第四版_微分幾何_第一二章課后答案全

1、微分幾何主要習(xí)題解答第一章習(xí)題1.12證明忠勤卜系（志尸）-）ri 1 “八= -7（7）r（f）+nr（f）* Teo *3 證明：設(shè)rQ）在口 修上定義.且對(duì)于任一士wm有 /（）= %則“E）是，以上的常向量.因此在（口澤）上有任意階 微商,且都是心即/）=/（/）=/ T （工）=0 T于是r（f + X）有泰勒展開(kāi)式；50r(/ + A = r(7) + Arr (/) +八)+ +() “)+ n!=r(f) + ()*/ + JyO*(Af)J +十 七(Af)，0 + 2!n !=，所以在Z的鄰域中rQ)是常向量一考慮到，wl八打的任意性，則,3)在口*上是常向量.94 證明：

2、必要性 設(shè)r(，)= A(F)(作為常單位向量)，則 r(E)= Af(t)e.所以，(/)* r(f) = 0.充分性設(shè)二XDMfMeC)為單位向量函數(shù)八則 O = T(+ JL (), r(/) X rJ(r) = A2(z)e(/) X ey(t) J.因?yàn)閞(t)#0,于是Xf#0當(dāng)Nf)X/(f)=0,從而有 f (r) x /(r) = 0.即-)，U)因?yàn)椤)J_C)(根據(jù)八。| =1),因此，(Q =0即“f)為常向量.所以r(r) = A(t)(/)府固定方向.5證明：必要性 設(shè)固定平面的單位法向量為用.依愿意r(f)n,M，)* =0.從而r 1 一) f = 0, rv

3、( r) - n = Q.r(D,/(r),r(r)均與 垂直,所以()*/(/),/(f) = 0.充分性 由已知，共面.若r(z) X /(八三0,則由Nf)K0可知r()有固定方向(上題八所以,(f)平行于同 定平面.若 尸)乂/()六。，則由，(,/()“()共方可知r（）= a（）r（$ p（r）f,7 t）,記則/（t） =，（E）Xr*（F）=M（r）r（E）x/（f）=*（r）n（r）.從而有（上）=0 ,但 H#0.因此）有固定方向（1_題）.又所以r（f）平行于 固定平面.習(xí)題 1421 由,（/） - ! - sin r Tcos，E 得r （t ） I = 二 sin

4、工廠十（oo f T + 1 =聲聲Q、 所以曲線是正則曲線.人 COB f = 1 .令. 八解出，=0,則對(duì)應(yīng)于點(diǎn)（1,0#）有=0,所以（sin =0,r，（0）=|0,1JI,則曲線在（L0Q）點(diǎn)（即f=Q點(diǎn)）的切線方程為或p = *r + Ae2 + Ae3.法面方程為(” r(0)T；(0)=0, 即(工一】)0+(竽-0)1 +(- 0)1=0,丁 + z = 0.2r(i)= iat tct3lrf(t)- |0,24，3cJ L 所以，切線方程為p- r(t0) =法面方程為=0,仍人)】(、2(x ) * t2 十(第一63 2加u T (工 C?0 ) - 3ctnajc

5、 + 2加。丫 +q 之(a2 /( + 262 f J + 3c Z() = 0,5因?yàn)椋?8) = ； 一以 sin 6, ocas 6,61，取h軸上的單位向最 的=|0,0|，則= . sin 3*0 + a cos Q 0 + Z 1( - asin + (acos tf)1 + 67*1=Vr=常數(shù)JM + 即，與白的夾角不隨0的變化而變化，因之曲線的切線與z軸作 固定角.D ）； 12 r i t ,acosh ,0| ,aN.從rxO算起的弧長(zhǎng)為：，（f ）=cosh di c acoshi/dwa sinh .13 ，曲線(C)的方程為y = 6工它的向量套數(shù)表示為二r =

6、i 工 + 6r, 01 ,r = i 1 p 2 101 J r | =4/浦.對(duì)應(yīng)于-。*工石也一段的弧長(zhǎng)為士Z(x) = j yfl + 4b2 P d J=2 J；萬(wàn)。-1 =石 J y i + u1 d u二1.J 1不M +/Mu +八+涓).=a Jl + 4十 Jln(2白b +H r = | acorj z, i$inJ z ,01,rf - 3 & cos l sin l .3q sb? f cos t0 ! I r 1 = | 3asin teas t = 3口 I sin fees f | .Z( t)工 Basin fcos zdr=3a sin /d(sin f)

