隨機(jī)序列及數(shù)字特征

1、1.2.5平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度 平穩(wěn)隨機(jī)序列是無(wú)始無(wú)終序列, 其能量是無(wú)限的, 因此不存在傅氏變換與Z變換. 為此,現(xiàn)考察 , 取下列極限： 當(dāng) 時(shí), 上式表明零均值隨機(jī)序列的 是收斂的, 因此 存在Z變換與傅氏變換.)(mRxx2lim( )limxxnn mmmnn mxRmE xxE xE xm0 xm lim( )0 xxmRm)(mRxx)(mRxx1. Rxx(m)的的z變換及其收斂域變換及其收斂域定義: 正變換: (1.2.32) 逆變換: (1.2.33) 其中, c是一條在收斂域內(nèi)逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)一周的圍線. 考慮到實(shí)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的 具有偶對(duì)稱性, 即:(1.2.34)

2、對(duì)上式進(jìn)行Z變換: ( )( )mxxxxmPzRm z11( )( )2mxxxxcRmPz zdzj( )xxRm( )()xxxxRmRm1( )()xxxxPzPz對(duì)復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程,有1( )xxxxPzPz這說明: 若 是 的一個(gè)極點(diǎn), 則 也是它的極點(diǎn).收斂域收斂域: : （1） , 的收斂域一定包括單位園, 即 ; （2） 是雙邊序列(非因果序列)收斂域應(yīng)為園環(huán)域, 即 .進(jìn)一步, 若 是靠近單位園的園內(nèi)極點(diǎn), 則 便是靠近單位園的園外極點(diǎn),結(jié)論：結(jié)論： 的收斂域有以下形式: ，1zz( )xxPz11zz0 xm0)(limmRxxm( )xxPz0 xm0)(limmRxxm

3、01xR)(mRxxxxRzR|xzR1xzR( )xxPz| 1xxRzR01xR2. 2. RxxRxx( (m m) )的傅氏變換的傅氏變換( (功率譜功率譜)維納維納- -辛欽定理辛欽定理 由于 的收斂域包含單位園, 所以存在傅氏變換. 令 , 代入變換式得到: (1.2.35)(1.2.36)以上二式表示的傅氏變換對(duì), 稱為“維納維納-辛欽定理辛欽定理”.討論討論: :（1） 的物理意義: 由式(1.2.36) , 當(dāng) 時(shí), 得( )xxPzjze()( )( )jjj mxxxxxxz emPePzRm e1( )()2jj mxxxxRmPeed()jxxPe0m（1.2.37)

4、另因當(dāng)均值 時(shí), 有:所以21(0)()2jxxxxnRPedE x2( )( )xxxxxCmRmm0 xm 22(0)xxnxCE x221(0)(0)()2jxxxxxxxnRCPedE x(C) 的平均功率密度，即功率譜密度(B)區(qū)間 內(nèi)的平均功率(A)信號(hào)的平均功率nx解釋解釋: :（A） 或 代表信號(hào)的平均功率;（B） 在區(qū)間 的積分面積等于信號(hào)的平均功率;（C）所以， 即為平穩(wěn)隨機(jī)序列的平均功率密度, 稱為“功率譜密度”. 維納-辛欽定理說明, 是功率函數(shù). 由于 是隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)平均特征量, 所以 是隨機(jī)序列的無(wú)窮多個(gè)樣本序列功率譜密度的集合平均(即統(tǒng)計(jì)平均).（2）功率譜是

5、的實(shí)偶函數(shù) 由 , 可得 2nE x2x()jxxPe()jxxPe)(mRxx)(mRxx()jxxPe1( )()xxxxPzPz()()jjxxxxPePe或表示為 (1.2.38)（3）功率譜是實(shí)的非負(fù)函數(shù)(證明從略), 即:(1.2.39)（4） 與 的互功率譜密度:(1.2.40)(1.2.41)且有(1.2.42)( )()xxxxPP( )0 xxP)(nX)(nY()()jmxyxymPRm e1()( )2j mxyxyRmPed( )()xyyxPP1.2.6 隨機(jī)序列的各態(tài)歷經(jīng)性1.1.有限集合平均有限集合平均 在有限個(gè)樣本序列中, 對(duì)同一個(gè)特定時(shí)刻的所有觀察值求算術(shù)平

6、均: (1.2.43) 對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)序列, 若選擇兩個(gè)時(shí)刻 和 , 則有(1.2.44) 1( )xNmx nN個(gè)樣本序列nmn 1( ) ( ) ()xxNRmx n x nmN個(gè)樣本序列2.2.統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均 當(dāng)樣本序列為無(wú)窮多個(gè)集合時(shí), 上述集合平均的極限即為統(tǒng)計(jì)平均:(1.2.45)(1.2.46)3.3.時(shí)間平均時(shí)間平均 對(duì)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列 的一個(gè)實(shí)現(xiàn)的特定樣本曲線 , 對(duì)各個(gè)時(shí)刻的值求平均, 且當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí), 得到: 時(shí)間平均值:(1.2.47) 1lim( )xNNmx nN1( )lim ( ) ()xxNNRmx n x n mN( )X n( )x n1( )lim(

7、)21NNnNx nx nN若不具備務(wù)態(tài)歷經(jīng)性, 該式不能與式(1.2.29)等同.時(shí)間自相關(guān)函數(shù): (1.2.48)4.4.各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性（1）各態(tài)歷經(jīng)性的必要條件: 隨機(jī)序列必須是平穩(wěn)的, 即概率分布不隨時(shí)間變化. 這時(shí), 假設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)序列的每個(gè)實(shí)現(xiàn)都同樣經(jīng)歷了過程中的各種可能的狀態(tài), 則其中任何一個(gè)實(shí)現(xiàn), 都可以充當(dāng)具有充分代表性的樣本, 于是(1.2.49) (1.2.50)上述性質(zhì)即稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”. 1( ) ()lim( ) ()21NNnNx n x nmx n x nmN此式適用于實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列.( ) ( )xx nE x nm( ) () ( ) ()( )xxx

