2020年全國一卷理科數(shù)學高考題及答案解析

1、2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學試卷（理科）（全國新課標D一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一 項是符合題目要求的。1.若Z=l+i,貝A. 0B. 1C. V2D. 2【答案】D (微信公眾號：數(shù)學研討)【解析】由 z = l + i 得，? =2i, 2z = 2+2i,所以 |z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.設集合/1 = 3義-40), B = x|2k十a(chǎn)WO,且j04 = 刈-2W內於斗，則A. 一4B. -2C. 2D. 4【答案】B （微信公眾號：數(shù)學研討）【解析】由己知得/=任|2Wx0）上一點點4到C

2、的焦點的距離為12.到J軸的距離為9.則p =A. 2B, 3C. 6D. 9【答案】C （微信公眾號，數(shù)學研討）【解析】設點 +2)=0 ,所以4 716o+ = + (e Z )，化簡得9勺6 24(ZeZ),又因為T2tlV2T,即271所以1同2,當且僅當斤=-1時1同2 ,所以 =上，最小正周期？=蕓=史故選C2H 38 . G十二x十y）5的展開式中/的系數(shù)為（） xA. 5C, 15D.20【答案C（微信公眾號，數(shù)學研討）【解析】：O十的通項公式為（r=。2345）.所以，=1時，匕C，y = 5x）y3,尸=5 x 時 xCx2y3 = 1 Ox3y3 , 所以 x3y3 的系

3、數(shù)為 15.9 .已知 藥，且3cosa-8cosa = 5,則sine=()C.【答案】：A （微信公眾號，數(shù)學研討）【解析】：原式化簡得3cos2 a 4cosa4 = 0,解得cosa=或2（舍），又。為，所以 3sm a =310.已知B ,。為球O的球面上的三個點, 2bB. a b2D. ab2【答案】：B (微信公眾號：數(shù)學研討)【解析】：由指數(shù)與對數(shù)運算可得;20+1%。=4匕+21%。=2幼+1。&6,又因為2+1082bg2 = 2+l + log2 6，BP24 + log,a,令/(用=2+12/，由指對函數(shù)單調性可得f(x)在(0，的)內單調遞增，由/(a)v/(2與

4、可得：a -2W。，x-y -120,則z = * + 7y的最大值為. y+l20,【答案11.(微信公眾號：數(shù)學研討)【解析】：如圖，當直線n = x+7經(jīng)過,4(1,0)時z取到最大值L數(shù)字研討14 .設a, 6為單位向量,且|a + b| = l,則|a-b|=.【答案】：返.(微信公眾號；數(shù)學研討)【解析】；由己知可得+ =(“+6(“ + 5)=同2+時+2ab = l + l+2M = 1,故ab =所以|白_邛=(白_勾(_6)=置+時2ab = 3 ,卜_同二百. 215 .已知尸為雙曲線。：-4=1(。0力0)的右焦點，/為。的右頂點，B為C上的點且3斤垂直于 a 0X軸,

5、若48的斜率為3,則C的離心率為.【答案】：2 (微信公眾號：數(shù)學研討)【解析】：由條件，得/(&o), F(c)o),由于即是通徑長的一半，所以46一),a廿, a 及 cz - az c + a - 一/ kg = e +1 = 3 ,c-a a(c- a) a(c_ a)a離心率e= 2 ,16 .如圖，在三棱錐產(chǎn)一為8c的平面展開圖中，AC = 1 , AB = AD = 43 , AB LAC , AB L AD .cos ACAE = 30 ,則 cos 乙FCB =.【答案】：-y1微信公眾號：數(shù)學班討)【解析】：由已知，得BD = &4B=娓,。,邑尸重合于一點,:.AE= A

6、D = g, BF = BD 二娓,.在&4CE中，由余弦定理，得CEZ = AC2 + AE2- - 2AC AE-cos Z.CAE = I2 + (V5)2 - 2 x 1 x cos 300 = 1,:.CE = CF = L,.在MC尸中，由余弦定理，得BC、CF” 一刷產(chǎn)+片蟲遙)2cos ZFCB = 一一 ,25C-CF2x1x24三、解答題：共70分。解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17 . (12 分)設勺是公比不為1的等比數(shù)列，.為見，%的等差中項.(1)求叫的公比：。公繳字

7、研討(2)若q=l,求數(shù)列的前九項和.【答案】：(1) 0 = -2； (2)(微信公眾號：數(shù)學研討)【解析】：(1)由題意可知：2%=/+/，即2al = qq + qq?因為 q 二 0, ttiq2 +q-2 = 0 t 解得夕=一2 或q = l (舍).(2)此時a+q尸二(-2廣，記數(shù)列叫的前項和為解法一：貝lj Sn = 1x(-2) + 2 K(-2)+,+” (-2f-1 _2S“=lx(_2) + 2x(_2)2+.+x(_2y-得：科二(-2) + (2)+ (2f + + (-2廣 一 x (-2/(一2)一】(7 (n，o” i=- x(-2) = -n-M-2) +

