高一數(shù)學暑假學習材料

1、暑期專題輔導(dǎo)材料九(舊課) 8 復(fù)習與測試(第一章集合與簡易邏輯) 本章的重點是：(i)有關(guān)集合的基本概念、術(shù)語和符號；(2) x va與x >a(a >0)型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；(3)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充分條件和必要條件 .本章的難點是：(1)有關(guān)集合的各個概念的涵義、它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；(2)對絕對值意義的理解；(3)弄清一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系；(4)對一些數(shù)學命題真假的判斷、關(guān)于充要條件的判斷和反證法的運用本章內(nèi)容是高中數(shù)學的基礎(chǔ)知識，其中集合論是由18世紀德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)始的，是近、現(xiàn)代數(shù)學的一個重要基礎(chǔ)；邏輯

2、是研究思想形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學科，它們今 后學習的內(nèi)容有著密切聯(lián)系，學好本章內(nèi)容必將為進一步學習其它知識奠定堅實的基礎(chǔ).【基本概念】1 .集合：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集.表示集合的方法有列舉法、描述法和圖示法，集合可分為有限集和無限集2 .空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作 3 .子集:一般地，又于兩個集合 A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合 B的元 素，我們就說集合 A包含于集合B,或集合B包含集合A,記作A B(或 B A).這時我們也說集合A是集合B的子集.當集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時，則記作 A B (或 B

3、A )我們規(guī)定：空集是任何集合的子集.也就是說，對任何一個集合 A,有A4 .等集：一般地，對于兩個集合 A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合 B的元 素，同時集合B的任何一個元素都是集合 A的元素，我們就說集合 A等于集合B,記作A= B5 .全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作 一個全集，全集通常用 U表示.6 .補集：一般地，設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集(即A S),由S中所有不屬于 A的元素組成的集合，叫做 S中子集A的補集(或余集)，記作CSA,即CsA= x | x e S,且 x A.7 . 交集，并集：一般地，由所有屬于集合 A 且屬

4、于集合B 的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作AA B（讀作“ A交B”），即AA B= x | xC A,且 xC B.而由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作AUB（讀作“ A并B”），即AU B= x | xC A,或 xC B.對于交集“AAB=x | xA,且xCB"，不能簡單地認為AA B中的任一元素都是A與B的公共元素，或者簡單認為A與B的公共元素都屬于 AA B,這是因為并非任何兩個集 合總有公共元素.當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是AA B=.對于并集“ AU B=x | x A,或xC B"，

5、不能簡單地理解為AU B是由A的所有元素與 B 的所有元素組成的集合，這是因為 A 與 B 可能有公共元素，故上述理解與集合的互異 性不符 .8 . 邏輯聯(lián)結(jié)詞： “或” 、 “且” 、 “非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞 . 不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，是簡單命題；由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成，是復(fù)合命題 .9 . 四種命題：在兩個命題中，如果第一個命題的條件 （ 或題設(shè) ） 是第二個命題的結(jié)論， 且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題；如果把其中一 個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆命題 .一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題

6、 . 把其中一個命題叫做原命題，另一個就叫做原命題的否命題 .一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題 . 把其中一個命題叫做原命題，另一個就叫做原命題的逆否命題 .10 . 充要條件：一般地，如果已知那么我們說， p 是 q 的充分條件，p q,q是p的必要條件.一般地，如果既有 p q,又有q p,就記作 p q.這時， p 既是 q 的充分條件，又是q 的必要條件，我們就說簡稱充要條件.p 是 q 的充分必要條件，【基本性質(zhì)】1. 基本符號 exe ayA,.,a,b,c,.n I x I p(x),x £ Ax 屬于 A；

7、x 是集合 A 的一個元素y 不屬于A； y 不是集合 A 的一個元素諸元素a,b,c,.n構(gòu)成的集合使命題 p（x） 為真的 A 中諸元素之集合空集NN* 或 N+ZQRCB AB，A二B AnAn bUAU BCCB2 .集合部分：A; |gA(A 非空)；A ABCAC; A B'-C A,.C;n B= A; A BAU B= B;3 .| ax+b | & c(c > 0)I ax+b | > c(c > 0)非負整數(shù)集；自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集B包含于A; B是A的子集B真包含于 A; B是A的真子集B不包含于A; B不是A的子集

