概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式整理(超全版)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式(全)2011-1-1第1章隨機事件及其概率（1）排列 組合公式Pmn 從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。（m n）!nm!Cm 從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。n!（m n）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，A種方法可由m種方法完成，第二種方法可由 n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mx n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由 n種方法來完成，則這件事可由mx n種方法來完成。（3） 一些 常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序

2、） 對立事件（至少有一個） 順序問題（4）隨機 試驗和隨 機事件如果一個試驗在相同條件卜XJ以重復(fù)進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個， 但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試 驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。（5）基本 事件、樣本 空間和事 件在一個試驗下，不管事件有多少個， 總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫

3、字母A, B, C,表示事件，它們是的子集。為必然事件，？為/、可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為 1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件 的關(guān)系與 運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必啟事件 B發(fā)生）：A B如果同時有 A B, B A,則稱事件 A與事件B等價，或稱A等于B： A=B,A、B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB ,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：A B,或者

4、AB A B=?,則表示 A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互小相容或者互斥?；臼录腔バ∠嗳莸?。-A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對立事件，記為人。它表示A不發(fā)生 的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C) A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)AiAi德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB(7)概率 的公理化 定義設(shè) 為樣本空間，A為事件，對每一個事件 A都有一個實數(shù)P(A),若滿 足卜列三個條件：1 0WP(A)W 1,2 P( Q ) =130對于

5、兩兩互不才目容的事件A, A2,有PAiP(Ai)i 1i 1常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典 概型1o1, 2n，_12 P( 1) P( 2)P( n)。n設(shè)任一事件A,它是由1, 2m組成的，則有P(A)= ( 1)(2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)(9)幾何 概型若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件 A,P(A) LA。其中L為幾何度量(長度、面積、體積) 。L()(10)加法 公式P

6、(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB)=0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)減法 公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A=時,P( B )=1- P(B)(12)條件 概率定義 設(shè)A、B是兩個事件，且 P(A)0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事P(A)件B發(fā)生的條件概率，記為 P(B/A) P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(Q/B)=1 P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法 公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A, A, -

7、An,若P(A1A2An-1)0 ,則有P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An| A1A2 An 1) / o(14)獨立 性兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B)，則稱事件a、B是相互獨立的。若事件A、B相互獨立，且P(A) 0,則有P(B|A)3 P(A)P(B) P(B) P(A)P(A)若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、入與B也都相互獨 立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P

8、(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互獨立。對于n個事件類似。(15)全概 公式設(shè)事件B1,B2,，Bn滿足1。B1,B2, 1Bn 相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n), nABi2i 1則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn)。(16)貝葉 斯公式設(shè)事件B1, B2,，Bn及A滿足1 B1, B2,，BnW相容， P(Bi)0, i 1, 2,，n, nABi2。i 1P(A) 0則d 、P(Bi)P(A/Bi)P(Bi / A)n, i=1 , 2,

9、n。P(Bj)P(A/Bj) j 1 此公式即為貝葉斯公式。P(Bi),(i 1 , 2,，n),通常叫先驗概率。P(BJA),(i 1,2, n),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并作出了 “由果朔因”的推斷。(17)伯努 禾概型我們作了 n次試驗，且滿足每次試驗只用兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復(fù)進行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗A發(fā)生與否是互/、影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗。用p表示每次試驗A發(fā)生的概率，則其發(fā)生的概率為1 p q，用”卜)表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k(0 k

10、n)次的概率，八、_kknk_Pn(k) CnP q , k 0,1,2, ,no第二章隨機變量及其分布(1)離散 型隨機變 量的分布 律設(shè)離散型隨機變量 X的可能取值為 X(k=1,2,)且取各個值的概率，即事 件(X=Xk)的概率為P(X=Xk)=p k, k=1,2,，則稱上式為窗放型隨機變重X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：X| X1,X2, ,xk,P(Xxk) p1, p2, pk,o顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件：pk 1(1) pk 0 , k 1,2,(2) k 1o(2)連續(xù) 型隨機變 量的分布 密度設(shè)F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對任意實

11、數(shù)X ,有XF(x)f(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有卜面4個性質(zhì)：1。 f(x) 01 Of(x)dx 12 o(3)離散 與連續(xù)型 隨機變量 的關(guān)系P(X x) P(x X x dx) f(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與P(Xxk) pk在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。(4)分布 函數(shù)設(shè)X為隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)F(x) P(X x)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。P(a X b) F(b) F 可以彳#到X落入?yún)^(qū)間(a, b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機變量

12、落入?yún)^(qū)間(-8, x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：10 F(x) 1,x;2F(x)是單調(diào)/、減的函數(shù)，即 x1 x2時，有 F(x。 F(x2)；3F( ) lim F(x) 0,F() lim F(x) 1;xx4。 F(x 0) F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5 P(X x) F(x) F(x 0)。對于離散型隨機變量，F(xiàn)(x)pk ；xk x x對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)f (x)dx 。八大 分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在n重貝努里試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為 p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為X ,則X可能取值為0,1,2, ,n。P(X k)

