(完整word版)有限元考試題

1、1、名詞解釋：剪應(yīng)力互等定律：作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。（大小相等，正負(fù)號(hào)也相同）。位移法：位移法是解決超靜定結(jié)構(gòu)最基本的計(jì)算方法。位移法位移法獲得的解是唯一確定的.有限元問(wèn)題求解采用位移法虛功原理：彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功（外力功）等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功（內(nèi)力功）圣維南原理：對(duì)于作用于物體局部邊界上的面力用另一組與之靜力等效（主矢和主矩相等）并且作用于同一小塊表面上的力系來(lái)代替，則在力系作用區(qū)域的附近，應(yīng)力分布將有 顯著的改變，但在遠(yuǎn)處所受的影響可不計(jì)。最

2、小勢(shì)能原理：在滿足位移邊界條件的所有可能位移中，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體的勢(shì)能最小。即對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，實(shí)際發(fā)生的位移使彈性體總勢(shì)能取極小值。顯然，最小勢(shì)能原理與虛功原理完全等價(jià)疊加原理：在線彈性（物理線性）和小變形（幾何線性）情況下，作用于物體上幾組荷載產(chǎn)生 的應(yīng)力和變形的總效應(yīng)，等于每組荷載單獨(dú)作用效應(yīng)的總和。位移模式：按彈性力學(xué)位移法求近似解的思路，位移作為基本未知量時(shí)，需要對(duì)單元上位移的分布作出假設(shè)，即構(gòu)造含待定參量的簡(jiǎn)單位移函數(shù)一一位移模式。形函數(shù)：等參元：等參數(shù)單元（簡(jiǎn)稱等參元）就是對(duì)單元幾何形狀和單元內(nèi)的參變量函數(shù)采用相同數(shù) 目的節(jié)點(diǎn)參數(shù)和相同的形函數(shù)進(jìn)行變換而設(shè)計(jì)出的一種新型單元

3、。節(jié)點(diǎn)的自由度：節(jié)點(diǎn)所具有的位移分量的數(shù)目。單元自由度：一個(gè)單元所有節(jié)點(diǎn)的自由度總和稱為單元自由度。剛度集成法結(jié)構(gòu)中的結(jié)點(diǎn)力是相關(guān)單元結(jié)點(diǎn)力的疊加，整體剛度矩陣的系數(shù)是相關(guān)單元的單元?jiǎng)偠染仃囅禂?shù)的集成。虛功等效：原單元載荷與等效節(jié)點(diǎn)載荷在單元任意虛位移上的虛功相等。2、填空題1 .有限元法的實(shí)質(zhì)：一將復(fù)雜的連續(xù)體劃分為有限個(gè)簡(jiǎn)單的單元體化無(wú)限自由度問(wèn)題為有限自由度問(wèn)題。將連續(xù)場(chǎng)函數(shù)的（偏）微分方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 一有限個(gè)參數(shù)的代數(shù)方程組的求解問(wèn)題 _c2 .彈性力學(xué)的基本假設(shè)：（1）（連續(xù)性）（2）均勻性 （3）（各向同性）（4）完全彈性 符合 （1） - （4）假定的稱為（理想彈性體）。（

4、5）小變形假定 滿足以上五個(gè)基本假設(shè)的彈性力學(xué)稱為（彈性力學(xué)）。3 .有限元方法的兩大應(yīng)用：科學(xué)計(jì)算或 （數(shù)值模擬）、數(shù)字設(shè)計(jì)或（虛擬仿真）。4 .彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生 （應(yīng)力）。還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來(lái)描述：（1、給出各點(diǎn)的位移；（運(yùn)動(dòng)）三個(gè)位移分量），（2、給出各微元體的變形 （應(yīng) 變）六個(gè)應(yīng)變分量）。5 .在彈性體內(nèi)部，三類基本方程：根據(jù)微分體上（平衡條件），建立平衡方程。根據(jù)微分線段上應(yīng)變-位移的幾何條件，建立 （幾何方程）；根據(jù)（應(yīng)力-應(yīng)變間的物理?xiàng)l件），建立物理方程。6 .圣維南原理主要作用是（靜力等效）7 .平面三角形的單元自由度是（6）,形函數(shù)是

