三角函數(shù)與三角恒等變換判斷三角形形狀

1、?2010-2012 菁優(yōu)網(wǎng)三角函數(shù)與三角恒等變換判斷三角形的形狀一、選擇題（共 2小題，每小題5分，滿分10分）1. （ 5 分）已知 tanA+tanB+tanC > 0,則KBC 是（ ）A .銳角三角形B .直角三角形C .鈍角三角形D .任意三角形FU用正切的和角公式變形形式tan A+ta nB=ta n （A+B ） （1 - tan Ata nB）化簡整理.解| |t軍：TtanA+tanB=tan (A+B ) (1 - tanAtanB )tanA+tanB+tanC=tan (A+B ) (1 - tanAtanB ) +tanC=tanAtanBtanC >

2、0,A , B, C是KBC的內角，故內角都是銳角枚應選A.琴查兩角和的正切公式以及三角函數(shù)的符號，訓練運用公式熟練變形的能力.2. （ 5 分）在KBC 中，一二，則 ZABC 是（ ）tanBA .等腰三角形B.直角三角形C .等腰或直角三角形D.等邊三角形考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用.專題：計算題.分析：利用正弦定理把題設等式中的邊轉化成角的正弦，進而化簡整理求得 A+B=90 °進而可推斷出三角形的形狀.sin2A=sin2B，進而推斷出 A=B或解答： 解：由正弦定理可得1= 2 ：. fl :b sinB2.a _tanA哄 tanBsinA.sinsin求得 sinA

3、cosA=sinBcosBA cosAcosB即 sin2A=sin2BA=B 或 2A+2B=180 ° A+B=90 °三角形為等腰或直角三角形.故選C點評： 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角形形狀的判斷.解題的關鍵是通過正弦定理把邊轉化為角 的問題，利用三角函數(shù)的基礎公式求得問題的解決.二、填空題（共11小題，每小題4分，滿分44分）4442 22 22 24. （4 分）在KBC 中，a +b +c - a b - be - a c =0，則KBC 是 等邊三 角形考點：三角形中的幾何計算.專題：計算題.分析利用配方法對 a4+b4+c4- a2b2- b

4、2c2- a2J=O,化簡整理得二(/ - b2) 2+ (a2- c2) 2+ (-白2=0,進而 推斷a2=b2, a =c2, b2=c2，判斷三角形三邊相等.444222222解答：解： a +b +c - a b - b c - a c =04442 2, 2 222444、 22, 2 22 2、a+b+c=ab - b c - a c -2 (a +b +c ) =2 (a b - b c - a c )44224422442 2-a +b - 2a 2b +a +c - 2a c +b +c - 2b c =0./ 2 2、2 , 2 2、2 , 2 2、2 ( a - b )

5、+ ( a - c )+ (b - c )=02 2 2 2,2 2 ,a =b , a =c , b =c -a=b=c故答案為等邊三角形.點評： 本題主要考查了解三角形問題解題的關鍵是利用配方法對題設進行化簡整理.5. (4 分)在KBC 中，cos (A - B) cos ( B- C) cos (C - A) =1,貝U ZABC 是 等邊三角形 考點：兩角和與差的余弦函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關系的運用.專題：計算題.分析：由三角函數(shù)的有界性知正弦與余弦的取值范圍都是-1, 1而此三式的乘積等于1 ,只能是三式的值都為由此可解出結論.解答： 解：由已知 XBC 中，cos (A - B)

6、 cos ( B - C) cos (C - A) =1 ,cos (A - B) =cos ( B - C) =cos (C - A) =1 ,:A - B=B - C=C - A=0A=B=C故ZABC是等邊三角形， 應填等邊三角形.點評：本題考查三角函數(shù)的定義，有界性，解決本題易犯錯誤是不加判斷直接化簡，則難矣.6. (4分)在KBC中，tanAtanB > 1,則ZABC是 銳角三角形 考點：兩角和與差的余弦函數(shù).專題：計算題.分析： 利用兩角和的正切函數(shù)公式表示出tan (A+B ),根據(jù)A與B的范圍以及tan Ata nB > 1,得到tanA和tanB都大于0 ,即可

