高等數(shù)學(xué)第一章公式

1、公式與定理（第六版上冊(cè)）第一章函數(shù)與極限 第一節(jié)：初等函數(shù) 事函數(shù)：y=xa（a.R是常數(shù)） 指數(shù)函數(shù)：y =ax （ a>0且a *1）對(duì)數(shù)函數(shù) :y= loga x （a>0 且 a= 1,特別當(dāng) a=e 時(shí)，記為 y=lnx）三角函數(shù)：如y=sinx等 反二角函數(shù)：如 y=arctan x等第二節(jié)：數(shù)列的極限收斂數(shù)列的性質(zhì)：定理1 （極限的口t一性）如果數(shù)列Xn收斂，那么它的極限唯" O定理2 （收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列Xn收斂，那么數(shù)列Xn 一定有界。定理3 （收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果limxn=a，且a>0（或a<0）,那 n始二么存在正整數(shù) N&g

2、t;0,當(dāng)n>N時(shí)，都有xn. >0（ xn<0） 定理4 （收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系）如果數(shù)列 xn.收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂,且極限也是 a.第三節(jié)函數(shù)的極限函數(shù)極限的性質(zhì)定理1 (函數(shù)極限的唯一性)如果lim f(x)存在，那么這極 X )X0限唯一.定理2 (函數(shù)極限的局部有界性)如果 lim f(x)=A存在， x_X0那么存在常數(shù) M>0和6 >0,使得當(dāng)0<x _x0 <時(shí),有 |f(x)|EM .定理3(函數(shù)極限的局部保號(hào)性)如果 lim f(x) =A,且x >x)A>0(或 A<0),那么存在常數(shù)6 &g

3、t;0 ,使得 0<xx0|<6 時(shí)，有 f(x) >0 (或 f(x)<0)定理3 如果lim f (x) = A(A ¥0),那么就存在著xn的某一去 x的心鄰域(x。)，當(dāng)xwU(x0)時(shí)，就有|f(x0), *.唯論 如果在x0的某去心鄰域內(nèi)f(x)之0或(f (x0) <0),而且lim f(x) = A,那么 A 之 0或(A<0)x M0定理4 (函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)如果極限lim f (x)x >x)存在， xn為函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于小的數(shù)列，且滿足：xn = %(n-N*),那么相應(yīng)的函數(shù) 數(shù)列，f(xn)

4、必收斂，且 “mf(x)=lm f (x).第四節(jié)無窮小與無窮大定理1在自變量的同義一變化過程xTx0 (或xTg)中，函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x) = A + a,其中a是無窮小。定理2在自變量的同一變化過程中，如果 f(x)為無窮大，則為無窮小；如果f(x)為無窮小，且f(X)W0,則 f(x)，為無窮大。f(x)第五節(jié)極限運(yùn)算法則定理1有限個(gè)無窮小的和也是無窮小。定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論2有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小。定理 3 如果 lim f (x) = A, lim g(x) = B,那么(1) lim f (x)

5、 ± g(x) = lim f (x) ± lim g(x) = A + B(2) lim f(x) *g(x) = lim f (x) *lim g(x) = AB若又有B = 0，則lim小二53 = A .g(x) lim g(x) B推論1如果lim f(x)存在，而c為常數(shù)，則lim cf (x) = clim f (x).唯論2如果lim f(x)存在，而n是正整數(shù)，則lim f(x)n =lim f(x)n.定理 4 設(shè)有數(shù)列xnh和yn, 如果lim xn =A,lim yn =B,那么(1)里面(xn _yn) = A_ B;(2)lim xn *yn =

6、 A B;xnA(3)當(dāng) yn ¥ 0(n =1,2"，)且B 豐 0時(shí)，lim =. n、：ynB定理 5 如(x)之中(x)，而lim 9(x) = a, lim+(x) = b,那么 a ± b.定理6 (復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù) y=fg(x)是由 函數(shù)u = g(x)與函數(shù)y = f(u)復(fù)合而成，fg(x)在點(diǎn)小的某 去心鄰域內(nèi)有定義,若lim gd) =/, lim f(u)=A，且存在x_x0u )U006。>0,當(dāng)x W U (Xo,6o)時(shí)，有g(shù)(x) #u。,則！im fg(x)=四 f(u) = A.x >xQu )u0第

7、六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限£ zn,準(zhǔn)則1如果數(shù)列xn,yn及zn滿足下列條件：(1)從某項(xiàng)起，即 孤w N,當(dāng)n > n0時(shí)，有yn - x(2) lim yn = a, lim zn = a.n j二二n-/二準(zhǔn)則1那么數(shù)列 xn的極限存在，且lim xn =a. nnT 二二如果0(1) 當(dāng) x = U (X0,r)(或x A M )時(shí)，g(x) W f(x) W h(x)(2) lim g(x) = A, lim h(x) = A, xX0X >X)(x )(x ；)那么lim f(x)存在，且等于 A. x )X0 (x準(zhǔn)則I和準(zhǔn)則F稱為夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則口 單調(diào)有

8、界函數(shù)必有極限第七節(jié)無窮小的比較定理1P與a是等價(jià)無窮小的充分必要條件是(=o +o(a).定理 2 設(shè) a a ； P B ：且 lim °，存在，則 lim ° = lim 0 ,. ot ra aF第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù) 性定理1 設(shè)函數(shù)f(x)和g (x)在點(diǎn)Xo連續(xù)，則他們的和(差)f 士g .積fg及商工(當(dāng)g(x"¥0)都在點(diǎn)連續(xù)。 g定理2 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加(或單調(diào)減少) 且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x= f(y)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間Iy =yy = f(x),xw Ix上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連 續(xù)。定理3 設(shè)

9、函數(shù)y = fg(x)有函數(shù)u = g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合而 成，U (x0) u Df %.若 1mg(x) = uo,而函數(shù) y=f(u)在 u = u0連續(xù)，則 lim fg(x) = lim f(u) = f (u0).x jxou zuo定理4 設(shè)函數(shù)y = fg(x)是由函數(shù)u=g(u)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合 而成，U(x0)uDf力.若函數(shù)u=g(x)在x = x0連續(xù)，且 g(x0)=u0,而函數(shù)y = f (u)在u =u0連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) y = fg(x)在 x =x0也連續(xù)。第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(有界性與最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和 最小值。定理2 (零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，ILf(a)與異f(b)號(hào)(即f(a)f (b) <0),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi) 至少有一點(diǎn)，使 f ( )-0.定理3 (介值定理) 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間上a,b連續(xù)，且在 這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A&f(b) =