(完整word)高中拋物線知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)與練習(xí)題及答案,推薦文檔

1、拋 物 線y2 2px(p 0) 卜y(T2 2px p 0)卜x(y 102 2py p 0)上 xlx2 (p y2py )0)lF定義平向內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的跑離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫 做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。M|MF點(diǎn)M到直線l的距離范圍x 0, y Rx 0,y Rx R, y 0x R, y 0對(duì)稱性關(guān)于x軸對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱隹百 八、八、(會(huì)0)«)。焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上頂點(diǎn)0(0,0)離心率e=1準(zhǔn)線 方程x 2x iy iy 1準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的跑離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離_p 2焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線的距離P焦半徑A( xi, yi

2、)AF x1 - 2AF x1 -2AF y11AFyi i焦點(diǎn)弦 長(zhǎng)|ab|(xi x2) p(xi 溝)p(yi y2) p(yi y2) p焦點(diǎn)弦|AB|的幾 條性質(zhì)A(xryi)B(x2,y2)oyjA*,y1 金: X'Bx2 , y2以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切若AB的傾斜角為 ，則|AB2P. 2 sin若AB的傾斜角為，則|ABcos2P2xix2 丫佻p411 AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切線 方程y°yp(x xo)y°yp(x x0)XoX p(y y。)X0Xp(y y°)直線與拋物線的位置關(guān)系直線/

3、)=出+8,拋物線二.產(chǎn)=2四,y =丘+ 3/消得.二金+2國(guó)-9+短三。,1 rd y (1)當(dāng)k=0時(shí)，直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；(2)當(dāng) kw0 時(shí)，A>0,直線l與拋物線相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)；A=0,直線l與拋物線相切，一個(gè)切點(diǎn)；A<0,直線l與拋物線相離，無公共點(diǎn)。(3)若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線必相切嗎？(不一定)二.關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法直線l： y kx b 拋物線J'，"/, (p 0)聯(lián)立方程法：y kx b y2 2pxk2x2 2(kb p)x b2 0設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(xi，yi) ,

4、B(x2,y2),則有 0,以及x1 x2,xx2,還可進(jìn)一步求出y1 y2 kxi b kx2 b k(x1 x2) 2b22y1y2 (kx1 b)(kx2 b) k x1x2 kb(x1 x2) b在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱，面積等問題時(shí)，常用此法，比如1.相交弦AB的弦長(zhǎng)AB<1k py( p 。),若直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M (%, yo)x1x2v11k2J(x1x2)24x1x2V1k2 la或b.AB中點(diǎn) M (x0,yo),k12 y1點(diǎn)差法:設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程，得同理，對(duì)于拋物線x2是弦AB的中點(diǎn)，則有kABX x2

5、2p2xo xo2p P2 2y12pxy22 px2將兩式相減，可得(y1 y2)(y V2) 2P(x x?)y y 2Px x2y1 y2a.在涉及斜率問題時(shí)，kAB - y1 y2b.在涉及中點(diǎn)軌跡問題時(shí)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),y y22P 2P px X2 y y2 2yo y0即 kAB -, yO(注意能用這個(gè)公式的條件：1)直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2)直線的斜率存 在，且不等于零)拋物線練習(xí)及答案1、已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q (2, 1)的距離與點(diǎn) P到拋物線焦點(diǎn)距離之 和取得最小值時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為 。(1，1)22、已知點(diǎn)P是拋物

6、線y 2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P到點(diǎn)(0, 2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 。 叵 3、直線y x 3與拋物線y2 4x交于A,B兩點(diǎn)，過A,B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P,Q ,則梯形APQB的面積為 。 48uuu4、設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y2 2Px(p 0)的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A與x軸正向的夾角為60°,則OA為。5、拋物線y2 4x的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為l ,經(jīng)過F且斜率為J3的直線與拋物線在 x軸上方的部分相交于點(diǎn) A, AK ± l ,垂足為K ,則ZXAKF的面積是。 4736、已知拋物線C:y2 8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線