5、Ni =不2.丁 o(ai +«x+Gy) (i = l, m, n)矩形單元的單元自由度是（8）,形函數(shù)是 空間四面體的單元自由度是（8）,形函數(shù)是，一 1 一 .N i = （1 i（i=1,2,3,4）。尸i為i節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)。4板殼單元的單元自由度是 ,形函數(shù)是 )(1 i )1 xNk (1)(14a1xNi =1(1 -)(14a8 .單元?jiǎng)偠染仃嚲哂腥缦滦再|(zhì)（對(duì)稱性）、（奇異性）、（主對(duì)角元素恒等）9 .離散化的內(nèi)容包括（結(jié)構(gòu)離散）、（載荷離散）。1 xyNm=-(1 -)(1 -y) 4ab1xvNn =(1)(1 1) 4ab10.單元參數(shù)只能通過(guò) （節(jié)點(diǎn)）傳遞到相

6、鄰單元。11位移函數(shù)中待定常數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)等于（單元節(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)）12.形函數(shù)決定了 （單元上位移分布的形態(tài)）。事實(shí)上，單元位移模式就是所有形函數(shù)的（單元描述局部位移場(chǎng)）的能力，決定求解的精度、性組合），一個(gè)單元的位移模式?jīng)Q定了 收斂性等，而形函數(shù)是最重要的因素。13 .單元?jiǎng)偠染仃囃ㄊ絢 leo14 .單元?jiǎng)偠染仃囍性氐奈锢硪饬x為ve'B|T'DllBldV（單元受節(jié)點(diǎn)力作用后抵抗變形的能力），它決定于該單元的形狀、大小、方位和（彈性常數(shù)），而與單元的（位置）無(wú)關(guān),即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。15載荷移置的原則 （虛功等效）。16引入約束的方法常有：（對(duì)角元素置一法）主

7、要用于節(jié)點(diǎn)固定的場(chǎng)合,對(duì)于給定節(jié)點(diǎn)位移的場(chǎng)合，主要用（對(duì)角元素乘大數(shù)法）引入約束。17等參單元?jiǎng)偠染仃嚨姆e分式中被積函數(shù)很難導(dǎo)出解析表達(dá)式，因此等參單元的計(jì)算都采用（數(shù)值積分）求積分的近似值,考慮到減少計(jì)算點(diǎn)數(shù)，多采用（高斯數(shù)值積分）。18軸對(duì)稱問(wèn)題只需在（子午面）內(nèi)描述,板的彎曲問(wèn)題主要是在 內(nèi)描述。19計(jì)算穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)實(shí)際上是求解（偏微分方程的邊值問(wèn)題）,采用（加權(quán)余量法）建立穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)分析的有限元列式。采用（伽遼金法）對(duì)權(quán)函數(shù)進(jìn)行選擇。20動(dòng)態(tài)分析中包括（固有特性分析）和響應(yīng)分析。固有特性分析主要是求解各級(jí)模態(tài)，包 括求解 （各級(jí)固有頻率） 和振型。簡(jiǎn)答題：1、有限元法的實(shí)質(zhì)？將復(fù)雜的連續(xù)

8、體劃分為有限個(gè)簡(jiǎn)單的單元體，化無(wú)限自由度問(wèn)題為有限自由度問(wèn)題。將連續(xù)場(chǎng)函數(shù)的（偏）微分方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限個(gè)參數(shù)的代數(shù)方程組的求解問(wèn)題。2、理想彈性體的五點(diǎn)假設(shè)？（1）連續(xù)性（2）均勻性 （3）各向同性 （4）完全彈性 符合（1） - （4）假定的稱為理想彈性體。（5）小變形假定滿足以上五個(gè)基本假設(shè)的彈性力學(xué)稱為線彈性力學(xué)。3、有限元分析的基本步驟？1）建立研究對(duì)象的近似模型。2）將研究對(duì)象分割成有限數(shù)量的單元 （結(jié)構(gòu)離散化）3）用標(biāo)準(zhǔn)方法對(duì)每個(gè)單元提出一個(gè)近似解（單元分析）（1）選擇位移模式（2）建立單元?jiǎng)偠染仃嚕?）計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力4）將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個(gè)與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)（

