線段垂直平分線知識(shí)點(diǎn)+經(jīng)典例題

1、第三講線段的垂直平分線7八年級(jí)數(shù)學(xué)第三講線段垂直平分線【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段的垂直平分線1 .定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線.2 .線段垂直平分線的做法求作線段AB的垂直平分線.作法：，一一，一 .,1(1)分別以點(diǎn) A, B為圓心，以大于 2 AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相 交于C, D兩點(diǎn)；(2)作直線CD , CD即為所求直線.要點(diǎn)詮釋：1(1)作弧時(shí)的半徑必須大于2 AB的長(zhǎng)，否則就不能得到兩弧的交點(diǎn)了.(2)線段的垂直平分線的實(shí)質(zhì)是一條直線.要點(diǎn)二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距

2、離相等.要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩條線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，線段垂直平分線，常向兩端把線連 ”.就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)詮釋：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成了線段的垂直平分線.線段的垂直平分線可以看作是與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合. 要點(diǎn)四、三角形的外心三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等

3、，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心-外心.要點(diǎn)詮釋：1 .三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)(三線共點(diǎn))，該點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心2 .銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜邊上，與斜 邊中點(diǎn)重合.3 .外心到三頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)五、尺規(guī)作圖作圖題是初中數(shù)學(xué)中不可缺少的一類試題，它要求寫出已知，求作，作法和畫圖 ”，畫圖必須保留痕跡，在現(xiàn)行的教材里，一般不要求寫出作法，但是必須保留痕跡.證明過(guò)程一般不用寫出來(lái) .最后要點(diǎn)題即“xxx為所求” .【典型例題】 類型一、線段的垂直平分線定理例1、如圖， ABC中AC > BC ,邊AB的垂直平分線與 AC

4、交于點(diǎn)D ,已知AC=5 ,BC=4,貝U ABCD的周長(zhǎng)是（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【思路點(diǎn)撥】 先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD ,即AD+CD=BD+CD=AC ,再根據(jù) BCD的周長(zhǎng)=BC+BD+CD 即可進(jìn)行解答.【答案】A；【解析】 因?yàn)?BD=AD,所以 ABCD 的周長(zhǎng)=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【總結(jié)升華】 此題正是應(yīng)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，也就是已知直線是線段垂直平分線，那么垂直 平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，從而把三角形的邊進(jìn)行轉(zhuǎn)移，進(jìn)而求得三角形的周長(zhǎng).【變式1】如圖，在MBC中，AB=AC , / A=36&

5、#176; , AB的垂直平分線 DE交AC于D ,弋交AB于巳下述結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A . BD 平分/ ABCB. ABCD 的周長(zhǎng)等于 AB+BCC. AD=BD=BCD,點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)日乙/ '匚【答案】D;提示:根據(jù)等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可推得選項(xiàng)A、B、C正確;所以選D,另外，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用.AB、BC于點(diǎn)D、巳AC的垂直平分線分【變式2】如圖，4ABC中，BC=7, AB的垂直平分線分別交別交AC、BC于點(diǎn)F、G.求4AEG的周長(zhǎng).【答案】解：: DE為AB的中垂線，AE=BE , FG是AC的中垂線,AG=GC , A

6、EG的周長(zhǎng)等于 AE+EG+GA ,分另將 AE和AG用BE和GC代替得：4AEG的周長(zhǎng)等于BE+EG+GC=BC ,所以4AEG的周長(zhǎng)為BC的長(zhǎng)度即7.類型二、線段的垂直平分線的逆定理例2、如圖，已知 AB=AC, Z ABD= / ACD ,求證：AD是線段BC的垂直平分線.【答案與解析】證明：AB=AC （已知）/ ABC= / ACB （等邊對(duì)等角）又. / ABD= / ACD （已知） / ABD- / ABC = / ACD- / ACB （等式性質(zhì)）即 / DBC= / DCBDB=DC （等角對(duì)等邊）-.AB=AC （已知）DB=DC （已證）.點(diǎn)A和點(diǎn)D都在線段BC的垂直平

7、分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的 垂直平分線上）.AD是線段BC的垂直平分線。【總結(jié)升華】本題需要注意的是對(duì)于線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用，部分學(xué)生可能錯(cuò)誤地認(rèn)為因?yàn)榈骄€段兩端距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上，所以已知AB=AC就可以說(shuō)明AD是線段BC的垂直平分線了 ”，但卻忽略了 兩點(diǎn)確定一條直線”，所以只有當(dāng)AB=AC , DB=DC時(shí)，才能說(shuō)明AD是線段BC 的垂直平分線.【變式】 如圖，P是/MON的平分線上的一點(diǎn)，PA，OM,PB，ON,垂足分別為 A、B.求證：PO垂直平 分AB .【答案】證明：OP是角平分線，/ AOP= / BOP . PA±

8、;OM,PB ±ON, / OAP= / OBP=90 在 4AOP 和 ABOP 中AOP BOPOAP OBPOP=OPAOPABOP (AAS)OA=OBA PO垂直平分AB （和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上） 類型三、線段的垂直平分線定理與逆定理的綜合應(yīng)用例3、已知：如圖， AB=AC , DB=DC , E是AD上一點(diǎn). 求證：BE=CE . 【答案與解析】證明：連結(jié)BC AB =AC , DB= DC.在這 點(diǎn)A、D在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)， 條線段的垂直平分線上） .AD是線段BC的垂直平分線， 點(diǎn)E在AD上，B

9、E=CE （線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）.【總結(jié)升華】本題綜合運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，通過(guò)本例要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用這兩個(gè)定 理解決幾何問(wèn)題，性質(zhì)定理可以用來(lái)證明線段相等，本題中要注意必須有和已知線段兩端距離相等的兩個(gè) 點(diǎn)才能確定垂直平分線這條直線.例4、如圖所示，在RtAABC中，/ ACB=90 , AC=BC , D為BC邊上的中點(diǎn)，CEXAD于點(diǎn)E, BF / AC 交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,求證：AB垂直平分DF.【思路點(diǎn)撥】 先根據(jù)ASA判定ACDCBF得到BF=CD ,然后又因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)定義得/ ACD= / CBF=90 , A

10、C=CB ,.ACD ACBF. CD=BF .1 CD=BD= 1BC, BF=BD .2.BFD為等腰直角三角形./ ACB=90 , CA=CB ,/ ABC=45/ ABF=45丁./ ABC= Z ABF ,即 BA 是/ FBD 的平分線.BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線,/ BCE+ / ACE=90 , / ACE+ / CAE=90 , / BCE= / CAE .AC ±BC, BF/AC.BF ± BC . / BAC=120 , AB=AC ,/ B= / C=30 , MN是AB的垂直平分線,BM=AM ,/ BAM= / B=30

11、76; ,CM=2AM ,到CD=BD ,等量代換得到 BF=BD ,再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出/ ABC= / ABF,即BA是/ FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可.【答案與解析】證明：連接DF,即AB垂直平分DF .識(shí).要注意的是：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.【變式】 如圖，在4ABC中，AB=AC , Z A=120° , AB的垂直平分線 MN分別交BC、AB于點(diǎn)M、N.求證：CM=2BM.如圖所示，連接AM ,CM=2BM .類型四、尺規(guī)作圖例5、電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔P,按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔 P到兩城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路 m和n的距離也必須相等. 請(qǐng)?jiān)趫D中作出發(fā)射塔P的位置.（尺規(guī)作圖，不寫作法，