7、得到A與B都為銳角，然后判斷出 tan ( A+B )小于0，得到A+B為鈍角即C為銳角，所以 得到此三角形為銳角三角形.解答：解：因為A和B都為三角形中的內角，得到 1 - tanAtanB v 0,tanB> 0,即卩A , B為銳角,= *'| v 01 一 tanAt anB由 tanAtanB > 1,所以 tan (A+B )且得到tanA > 0,n),即C都為銳角,貝y A+B (一2所以KBC是銳角三角形. 故答案為：銳角三角形tanA 和 tanB點評： 此題考查學生靈活運用兩角和的正切函數(shù)公式化簡求值，是一道基礎題.本題的關鍵是得到 都大于0 ,

8、進而得到A和B都為銳角.2 2 27. (4分)在KBC中，sin A+sin B=sin C,貝U ZABC是 直角三角形 考點：正弦定理.專題：轉化思想.分析：利用正弦定理化角為邊可得a2+b2=c2 ,從而判定三角形的形狀.解答： 解：TsinA=, sinB=_SL, sinC=,2R 2F 2R2 v2 2亠+亠,4R4 4R2 4R22 2 2即 a +b =c ,ZABC是直角三角形，故答案為直角三角形.點評： 本題考查了正弦定理的變形sinA=,sinB=JL, sinC=_L，比較簡單，2R 2R 2R8 （4分）在KBC中，已知. t 則KBC的形狀是 鈍角三角形考點：兩角

9、和與差的正弦函數(shù).專題：計算題.分析：對題設兩邊平方，求得sin2A的值根據(jù)sin2A小于零，求出A的范圍得到答案.解答：，2221 A A解: t (sinA+cosA ) =sin A+cos A+2sinAcosA=1+sin2A= 一169sin2A= - X v 0169 n劭電n即衛(wèi)* Wn2小BC的形狀是鈍角三角形.故答案為：鈍角三角形點評：本題主要考查了二倍角公式的運用屬基礎題.1 c 口 s A等腰三角形9. （4分）在KBC中，已知cosBcosC=，則KBC的形狀是考點：-三角形的形狀判斷.專題：計算題.分析：利用積化和差公式和兩角和公式對原式進行化簡整理求得cos （C

10、 - B） =0，進而判斷出C=B，三角形形狀可知.解答：，解：TcosBcosC=,2 '2cosBcosC=1 - cosA, 'cos (C - B) +cos (C+B) =1 - cosA 'cos (C - B)- cosA=1 cosA 'cos (C - B) =1C- B=0C=B故三角形的形狀為等腰三角形 故答案為等腰三角形.點評：本題主要考查了三角形的形狀判斷解題的關鍵化簡原式得到cos （C- B）的值.10. （4分）在ZABC中，已知 a cosA=b cosB，則ZABC的形狀是 考點：正弦定理的應用；兩角和與差的余弦函數(shù).專題：計

11、算題.分析： 根據(jù)正弦定理把等式 acosA=bcosB的邊換成角的正弦，再利用倍角公式化簡整理得sin2A=sin2B ,進而推斷A=B，或A+B=90。答案可得.解答： 解：根據(jù)正弦定理可知t acosA=bcosB ,'si nAcosA=si nBcosB'si n2A=si n2BA=B，或 2A+2B=180。即 A+B=90 °所以KBC為等腰或直角三角形 故答案為MBC為等腰或直角三角形.點評：本題主要考查了正弦定理的應用，屬基礎題.11. （4 分）在ABC 中，已知 sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2 ，則

12、ZABC 的形狀是等腰直角三角形 考點：正弦定理的應用；余弦定理的應用.分析：先通過合并同類項和輔角公式確定角A、B的值，從而確定三角形的形狀.解答：解：Tsi nAsi nB+si nAcosB+cosAsi nB+cosAcosB=sinA (sinB+cosB) +cosA (sinB+cosB) = (sinB+cosB) (sinA+cosA ) = .：sin (A+ ) / Isin ( B+ )44=2sin (A+) sin ( B+) =244JTJTJT7T'sin (A+)sin ( B+)=1sin (A+)=1 , sin (B+)=144447T7T7T7