9、單元集成）5）用數(shù)值方法求解這個(gè)近似系統(tǒng)。（選擇合適計(jì)算方法計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移、應(yīng)力、應(yīng)變）6）計(jì)算結(jié)果處理與結(jié)果驗(yàn)證（如何顯示、分析數(shù)據(jù)并找到有用的結(jié)論）4、什么是形函數(shù)，形函數(shù)的基本性質(zhì)？形函數(shù)決定了單元上位移分布的形態(tài)。事實(shí)上，單元位移模式就是所有形函數(shù)的線性組合。一個(gè)單元的位移模式?jīng)Q定了該單元描述局部位移場(chǎng)的能力，決定求解的精度、收斂性等,而形函數(shù)是最重要的因素。5、簡(jiǎn)述有限元法中選取單元位移函數(shù)（多項(xiàng)式）的一般原則。位移函數(shù)中待定系數(shù)個(gè)數(shù)應(yīng)等于單元節(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)。位移函數(shù)的形式一般選為完全多項(xiàng)式，根據(jù)Pascal三角形由低階到高階按順序、對(duì)稱地選取；多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)等于（或稍大于）單元節(jié)點(diǎn)自由

10、度數(shù)。6、什么是平面應(yīng)力問(wèn)題、平面應(yīng)變問(wèn)題？平面應(yīng)力問(wèn)題的基本特征：1）幾何特征物體在一個(gè)方向（z）的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向（x,y）的尺寸。幾何為均勻薄板。2）受力特征薄板的兩個(gè)側(cè)面上無(wú)載荷作用邊緣上受到平行于板面且沿板厚均勻分布的面力作用；體力平行于板面且不沿板厚變化（x,y的函數(shù)）平面應(yīng)變問(wèn)題的基本特征：1）幾何特征一個(gè)方向（z）尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它兩個(gè)方向（x,y）的尺寸，呈現(xiàn)為無(wú)限長(zhǎng)等截面柱體。2）受力特征外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿縱向不變化。通常用多項(xiàng)式函數(shù)作位移模式，對(duì)三節(jié)點(diǎn)三角形單元， 有6個(gè)待定節(jié)點(diǎn)位移分量， 所以單元上的位移函數(shù)只能是含 6個(gè)待定系數(shù)的完全一次多

11、項(xiàng)式：u（x, y） = a1 a2x a3y乂八口 +ax + av al a 6為待定系數(shù)，稱為廣義坐標(biāo)。V（X, y） - a4 a5x a6 y7、什么是位移模式？如何構(gòu)建，以三角形三節(jié)點(diǎn)為例分析其收斂性。按彈性力學(xué)位移法求近似解的思路，位移作為基本未知量時(shí)， 需要對(duì)單元上位移的分布作出假設(shè)，即構(gòu)造含待定參量的簡(jiǎn)單位移函數(shù)位移模式。在有限元中，當(dāng)單元?jiǎng)澐值米銐蛐r(shí)，把位移函數(shù)設(shè)定為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式就可以獲得相當(dāng)好的精確度8、單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)是什么？整體剛度陣的特點(diǎn)？單元?jiǎng)偠染仃嚨奶攸c(diǎn)1）物理意義2）對(duì)稱性3）奇異性4）主對(duì)角元素恒正總剛矩陣具有單元?jiǎng)傟嚨男再|(zhì)：對(duì)稱性、奇異性、主對(duì)角元素恒