7、032 j 9=丁&sin t_ 315 r = lfl(/-sin - cos r) .0 I , a 0 f/ = ! a (1 - cos t) , asin / ,0 I fI r | (1 - cos F )工(口 (n )= 2j sin 與，對(duì)應(yīng)0&1V2一段的弧長(zhǎng)為： 產(chǎn)tI 2a sin 虧 d上h4a sin uduJo二 81.16 曲線與xOy平面相交時(shí)，？=0,即4”=0,得r = 13。cos t ,3asin t Aat!,r = I i 3asin t t3acos t ,4a j ,I r I = V9o2 + 16a2 =5at則,弧長(zhǎng)，1( i) = Sa

8、dt = 5at.Jo17曲線與兩平面交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為” = %i = 3q,取* 為參數(shù)，曲線的方程為,=卜寸卜, 1 1 / 程 2 I,r 仁一一. 2歲2所以,二與注. Jd Za jc=1+生辰=”,24 r = a cos f , n sin .4 | , f - a sin t * a cos f, 6 I .He） = L J1 4-df = y a2 -b b21 . 則二;，代人原方程，得S, J ,5r = & cos -, a sin一 一丁 , b 4a + b1 + 7II -Fli II.fa. X. * I* 27 由于工=工（&）=戶（6）cos J, y-

9、y（0） = p（8）sin 8. 所以 r = I p （ GJcofi，p = 4 ( ro *.主法線的方程為：(R - r)=0nX - a cos t Y - dsin t Z - bl即-= 一= 一齊一 -oc)s t 一 stn t U又工粕的方程為：X _Y _Z對(duì)任意人有小“/二-c(jfi ,0 + ( sin )，0 + 0T = 0.即主法線與z軸垂直.又由于點(diǎn)(0,0.加)即在主法線上，又在w 軸上，故主法線與之軸垂直相交于(0,0.血).4 解：尸二| co!? trona I jCOfi a sin t /sin a , r = 1 - cos astn t c

10、os a cos 1 f sin a I t r = .1 - oos a cos t f - cos a sin / t0 ;,r X r = sin a cob q與 in (, * sin a cos atcos t Pcoa2a ), I r x rJJ | = cos a .所以 y = I sin usin * 一 sin aeon t ,8s a1 * 新曲線的方程為：r = r + y| cos a cos t + sin t ,oos asin t - sin ex cos t, 工而n a + ocw a :| cos( i a) tsm( / - a ) t fsin a

11、 + cos n | zr = I - sjn( f at) * dos( X n ), sin a 1 .r=as( E 壁)，一 期n(土 一 0)，0 | .新曲線密切平面的方程為X 二 COS( f - er)? 1 sin( Z a ) Z (2 &in a + cos a )h 0.一 sin( t - a) cos(L q)sin a-oqs( t - a)- 31 n( f - a )0展開(kāi)整理得sin trsin(f - o) X - sin acos(t 一 o) 丫十Z (f sin。+ cos a ) h 0 .5證明：設(shè)球面的半徑為R,球心在原點(diǎn).球面曲線的方程 為則

12、r * r = 0.曲線的法平面方程為p - r(s) *r(j) =0.即p(s)*r(j) =0, 它通過(guò)原點(diǎn)，即通過(guò)球心.6 證明：因?yàn)閞=| & cos f , a sin E ,瓦卜， rJ 1 a sin t tacos r, 61, r = I _ a cos 19 a sin / . 01, r X r = I ufisin / , - abcos / t a2 L 所以副法線的方向向量為Ibsin九-58s上，過(guò)原點(diǎn)且平行于 副法線的直線方程為n = A6sin t y= - Xboas t r = aA即得U，+J) = 6%.7 (1)因?yàn)椋?( cosh r , a s

13、inh f . 口 I , r = I sinh a & cosh f, a I, r = I a cosh t f a sinh .0, r X / 二 I 一 &inh r, 1 8ah 工.一g”| r x r* 1 =/2aJcosh t, /*= I asinh t, a cosh Z ,0! r (/* k _3r t r , r ) = a 所以2acoJ77 2acosh2/(2)因?yàn)?r = |a(3z - r3) t3a/2 a(3r + ) I P r =, 60f ,3a (1 + x3 ) | r r，= I - 6at 6(z ,6aH J* / = |182(J