13、TJTJT.A+=B+='A=B=-C=_424242ZABC是等腰直角三角形點評:故答案為：等腰直角三角形 本題主要考查通過確定角的值判斷三角形的形狀，屬基礎題.12. （4分）在ZABC中，已知則ZKBC的形狀是等邊三角形考點：正弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關系. 專題：計算題；轉化思想.分析：cosA casB ssC根據(jù)正弦定理表示出 a, b和c,分別代入已知的：中，利用同角三角函數(shù)間的基本關系cosA cosB cosC及特殊角的三角函數(shù)值即可得到三角形的三個內角相等，得到三角形為等邊三角形.解答： 解：根據(jù)正弦定理得到：='=_ =2R,sinA sinB sin

14、C貝V a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC ,cosA cosB cosC代入 且 _ £_ u 中得：2RsinA_2RsinB_2RsinCcosA cosB cosC即 tanA=tanB=tanC，得到 A=B=C ,所以ZBC的形狀是等邊三角形.故答案為：等邊三角形點評： 此題考查學生靈活運用正弦定理化簡求值，靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系及特殊角的三角函數(shù)值化 簡求值，是一道綜合題.13. （4分）在ZKBC中，已知打上.cosA+cosB則ZABC的形狀是直角三角形考點：三角函數(shù)恒等式的證明.分析：利用三角恒等變換公式將公式變形，轉化方向是變

15、成簡單的三角方程求角的值，通過角的值來確定解答:的形狀.證明：在念BC中，.-'cosA+cosB'sin (A+B )2sinXC0SA-B22coscos2.A+Bsirr-772sin二Leos '：=22 A+Bcos2cos2盤塑-仁02cos (A+B ) =0a+b=2!，即 c=2!,22/ABC是直角三角形.故應填直角三角形.點評：考查利用三角恒等變換的公式進行靈活變形的能力，用來訓練答題者掌握相關公式的熟練程度及選擇變形 方向的能力.三、解答題(共5小題，滿分0分)14.在ZABC中，分別根據(jù)下列條件，判斷三角形的形狀.(1) lga _ Igclg

16、sinB _(B為銳角)；(2) sinA=2cosCsinB ;(3) A、B、C成等差數(shù)列，a, b, e成等比數(shù)列(4) acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC ;(5) -''；a+b - c42 2 2 2(6) (a2+b2) sin (A B) = (a2 - b2) sin (A+B ).考占：八、三角形的形狀判斷.專題：計算題；綜合題.分析:(1)先由對數(shù)的運算性質化簡，可得耳二遲,c2從而可求B，再利用正弦定理代入可求A , C(2)利用正弦、余弦定理化簡可得(3)從、B、C成等差數(shù)列， A+C=2B，從而可得2TTK2A+C

17、=丁, B= 口，由a、b、c成等比數(shù)列可得 b =ac,結合已知及正弦定理可求(4)利用余弦定理可得由余弦定理可得2, 2_ k22 ,k2 - ,2 k2, 2 _a + cba+bcb + c2 a色TDFTCt=2ac2ab2bcV2_22,2_,22,k2 -2b + c a a 4c b a +b c b +c +已 2bc2ac2ab整理可得br) (c-a) (b-J (a+b+J 二。，從而可得 a=b=c abc(5) 先把已知整理可得，a2+b2- c2=ab,利用余弦定理可求 C,及A+B，再由sinAsinB=代入可求2 2 2 2 2 2(6) )由(a +b )

18、sin (A - B) = (a - b ) sin (A+B )可得 a sin (A - B) - sin (A+B ) +b sin (A - B) +sin(A+B ) =0整理可得sin2A=sin2B，從而可得解答:解：(1) 1ga- lgc=lgsinB= - lg、/洋二 lg 日昌 inB=¥cd cZB為銳角， 乂片晉，a+C二丄尹由正弦定理可得,整理可得cosC=0-二一'一 二壬3 丁匸 嚴、 sin I- C )gsinCV22ABC為等腰直角三角形(2)Tsi nA=2cosCsi nB由正弦定理及余弦定理可得,2丄u2-2“3 +b c a=b