8、A與B的交集A與B的并集A中子集B的補集或余集A; (CuA) n A=; (CuA) U A= U; O(CuA) = AAA B A; B AU B; Q = U; CuUI= ; A B Q(A A B) = (CuA) U (CuB) ; CU(A U B) = (CuA) A (CuB)-c < ax+bw cax+b n c 或 ax+b w c【基本規(guī)律】1 .復(fù)合命題真假判斷表非p形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示p非p真假假真p且q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示pqP且q真真真真假假假真假假假假p或q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示pqp或q真真真真假真假真真假假假原命

9、題 揖則。 Jz 否命題 若中則一iq2 .四種命題之間的相互關(guān)系四種命題之間的相互關(guān)系，如圖所示我們已經(jīng)知道，原命題為真，它的逆命題不一定為真.一般地一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系.(1)原命題為真，它的逆命題不一定為真.(2)原命題為真，它的否命題不一定為真.(3)原命題為真，它的逆否命題一定為真.【基本方法與思想】1 .絕對值不等式的解法：I x | v a(a >0)的解集是x | acxc a;I x | > a(a > 0)的解集是x | x< -a ,或 x>a.注：對于I ax+b | > c(或v c,其中c>0)的

10、解法可用換元法解2 . 一元二次不等式的解法：元二次不等式 ax2+bx+c >0(a > 0)的解集如下表判別式= b24ac >0 = 0 v 0二次函數(shù) y = ax2+bx+c(a > 0)的圖 像一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a > 0) 的根y = ax2+bx+cr有兩相異實根xi,x 2(x 1 Vx2)y= ax2+bx+c有兩相等實根 xi = x2b=2ay = ax2+bx+c u沒有實根ax2+bx+c > 0(a > 0) 的解集x 1 x< xi 或 x>x2x"Y)Rax2+bx+c &l

11、t; 0(a>0)的解集x 1 xi V x V x2對于絕對值不等式|ax+b | > c(或v c,其中c> 0)可采用平方去絕對值法，即化為(ax+b) 2> c2(或 v c2)3 .充要條件的判定方法:若 p q但qWp,則p只是q的充分不必要條件；若p W>q,但q p,則p只是q的必要不充分條件；若p q,且q p,則p只是q的充要條件；注：必須看兩個方向，即 p q, q p結(jié)果如何？才能下結(jié)論.4 .反證法：反證法是“原命題與其逆否命題同真同假”這一理論的具體體現(xiàn)，用反證 法證明命題的一般步驟如下：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立

12、；(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確學習要求和需要注意的問題：5 .學習要求(1)集合理解集合、子集、交集、并集、補集的概念了解空集和全集的意義了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義會用集合的有關(guān)術(shù)語和符號表示一些簡單的集合掌握簡單的絕對值不等式與一元二次不等式的解法(2)簡易邏輯了解命題的概念和命題的構(gòu)成.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.掌握四種命題及其相互關(guān)系.初步掌握充要條件.6 .需要注意的問題(1)集合與集合的元素是兩個不定義的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面 幾何中的點與直線的概念類似，但是，應(yīng)該清楚集合中的

13、元素具有確定性，互異性.確定性是指給定一個集合，一個對象屬于不屬于這個集合就是明確的，象很大的數(shù)，不能組成 一個集合.互異性是指在一個集合中，任何兩個元素是不同的對象，相同的對象只能算作 這個集合的一個元素.此外，集合中的元素還具有無序性，例如，1, 2, 4=4, 2, 1.(2)容易混淆的符號C與 的區(qū)別：C符號是表示元素與集合之間關(guān)系的，例如，有 1CN, - 1 N等； 符號是表示集合與集合之間關(guān)系的，例如，有 N R,R等.a與a的區(qū)別：一般地，a表示一個元素，而a表示只有一個元素的集合，例如，有11,3,4,0 0,11,3,4等，不能寫成 0= 0,1 1,3,4,11,3,4.

