順風(fēng)向結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)一般計(jì)算方法

1、順風(fēng)向結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)公式推導(dǎo)0引言近些年來(lái)，由于全球氣候變暖，風(fēng)災(zāi)變得更為頻繁，在所有自然災(zāi)害中，風(fēng)災(zāi) 造成的經(jīng)濟(jì)損失已經(jīng)躍居各種自然災(zāi)害之首。 每年造成全球經(jīng)濟(jì)損失達(dá)數(shù)百億甚 至千億美元，而我國(guó)東南沿海地區(qū)又是受風(fēng)災(zāi)影響比較嚴(yán)重的區(qū)域。同時(shí)，隨著 土木工程結(jié)構(gòu)向著高、大跨、柔、輕質(zhì)和低阻尼方向發(fā)展，結(jié)構(gòu)對(duì)風(fēng)的敏感性大 大增強(qiáng)，與結(jié)構(gòu)損壞有關(guān)的風(fēng)災(zāi)屢見不鮮，風(fēng)荷載正在逐漸成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)的控 制荷載之一，國(guó)內(nèi)外工程技術(shù)人員對(duì)建筑物的抗風(fēng)設(shè)也計(jì)越來(lái)越重視。在研究風(fēng)對(duì)結(jié)構(gòu)的作用時(shí)，一般將其分為平均風(fēng)和脈動(dòng)風(fēng)。本文主要討論順 風(fēng)向的結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)。順風(fēng)向的結(jié)構(gòu)風(fēng)致響應(yīng)是在平均風(fēng)和脈動(dòng)風(fēng)共同作用下產(chǎn) 生的。

2、我國(guó)建筑和在規(guī)范規(guī)定，對(duì)于高度高于30m且高寬比大于的房屋結(jié)構(gòu)，對(duì)于基本自振周期不大于的塔架、 桅桿、煙囪等高聳結(jié)構(gòu)，應(yīng)考慮到風(fēng)壓脈動(dòng)引 起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力效應(yīng)。由于脈動(dòng)風(fēng)的卓越周期在一分鐘左右，而高、柔、大跨度結(jié) 構(gòu)的基本周期也只在幾秒這個(gè)數(shù)量級(jí)，因此結(jié)構(gòu)愈柔，基本周期愈長(zhǎng)，順風(fēng)向的風(fēng)致響應(yīng)就愈大。目前關(guān)于結(jié)構(gòu)順風(fēng)向風(fēng)致響應(yīng)的計(jì)算方法一般是基于加拿大Davenport在20世紀(jì)60年代提出并不斷發(fā)展完善的。依據(jù)該方法，順風(fēng)向的結(jié) 構(gòu)總風(fēng)致響應(yīng)由平均風(fēng)響應(yīng)、脈動(dòng)風(fēng)響應(yīng)組成，其中脈動(dòng)風(fēng)響應(yīng)包括背景響應(yīng)和 共振響應(yīng)。圖0-1（ A）表示了時(shí)域內(nèi)的平均響應(yīng)r、背景響應(yīng)rB和共振響應(yīng)rR， 圖0-1（ B）

3、表示了頻域內(nèi)的背景均方響應(yīng)rB、前三階共振均方響應(yīng)r；、rR2和rR3。 下面主要探討下單自由度和多自由度結(jié)構(gòu)的順風(fēng)向風(fēng)致響應(yīng)。LOG FREQUEMCT f圖0-1平均、背景和共振響應(yīng)1單自由度結(jié)構(gòu)順風(fēng)向風(fēng)振響應(yīng)結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)等于確定其各部分位置所需參數(shù)的數(shù)目。有很多結(jié)構(gòu)，將其假定為單自由度結(jié)構(gòu)，在計(jì)算其順風(fēng)向動(dòng)力響應(yīng)時(shí)能獲得合力準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。 在計(jì)算結(jié)構(gòu)的順風(fēng)向響應(yīng)時(shí)，僅考慮順風(fēng)向部分的湍流速度分量 u，其他湍流分 量對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)影響不顯著。一般單自由度結(jié)構(gòu)可視為點(diǎn)狀結(jié)構(gòu)，計(jì)算模型可假定為質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)支 承在剛度系數(shù)為k的彈簧上，同時(shí)與彈簧平行的方向有阻尼系數(shù)為 c的黏滯阻 尼。