12、正、奇偶行元素之和分別為零、稀疏性、帶狀性9、為什么單元載荷需要移置？有限元模型中單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接形成離散結(jié)構(gòu)；通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞位移和力；單元和整體結(jié)構(gòu)的特性主要是節(jié)點(diǎn)力學(xué)量之間的關(guān)系。因此邊界條件必須對(duì)節(jié)點(diǎn)給出，所有載荷必須等效作用在節(jié)點(diǎn)上，這也是連續(xù)模型離散化的要求。10等參元有限元分析三個(gè)基本步驟是什么？1）計(jì)算用局部坐標(biāo)表示的形函數(shù)N i對(duì)整體坐標(biāo)x、y的偏導(dǎo)數(shù)；2）將整體坐標(biāo)系中的面積積分轉(zhuǎn)換為在局部坐標(biāo)系中的面積積分；3）用數(shù)值積分計(jì)算出單元?jiǎng)偠染仃囍械脑?。步驟1）和2）是等參單元單元分析的關(guān)鍵步驟。11如何得到整體剛度矩陣？總剛矩陣的疊加規(guī)律是什么？基本方法是剛度集成法，即整體剛度

13、矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募?。剛體集成法即結(jié)構(gòu)中的結(jié)點(diǎn)力是相關(guān)單元結(jié)點(diǎn)力的疊加，整體剛度矩陣的系數(shù)是相關(guān)單元的單元?jiǎng)偠染仃囅禂?shù)的集成?？倓偩仃囍懈鱾€(gè)子塊是由各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚨南鄳?yīng)子塊疊加而成的。其疊加規(guī)律為：設(shè)總剛的某子塊為 Krs1、當(dāng)r=s , Krs是主對(duì)角線的子塊，它們是繞節(jié)點(diǎn) r的各個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)對(duì)角線子塊的疊加，如主對(duì)角線上的子塊；2、當(dāng)rws ,而r、s被一個(gè)單元同日擁有（即 rs相關(guān)，為單元的邊），則是擁有該單元邊rs的所有單元?jiǎng)偠染仃嚨南鄳?yīng)子塊的疊加3、當(dāng)rws，且r、s不屬于同一單元，即 r、s互不相關(guān)，則 Krs為零子塊。根據(jù)這些規(guī)律，總剛矩陣K的形成可直接利用單剛矩陣的

14、子塊疊加即可；12、什么是桿，什么是梁？平面鋼架問(wèn)題的單元?jiǎng)偠汝囋鯓忧蠼猓織U梁結(jié)構(gòu)是指長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其橫斷面尺寸的構(gòu)件組成的系統(tǒng).在結(jié)構(gòu)力學(xué)中常 將承受軸力或扭矩的桿件成為桿，而將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁，13、薄板彎曲問(wèn)題與平面應(yīng)力問(wèn)題的區(qū)別？力學(xué)概念定義的板是指厚度尺寸相對(duì)長(zhǎng)寬尺寸小很多的平板，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的 （指一個(gè)單元），則稱為殼問(wèn)題。如作用于板上的載荷僅為平 行于板面的縱向載荷，則稱為平面應(yīng)力問(wèn)題；如作用于板上的載荷為垂直于板面的橫向載 荷，則稱為板的彎扭問(wèn)題，常簡(jiǎn)稱板的彎曲問(wèn)題。計(jì)算題：1、在均質(zhì)、等厚的三角形單元 ijm的ij邊上作用有沿x方

15、向按三角形分布的載荷，求移置 后的結(jié)點(diǎn)載荷。Xi解:-NYiNiNjqxYjNjtdxdyXmYmNmNm取局部坐標(biāo)s,在i點(diǎn)s=0,在j點(diǎn)s=l, L為ij邊的長(zhǎng)度。在ij邊上, 以局部坐標(biāo)表示的插值函數(shù)為，Ni 二5N載荷為：XiqxL(10s s-L)qLtds二 qt(2L3L21 qtL6L3一 ss . sX j 二 q - tds = qt 2j 0 LL3L23qtL2、如圖所示等邊三角形單元，其厚度為"彈性模量為E ,泊松比“；單元的邊長(zhǎng)及結(jié)點(diǎn)編號(hào)見(jiàn)圖中所示。求：（1）構(gòu)建三角形單元的位移模式（2）求解形函數(shù)矩陣 N珥二吃”一/匕=彳彳 %二七討乂一項(xiàng)乂二°

16、; 4=七匕一馬匕二0i-V = 一與 b =y -y =&i J / J /raqj J m / r ?口J = 一羨 J = _($"_$)=一|三角形的面積/4將以上數(shù)據(jù)代入式（3.10）,得元(4十4"十£y) =/3 2 y/3aa222C -IX-X/(0.0)3、已知如圖（a）所示的懸臂深梁，在右端面作用著均布拉力，其合力為P。采用如圖（b）所示簡(jiǎn)單網(wǎng)格，設(shè)口 =1/3,厚度為t,試求節(jié)點(diǎn)位移。解：?jiǎn)卧?，i、js m分別為1、2、3,坐標(biāo)如圖“"一兒 -1勺=-上 J =。3£f3230 ；-32：0-21席1 I2-1!