13、 Pn(k) C：pkqnk,其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n,則稱隨機變量X服從參數(shù)為n, p的二項分布。記為X B(n,p)o一.一，k 1 k_當(dāng) n 1 時，P(X k) p q , k 0.1 ,這就是(0-1 )分布，所以(0-1 )分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機變量X的分布律為kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!則稱隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為 X ()或者 P()。泊松分布為二項分布的極限分布(np=入，n-8)。超幾何分布CM ?cn M k 0,1,2 ,lP(X k) n, CNl min(M,n)隨機變量X服從參數(shù)為n,N,

14、M的超幾何分布，記為 H(n,N,M)。幾何分布P(X k) qk1p,k 1,2,3,其中 p0, q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p)。均勻分布設(shè)隨機變量X的值只落在a, b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a, b，一 1上為常數(shù)，即b a1a x bf(x) b a,甘他其他，0,則稱隨機變量 X在a, b上服從均勻分布，記為XU(a, b)。分布函數(shù)為0 0,xa,x a,xb。當(dāng)aWx1x2Wb時，X落在區(qū)間(xi，x2)內(nèi)的概率為_x2 x1P(x1X x2)21 ob a指數(shù)分布xe e ,x 0,f(x)t 0,x 0,其中0,則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布

15、。X的分布函數(shù)為F(x)-廣)x1 e ,x 0,L 0,x0。記住積分公式：xne xdx n!0正態(tài)分布設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為1f(x) -e 2,x,萬其中 、0為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為、/2.的正態(tài)分布或圖斯(Gauss)分布，記為 X N( ，)。f(x)具有如下性質(zhì)：1 。 f(x)的圖形是關(guān)于x對稱的；。，、，一12 當(dāng)x 時，f ( )為最大值；22若X N()x,虬X2的分布函數(shù)為F(x)石=e 2 dt* Jo o參數(shù)0、1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，記為X N(0,1)其密葭函數(shù)記為(x) -j=e2,x,分布函數(shù)為1 x(x)；e 2 dt (x)是不可求積

16、函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)=如果X 1-(x)且(0)=。X 2N( , 2),則N(0,1)。P(x1X x2)。(6)分位 數(shù)下分位表：P(X)=;上分位表：P( X)=。(7)函數(shù) 分布離散型已知X的分布列為XX1, X2, xn,5P(X xi) p1, p2, pn,Y g(X)的分布列(yi g(xj互不相等)如下：Yg(x1), g(x2), g(xn),若由某些g(xip相等，則應(yīng)將對應(yīng)印 pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y) = P(g(X) 0 (i,j=1,2,)；(2) pj1.連續(xù)型對于二維隨機向

17、量(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)(x,y),使對任忠個其鄰邊分別平行丁坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D,即D=(X,Y)|axb,cy0;(2) f (x, y)dxdy 1.(2)二維 隨機變量 的本質(zhì)(X x,Y y) (X x Y y)(3)聯(lián)合 分布函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y) PX x,Y y稱為二維隨機向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)|X( 1) x,Y( 2) y的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 F(

18、x,y) 1;(2) F (x,y )分別對x和y是非減的，即當(dāng) x2x1 時,有 F (x2,y) F(x 1,y);當(dāng) y2y1 時,有 F(x,y 2) F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4) F( ,)F(, y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5)對于 x1 x2, y1 y2,F(x2, y?) F(x2, y1) F(x1，、2)F(x，y1) 0.(4)離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdy(5

19、)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(XXi)Pj(i,j1,2,);Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pj(i, j1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布.密度為fx(x)f(x,y)dy;Y的邊緣分布密度為fy(y)f(x, y)dx.(6)條件 分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y yj|X x。一Pi?在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為PjP(X xY yj)，P?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)譽？ fy(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x) 人 fX(x)(7)獨立 性一般型F(X,丫尸F(xiàn) x(x)F Y(y

20、)離散型Pij Pi?P?j后零不獨立連續(xù)型f(x,y)=f X(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：可分離交量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布221x 12 (x 1 )(y 2) y 212(12 )11 22f (x, y),2 e,212 2)n 2二維 隨機 變量 的數(shù) 字特 征期望nE(X)XiPi?i 1nE(Y)yjP?jj 1E(X)xfx (x)dxE(Y)yfY (y)dy函數(shù)的期望EG(X,Y) =G(Xi,yj)pjEG(X,Y) =G(x,y) f(x, y)dxdy力差_2D(X)XiE(X) Pi?_2D(Y)Xj E(Y) p?j2D(X)x E(X)2fx