7、與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在C上且|AK J2|AF| , 則AFK的面積為。 8 x y 7、已知雙曲線匚 1,則以雙曲線中心為焦點(diǎn)，以雙曲線左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程 為。8、在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，有一定點(diǎn) A(2,1),若線段OA的垂直平分線過拋物線 2 _y 2px(p 0)則該拋物線的方程是 。9、在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知拋物線關(guān)于 x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn) O,且過點(diǎn)P(2, 4),則該拋物線的方程是。 y2 8x2410、拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x 3y 8 0距離的最小值是 。一311、已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x 1,y1),B(x2

8、,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是。 32212、若曲線y2 = |x|+1與直線y= kx+b沒有公共點(diǎn)，則k、b分別應(yīng)滿足的條件是 。 k=0,-1< b<113、已知拋物線y-x2+3上存在關(guān)于直線 x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn) A、B,則|AB|等于()CA.3B.4C.3 2D.4 214、已知拋物線2 Px(p 0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1My1)，P2(X2, y2), P3(x& y3)在拋物線上，且2x2 為X3則有(A. FP1FP2FP1FP3FP315、已知點(diǎn) A(x1, y1), B(x2, y2) (x1x2uuuuuu uuu向量OA,OB滿足OA

9、 OBuurOA(1)證明線段 ab是圓c的直徑;(2)當(dāng)圓C的圓心到直線x-2y=0解:uur(1)證明 1: Q OAuurOBD.FP1FP20)是拋物線FP2FP3FP-IIFP32y 2px(puurOB .設(shè)圓C的方程為x的距離的最小值為uuu uuuOA OB ,uuu (OA0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，y2 (X x2)x (y1y2)y 0。uuu 2OAuuu uuu2OA OBuuu 2OBuuu2OAuuu uuu2OA OBuuu2OB設(shè)M(x,y)是以線段即(x x)(x x2)2時(shí),5uuir 2OB)2uuu(OAuuu整理得：OAuuuAB為直徑的圓上的任

10、意一點(diǎn)，則MA(y y)(y 20,一 一 2整理得：x的值。uuu 2 OB),uurOB0 ,x1 x2y y20 ,故線段AB是圓C的直徑。uuu uur證明 2: Q OA OBuuu 2OAuuu2OAuuuOBx2y1y2uur uuuuuuOA OB , (OAuuu 2 uuu 2 uuuOB OA 2OA0.(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即uuiTMB 0(x1x2)x(y1 y2)y0,uuuOBuuu 2 uuuOB)2 (OAuuu 2 OB),UUU2uuuOB ,整理得：OAuuurOB0,y2x x2y y1xx11(x x1,x x2),去分母得：

11、(x x)(x x2) (y y)(y y2)0,點(diǎn)(x1, y1),(x1, y2),( x2,y1)(x2, y?)滿足上方程，展開并將(1)代入得:22x y(x x2)x (y1y2)y0,故線段AB是圓C的直徑。uuu uur證明 3: Q OA OBuuu 2 uuu uuuOA 2OA OBuuu uur 整理得：OA OBuurOAuuu 2OB0,uuuOB ,uuu2OAuuu (OAuuu uuu2OA OBuuu 0 uuu uuu 0OB)2 (OA OB)2,uuu2OB ,y y20 (1)以線段AB為直徑的圓的方程為(xxix2 )2yi y2 2 i(y T4

12、(xi、2/、2x?) (yi y),展開并將(i)代入得：x2y2 (x x2)x(yi y2)y o,故線段AB是圓C的直徑(2)解法i:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則x x2 x 2yi y2 y -V-22Qyi2pxi, y22 Px2(p o),X1X222yi y2 ,又因 xi x2 yi4py2 o,Xi X2yi y2,yi y22y y4p2xi x2o,yi2yi y24p ,x x2 x 2i /2(yi4p2y22y22yiy2)苗i / 2(yP2p2),所以圓心的軌跡方程為-2px 2p設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則i 22° I(y 2p