8、-2-1I3j V 7 3 I 3 9尸，9解法二：叫=叱(_2)“7=(/，+ 8(_2)_/(4_1)+8(_2)7 = (_3/, + 4_3月)(_2)“7 1_?力=1 二 一三待定系數(shù)可得：二八，解得 3-3B = 0n 10 =9故% =力(-2尸=(一1-2)(-2)”綱一 1)一/ (-2故工二.+ 2a2 + + nan二信一9(-2)1(-2)。+ (42一扛(一2)2- xH)l + - +(q -g(2)”*-i)q ,(-2ri18- (12 分)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，ZE為底面直徑，為E = /Z).月5c是底面的內接正三角形，。為Q上一點，尸

9、。=必。， 6(1)證明；R41平面28C；(2)求二面角B-PC-E的余弦值.【答案】；(1)見解析；(2) 也5【解析去 (1)不妨設。半徑為1，OA = OB = OC = TAE = AD = 2 , AB - BC = AC = 5/3 ， DO =3DA?= 3 , PO= 二 , 62PA = PB = PC = 4PO2 + AO2 =,在(?中，PA? ”C?= 2PA 1 PB ,又PBcPC,故可得尸/ JL平面PBC.(2)建立如圖所示坐標系。-町z,則有i,0) C(- i,0), P(0,0,嗎,E(0,L0).故反三(60,0), CK = ( i0), CP=(

10、y,-i設平面PBC的法向量為屋由fc?- = o z_- r _ 2,得4=。1)；BC -w, =0故 cos/9，故二面角9-P。-商的余弦值為手.同理可求得平面PCE的法向量為稔= ?而，-26),19- (12 分)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，預定賽制如下；累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首次比賽的兩個人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者 進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其 中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為:.(1)求甲連勝四場的概率；三,丁宇研討(2

11、)求需要進行第五場比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.【答案I（1）+ /=1；（2） （1,0）.（微信公眾號：數(shù)學研討）【解析】：（1）由題意，4-%0）.伏巴0），G（0,l）,所以而二 m）, GB = （a-l）.2石怎=2-l = 8n/=9= =3,所以橢圓E的方程為上+式=1.(2)由(1)知(-3,0), 3(3,0),設尸(6刈),則直線PA的方程為y = （x + 3）,x 21+ y = 19= (9 + m2)x2 + 6aA + 9m2 -81 = 0V = (x+3)由韋達定理-3下=9-：=c 9 +加- 。-3m2+279 + w2,代入直線尸4的方程為=藍

12、（匯+ 3）得6m An -3m2 + 27 6m 、 vc = r * 即6(；, r)0 9 +加9 + w2 9 + 掰2直線PB的方程為;/ = (l+m?)廣一 6m、+ 9/r - 9 = 0m / 小y = (x-3)9加、一93加23m2/w由韋達定理30=斤=巧=寸,代入宜線0B的方程為尸與-3）得=臼6m 2m所以直線CO的斜率左9+療 1 + / 二 4m-3療+ 27 3蘇-3 - 3(3-加2) 9+m2l + /n2所以直線S的方程為尸高二行樂(X-震)，整理得尸-4川。_3),所以直線CQ過定點(3,0).3(3-切)222L (12 分)已知函數(shù)/(幻=+2一犬

13、當。=1時，討論/(x)的單調性;(2)當xNO時，/(x)+l,求Q的取值范圍.【答案】：(1) /(X)的單調增區(qū)間為(0,+8),減區(qū)間為(-00,0)； (2) a 【解析】：(1)當。=1 時，f(x) = ex +x2 - x,3f(x) = ex + 2x-l.記 g(x) = /(x),因為/(力=-耳/ + 26：-1 所以 g(x)在 R 上單調遞增, 即/(%)在R上單調遞增,又因為廣(0) = 0,所以當。0時,f(x) 0.所以/(對的單調增區(qū)間為(0,+8)，減區(qū)間為(-8,0).(2)當X20時，/(2上/+1恒成立， 2當x=0時,qwR；x3 + x+1 ex(ii)當x0時.即恒成立.x-x?+x+l-(2-xXeA-x2-x-l)記 h(x)=, 所以 “(%) 2XX記8(乃=已、一,/一工一,因為當“NO,8(幻=6”-120恒成立，gf(x) = ex-x-l, 2數(shù)學研討所以g(x)在(0,+8)單調遞增,所以g加n =g