4、位移u的運(yùn)動(dòng)方程為：mu cu ku Ftot（）式中，F(xiàn)tot為作用在結(jié)構(gòu)上的順風(fēng)向荷載。荷載 Ftot的表達(dá)式為：1 . 2Ftot 2°dA （U v u）2（）式中，Cd為空氣阻力系數(shù)；A是垂直平均風(fēng)方向的結(jié)構(gòu)受荷載面積。順風(fēng) 向荷載取決于風(fēng)與結(jié)構(gòu)的相對(duì)速度，即與結(jié)構(gòu)振動(dòng)的速度u有關(guān)系。因?yàn)椋话闱闆r下平均風(fēng)速U比縱向湍流的速度v要大得多，所以有如下近似：（U v u）2 U2 2Uv 2U u（）全部的風(fēng)荷載可分為三部分：平均風(fēng)荷載Fq、由湍流產(chǎn)生的脈動(dòng)荷載Ft及氣動(dòng)阻尼所產(chǎn)生的荷載Fa :FtotFq Ft Fa（）FqCd AU2（）2FtCd AUv（）FtCdAUu

5、Ca u（）CaCd aU（）氣動(dòng)阻尼常數(shù)ca與結(jié)構(gòu)自身阻尼c相加可得合租尼Co :所以有平均風(fēng)位移響應(yīng)：丄CdA U2k結(jié)構(gòu)位移的自譜S (n)表達(dá)式為:2S(n) |H(n)| SF(n)式中，H (n)為結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)；SF(n)為函數(shù)自譜。風(fēng)荷載自譜可由下式確定:S(n) (CaA U)2Su(n)4Fq2U2Su(n)()()()因此，位移U的方差可通過(guò)對(duì)式()中的自譜積分求得:S (n)dn4Fq2k2|H( n) |2 晳dn()再將湍流強(qiáng)度Iuu .U代入上式，并利用式()，可得：2()0uk2U20所以，總的風(fēng)致響應(yīng)：J2 Iu k2|H(n)|2 Su(n)dno順風(fēng)向

6、的結(jié)構(gòu)總風(fēng)致響應(yīng)由平均風(fēng)響應(yīng)、脈動(dòng)風(fēng)響應(yīng)組成，其中脈動(dòng)風(fēng)響應(yīng)包括背景響應(yīng)和共振響應(yīng)。一、平均風(fēng)響應(yīng)在順風(fēng)向，平均風(fēng)致響應(yīng)可通過(guò)平均風(fēng)荷載與影響函數(shù)得到-H r（z） 0 P（Zi）i（z,zJdZj （ 1）式（1）中：r（z）表示在結(jié)構(gòu)z高度處的某一響應(yīng)均值p（Zi）表示作用于結(jié)構(gòu)高度Zi處的線平均風(fēng)力i（z, z）表示在乙高度處作用一單位力在z高度處產(chǎn)生的某一響應(yīng)值，也稱影 響函數(shù)，包括位移、剪力和彎矩影響函數(shù)等，其任意高度z的表達(dá)式如下：j（z八（z）第j階位移 Kji（z, zi）1或0剪力（當(dāng)乙z時(shí)，取1；當(dāng)zi z時(shí)，取0）（2）zi -z或0彎矩（當(dāng)zi z時(shí)，取zi - z；當(dāng)