13、) 2y|x 2y| p_ 22py 2p I5pI(y p)2-5pP2I當(dāng)y=p時(shí),d有最小值 上，由題設(shè)得 上 5、52.55p 2.解法2:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則xix22yiy22_2Qyi22pxi, y22 Px2(p o),x1x22y y24p2又因x1x2yi y2o, x x2yi y2,yiy222yi 丫2Q x x o2Q xi x2 o,4pyiy2o,yi y24P2,xi xx22i 22 i 24；(yi y2)而(yi2y232)專i 22一(y 2p), p所以圓心的軌跡方程為 y2 px 2p2,2、5o設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0

14、的距離為 J,則m 2 ,因?yàn)閤-2y+2=0與y px5共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與y2px 2 p2僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為2p2無公2、55x 2y 2 0L (2)2_ 2y px 2p L 將(2)代入(3)得y2 2py2p2 2p0,4 p2 4(2 p22p) 002.解法3:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則xix22yiy22圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則|2x_xd 2(yi¥2) I.5-2Q yi22 pxi, y22 px2(p 0)xx222yi y22-,又因 xi x24p20,xi x2yi22yi y2y 1，

15、Q xi x2 0, 4p,i z 22、I(yiy2 ) (yi y2)|4P|yi2(yiy2 2p)2 4p2/20,yi y24p ,22 ,y2 2y1y2 4P(yi 力)8P |255P 2.4 5P當(dāng)yi y 2 P時(shí),d有最小值 與 油題設(shè)得 隼 、, 5. 52 x i6、已知橢圓Ci： 4y22 i,拋物線 C2：(y m)32px(p0),且Ci、C2的公共弦AB過橢圓Ci的右焦點(diǎn).C2的焦點(diǎn)是否在直線 AB上;(i)當(dāng)AB，x軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線(2)是否存在m、p的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線 AB上？若存在，求出符合條件的 m、p的 值；若不存在，請(qǐng)

16、說明理由.解：(1)當(dāng)AB，x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以 m=0,直線AB的方程為x=1 ,從而點(diǎn)A3399的坐標(biāo)為(1 ,)或(1,).因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以2p ,即p 9 .此時(shí)C2的焦2248點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),該焦點(diǎn)不在直線 AB上. 16(2)解法一 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由(I )知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y k(x 1).y k(x 1)由 x2 v2 消去 y 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0 . .匕143設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),8k2則x1,x2是方程的兩根，x1 + x2= -8k-.3 4k因?yàn)锳B既是

17、過C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過C2的焦點(diǎn)的弦,111 .所以 AB (2 x1)(2 x2) 4 (x x2),且 222ppAB (x ) (x2 ) x1 x2 p . 221 ,、從而 x1 x2 p 4(x1 x2).2所以人4 6P38k23 4k24 6P3解得k2 6,即k 旗.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F(2,m)在直線y k(x 1)上，所以m - k . 336 T. 6即m 或m.33當(dāng)m 6時(shí)，直線AB的萬程為y <6(x 1);3當(dāng)m 無時(shí)，直線AB的方程為y 石(x 1). 3解法二 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由(I)知直線 AB的斜率存在，設(shè)直線 AB的方程為 y k(x 1)

18、.2 8.一。由(V 33、消去y得(kx k m)2 8 x.3y k(x 1)2 因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F (一，m)在直線y k(x 1)上，3所以m k(2 1),即m 1k .代入有(kx 2k)2 - x. 3333即k2x2 -(k2 2)x堂0.3、/9設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),則Xi,X2是方程的兩根，Xl + X2 =24(k2 2)3k2y k(x 1)由X y2 消去y得(3 4k2)x2 4 V 1228k2x 4k2 12 0 .由于X1,X2也是方程的兩根，所以8k2X1 + X2= 2-.3 4k2 2從而4(k 22)=旦亍.解得k2 6,