17、20IF'F W 丁F !,H1B1 HP 中 W*WB1 *F *=* W _W -132 :7 41-42II：I 2-1 ：-415i2-12F h F « ' khH T = F 晶，hhK . F > = U. J- T F f f - bT 9 9 T 51 -I 02 ；T2；401II中L-20 ： 2-12 ； 012 j單元，i、% =匕一八h m分別為1、3、4,坐標(biāo)如圖=0%=-2-I , xx 0、 1K43總體剛度矩阱;II -I對(duì)稱I7。32 ! 0-4-42 11I0 門(mén)2- 1 - 402-121 -3217-4 -4200 1

18、II12 -1-41312-12!00| !32Id -4-42 ! 70-32I401-12 0132-1 |1-4200 -327-4 2-1200 - 2-1-413 j總體剛度方程;用6=可其中6 =.，嘰以23%孫%壯了，另外，位移邊界條件$ U|=V1= M4=V4=0F=U,九% 5,%£4匕另外，有節(jié)點(diǎn)載荷：Uh 力=日2 求解化簡(jiǎn)后總體剛度方程，得節(jié)點(diǎn)位移；r3Etft74413422 lfU;l> /2'0h ， *%1.1pr 一，r 1.98 10333-12卜=*32 1I-42701%/1J。1L2-1201 31%° J一二L &

19、#176; I4、用剛度集成法求圖所示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣。單元?jiǎng)澐謭D解；該模型中共有6個(gè)節(jié)點(diǎn)，4個(gè)單元,各單元的信息如表61所示表31各單元信息單元編號(hào)斗體編碼1、2、3 2、4、55、3、23、5、6局部編碼41八八mi、/、mi、j、鵬八/、曲以整體編碼也 示的單元?jiǎng)偠?矩陣了塊r”jrO)A“叫2叫jE1超1 父* 中a “ n 7jr t'U *舊人史人若“*卡 n式八用 n不取以1好(21v(31人凳靠加A45昭0川臼2iA32靠 siA"“司 jzU)。打 入5$八岫v-IJ)j(5) jIMvfj)小川A25 人打22AW AJS 與C M： c爐口卜 /F&#

20、39;L" 也dA(rft同例32類似的分析，得1 o -1n 1 o -i30-1根據(jù)單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì),可知H = M = 由于 兒何矩陣屋，所以有小2）=長(zhǎng)，整體剛度矩陣 中的各子塊是對(duì)所有單元相應(yīng)的子塊求和得到的（實(shí)際 只是對(duì)相關(guān)單元求和），其中各子塊矩陣均為2行X2列, 整體剛度矩陣用子塊矩陣可以表示為上式中任意一子塊鉗陣均為2行X2列,在計(jì)算過(guò)程中，無(wú) 需將每個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行十大，只需判斷整體剛度矩陣 子塊的下標(biāo)，然后利用組裝整體剛度矩陣的一般規(guī)則進(jìn)行 計(jì)算，如右,由圖形可知，節(jié)點(diǎn)2由單元、和所共 有，則/=心）+於）+月？心，由圖形可知，25邊為單元和的共用邊，則 心=反普+硬叫5 ,由圖形可知，節(jié)點(diǎn)1、5不同屬于任何單元，則=。采用同樣的方法進(jìn)行計(jì)算，得到整體剛度矩陣為:AX- 10-1-101020-20(-1061-4-1-216-1-00T-161Et10 -1 -2 f (K - 一400 -100(的00-1-2 0(0001-2 -0010-100000(00001(5、平面桁架由2根相同的卞f組成(E,1)節(jié)點(diǎn)2位移