7、zi z時(shí)，取0）式（2）中，j（z）和j（z）表示某高度處的第j階陣型坐標(biāo)，K*代表第j階廣義剛度。在豎向懸臂結(jié)構(gòu)中，一般考慮第一階陣型的影響。在(2)中，最為關(guān)心的是頂部(z=H)位移、底部(z=0)剪力與彎矩的影響函數(shù)。二、脈動(dòng)風(fēng)響應(yīng)一豎向懸臂結(jié)構(gòu)，在與風(fēng)垂直的迎風(fēng)表面xz 上, M1點(diǎn)和M2點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,z)和(x,z)，準(zhǔn)定常假定成立，作用于迎風(fēng)面上這兩點(diǎn)的脈動(dòng)風(fēng)壓分別 為w(x, z,t)和w(x'zt)，其表達(dá)式為w(x,z,t)Cd(MJ (z) (z,t) (a)w(x,z,t) Cd(M2)(z) (z,t) (b)由強(qiáng)風(fēng)觀察結(jié)果分析得出，式(a)和式(b)中

8、的流脈動(dòng)風(fēng)速(z,t)和(z,t)大 體上服從正態(tài)分布規(guī)律，脈動(dòng)風(fēng)速的均值 E( )0,并且由前述脈動(dòng)風(fēng)的記錄可近似作為平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程。1、運(yùn)動(dòng)方程工程中受風(fēng)敏感的高層建筑或高聳結(jié)構(gòu)， 屬豎向一維懸臂結(jié)構(gòu)，這類結(jié)構(gòu)沿 豎向的質(zhì)量和剛度分布可以不均勻， 隨高度發(fā)生變化，現(xiàn)將其抽象為一維懸臂的 無(wú)限自由度體系。由隨機(jī)振動(dòng)的振型分解方法，任意高度 z處的水平位移yd(z,t)可表示為yd(z,t)ydj(z,t)j(z)qj (z)( 3)j 1j 1式中ydj(z,t)第j振型的動(dòng)位移；j(z)第j振型z高度處的坐標(biāo)；qj(z)第j振型的廣義坐標(biāo)。假設(shè)振型j(z)對(duì)質(zhì)量分布和剛度分布正交，

9、阻尼項(xiàng)采用瑞雷阻尼，可得第j振型的運(yùn)動(dòng)方程：q(t) 2 j(2 nj)qj(t) (2 內(nèi) Fj (t)( 4)亠宀1 H B(z)式中，F(xiàn)j(t) 匸 0 0 w(x, z,t) j(z)dxdz (5)IVI j式中 w(x, z,t)脈動(dòng)風(fēng)壓；Bz 建筑物z高度處的迎風(fēng)面寬度；H建筑物總高；M j 建筑物第j振型的廣義質(zhì)量，其表達(dá)式如下：H*nM j m（z） j （z）dz （6）0式中，m（z）為建筑物z高度處單位長(zhǎng)度的分布質(zhì)量2、位移響應(yīng)根方差由維納-辛欽關(guān)系式，第j振型和第k階振型廣義力互譜密度SFjFk（n）由其互相關(guān)函數(shù)Rf.f, （x, x ,z,z,）得到:SnFk(n

10、)RFjFk(x,x',z,z, )ei2ndF.(t)Fk(t) e i2 n d(7)由式(5)和(7)可進(jìn)一步寫作SFjFk (n)H B(z)H B(z)'''''0 0 w(x,乙 t) j (z)dxdz 0 0 w(x,z,t ) k(z)dxdzi2 n；?*edM .M .HHB(z)0 0 0i2 nB(z.' w(x,z,t)w(x,z,t ) ed''j (z) k (z)* *dxdxdz dz0MjMj1H H B(z) B'''''j. 0 0 00 j

11、(z) k(z曲x,x,z,z,n)dxdxdzdz（8）式（8）中，Sw（x, x',z,z', n）為兩點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)壓互譜密度，為''''i2 nSw(x,x,z,z,n)Rw(x,x ,z,z, )e d,( 9)w(x,z,t)w(x ,z ,t ) e i2 n d式（9）中，Rw（x,x',z,z',）為兩點(diǎn)脈動(dòng)風(fēng)壓互相關(guān)函數(shù)由式（a）和（b）,可寫出：'' '''i 2 nSw(x,x,z,z,n)Cd(MJ (z) (x,z,t) Cd(M2) (z) (x,z,t ) e d2