19、即k 屈. 3k23 4k22因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F (-，m)在直線y k(X 1)上，所以m 36 一 . 6 即m 或m .33當(dāng)m 西時(shí)，直線AB的方程為y76(X 1);3當(dāng)m46時(shí)，直線AB的方程為y 瓜x 1).3解法三 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(X1,y1)，(X2,y2)因?yàn)锳B既過C1的右焦點(diǎn)F(1,0),又是過2C2的焦點(diǎn)F ( , m),3所以AB (X1即 X1 X223(4P)169由(I )知 X1 x2 ,于是直線 AB的斜率k -y2-y1、(2 -X1) (2 -X2). 0 3m ,X2 X12 13且直線AB的方程是y 3m(x 1),所以 y1 y23m(x1

20、x2 2) 2m.322又因?yàn)?22 ，所以3(X1 X2) 4(y1 y2)紅1 0.3x2 4y2 12X2 X1將、 、 代入得 m2 2 , 即 m 或m.333當(dāng)m 無時(shí)，直線AB的方程為y而(x 1)；3當(dāng)m6時(shí)，直線 AB的萬程為y d6(x 1).317、如圖，傾斜角為 a的直線經(jīng)過拋物線 y2 8x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)。(1)求拋物線的焦點(diǎn) F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；(2)若a為銳角，作線段 AB的垂直平分線 m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此 定值。(1)解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 2px,則2P 8,從而p 4.因此焦點(diǎn)F(_p

21、,0)的坐標(biāo)為(2,20).又準(zhǔn)線方程的一般式為 x p。從而所求準(zhǔn)線l的方程為x 2。2答(21)圖(2)解法如圖(21)圖作AC±l, BDH,垂足為C、D,則由拋物線的定義知|FA|二|FC|,|FB|=|BD|.記A、B的橫坐標(biāo)分別為xxxz,則 |FA|= |AC|= xxp| FA | cosa 一2-| FA | cosa 4 解得 2類似地有 |FB| 4 |FB|cosa,解得 |FB | 41 cosa記直線m與AB的交點(diǎn)為E,則|FE| |FA| IAE|FA|FA | |FB | 1(| FA| 2|FB I)41 cosa所以|FP|FE|cosa4 -一-

22、o 故 |FP | sin a| FP | cos2 acos2a)41 cosa24 2sin a.2sin a4cosa2 _， sin a8。解法二：設(shè) A(Xa-a), B(Xb"b),直線AB的斜率為ktan a ,則直線方程為 y k(x 2)。將此式代入 y2 8x,得 k2x2 4(k2 2)x 4k2。，故 XaXbk(k2 2) k"°記直線m與AB的交點(diǎn)為E(Xee),則2xa xb 2(k2 2)E 2k2k2 4k2令y=0,得P的橫坐標(biāo)xP從而 |FP| |FP|cos2a2k2 4k242，身4(k21)44 故 |FP| xp 2

23、2- -丁。k sin a2(1 cos 2a) sin a2 -4 2 sin a2- 8為定值。sin a18、已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線2y 2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的4 4Vek(xE2)-,故直線m的萬程為y 一kk內(nèi)接圓（點(diǎn)c為圓心） （1）求圓C的方程；（2）設(shè)圓M的方程為（x 4 7cos ）2 （y7cos ）2 1,過圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的uuu uur兩條切線PE, PF ,切點(diǎn)為E, F ,求CE,CF的最大值和最小值.22（1）解法一：設(shè) A B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 專 y1 , 當(dāng)，y2 ,由題設(shè)知(%y2)2 22222Xy1x2y2