21、(x)dx2D(Y)y E(Y)2fY(y)dy協(xié)力差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為XY或COV(X,Y),即xy 11 E(X E(X)(Y E(Y).與記號 xy相對應(yīng)，X與Y的方差D(X)與D( Y)也可分別記為xx與y YY 。相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與Y,如果D (X) 0, D(Y)0 ,則稱XY ,WJW)為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作XY (有時可簡記為 )。|W1,當(dāng)|=1時，稱X與丫完全相關(guān)：P(X aY b) 1小日關(guān) 正相關(guān)，當(dāng) 1時(a 0)，兀全相關(guān)負(fù)相關(guān)，當(dāng)1時(a 0),而當(dāng)0時，稱X與丫不相關(guān)。以卜五個命題是等價的： XY

22、0 ； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXYYXYY混合矩對于隨機變量 X與Y,如果有E(XkYl )存在，則稱之為 X與丫的k+l階混合原點矩，記為 kl ； k+l階混合中心矩記為：Uki E(X E(X)k(Y E(Y)1.(6) 協(xié)方 差的 性質(zhì)(i) cov (X, 丫尸cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y)；(iv) cov(X,丫-E(XY)-E(X)E(

23、Y).獨立(i)若隨機變量X與丫相互獨立，則XY 0；反之不真。和不22相關(guān)(ii )若(X, Y) -N ( 1，2，12,:,),則X與丫相互獨立的充要條件是 X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律切比雪設(shè)隨機變量X, X2,相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：X定律D (X) C(i=1,2,lim n特殊情形：若X1 n lim P - Xi nn i 1),則對于任意的正數(shù),有1 n1 nP - Xi - E(Xi) n i 1n i 1.1, X2,具有相同的數(shù)學(xué)期望1.1.E (X)=g則上式成為伯努利 大數(shù)定 律設(shè)科是n次獨立試驗中事件 生的概率，則

24、對于任意的正數(shù)e ,有l(wèi)im P n伯努利大數(shù)定律說明， 當(dāng)試有較大判別的可能性很小，即lim Pn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的A發(fā)生的次數(shù)，3 p寧次數(shù)n很大時,/穩(wěn)定性。p是事件A在每次試驗中發(fā)1.事件A發(fā)生的頻率與概率0.辛欽大 數(shù)定律設(shè) X, X2,，X, 則對于任意的正數(shù)有1 n lim P - Xi nn i 1是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E (Xn)二科，1.(2)中心極限定 理2X N(,一)n列維 林德伯 格定理設(shè)隨機變量X1, X2,相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk) ,D(Xk)20(k 1,2,)，則隨機變量nXk nYk 1n八的

25、分布函數(shù)Fn(x)對任意白實數(shù)X,有nXk nt2k 11xlim Fn (x) lim P - x| e 2 dt.nn布2T此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗 -拉普 拉斯定 理設(shè)隨機變量Xn為具有參數(shù)n, p(0p1)的二項分布，則對于任意實數(shù)X,有t2X n np1 x 弓lim P -. x ： e 2 dt.nJnp(1p)J2(3)二項定理若當(dāng)N時,一p(n,k/、父)，則Nkn kCM CN 一i k /d、n k/KI、- Cn P (1 P)(N).CN超幾何分布的極限分布為二項分布。(4)泊松定理例n時，np0,則kCkpk(1 p)n k e(n).k!其中k

26、=0, 1, 2,，n,。二項分布的極限分布為泊松分布。概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式(全)2011-1-1第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理 統(tǒng)計的基 本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全 體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨 機變量（或隨機向量）。個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1, x2, , xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是 n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，X1,X2, ,xn表示n個

27、隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，X1,X2, ,xn表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和 統(tǒng)計量設(shè)X1, X2 , ,xn為總體的一個樣本，稱（X1,X2, Xn）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（X1, X2, ,Xn）為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量 及其性質(zhì)一 1n 樣本均值x -xi.n i 1樣本力差1 n_S2-(xi x)2.n 1 i 11 n- 2樣本標(biāo)準(zhǔn)差Sm (xi x)2.n n 1 i 1樣本k階原點矩1 n kMk - xi ,k 1,2,.n i 1樣本k階中心矩1 n- kMk (xi x)k,k 2,3

28、,.n i 12E(X), D(X)一,n_22_2n 1 2E(S ), E(S* ),n,21n 2其中S* 一 (Xi X)，為二階中心矩。n i 1(2)正態(tài) 總體下的 四大分布正態(tài)分布設(shè)x1，x2,xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本，則樣本函數(shù)def xu-lN(0,1)./vnt分布設(shè)Xi,X2, ,xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本，則樣 本函數(shù)def xL t(n 1), s/v n其中t(n-1)表示自由度為 n-1的t分布。2分布設(shè)X1,X2, ,Xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本，則樣 本函數(shù) 一_ 2def (n 1)S2 / 仆w-2 (