19、xab化簡可得，b=c所以KBC為等腰三角形(3)：A、B、C成等差數(shù)列， A+C=2B，從而可得A+cQ , B=-33a、b、c成等比數(shù)列 b2 =ac 由正弦定理可得sinB=sinAsinC="|sinA11 - '二乂inAsin (空二：-334整理可得sin (邸-召)三角形岔BC為等邊三角形(4)：acosB+bcosC+ccosA=bcosA+ccosB+acosC由余弦定理可得-.，則 b=c=一-b2 a2+b2- c2 b2+c +b藥+c2bc2 2 -匚斗a + c2ac?2010-2012 菁優(yōu)網(wǎng)?2010-2012 菁優(yōu)網(wǎng)整理可得亡?2010-

20、2012 菁優(yōu)網(wǎng)?2010-2012 菁優(yōu)網(wǎng)整理可得 (a)(c-a)(b-c)(出+自)abc'a=b=c三角形KBC為等邊三角形(5)由已知可得，a3+b3-c3=ac2+bc2-c32 2 2(a+b) (a2 - ab+b2) = ( a+b) c22 2 2a +b - c =ab由余弦定理可得 a2+b2cosC=2ab32兀minAsinB二 二 sinAsin ( - A) sinA (爭8甜+寺inA)節(jié)， 整理可得Sin (2A-)6三角形KBC為等邊三角形2 2(6) (a +b ) sin (A - B) 可得 a2sin (A - B) - sin2 2a s

21、inBcosA=b sinAcosB亠 2由正弦定理 sin As in BcosA=s in Bs in AcosB-，則 B=C=2 2=(a - b ) sin (A+B )2(A+B ) +b sin (A - B)+sin (A+B ) =0整理可得 sin2A=sin2B，從而可得 2A=2B或2A+2B= n 或 A+B=三角形岔BC為等腰三角形或直角三角形本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理綜合解三角形，判斷三角形的形狀，還考查了三角函數(shù)的公式，屬于對基本知識的求解，但要體會在化簡中的技巧.15 .在ZABC中，滿足、si nA+si n%+si n2C=2 cot2A+co

22、t %+co t 2C=2試判斷蟲BC的形狀.考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用；弦切互化.專題：計算題.分析：先對上式進行降幕化簡解出有一角為直角，將這個結論代入下式，進行恒等變形可求一角為 答案.解答： 解：Tsin2A+sin 2B+sin2C=22:=2 - sinC，-丄(cos2A+cos2B ) =cos2C2 ，45 °進而可得2'- cos (A+B ) cos (A - B) =cos C''ZABC , /cos (A+B ) = - cosC'cos (A - B) =cosC= - cos (A+B )'cos (A -

23、B) = - cos ( A+B )'cos (A - B) +cos (A+B ) =02cosAcosB=0cosA=0或者cosB=0 ,二者必有一為直角, 不妨令A為直角則有cot2B+cot2C=2,cos . cos91sin B sin:=22C?2010-2012 菁優(yōu)網(wǎng)?2010-2012 菁優(yōu)網(wǎng) | + I =2 sinsin £Csin B+sinsin Bsin2C=4 -B+C=90?2010-2012 菁優(yōu)網(wǎng)2 2'sin B+sin C=12 2'4sin Bsin C=12(2sinBcosB )=1si n2B=12B=90

24、°B=C=45 °故ZABC是等腰直角三角形考查用三角恒等變換公式進行變形證明的能力，要求有較強的觀察總結能力及高超的組織材料的能力.16 .在ZABC中，已知，試判斷KBC的形狀.sinA+sin (.C -考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用.分析：切和弦共同存在的等式中，一般要切化弦，根據(jù)兩外項之積等于兩內項之積，把分式化為整式，移項，逆 用兩角和的余弦公式，把腳C化為A+B用兩角和的余弦公式展開，合并同類項，得到兩角余弦乘積為零,解答：解：由已知得：，'則兩角中必有一個直角.cosB sinA+sin (C B)'sinAsinB+sinBsin (C - B) =cosBcos (C - B), 移項，逆用兩角和的余弦公式得：sinAsinB=cosC ,在ZABC 中，cosC= - cos (A+B ),'sinAsinB= - cos (A+B ),cosAcosB=0, y -cosA=0 或 cosB=0, ZABC是直角三角形.進行簡單的三角函數(shù)式的化點評：和三角形有關的三角恒等變形，要求能用所有的公式特別是余弦的和差角公式簡、求值及恒等式的證明17.在銳角KBC中，已知I I . I i I ' I'. W ：|；,求證:A、B、C成等差數(shù)列.考