24、,又因?yàn)閥124,V1V22y22 2V1V22y2222y1y222解得 y2yf 12,所以 A(6,2j3)B(6,273)或 A(6, 273), B(6,2s/3).4,22所以圓C的方程為（x 4） y 16 .2設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r,0），則r 23解法二：設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1,yi)（X2, y2）,由題設(shè)知2y2222x2,可得 x1 2x1 x2(x1x2)(x1 x2 2) 0 .由為0,0 ,可知x1X2 ,故 A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,所以圓心C在x軸上.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(rQ)33一 r，一 r于是有-3r2解得r 4 ,所以圓C的方程為（x4)22y2 16

25、.uuuuur(2)解：設(shè) ECF 2a,則 CEgDFuur uur|CE |gCF |gcos216cos 2232cos16.在 RtzXPCE 中，cos|PC| |PC|,由圓的幾何性質(zhì)得|PC |< |MC |8, |PC|> |MC | 1 7 1 6一,1所以一 < cos2uuu uur由此可得 80CE£FWuuu uur.則CERF的最大值為8.19、若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦 AB （不平行于y軸）的垂直平分線與 x軸相交于點(diǎn)P,則稱弦AB是點(diǎn)P的一條 相關(guān)弦”已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P (x,0)存在無窮多條 相關(guān)弦”給定

26、xo>2.(1)證明：點(diǎn)P (Xo,0)的所有 相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(2)試問：點(diǎn)P (xo,0)的相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用X0表示)：若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1)設(shè)AB為點(diǎn)P (xo,0)的任意一條 相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(xi,yi)、(x2,y2) (xix2)則y2i=4xi, y22=4x2，兩式相減得(yi+y2)(yi-y2)=4(xi-x2).因?yàn)閤ix2,所以yi+y20.設(shè)直線AB的斜率是k,弦AB的中點(diǎn)是 M (xm, ym),則k=一y2 一4 . xi x2yiy2ym從而AB的垂直平分線l的方程為y ym_y

27、m(x xm)2又點(diǎn)P (xo,0)在直線l上，所以ymYm(x° xm).2而ym 0,于是xm x0 2.故點(diǎn)P (xo,0)的所有 相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是 xo-2.、 . .2(2)由(i)知，弦AB所在直線的萬程是 y ym k(x xm),代入y 4x中，2 22整理得 kx 2k(ym kxm) 2x (ym kxm)0.則xi、x2是方程()的兩個(gè)實(shí)根，且 xi x2(ym kxm )k1設(shè)點(diǎn)P的相關(guān)弦" AB的弦長(zhǎng)為l,則l2 (xi x2)2 (yi y2 )2 (i k2)(xi x?)2(i k2)(xi x2)2 4xx2 4(i k2)(xm

28、2 取2)八，Zvi(ymxm)4(i 2)xm ym ym±2ym(4 ym)(4xmym)ym 4ym(xm )i6xm22_222_24' i) ym 2的 i)4(% i)仇 2(% 3).因?yàn)?0< ym, <4xm=4(xm-2) =4x 0-8,于是設(shè) t= ym,貝U t (O,4xo-8).記 l2=g(t尸-t-2(x 0-3)2+4(x0-i)2.,若 x0>3,則 2(x0-3),一 2,(0, 4x0-8),所以當(dāng) t=2(x0-3)，即 ym=2(x0-3)時(shí),l有最大值 2(xO-i).若 2<x0<3,則 2(x0

29、-3) 0,g(t)在區(qū)間(0, 4 x0-8)上是減函數(shù)，所以 0<l2<i6(x0-2),l 不存在最大值.綜上所述，當(dāng)x0>3時(shí)，點(diǎn)P (x。,。)的 相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值為2 (x0-i);當(dāng)2< x0 3時(shí)，點(diǎn)P (x°,0)的 相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值.i 320、已知曲線C是到點(diǎn)P ( 一,一)和到直線y2 8的直線，5一距離相等的點(diǎn)的軌跡。8是過點(diǎn)Q (-i, 0)M是C上(不在 上)的動(dòng)點(diǎn)；A、B在上，MA ,MB x軸(如圖)(1)求曲線C的方程；(2)求出直線的方程，使得!QBL為常數(shù)。QA(1)解：設(shè)N(x, y)為