12、Cd(MJCd(M2)(z) (z )S(x,x,z,z,n)(10)引入脈動(dòng)風(fēng)相干函數(shù)的平方根 Rxz(M1, M 2,n)后，S (x,x',z,z',n) Rxz(Mi,M2,n). S (x,z,n)S (x',z,n) (11)Rxz(Mi,M2,n)；S (n)S (n) 想(皿1,皿2,n)S (n)1 HSFjFk(n) 0HB(z)B(z')0 0 0將式(10)連同式(11)帶入式(8)中，可得：' n'''j(z) k(z) Cd(MJCd(M2)(z) (z)S (n)Rxz(M1,M2,n)dxdxdzd

13、z（忽略交叉項(xiàng)后，式（12）寫為SFj(n)2Cd(MJCd(M2)S (n) H*2m j)'zz''j (z) k(z)(2 )Rxz(M1,M 2, n)dxdxdzdzH2 2*nM j2Cd(M1)Cd(M2)S (n) H J(n)(13)式（13 ）中，Cd（MJ和Cd（M2）M1和M 2的平均壓力系數(shù)，H（自，吒），這里，H為來(lái)流在建筑物頂部高度的平均風(fēng)速。按陣型分解隨機(jī)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)水平動(dòng)位移響應(yīng)的功率譜密度Sy（z, n）為Sy(z, n)j(z) k(z)Hj(-in)Hk(in)n)(14)j 1 j 1Hj(-i n)Hk(i n)1(2 nj

14、)21 (衛(wèi))2i2 j-njnj12 n 2n(2 nk)21 (-)2 i2 l響應(yīng)y的方差為2y(z)0 Sy(z,n)dnm m0j(z) k(z)Hj(-in)Hk(in)SFjFk(n)dnj 1 j 1當(dāng)忽略交叉項(xiàng)后，第j階振型響應(yīng)的方差為:2(15)式( 16)2(z)0 Hj(in) Sf(n)dn( 16)中，頻響函數(shù)為Hj(i n)1(2 nj)41 (丄)2 (2 j-)2njn(17)式( 16)可分為三段積分，寫作:2(z)2H j(in) SFj(n)dn2Hj(in) SFj(n)dn2nj njj(z)0nj njnj nj2(Z) njnjH j(in) S

15、Fj(n)dn( 18)式(18)可進(jìn)一步改寫如下:12,、 njnj02 2 2yj(Z) (2-T j(Z)0SFj(n)dn SFj( n) j(z)(2 nj)1 2(2-T j(z)oSFj(n)dn 希(2 nj)2nj njnj nj2Hj(in) dnj2(z) 0 H j(in)2dn(19)式(19)右端第一項(xiàng)，背景風(fēng)響應(yīng)b(z)為mm1b(z) Bj(z) 4 j2(z) 0 SFj(n)dnF(20)j 1j 1 (2 nj)0右端第二項(xiàng)，共振響應(yīng)Rj(Z)為2Rj(z) SFj(nj) 2(z) 0 Hj(in) dn (21)風(fēng)致響應(yīng)譜在結(jié)構(gòu)自振頻率處具有與結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)類似的尖峰，由此可將自振頻率附近的響應(yīng)譜值按白噪聲假定簡(jiǎn)化計(jì)算。2 2 2Rj(z) SFjg) j(z) H j(i n)j( 22)式（22）中，j為假定的白噪聲帶寬。比較（21）和（22）得2jnj(23)H j(in) dnHj(i n)由式（23）,可得H j (in) dn H j (in)o1 2(2 )jnjj(2 nj)4Hj(i n)jnj13-64 nj j(24)由式（21）和（24）得(25