8、 n x n mE x n x n mRm（2）各態(tài)歷經(jīng)性假設(shè): 若一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)的, 則其集合平均等于一個(gè)樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的平均值. 這種假設(shè)的好處是: a) 時(shí)間平均只需要一部測(cè)試設(shè)備即可. 為使樣本完整, 一個(gè)觀察者的測(cè)試時(shí)間必需足夠長(zhǎng); b) 可將統(tǒng)計(jì)平均轉(zhuǎn)化為時(shí)間平均, 計(jì)算方法簡(jiǎn)單, 特別適合于用計(jì)算機(jī)求平均. 實(shí)際中遇到的平穩(wěn)隨機(jī)序列，一般都是各態(tài)歷經(jīng)的。實(shí)際中遇到的平穩(wěn)隨機(jī)序列，一般都是各態(tài)歷經(jīng)的。注意注意: : 實(shí)際測(cè)量只能得到平穩(wěn)序列一個(gè)樣本 的有限長(zhǎng)時(shí)段, 因此, 只能得到統(tǒng)計(jì)均值的估計(jì)值:( )x n1( )( )21NxNnNmx nx nN1( )

9、( ) ()( ) ()21NxxNnNRmx n x n mx n x n mN1.2.71.2.7常見的隨機(jī)序列常見的隨機(jī)序列1.1.純隨機(jī)信號(hào)純隨機(jī)信號(hào)( (零階馬爾柯夫信號(hào)零階馬爾柯夫信號(hào)) ) 純隨機(jī)信號(hào)又稱零階馬爾柯夫信號(hào)。主要特性如下： (1)所有的隨機(jī)變量互相獨(dú)立, 有相同的概率密度函數(shù). (2)純隨機(jī)信號(hào)是平穩(wěn)的 均值為零: 各隨機(jī)變量方差相同: (1.2.51) 自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān), 只決定于時(shí)間差：(1.2.52) (3)純隨機(jī)信號(hào)是無(wú)記憶的 理由: 純隨機(jī)信號(hào)的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)(1.2.53)0nxE22(0)nxxxE xR2( )( )xxn knxRkE

10、 xxk 11(,)() ()nnnnp xxp xp x 條件密度函數(shù) (1.2.54) 由以上二式可以看出, 取值不受 的影響, 因而是無(wú)記憶的. 對(duì)一階馬爾柯夫信號(hào), 只受前一個(gè)取樣值 的影響, 因而有 (1.2.55) 可見, 一階馬爾柯夫信號(hào)的記憶能力可維持一個(gè)取樣間隔.2. 2. 白噪聲序列白噪聲序列 白噪聲序列 的隨機(jī)變量?jī)蓛苫ゲ幌嚓P(guān), 可表示為 (1.2.56)式中1()()nnnp xxp xnx1nxnx1nx12101(,)()nnnnnp xxxx xp xx( )w n2,( ,)nw wwmnCn m 1,0,mnm nm n 對(duì)于平穩(wěn)白噪聲序列, 進(jìn)一步有(1.2

11、.57) 式中, 為常數(shù). 假設(shè)其均值 , 則功率譜 , 說明在整個(gè)頻帶內(nèi)功率譜是一個(gè)常數(shù). 白噪聲是隨機(jī)性最強(qiáng)的隨機(jī)序列. 理想的白噪聲序列是不存在的. 當(dāng)信號(hào)帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬, 且在系統(tǒng)帶寬內(nèi)信號(hào)頻譜基本恒定, 就可近似為白噪聲序列.3.3.正態(tài)正態(tài)( (高斯高斯) )隨機(jī)序列隨機(jī)序列 正態(tài)隨機(jī)序列 的 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 (1.2.58) 式中:2,( ,)w wmnCn m 20wm2()jxxPe)(nxNT1121 21 211( ,)exp() (var ) ()2(2 )|var|Np x xxx mxx mx 隨機(jī)矢量 均值矢量; 方差矩陣; 隨機(jī)變量 的方差; 與 的互

12、協(xié)方差. T12,NxxxxT12,Nmmmm11 212 12212222222222varNNNNNxx xx xx xxx xx xx xxx22() nnxnxE xm2cov(,)() ()nmnmx xnmnxmxxxE xmxmnxnxmx 高斯高斯- -馬爾柯夫過程馬爾柯夫過程: : 具有指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程, 是一種常見的隨機(jī)信號(hào). 其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)分別為:(1.2.59)(1.2.60) 由上式可見, 當(dāng) 時(shí), , 均值 . 4.4.諧波過程諧波過程 諧波過程, 是由下式描述的隨機(jī)序列:(1.2.61) 式中, 振幅 和角頻率 是常數(shù); 相位 為獨(dú)立隨機(jī)變量, 服從均勻分布, 其概率密度可表示為:(1.2.62)2| |( )mxxRme2222()jxxPe m0)(mRxx0 xm1( )cos()Niiiix nAniAi), 2 , 1(Nii), 2 , 1(Ni1()2ipi諧波過程是平穩(wěn)隨機(jī)序列諧波過程是平穩(wěn)隨機(jī)序列, 說明如下: 設(shè) , 則 (1.2.63) 上式的均值為 (1.2.64) 自相關(guān)函數(shù)為1N( )cos()x nAn ( )cos()02AE x nnd22( ,) ( ) ()cos()cos ()2cos(2)