30、C上的點(diǎn)，則N到直線y的距離為y 一 .由題設(shè)得88化簡(jiǎn)，得曲線C的方程為y - (x2 x).2(2)解法一:2設(shè) M x,2kxk,則 B(x, kxk)，從而|QB|J1 k2 | x 1|.在 RtzXQMA 中，因?yàn)?|QM |2(x1)2(x 1)2所以 |QA|2 |QM |2 |MA|2(x1)24(1 k2)(kx 2)2 .2|MA |2|x 1|gkx 2|QA|2,1 k2|QBf 2(1 k2) ,1 k2|QA|k|g- x2當(dāng) k 2時(shí)，LQL |QA|5 J5 ,從而所求直線1方程為2x2 x 解法二：設(shè)M x, 一x，直線1:2y kx k ,貝U B( x,

31、 kx|QB| 1 k2 |x1|.過、(1,0)垂直于的直線l1 : y1之1)-因?yàn)?|QA| |MH |,所以 |QA|x1|gkx 2|2.1 k2|QB|2 2(1 k2),1 k2|QA|k|x g 2x 一 kk),從而l方程為2x y 2 0 .2當(dāng)k 2時(shí)，|QL 5J5,從而所求直線|QA|21、如圖，已知點(diǎn)F(1,0)，直線l :x 1P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn) Q,uuuUUUT uur UUUT且 QPgQF FPgFQ .(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)F的直線交軌跡 C于A,B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)uuur 已知MAUUUT UULT1AF

32、 , MBuum2BF ，求12的值;解法一：(1)設(shè)點(diǎn)P(x, y),則Q(UUU UUUT1, y),由 QPgQFuuuuuuFPgFQ 得:(x 1,0)阻y) (x 1, y)g( 2,2y),化簡(jiǎn)得C: y2(2)設(shè)直線AB的方程為:x my 1(m 0).設(shè) A(x1，y1)，B(x2,y2),又 M1,2聯(lián)立方程組yx4x,my,消去x得:1,4my 4(4m)2 120,故ViY2ViV24m, 4.uur 由MAUUT1AFLUITMBUUT2BF 得:2y1一 miViy2整理得:my22my1V1V22 >y2gmyy22 4m mg70.一、拋物線的定義及其應(yīng)用

33、例1、設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).1的距離之和的最小值; 求點(diǎn)P到點(diǎn)A( 1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x =(2)若B(3,2),求| PB +| PF的最小值.例2、(2011 山東高考)設(shè)Mx0, y0)為拋物線C： x2=8y上一 點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、| FM為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是()A. (0,2) B. 0,2 C . (2, +oo) D . 2 , +oo)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、拋物線y2 = 2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l ,經(jīng)過F的直線與拋物線交于 A B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方,AKal

34、,垂足為 K,若 |BC=2|BF ,且 |AF|=4,則4AKF的面積是（）A. 4B . 3 小C . 473D . 8例4、過拋物線y2 = 2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn) A B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC=2|BF,且|AF =3則此拋物線的方程為 （）“23-2c-29r2cA. y =2xB. y=9x C . y =2x D . y = 3x三、拋物線的綜合問題例5、(2011 江西高考)已知過拋物線y2= 2Px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2冊(cè)的直線交拋 物線于 A(Xi, y4, B(x2, y2)(x1<x、兩點(diǎn),且 |AB=9.(1)求該拋物線

