第一節(jié)映射與函數(shù)ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)一、集合二、映射三、函數(shù)一、集合1、集合概念 所謂集合(或集)是具有某種特定性質(zhì)的事物的全體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素., ,2121nnaaaAAaaa，可記作：組成的集合例如：由元素 由有限個(gè)元素組成的集合，可用列舉出它的全體的方法來(lái)表示.凡事物a是集合A的元素記作： ；Ma凡事物a不是集合A的元素記作： ；Aa.01| 0122xxBxB解集，就可表示成是方程例如，集合 由無(wú)窮多個(gè)元素組成的集合，通常用如下記號(hào)表示：設(shè)M是具有某種性質(zhì)P的元素x全體組成的，就可表示成：.|PxxM所具有性質(zhì)以后假設(shè)沒(méi)有特別聲明，提到的數(shù)都是實(shí)數(shù). 全體自然數(shù)的集

2、合記作 N ，即 ;, 2 , 1 , 0 nN 全體實(shí)數(shù)的集合記作 R ， 為排除零的實(shí)數(shù)集 為全體正實(shí)數(shù)的集.R R,R;, 2 , 1 , 0 nN全體正整數(shù)的集合為;, 2 , 1 , 0 , 1, 2,nnZ全體整數(shù)的集合記作 Z ，即;,|互質(zhì)與且pqqpqpNZQ全體有理數(shù)的集合記作 Q數(shù)集: 元素都是數(shù)的集合.子集: 設(shè)A、B是兩個(gè)集合，假設(shè)集合A的元素都是集合B的元素，那么稱A是B的子集，記作 (讀作A包含于B)或 (讀作 B 包含 A ).BAAB 相等: 假設(shè)集合A與集合B互為子集，即 且 , 就稱集合A與B相等，記作A=B.BAAB 例如，設(shè)A=1,2，B=2,1，C=

3、x|x2-3x+2=0那么A=B=C.0101,| 22的實(shí)數(shù)是不存在的是空集，因?yàn)檫m合條件，例如xxRxx真子集：假設(shè) 且 ，那么稱A是B的真子集，記作BABABA空集:不含任何元素的集合稱為空集，記作 .O且規(guī)定空集為任何集合的子集，即.AO 由一切既屬于A又屬于B的元素組成的集合，稱為A與B的交集(簡(jiǎn)稱交)，記作A B，即 A B= x | x A 且 x B;2、集合的運(yùn)算 集合的根本運(yùn)算有以下幾種：并、交、差. 設(shè)A、B是兩個(gè)集合，由一切屬于A或者屬于B 的集合，稱為A與B的并集(簡(jiǎn)稱并)，記作A B，即 A B= x | x A或 x B ； 由一切屬于A而不屬于B的元素組成的集合

4、，稱為A與B的差集(簡(jiǎn)稱差)，記作AB，即 AB= x | x A且 x B. 有時(shí)，我們研討某個(gè)問(wèn)題限定在一個(gè)大的集合I 中進(jìn)展，所研討的其他集合 A 都是 I 的子集.此時(shí)，我們稱集合I為選集或根本集，IA為A的余集或補(bǔ)集，記作 .例如，在實(shí)數(shù)集 R 中，集合A= x |01.AcAc集合的并、交、余運(yùn)算滿足以下法那么。(1)交換律 ， ；(2)結(jié)合律( ) ( ， ( ) (B C )；(4)對(duì)偶律 (A B)c=Ac Bc，(A B )c=Ac Bc.(3)分配律(A B) C=(A C) (B C)， (A B) C=(A C) (B C)；3、區(qū)間和鄰域 區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集，

5、設(shè) a 和 b 都是實(shí)數(shù)，且 a b . 數(shù)集 x|ax b稱為開(kāi)區(qū)間，記作( a, b)，即 (a , b) = x| ax b.a 和 b 稱為開(kāi)區(qū)間(a , b)的端點(diǎn)，這里 a (a , b), b (a , b). 數(shù)集 x| a x b .稱為閉區(qū)間，記作 a , b，即 a , b= x | a x b . a 和 b 也稱為閉區(qū)間a , b的端點(diǎn)，這里a a , b ，b a , b. 類似地可闡明： a , b)= x| a x b , ( a , b = x|ax b. a , b) 和 ( a , b 都稱為半開(kāi)區(qū)間. 以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.數(shù) b a 稱這些區(qū)間的