14、單元綜合練習（集合與簡易邏輯）一、選擇題1 .已知集合 P=a, b, c, d, e,集合 QP,且 a (P Q) , b (P Q),則滿 足上述條件的集合Q的個數(shù)為()A.7B.8C.15D.242 .已知全集I=R,集合M x |Jx 15X,集合N=x|xH >0,那么M N等于()A. (-8, -1) B. (7, +8)C.2, 3D. (-8, 2) U ( 3, +oo)3 .已知集合M有3個真子集，集合N有7個真子集，那么MU N的元素個數(shù)為（A.有5個元素B.至多有5個元素C.至少有5個元素D.元素個數(shù)不能確定4.集合 A= （x, y） |y二a|x|, B=

15、 （x, 合，則實數(shù)a的取值范圍為（）y) |y=x+a , C=A n B ,且集合C為單元素集A.|a|< 1B.|a|>15.集合 M= (x, y) |x>0, y>0 , N=A.M=NB.M 二 NNC.a>1D.a>0 或 a<0(x, y) |x+y>0 , xy>0,則()C. M 一： ND.6 .設(shè)全集I=1 , 2, 3, 4, 5, A B 1,2,則集合A B的個數(shù)為()A.3B.4C.7D.87 .設(shè)集合 A=x|x=2k+1 , kC N, B=x|x=2k-1 , k C N,貝U A、B 之間的關(guān)系是()

16、B)個。NA.A=BB.A A B=AC.A U B=AD. A8 .已知集合A&1 , 2, 3, 且A中至少有一個奇數(shù)，則這樣的集合共有(A.11B.12C.15D.169 .已知I為全集，集合 M、 N汨若MnN=NjU()10 .若 |x-2|<a 不等式 | x1 2A. a . 5 2C. a 5 2二、填空題A. M N B. M NC.M ND. M4| 1成立，則函數(shù)a的取值范圍為（）B.0 a .5 2D.以上答案都不對 丙成立的 條件。2 .設(shè)I是全集，非空集合 P、Q滿足pSqIo若含P、Q的一個運算表達式，使運 算結(jié)果為空集，則這個運算表達式可以是 (只

17、要求寫出一個表達式)。3 .設(shè)非空集合 A=x|2a+1 WxW3a-5, B=x|3 <x< 22,則能使 A A B 成立的 a 值的集合為。24 .已知集合 A x| x x 2 0 , B=x|2<x+1 <4,設(shè)集合 C x|xA B, 5,2 ，求 AClB。 bx c 0,且滿足(A B) C , (A B) C R,則 b, c。三、解答題1 .已知p : xv' x 2 x2 ； q : x 2 x2 ,試判斷p是q的什么條件。-33_ .一 2 .右p>0, q>0, p q 2,試用反證法證明 p+q< 2.223 .已知

18、 A=x|x>a , B x | x 2ax 3a0,求 APB 及 AUB。2_-2 _x| x3x 2a 0,5,若 U=R, A x | x2 x 20 , B=x|x|=y+1,yCA,求 CuB, APB, AUB, ACuB, A CuB, Cu(AB) , CuA CuB。4 .設(shè) A x|2x ax 2 0 , B6 .已知集合 A x| 2k 6 x k2 3 , B=x|-k<x<k，若 A基 B,求實數(shù) k 的 取值范圍。7 .解下列關(guān)于x的不等式：(1) |x2 3x| 4；(2) x2 ax 2a2 0。228.已知集合 A x | x px q 0

19、 , B x | qx px 1 0同時滿足A B ，A B 2,其中p、q均為不等于零的實數(shù)，求 p、q的值。9.已知關(guān)于x的不等式x (a 1)22(a 1)222' x3(a 1)x 2(3a 1)解集依次為A、B,且A B 。求實數(shù)a的取值范圍。得b Q。因為Q殳P則PAQ=Q,所以由aC ( PA Q), 即Q是a與c, d, e的子集的并集。故集合得aC Q。又由b (PQ的個數(shù)等于集合c, dQ)，e子集的個數(shù)。三個元素的子集個數(shù)為8。故選B。2 . D 解 M 得-1 w x w 3 ,解 N 得 x w -2 或 x > 2,則 M n N=2 , 3,所以 M

20、N(,2)(3,)。故選 D。3. B 集合M有3個真子集，那么集合 M有2個元素，由集合N有7個真子集，得 集合N有3個元素，若用|M U N|表示MUN元素個數(shù)，則有公式|MUN|=|M|+|N|-|M AN| (容原原理)，于是 |M U N|=5-|A A B|<5即M U N至多有5個元素。故選 B。4. A (1)當 a=0 時，A= (x, y) |y=0,B= (x, y) |y=x,則 C= (0, 0) (2)當aw。時，丫=2兇與y=x+a只有一個交點。即：a x =x+a只有一個解，I x = 1x 1有一個解， a畫出方程兩邊的函數(shù)圖象，如圖所示：11只有當1