35、的方程；。為坐標(biāo)原點(diǎn)，c為拋物線上一點(diǎn)，若OC = OA+入OB,求人的化例6、(2011 湖南高考)(13分)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸 的距離的差等于1. 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線1i, l2,設(shè)1i與軌跡C相交于點(diǎn)A, B,uur uuu%與軌跡c相交于點(diǎn)d, e,求AD EB的最小值例7、已知點(diǎn)M1 ， y)在拋物線C： y2=2px(p>0)上，M點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離-1一、一 一一，為2,直線l : y= /x + b與拋物線C父于A, B兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該

36、圓的方程.例題答案解析一、拋物線的定義及其應(yīng)用例1、(1)如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線是x=1.由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x=1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn) P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A 1,1)的距離與點(diǎn)P至UF(1,0) 的距離之和最小.顯然，連結(jié) AF交曲線于P點(diǎn)，則所求的最小值為|AF ,即為，5. 如圖，自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q,交拋物線于點(diǎn)P1,則|P1Q=|P1F|.則有|PB 十 |PF 引 P1B|+|P1Q =|BQ=4.即|PB+|PF|的最小值為 4.例2、解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為 p,即p=4,根據(jù)已 知只要|FM>4

37、即可.根 據(jù)拋物線定| FM =y0+2由y0 + 2>4,解得y0>2,故y0的取值范圍是(2 , +oo).二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、設(shè)點(diǎn)A(x1,y。，其中y1>0.由點(diǎn)B作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B.則有| BF|一，一 一I BBI 1 一九= |BB| ；又|CB=2|FB ,因此有 |CB=2|BB| , cos/CBB=， = 2，2CBB=.即直線AB與x軸的夾角為F.又1AF = | AK =x + 1= 4,因此yi = 4sinw = 2、/3,因 323 r.11L L此AAKF的面積等于 2l AK yi = 2X4X2i/3= 4/3

38、.例4.分別過點(diǎn)A、B作AA、BB垂直于l ,且垂足分別為Ai、B,由已知條件| Bq = 2|BF 得| Bq=2|BB| , . ./BCB= 30°，又 | AA| = | AF = 3,. .|Aq=2|AA| =6, .iCHMlAq|AF =6 3=3,.F 為線段 AC 的中點(diǎn).故點(diǎn) F到準(zhǔn)線的距離為P=1|AA|=|,故拋物線的方程為y2= 3x.三、拋物線的綜合問題 例5、(1)直線AB的方程是y = 2d2(xp),與y2= 2Px聯(lián)立，從而有4x2 5px+p2 = 0,所以：xi + x2=斗，由拋物線定義得：|AB=xi + x2+ p=9,所以p=4,從而

39、拋物線方程是y2=8x.(2)由 p = 4,4x2 5px+p2 = 0可簡(jiǎn)化為 x2 5x+4=0,從而 xi=1, x2=4, yi= 2，2,y2 = 4g,從而 A(1 , -2® B(4,4 V2);uuu設(shè) OC =(X3, V。= (1 , - 2>/2) + 入(4,4 &) = (4 入 + 1,4/2 入-2/2).又 y3= 8x3,即22(2 入一1) 2= 8(4 入 +1).即(2入1) =4入+ 1.解得入=0,或入=2.例6、(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意有4x-1 2+ y2 | x| = 1.化簡(jiǎn)得y2=2x + 2|

40、x|. 當(dāng) x>0 時(shí)，y2 = 4x；當(dāng) x<0 時(shí)，y=0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2 = 4x(x10)和y=0(xv0).(2)由題意知，直線l 1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l 1的方程為y = k(x1).由y=k x124y =4x,得 k2x2(2k2+4)x+k2=0.(7分)4設(shè)A(x1, y。，B(xi, y2),則xs x2是上述萬程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1 + x2=2+p, x1x2=1.(8分)因?yàn)閘l 2,所以12的斜率為一1.設(shè)D(x3, v3 ， E(x% y4),則同理可得k2)x3 + x4 2 + 4k ) x4 1.= (x1 + 1