6、長(zhǎng)度. 類似地可以表示無(wú)限區(qū)間，例 a , + ) = x|x a, ( , b) = x|xy 按這個(gè)規(guī)那么，每一個(gè)x值有無(wú)窮多個(gè)y與之對(duì)應(yīng).函數(shù)定義中對(duì)應(yīng)規(guī)那么要求對(duì)每一個(gè)x值只需一個(gè)確定的y值與之對(duì)應(yīng)，所以此例也不是函數(shù)關(guān)系.xxy2例8 y=x與是不是一樣的函數(shù)關(guān)系?兩個(gè)函數(shù)定義域不同, 因此是不同的函數(shù)關(guān)系.y=x是定義在 的函數(shù)關(guān)系；) (, 那么在x=0處沒(méi)有確定的y值與之對(duì)應(yīng)，其定義域是 ； xxy2), 0()0 ,(x例9 研討y=x與 是不是一樣的函數(shù)關(guān)系.2xy y=x與 都是定義在 上的函數(shù)關(guān)系, 但是對(duì)應(yīng)規(guī)那么不同：2xy )( , 對(duì)于y=x, 當(dāng)x0 時(shí), y0

7、， x0 時(shí)，y0 ；2xy 因此是兩個(gè)不同的函數(shù).)23lg(1 01 的定義域確定函數(shù)例xy) , 1 () 1 , 32( )23lg(1Dxy的定義域?yàn)橛幸饬x要使函數(shù)解)23lg(1 :xy即, 1,32xx123023xx須使21 0 ，的定義域?yàn)楹瘮?shù) y. 2arccos 11的定義域指出例xy 210 2arccos xxy即須使有意義解：要使1202xx2、函數(shù)的幾種特性(1)函數(shù)有界性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集X D.假設(shè)存在數(shù) ，使得 f(x)對(duì)任一 都成立，那么稱函數(shù)f(x)在X上有上界，而 稱為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界.假設(shè)存在數(shù) 使得 K1K1K1,2K2

8、)(Kxf對(duì)任一 都成立，那么稱函數(shù)f ( x)在X上有下界，而 稱為函數(shù)f ( x)在X上的一個(gè)下界.假設(shè)存在數(shù) M ，使得Xx2KXx對(duì)任一 都成立，那么稱函數(shù)f (x)在X上有界。假設(shè)這樣的M不存在，就稱函數(shù)f (x)在X上無(wú)界。Mxf | )(|Xx那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.單調(diào)添加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).(2)函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D .假設(shè)對(duì)于區(qū)間I上恣意兩點(diǎn) 及 ,當(dāng) 時(shí)，恒有 那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)添加的；假設(shè)對(duì)于區(qū)間I上恣意兩點(diǎn) 及 ，當(dāng) 時(shí)，恒有21xx )()(21xfxf1x2x)()(21xfxf1x2x2

9、1xx 單調(diào)添加 單調(diào)添加函數(shù)的圖形是沿x軸正向逐漸上升的單調(diào)減少 單調(diào)減少函數(shù)的圖形是沿x軸正向逐漸下降的是單調(diào)增加的。，在驗(yàn)證函數(shù)例)0(lg 21 xxy0 12 xx證明：設(shè)1212112212lg )(lglg)()(xxxxxxxxxfxf0lg , 1, 0 121212xxxxxx得又由.), 0(lg)(, 0)() (12內(nèi)單調(diào)增加在即xxxfxfxf(3)函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱假設(shè)對(duì)于任一x D, f(-x)=f(x) 恒成立，那么稱f(x)為偶函數(shù)假設(shè)對(duì)于任一x D。 f(-x)=-f(x) 恒成立，那么稱f(x)為奇函數(shù)偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸

10、是對(duì)稱的.由于假設(shè)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f( x)，所以假設(shè)A( x ,f (x) ) 是圖形上的點(diǎn)，那么與它關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn) 也在圖形上.)(,( xfxA 偶函數(shù) 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱的.由于假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，那么f(x)=f( x)，所以假設(shè)A( x ,f (x) )是圖形上的點(diǎn)，那么與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn) 也在圖形上.)(,( xfxA.2 31 24的奇偶性判斷函數(shù)例xxy.2 )()(2)()(2424為偶函數(shù)解：xxyxfxxxf.1 14 的奇偶性判斷例xy .1 )(11)(為奇函數(shù)解：xyxfxxxf.1 15 3的奇偶性判斷例 xy1)( 11)()(

11、:333xxfxxxf既不等于解 .,1 1)( 33也非偶函數(shù)既非奇函數(shù)函數(shù)也不等于xyxxf(4)函數(shù)的周期性： 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈.假設(shè)存在一個(gè)正數(shù) l，使得對(duì)于任一 x D 有 ，且 f (x + l)=f (x) 恒成立，那么稱f (x)為周期函數(shù)，l 稱為f (x)的周期，通常我們說(shuō)周期函數(shù)的周期就是指最小正周期. 2sin 周期函數(shù)，周期為就是例如xy Dlx )( 設(shè)函數(shù) 是單射，那么它存在逆映射 ，稱此映射 為函數(shù)f 的反函數(shù). 按此定義，對(duì)每個(gè) ，有獨(dú)一的 ,使得 f (x)=y，于是有3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)xyf)(1(1)反函數(shù)的概念f1)(:DfDfDDff)

12、(:1)(DfyDx這就是說(shuō)，反函數(shù) 的對(duì)應(yīng)法那么是完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法那么所確定的.f1 函數(shù) y=f(x)，x為自變量，y為因變量，定義域?yàn)镈(f )，值域?yàn)閦(f )； 函數(shù) ，y為自變量，x為因變量，定義域?yàn)?z(f )，值域?yàn)镈(f )；)(1yfx 習(xí)慣上用x表示自變量，用y表示因變量.因此我們將 ，改寫為以x為自變量、以y為因變量的函數(shù)關(guān)系 ，這時(shí)我們說(shuō) 是 y=f(x) 的反函數(shù).)(1yfx)(1xfy)(1xfy.13 16的反函數(shù)求例 xy31)( 13)(:1yyfxxxfy可以求出由解將上式中的x換成y，將y換成x，因此得出y=3x-1的反函數(shù)是 .31xy(2)復(fù)合

13、函數(shù)的概念 設(shè)函數(shù) y=f (u) 的定義域?yàn)?，函數(shù)u=g (x)在D 上有定義，且 ，那么由下式確定的函數(shù) y=f g (x) ，稱為函數(shù) u = g (x) 和函數(shù) y=f (u) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)镈，變量u 稱為中間變量.Dx1D1)(DDg4、函數(shù)的運(yùn)算 設(shè)函數(shù)f (x) , g (x)的定義域依次為 、 ,D= ，可以定義這兩個(gè)函數(shù)的以下運(yùn)算：D1D2.0)(|)()()( xgxDxxgxfxgfgf，：商1D2D;)()()(Dxxgxfxgf， :)(gf 差和;)()()( Dxxgxfxgfgf，：積例17 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?l，l)，證明必存在(l，

14、l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得 f(x)=g(x)+h(x).證：先分析如下：假假設(shè)這樣的g(x)、h(x)存在， 使得 f(x)=g(x)+h(x) (1) 且 g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x) 于是有 f(-x )=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x) (2) 利用(1)、(2)式，就可作出g(x)、h(x).這就啟發(fā)我們作如下證明：),()(21)( ),()(21)( xfxfxhxfxfxg作).()()(21)( ),()()(21)( ),()()( xhxfxfxhxgxfxfxgxfxhxg則5、初等函數(shù)它的定義域隨 而定，但不論 為何值， 在

15、 內(nèi)總有定義，而且圖形經(jīng)過(guò)(1,1)點(diǎn).x)0( ,冪函數(shù)：xy )( 為常數(shù)稱為冪函數(shù),函數(shù)指數(shù)函數(shù):xay 稱為為常數(shù)，且) 1, 0(aaa 函數(shù)指數(shù)函數(shù). 定義域是區(qū)間 ，值域?yàn)?，當(dāng)a1 時(shí)，函數(shù)單調(diào)添加，當(dāng)0a0，又a0=1,所以指數(shù)函數(shù)的圖形總在x軸的上方，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1). y=ax與y=a-x的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱. 定義域?yàn)?，圖形總在x軸的正方向，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0,1). 函數(shù)y=logax (a0， )稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，它是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)：1a)0( , 科技運(yùn)用中常用以常數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)： y=loge x稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)記作 y=lnx 假設(shè)a1，對(duì)數(shù)函數(shù)