21、1或11才有一個交點，aa即0<a<1或-1<a<0,綜上a的范圍|a|< 1。故選 A。5. A 由 x>0, y>0 可得 x+y>0 , xy>0,所以 M N。由 xy>0 知 x>0 , y>0 或 x<0, y<0 ;若 x<0 , y<0 則 x+y<0 ,所以 N M 。故M=N 。故選Ao6. D A B 3,4,5,又因 A B A BAB且 A B A B 3,4,5,即A B是3個元素3、4、5組成的集合的子集，共有 238個。故選Do7. B 任取 xC A , x=

22、2k+1=2 (k+1) -1,由 kC N 知 k+1 C N,貝U xC B;又 1 C B,但 1 A ,于是A箏B,故A A B=A。故選B。8. A 用列舉法。含有一個元素的集合有1 , 3;含有兩個元素的集合有0,1,0, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 3;含有三個元素的集合有0,1, 2, 0, 3, 2,1 , 3, 0 , 1 , 3, 2;共計 11 個。故選 A9. C 由 MN M及已知M n N=N知NN 。故選Co10. B |x-2|<a, -a<x-2<a 2-a<x<2+a | x2 4 | 1 ,1 x2 4 1 , 3

23、x233x/5 或 v15 x<3“a 25要滿足題設(shè)條件必有2 a .3-2 a.3或2 a.5解得：0 a <5 2。故選8。1 .(1)充分非必要條件 (2)既非充分也非必要的條件(1) B是A的必要條件，A B且B A,由互為逆否的兩命題等價，得 B A且AB,所以B是A的充分非必要條件。(2)記甲、乙、丙三命題分別對應(yīng)集合A、B、C,依題意有：A B C ,所以甲(或乙)是丙成立的既非充分也非必要的條件。2. P Q由圖知下列運算為空集：P Q; (P Q) Q; (P Q) Qo3. 6<a< 9由A B A ,且A A B ,得A=A n B。其充要條件為

24、 A B ,由2a 1A B 2a 13a 5,3, 得 6< a< 9o3a 5 22,4. -1 -6A=x| (x-1 ) (x+2) < 0=x|-2 <x<1,B=x|1<x <3 , A U B=x|-2 < x< 3 o (A B) C , (AU B) U C=R, " l=R oCABx | x2或x 3 oCx|x2bx c4 , l' x2bxc0 的解為x<-2 或 x>3,即，方程x2 bx c 0的兩根分別為x=-2和x=3, 由一元二次方程由根與系數(shù)的關(guān)系，得b=- (-2+3)

25、=-1 ) c= (-2) x 3=-6 o1 .解：: x( vx 2 x) 0 ,x=0 或 x=2 或 x=-1 (舍)p： 0 , 2,又q： 2, -1, ： p是q的既不充分又不必要條件。2 .證明：設(shè)p+q>2因為 p>0, q>0,所以(p q)3 p3 q3 3pq( p q) 8, 33因為 p q 2, 3pq (p+q) >6,即 pq(p+q)>2又因為 p3q3(pq)( p2pqq2)2所以 pq(pq)(pq)(p2pqq2)因此2Pq p q即(p q) 0,這不可能，故必有 p+q02。3 .解：A=x|x>a , B=x

26、| (x+a) (x-3a) < 0 =(1)當 a>0 時,B=x|-a<x<3aA A B=x|a<x<3a , A U B=x|x>-a(2)當 a=0 時，A=x|x>0 , B x|x20A B , AU B=x|x>0(3)當 a<0 時，B=x|3a<x<-aA n B=x|a<x<-a , A U B=x|x>3a4 .解：設(shè) A xi,x2 , B x3,x4,則 xi x21r11且 xix2(A B) -, 5,2 ,所以 A -,2 ;1x3 x43 ,且 x3,x4(A B) -, 5,2 ,2所以 B=-5 , 2,所以 A A B=25 .解：A=x|-1<x<2 yCA,-1<y<2 , . . 0<y+1<3.1 |x|=y+1 ,B=x|-3<x<3 ,且 xw0 . CU B x | x 3或x3或x 0A n B=x|-1<x<2 且 x w 0, AU B=x -3<x<3A CUB x