《信號與系統(tǒng)教學(xué)》§2.6 卷積及其性質(zhì)和計(jì)算

1、北京航空航天大學(xué)電子信息學(xué)院2022-1-1信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)一、卷積的定義一、卷積的定義卷積運(yùn)算的定義為，對于函數(shù)卷積運(yùn)算的定義為，對于函數(shù)x(t)和和y(t) ，則，則 ds txy t 稱為函數(shù)稱為函數(shù) x(t)和和y(t)的卷積積分，簡稱卷積。的卷積積分，簡稱卷積。 s tx ty t s tx ty t 通常表示為通常表示為或或一、利用卷積計(jì)算系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)一、利用卷積計(jì)算系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)( )( ) ()de tet 將其激勵一個線性時不變系統(tǒng)，則所得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為將其激勵一個線性時不變系統(tǒng)，則所得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為 ( )r tH e t 對于激勵信號對于激勵信號e(t)，根據(jù)信

2、號的時間軸分解，可得，根據(jù)信號的時間軸分解，可得 deh t H e t表示表示 激勵系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)激勵系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) dHet deHt 卷積的物理意義！一、利用卷積計(jì)算系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)一、利用卷積計(jì)算系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng) e te t u t 實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)多為因果系統(tǒng)，且將激勵作用于系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)多為因果系統(tǒng)，且將激勵作用于系統(tǒng)的時間作為的時間作為0時刻，即時刻，即 h th t u t ( )dr teuh tu t 00 0tt 0dtr teh t 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì) 分配律分配律對于函數(shù)對于函數(shù) 123,ftftft存在存在 1231213f

3、tftftftftftft 根據(jù)卷積的定義根據(jù)卷積的定義 123123dftftftfftft 1213ddfftfft 1213ftftftft 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì) 分配律分配律存在存在 1231213ftftftftftftft 圖2.6.1 卷積分配律的系統(tǒng)意義對于函數(shù)對于函數(shù) 123,ftftft二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì) 交換律交換律對于函數(shù)對于函數(shù) 12,ftft存在存在 1221ftftftft根據(jù)卷積的定義根據(jù)卷積的定義 1212dftftfft 12 dk tftkfkk 令令 21dfkftkk 21ftft 二、

4、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì) 交換律交換律對于函數(shù)對于函數(shù) 12,ftft存在存在 1221ftftftft圖2.6.2 卷積交換律的系統(tǒng)意義二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì) 結(jié)合律結(jié)合律對于函數(shù)對于函數(shù) 123,ftftft存在存在 123123ftftftftftft 根據(jù)卷積的定義根據(jù)卷積的定義 123123ddftftftfkfkk ft 123ddwkfkfw ftkwwk 令令 231ds tftftfk s tkk 令令 1fts t 112323ftftftftftft 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì)一、代數(shù)性質(zhì) 結(jié)合律結(jié)合律對

5、于函數(shù)對于函數(shù) 123,ftftft存在存在 123123ftftftftftft 圖2.6.3 卷積結(jié)合律的系統(tǒng)意義二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)二、微積分性質(zhì)二、微積分性質(zhì) 微分性質(zhì)微分性質(zhì)兩個函數(shù)卷積的微分，等于兩個函數(shù)中任一函數(shù)的微兩個函數(shù)卷積的微分，等于兩個函數(shù)中任一函數(shù)的微分與另一函數(shù)的卷積，即分與另一函數(shù)的卷積，即 1212 stftftftft 由卷積定義由卷積定義， 12ds tfft 兩端對兩端對t微分，得到微分，得到 1212ddddddstffttfftt 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì) 1212ddddddstffttfftt 12ftft 利用卷積的交換律，可得利用卷積

6、的交換律，可得 121212dddd ddd ddstffttftftftft 12ftft 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)二、微積分性質(zhì)二、微積分性質(zhì) 積分性質(zhì)積分性質(zhì)兩個函數(shù)卷積的積分，等于兩個函數(shù)中任一函數(shù)的積兩個函數(shù)卷積的積分，等于兩個函數(shù)中任一函數(shù)的積分與另一函數(shù)的卷積，即分與另一函數(shù)的卷積，即 ( 1)( 1)12( 1)12 stftftftft 將卷積的微分性質(zhì)和積分性質(zhì)加以推廣，可以得到將卷積的微分性質(zhì)和積分性質(zhì)加以推廣，可以得到 ( )()12()( )12 n mnmmns tftftftft 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)注意函數(shù)的積分和微分并不是一個嚴(yán)格的可逆關(guān)系，注意函

7、數(shù)的積分和微分并不是一個嚴(yán)格的可逆關(guān)系，因?yàn)楹瘮?shù)加上任意常數(shù)后的微分與原函數(shù)的微分是相因?yàn)楹瘮?shù)加上任意常數(shù)后的微分與原函數(shù)的微分是相同的。因此，對于等式同的。因此，對于等式 ( 1)1212ftftftft 必須加上一個前提條件，就是必須加上一個前提條件，就是 11dddtfft 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)三、三、(t)的卷積特性的卷積特性 任意信號任意信號f(t)與與(t)的卷積等于該信號的卷積等于該信號f(t) 。 df ttft 推論推論001. ( )()()f tttf tt df t f t 12122. ()()()f ttttf ttt 二、卷積的性質(zhì)二、卷積的性質(zhì)三、三、(

8、t)的卷積特性的卷積特性 (t)的微分和積分特性的微分和積分特性 ( )( )( )( )f ttf tt 111( )( )( )( ) ( )f ttfttft ( )f t ( )dtf 微分特性微分特性積分特性積分特性 1( ) tu t ( )( )( )dtf tu tf 三、卷積的計(jì)算三、卷積的計(jì)算根據(jù)卷積的定義，卷積計(jì)算是由若干基本的信號運(yùn)算組成的，根據(jù)卷積的定義，卷積計(jì)算是由若干基本的信號運(yùn)算組成的，對于對于 12ds tfft 1f 1f 第一步第一步 反褶反褶：將：將反褶運(yùn)算，得到反褶運(yùn)算，得到t 2f 第二步第二步 時移時移：對：對作時移運(yùn)算，時移量為作時移運(yùn)算，時移量為t， 2ft 得到得到 1f 2ft 12fft 第三步第三步 相乘相乘：將：將與與相乘，得到相乘，得到第四步第四步 積分積分：對：對 12fft 進(jìn)行積分運(yùn)算，得到進(jìn)行積分運(yùn)算，得到t時刻卷積。時