了加大阻帶衰減，只能改善窗函數(shù)形狀，使窗譜盡量逼近沖擊

26、函數(shù)，即絕大部分能量集中在頻譜中點一般窗函數(shù)滿足兩項要求：n窗譜主瓣盡可能的窄，以得到較陡的過渡帶n盡量減少最大旁瓣的相對幅度n一般而言，上面兩項要求不能同時滿足矩形窗.134)2/sin()2/sin()()()1(21dBNBeWewwNeWnRnWjwRwNjjwRNR第一副瓣比主瓣低的主瓣寬度為（其頻率響應為：三角形(BARTLETT)窗.268)2/sin()4sin(2)1) 1(21122) 1(21012)()21(2dBNBeWewwNNeWNnNNnNnNnnWjwBrwNwjjwBrBr第一副瓣比主瓣低的主瓣寬度為（其頻率響應為：升余弦窗（漢寧Hanning窗）-112(

27、 )1 cos()( )2101NnW nR nNnN 轉(zhuǎn)換成時域為：11212( )( )()()222RRRWWWWNN左移右移倒余弦升余弦窗（漢寧Hanning窗）-2升余弦窗（漢寧Hanning窗）-3由于頻譜是由三個互有頻移的不同幅值的矩形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，從而能量相當有效地集中在主瓣內(nèi)。其代價:主瓣加寬一倍，可達到減少肩峰，余振，提高阻帶衰減。缺點：過濾帶加大NB8主瓣寬度：改進的升余弦窗(漢明Hanning窗)-12( )0.540.46cos()( )1HmNnWnRnN22()()11()0.54()0.23)0.23)j wj wjwjwNNHmRRRWe

28、WeWeWe（22( )0.54( )0.23)0.23)11HmRRRWwWwWwWwNN（其頻譜函數(shù)為其幅度函數(shù)為改進的升余弦窗（漢明Hamming窗）-2NBdBNwWNwWwWwWNRRRHm8,4096.99)223. 0)223. 0)(54. 0)(1同。但主瓣寬度和漢寧窗相小第一旁瓣的峰值比主瓣，主瓣的能量約占，能量更加集中在主瓣中這種改進的升余弦窗，（時，可近似表示為：當二階升余弦窗(布拉克曼Blackman窗)14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0)()()(04. 0)()(25. 0)(42. 0)()(14cos08. 012cos5 . 0

29、42. 0)()14()14()12()12(NwWNwWNwWNwWwWwWeWeWeWeWeWeWnRNnNnnWRRRRRBlNwjRNwjRNwjRNwjRjwRjwBlNBl其幅度函數(shù)為：其頻域函數(shù)為：NBwWR123)(即：倍。寬到矩形窗的但主瓣寬度卻不得不加瓣，這樣可以得到更低的旁阻帶衰減進一步增加，使旁瓣再進一步抵消。函數(shù)，且幅度也不同的它們都是移位不同，分組成，這樣其幅度函數(shù)由五部凱塞窗（Kaiser窗） 以上幾種窗函數(shù)是各以一定主瓣加寬為代價，來換取某種程度的旁瓣抑制，而凱窗則是：全面地反映主瓣與旁瓣衰減之間的交換關系，可以在它們兩者之間自由地選擇它們的比重。0022(1)

30、/201( )( ),01( )211)11)1! 2kkNnIW nnNInNxIxk 凱塞窗是由零階第一類貝塞爾函數(shù)組成。式中（其中（5.447.865( )(0)2kkW ww當時，窗函數(shù)接近漢明窗。時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為0)15 2549.Ix一般（ 取項，便可以滿足精度要求，參數(shù)可以控制窗的形狀。一般 加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為濾波器階數(shù)(長度)M的選擇 名稱近似過渡帶寬精確過渡帶寬最小阻帶衰減矩形4/M1.8/M21dB巴特利特8/M6.1/M25dB漢寧8/M6.2/M44dB哈明8/M6.6/M51dB布萊克曼12/M11/M74dB取Kai

31、ser窗時設定beta,再用kaiserord函數(shù)求得M Matlab 實現(xiàn)W=boxcar(M): 產(chǎn)生M點的矩形窗W=triang(M): 產(chǎn)生M點的Bartlett窗W=hanning(M) 產(chǎn)生M點的Hanning窗W=hamming(M) 產(chǎn)生M點的Hamming窗W=blackman(M) 產(chǎn)生M點的Blackman窗W=kaiser(M,beta) 產(chǎn)生beta值的M點Kaiser窗Examples例：設計一個數(shù)字FIR低通濾波器，技術指標如下: wp=0.2，Rp0.25dB，ws0.3，As50dB首先查表選擇滿足阻帶衰減的窗函數(shù)從中選擇最合適的(過渡帶較小的)調(diào)用MATLA

32、B函數(shù)進行設計驗證設計濾波器是否滿足通帶波紋如果不能滿足，則換用過渡帶較大的，重復以上步驟如果滿足，則設計成功頻率采樣設計法(1)設計原理：系統(tǒng)函數(shù)H(z)能夠從頻率響應H(ejw)的樣本H(k)中恢復基本思想：已知理想低通濾波器Hd(ejw)，選取濾波器長度為M，在0，2區(qū)間以M等分頻率對Hd(ejw)采樣得H(k)，再由其離散傅里葉反變換h(n)得系統(tǒng)函數(shù)H(z)h(n)=IDFTH(k)可用函數(shù) ifft 計算頻率采樣設計法(2)特點：n采樣頻率點上近似誤差為0n其它頻率點上的近似誤差取決于理想響應的形狀，理想響應愈陡峭，近似誤差越大n靠近通帶邊緣的誤差較大，通帶內(nèi)誤差較小分類：n直接設