29、n 1)，其中2(n 1)表示自由度為n-1的2分布。F分布設(shè)X1,X2,Xn為來自止態(tài)總體N( , 12)的一個樣本，而y1，y2, ,yn為來自止態(tài)總體 n(,力的一個樣本，則樣本 函數(shù)def s2/12F-2F(ni 1,n2 1), S；/ 2其中dn1_dn2_S2 3(Xi X)2,S22 -(yi y)2;R 1 i 1h 1 i 1F(n1 1, n2 1)表示第一自由度為n1 1,第一自由度為n2 1的F分布。(3)正態(tài) 總體下分 布的性質(zhì)X與S2獨立。第七章參數(shù)估計(1)點矩倩計設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m,則其分布函數(shù)可以表成F(X； 1, 2, , m

30、).它的 k 階原點矩 Vk E(Xk)(k 1,2, ,m)中也包含了未知參數(shù)1, 2, m，即Vk Vk( 1, 2, m)。又設(shè)X, X2, ,Xn為總體X的n個樣本值，其樣本的 k階原點矩為1 n ,Xik (k 1,2, ,m).n i 1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩” 的原則建立方程，即有V1 ( 1 , 2 , , m)Xi ,n i 1、，/2V2( 1 , 2 , , m)Xi ,n i 11 nVm( 1 , 2 , , m)Xi .n i 1由上面的m個方程中，解出的 m個未知參數(shù)(1, 2, , m)即為參數(shù) (1,2, m)的矩估計量。

31、若 為 的矩估計，g(X)為連續(xù)函數(shù)，則g(今為g()的矩估計。極大似 然倩計當(dāng)總體 X為連續(xù)型隨機變量時，設(shè)其分布密度為f (x； 1 , 2 , m),其中1,2, m為未知參數(shù)。又設(shè)X1，X2 , ,Xn為總體的一個樣本，稱nL( 1 , 2, m)f(Xi； 1, 2, m)i 1為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體 X為離型隨機變量時，設(shè)其分布律為PX X p(x； 1,2, m),則稱nL(X1,X2, ,Xn； 1, 2, , m)p(Xi ； 1 , 2, m)i 1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) L(X1,X2, , Xn； 1, 2, m)在 1, 2, , m 處取到最大值

32、，則稱 1, 2, , m分別為1, 2, , m的最大似然估計值， 相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。ln Lnn0,i1,2, ,mii i若 為 的極大似然估計，g(X)為單調(diào)函數(shù)，則g(?)為g()的極大 似然情計。估 計量的 評選標(biāo) 準(zhǔn)無偏性設(shè)(X1,X2, ,Xn)為未知參數(shù)的估計量。若E ()=，則稱為的無偏估計量。E ( X ) =E (X), E (S2) =D (X)后效性設(shè) 11(Xi,X,2, ,XnD 22(Xi,X,2, ,Xn)Mfl 參數(shù)的兩個無偏估計量。若 D( 1) D( 2),則稱1比2有效。,致性設(shè)n是 的一串估計量，如果對于任意的正數(shù)，都有l(wèi)im P(|

33、 n |) 0,則稱n為的一致估計量(或相合估計量)。若為的無偏估計，且D( ?)0(n，則為的一致估計。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相 應(yīng)總體的一致估計量。(3)區(qū)置信區(qū)設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本x1,x,2 , ,xn出nn n間倩計間和置信度發(fā)，找出兩個統(tǒng)計量 11(x1, x,2 ,xn)與22(x1,x, 2 , ,xn)( 12),使得區(qū)間1, 2以1(01)的概率包含這個待估參數(shù)，即P 12 1,那么稱區(qū)間1, 2為 的置信區(qū)間，1 為該區(qū)間的置信度(或置信水平)。單正態(tài)總體的設(shè)x1, x,2 , ,xn為總體X N( ,

34、 2)的一個樣本，在置信度為 1期望和2方差的下，我們來確定 和2的置信區(qū)間1, 2。具體步驟如下：區(qū)間估(i )選擇樣本函數(shù)；計(ii )由置信度1,查表找分位數(shù)；(iii )導(dǎo)出置信區(qū)間1, 2。1概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式（全）2011-1-1已知方差，估計均值(i )選擇樣本函數(shù)xuN(0,1).0 / v n(11) 查表找分位數(shù)P早1.07n(iii )導(dǎo)出置信區(qū)間一0 一0xTn,x 丁未知方差，估計均值(i )選擇樣本函數(shù)xt -=t(n 1).S/Vn(ii)查表找分位數(shù)PX L1.S/Jn(iii )導(dǎo)出置信區(qū)間-S -SxTn,xTn方差的區(qū)間估計(i )選擇樣本函數(shù) _ 2(n 1)S2/ 仆w2