2.7正多邊形與圓

1、2.7 正多邊形與圓觀察下列圖形他們有什么特點？觀察下列圖形他們有什么特點？正三正三角形角形正方形正方形動腦筋：動腦筋： 把一個圓把一個圓5等分等分, 并依次連接這些點并依次連接這些點,得到正多邊形嗎得到正多邊形嗎?ABCDE由于在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，因此可以用量角器將圓心角n等分，從而使圓n等分，依次連接各等分點，可得到一個正n邊形.結論 將一個圓n（n3）等分，依次連接各等分點所得的多邊形叫作這個圓的內接正多邊形，這個圓是這個正多邊形的外接圓，正多邊形的外接圓的圓心叫作正多邊形的中心.做一做 已知O的半徑為r，求作O的正六邊形.因為正六邊形每條邊所對的圓心角為

2、60，所以正六邊形的邊長與圓的半徑相等.因此在半徑為r的圓上依次截取等于r的弦，就可以將圓六等分.作法：（1）作O的任意直徑BE，分別以B,E為圓心，以r為半徑作弧，與O分別相交于點A，C和F,D.（2）依次連接AB,BC,CD,DE,EF,FA，則六邊形ABCDEF就是所求作的O的內接正六邊形，如圖所示例 如圖，已知O的半徑為r，求作O的內接正方形.分析 作兩條互相垂直的直徑，就可以將O四等分.作法：（1）作直徑AC與BD，使ACBD.（2）依次連接AB,BC,CD,DA,則四邊形ABCD就是所求作的O的內接四邊形，如圖.DCB A聯系生活： 在生產設計中，人們經常會遇到等分圓的問題，例如設

3、計剪紙 、齒輪、汽車輪轂就是通過等分圓而得到的（如圖）.做一做 觀察下列正多邊形，哪些是軸對稱圖形，哪些是中心對稱圖形,，并畫出其對稱軸或找出其對稱中心.軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形；中心對稱圖形，對稱中心為對稱軸的交點想一想：我們可以得出哪些結論？1.正多邊形都是軸對稱圖形。2.當n為奇數時，正多邊形僅為軸對稱圖形；當n為偶數時，正多邊形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。小結：1.正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n 條對稱軸，每條對稱軸都通過n邊形的中心。2.邊數是偶數的正多邊形還是中心對稱圖形， 它的對稱中心就是這個正n邊形的中心。例例 有一個亭子有一個亭子,它的地基半徑為它的地

4、基半徑為4m的正六邊形的正六邊形,求地基的求地基的周長和面積周長和面積(精確到精確到m2).解解: 如圖由于如圖由于ABCDEF是正六邊形是正六邊形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑.360606因此因此,亭子地基的周長亭子地基的周長 l =46=24(m).在在RtOPC中中,OC=4, PC=4222BC ，利用勾股定理利用勾股定理,可得邊心距可得邊心距22422 3.r 亭子地基的面積亭子地基的面積211242 341.6(m ).22SlrOABCDEFRPr練習：練習：分別求出半徑為

5、分別求出半徑為R的圓內接正三角形，正方形的邊長，的圓內接正三角形，正方形的邊長，和面積和面積.解：作等邊解：作等邊ABC的的BC邊上的高邊上的高AD,垂足為垂足為D連接連接OB，則，則OB=R.在在RtOBD中中 OBD=30,1322ADOAODRRR，ABCDOBC 2 BD 3 R.在在RtOBD中中 由勾股定理得：由勾股定理得：BD= OB2-BD2 = R2 - ( )2 =32R1.2RSABC = BCAD = 3 R R = R2.3.343221211.2ODR解：連接解：連接OB，OC 作作OEBC垂足為垂足為E， OEB=90 OBE= BOE=45在在RtOBE中為等腰直角三角形中為等腰直角三角形222BEOEOB222OEOB222OBOE 2222OEOBR22222BCBE