33、計法：直接利用基本思想，在近似誤差上不給出任何條件n最優(yōu)設計法：通過改變過渡帶內(nèi)的樣本值將阻帶內(nèi)誤差減至最小1010/211)(1)()(MnMkMkjMnezkHMzznhzH10/21)(1)(MkMkjjwjwMjweekHMeeH1, 2 , 1)(0),0()()(*/2MkkMHkHeHkHMkj2 ()(0),02,1,2,1rrMkrMHkkHHkMM)(2)(kHjreMkHkH1, 121,)(22121, 0,221)(MMkMkMMMkMkMkH1, 121,)(221221, 0,2212)(MMkMkMMMkMkMkHPhase for Type 1 & 2

34、Phase for Type 3 & 4直接設計法(Naive design methods)設計思想：n令H(k)=Hd(e j2k/M)，k=0,1,M-1，n用h(n)=IDFTH(k)求得脈沖響應h(n)例：用頻率采樣法設計一個數(shù)字FIR低通濾波器，技術指標如下: wp=0.2，Rp0.25dB，ws0.3，As50dB分析：取M=20，使在wp處有一個樣本，即k=2 wp=0.2= (2/20)2 下一個樣本在ws，即在k=3 wp=0.3= (2/20)3 這樣通帶內(nèi)0wwp內(nèi)有3個樣本，在阻帶wsw內(nèi)有7個樣本 Hr(k)=1,1,1,0,0,1,1 共15個零 由于M=

35、20，=(M-1)/2=9.5，為II類線性相位濾波器 再由IDFT可得h(n)MATLAB編程解得M=20;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l;Hrs=1,1,1,zeros(1,15),1,1;Hdr=1,1,0,0; wdl=0,0.25,0.25,1;k1=0:floor(M-1)/2);k2=floor(M-1)/2)+1:M-1;angH=-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2);H=Hrs.*exp(j*angH);h=real(ifft(H,M);db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,1

36、);Hr,ww,a,L=Hr_Type2(h);最優(yōu)設計法(Optimum design method)設計方法：增大取樣點數(shù)M，并讓過渡樣本作為自由樣本，改變他們的值以得到在給定M的條件下的最大衰減及過渡帶寬例：利用最優(yōu)設計法設計一個比上例更好的低通濾波器增加取樣點數(shù)M=40，以使過渡帶內(nèi)(0.2 w0.3)有一個樣本，在k=5和k=35處，用T表示這兩個樣本值，其中0T1，則以采樣的振幅響應 Hr=1,1,1,1,1,T,0,0,T,1,1,1,1 共29個零由于alpha=(M-1)/2=19.5，相位響應的樣本是 219.50.975019400.975402039kkkH kkk 現(xiàn)

37、在我們考慮如何選取T值，以得到更好的最小阻帶衰減首先我們選取通帶和阻帶幅度的中值0.5用MATLAB編程解得MATLAB程序M=40;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l;Hrs=1,1,1,1,1,0.5,zeros(1,29),0.5,1,1,1,1;Hdr=1,1,0,0; wdl=0,0.25,0.25,1;k1=0:floor(M-1)/2);k2=floor(M-1)/2)+1:M-1;angH=-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2);H=Hrs.*exp(j*angH);h=real(ifft(H,M);

38、db,mag,pha,grd,w=freqz_m(h,1);Hr,ww,a,L=Hr_Type2(h);結(jié)論：通過改變一個樣本值，我們得到一種更好的設計實際系統(tǒng)的過渡帶往往很小，只有一到兩個樣本，只需優(yōu)化較少的樣本就可以獲得最大的最小阻帶衰減這等小于使最大旁瓣幅度最小化，因此這類優(yōu)化問題也稱最大最小化問題(minimax problem)最優(yōu)過渡值表見文獻19的附錄B最優(yōu)等波紋設計法窗口設計法和頻率采樣設計法的缺陷n設計過程不能將邊緣頻率wp和wc精確給定n不能夠同時標定波紋因子1和2，n近似誤差在頻帶區(qū)間上不是均勻分布的，靠近頻帶邊緣誤差愈大，遠離頻帶邊緣誤差愈小上述缺陷的克服對線性相位FIR濾波器而言，可以導出一組條件，使最大近似誤差最小化的意義下設計的解達到最優(yōu)(最大值最小誤差或Chebyshev誤差)滿足這種條件的濾波器稱為等波紋濾波器，其近似誤差在通帶和阻帶均勻分布，且實現(xiàn)相同性能濾波器時階數(shù)更低最大最小問題的建立線性相位FIR濾波器4種情況的頻率響應都能寫為如下形式)()(21wHeeeHrwjjjwM其中 beta 和 Hr(w) 的表達式在表 7.2 (P.265)中給出利用三角函數(shù)恒等式，可將上面每個Hr(w)表達式寫成一個w的函數(shù)Q(w)和一個余弦和的函數(shù)