16、logax是單調(diào)添加的，在開(kāi)區(qū)間(0,1)函數(shù)值為負(fù)，而在區(qū)間 內(nèi)函數(shù)值為正.)1 ( , 假設(shè)0a1，對(duì)數(shù)函數(shù)logax是單調(diào)減少的，在開(kāi)區(qū)間(0,1)函數(shù)值為正，而在區(qū)間 內(nèi)函數(shù)值為負(fù).)1 ( , 指數(shù)函數(shù)y=ax的圖形與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱.三角函數(shù)：函數(shù) y=sin x稱為正弦函數(shù)；函數(shù) y=cos x稱為余弦函數(shù)； 它們的周期為 ,定義域 ,值域1,1.sin x為奇函數(shù),cos x為偶函數(shù). 2T)(,.1|cos| , 1|sin|它們都是有界函數(shù)， xx 函數(shù) y=tan x稱為正切函數(shù)；函數(shù) y=cot x 稱為余切函數(shù)；周期 , 值域 .),(

17、tan x的定義域?yàn)?, 1, 0(2) 12(nnxTcot x的定義域?yàn)?,(為整數(shù)nnx 正切函數(shù)和余切函數(shù)都是以 為周期的周期函，它們都是奇函數(shù).反三角函數(shù)：函數(shù) arcsin x 稱為反正弦函數(shù)，是sin x 的反函數(shù)； 函數(shù) arccos x 稱為反余弦函數(shù)，是cos x 的反函數(shù)；函數(shù) arccot x 稱為反余切函數(shù)，是cot x 的反函數(shù)；函數(shù) arctan x 稱為反正切函數(shù)，是tan x 的反函數(shù)； 四個(gè)反三角函數(shù)的首字母為大寫，它們都是多值函數(shù).;1 , 1 , , 0 , arccosxyxy 按以下區(qū)間取其一段, 稱為主值分支(單值函數(shù)), 分別記作：;1 , 1

18、, 2,2 ,arcsin xyxy. ),( ), 0( ,arccot xyxy);,( ),2,2( ,arctan xyxy 以上這五種函數(shù)統(tǒng)稱為根本初等函數(shù)。由常數(shù)和根本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限的四那么運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)， 稱為初等函數(shù). 運(yùn)用上常遇到以e為底的指數(shù)函數(shù)y= 和y= 所產(chǎn)生的雙曲函數(shù)以及它們的反函數(shù)反雙曲函數(shù).它們的定義如下：exex雙曲正弦的定義域?yàn)?；它是奇函?shù)，它的圖形經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.在區(qū)間 內(nèi)它是單調(diào)添加的.當(dāng)x的絕對(duì)值很大時(shí)，它的圖形在第一象限內(nèi)接近于曲線 ；在第三象限內(nèi)接近于曲線 .e21xy e21xy),(),(雙曲正弦 sh x= ,2eexx雙曲余弦 ch x=,2eexx雙曲余弦的定義域?yàn)?；它是偶函?shù)，它的圖形經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)且關(guān)于y軸對(duì)稱.在區(qū)間 內(nèi)它是單調(diào)減少的；在區(qū)間 內(nèi)它是單調(diào)添加的.ch 0=1是這函數(shù)的最小值.當(dāng)x的絕對(duì)值很大時(shí)，它的圖形在第一象限內(nèi)接近于曲線 ，在第二象限內(nèi)接近于曲線 .e21xye21xy ),()0 ,(), 0( 雙曲正切 th x= = ,eeeexxxxxxchsh 雙曲正切的定義域?yàn)?，它是奇函數(shù)，它的圖形經(jīng)過(guò)原點(diǎn)對(duì)稱.在區(qū)間 內(nèi)它是單調(diào)添加的.它的圖形夾在y=1和y=1之間；當(dāng)x絕對(duì)值很大時(shí)，