41、)(x2+ 1) + (x3+1) , (x4+ 1)X1X2+ (Xi +X2)+ 1 + X3X4+(X3 + X4) + 1(11分）= 1 + (2+ 40 + 1+ 1 + (2 +4k2) + 1 = 8+4(k2 + J) >8 + 4X2、 kKuur uuu當(dāng)且僅當(dāng)K2= K2,即K=± 1時(shí)， AD EB 取最小值16.例7、（1）拋物線y2= 2Px（p>0）的準(zhǔn)線為x= I，由拋物線定義和已知條件可知| MF = 1 ( 2) = 1 + 2= 2,解得p= 2,故所求拋物線C的方程為y2=4X.1.y 77X -p b(2)聯(lián)立 2消去x并化簡(jiǎn)整

42、理得y2+8y8b=0.y2= 4x依題意應(yīng)有 A=64+32b>0,解得 b> 2.設(shè) A(X1, y。，B(X2, y?),則 y - y2= 8, y1y2= 8b, 設(shè)圓心 Q(Xo, yo),則應(yīng)用 Xo=X1.x2, y°= y1 2y2= - 4.因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，所以圓的半徑為r = |yo| =4.又 | AB = 7 X1 X2 + y1 y2= 7 1+4y1 一 y=啊V-V2 24丫歸=勺5 64+ 32b所以|AB=2r=、5 64+ 32b =8,解得 b= 8.548所以 x + X2=2b 2y1+2b 2y2=4b+16=

43、-7,5則圓心Q的坐標(biāo)為（烏，-4）.故所求圓的方程為（x 空）2 +（y+4）2= 16. 55練習(xí)題1.已知拋物線x2= ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線y2- x2 = 2的上焦點(diǎn)，則a等于（A. 1B. 4D. 162.拋物線y= 4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 （17A.1615 B16C.71615 D.163. （2011 遼寧高考）已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn), 十 | BF =3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 （A.B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|4.5.B. 15C. 46.已知拋物線y2=2pxA.相離B.以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（相交 C

44、（2012 宜賓檢測(cè)）已知F為拋物線.相切y2 = 8x的焦點(diǎn)，過D.不確定F且斜率為1的直線交拋物)A , 472在y = 2x2上有一點(diǎn)B. 8C.則 | fa82| fbi 的值年D. 16坐標(biāo)是A. (-2,1)7.8.P,它到 A(1,3)B. (1,2) C的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn) P的. (2,1)D. (-1,2)設(shè)拋物線y2= 8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l 果直線AF的斜率為一小,那么| PF| =A. 4 3P為拋物線上一點(diǎn)，PAL l, A為垂足.如（2011 陜西高考）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x= 2,則拋物線的方程A. y2= 8xB . y2 = 8

45、x9. (2012 -永州模擬)以拋物線x2 =C . y2= -4xD.y2 = 4x16y的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程為10.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為 y軸，拋物線上一點(diǎn) q3, m）到焦點(diǎn)的距離是5,則拋物線的方程為11.已知拋物線y2= 4x與直線2x + y4=0相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F,那uuuuum么| FA | +| FB | =.12 .過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 A(x1, y1), B(x2, y2)兩點(diǎn)，若x1+ x2=6,那么| AB等于13 .根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2 9y2= 144的左頂點(diǎn)；(2)過點(diǎn) P(2 , 4).14.已知點(diǎn) Af-1,0) , B(1 , 1),拋物線 C： y2線1交拋物線C于M p兩點(diǎn)，直線mb交拋物線= 4x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)直uuuu uuuC于另一點(diǎn)Q若向量OM與OP的火角為了,求加勺面積.練習(xí)題:1.解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ,a 一4),雙曲線的上焦點(diǎn)為(0,2),依題、.a 一息則有4= 2解得a = 8.2.解析：拋物線方程可化為y 、-1 、4,其準(zhǔn)線方程為y=而設(shè)M>