14、1),36a工.18qN(+ 1)1.lrx11 = 18V？2(1 + 尸=I - 6a ,0.6。| .(/,/*) =216a 所以元TfTiT.3i +j產(chǎn)8 解：因?yàn)?r = I cos t. sin11, cos11 I / = | - 3cos t .3sin t , - 2sin /oos t,rv 13cos t ( 3sin，- 1) ,3sin / (3cos E - 1) , 4cos 2f I r X / =所n，21 cos t. sin f t -.I r =5lsin /cos fl ,I，x r*| 二竽sin*2工=15sin* l + cos11 .r=

15、l3sin f (9COS1 f - 2) ,3cos / (2 - 9sint ) ,8sin 2t ), (r, r*, r*) = 36s，inJ rcos3 r.所以，曲率入撓率分別為._ r* X f* _ 15sin21 + cos21 _3I rf 5 (5fsin Icjos t7r 251 fin fcos t *(1)當(dāng)寓時(shí).i stn Foos 11 = sin toos t.這時(shí)3, 3_ -ycos / . -sin t I sin t Tcna f10 ,I 44 .了cos r - ysin t +4S(2)當(dāng)方9y = - I sin r ,cos r .0 I

16、 = I - uin，一 cos e +0LI 44Y - -j-cos . -ysin ( ,0 下面驗(yàn)證伏雷內(nèi)公式：由F時(shí)，由于(1)= I r I = 5 I sin l cos E I ,當(dāng)0 、A a(j) = A(s)a+ Xkf.但口，線性無(wú)關(guān)，從而A - 1 f Ak = 0 s又久壬U,所以*=0,即(C)是直線.證法二根據(jù)已知,有r(s) -Ruxa(j)=0“玉、口* (e) -/、卵=0.0化)一曜x的=0.但（否則，（）（$） - %） 丸由已知得出（，（萬(wàn)）-*于是“（$）-凡）三0,即八$）三公,從面所給的曲線退魴為一點(diǎn)，得 出矛盾），所以即曲線（C）是直線.證法

17、三 設(shè)所給曲線為（C）”=r（f）,則由已知有 r（t） - % =入（ ）/（）, f C） X（）rC）十 乂工）/（）.于是/x/ = O,所以即曲線（C）是直線.10證法一 設(shè)曲線（C）r（r）,定點(diǎn)向徑為 凡，據(jù)已知 條件（E） -均）在密切平而上，故（r（E）一& =/） = 0.（ * ）（I）若有兩個(gè)共線，則分別有下列結(jié)果：若（-%）尸則據(jù)上題結(jié)愴，（C）是直戰(zhàn)；或r，r=則/x/ = O ，及=d曲線（C）是直線；若“一 號(hào)）/，設(shè)，兩邊對(duì)求尚商工即 /*,產(chǎn)共而.故（,產(chǎn)）=0.故則（C）是平面曲線.（2）若兩兩不共線,則在（* ）式兩邊對(duì)求微 商:（L 舅。/.），=0,

18、即（/,/,，）+ （r -凡，/） + （r 凡=0.但前兩項(xiàng)為0,所以（r - Kolrr） = 0.由于上式與（* 式同時(shí)成立，所以，二不共面1即）=0.故曲線（C）是平面曲線.證法二設(shè)曲線【（?） =，（$,依已知條件- R*），y（C = 0, 兩邊對(duì)$求微商；。,y喟）=0.所以r（r-Ro）-p = 0.（0若二0,則（C）是平面曲線若（r-&）p = O,兩邊對(duì)5求微航4） = 0.所以（尸一原0），（近（1）+ ，一及0），丁,三。,根據(jù)已知條件（聯(lián)發(fā)）式，后一項(xiàng)為0,所以i（r - Ho ）- = （）.但由所設(shè)（r%）_Lf.（r-仆）_Ly,所以（L K0） 4 0 ,

19、故（L4卜口HO,從而* = o,曲線（G是直線，11例眶中已給出解答.12 證明：設(shè)曲線（C二5）的曲率大=E覘F/0,則其曲 率中心的軌跡為C）“* =）+ 加$）,Ai.上式兩邊對(duì)曲線（C）的自然參數(shù)求徵商，得:*）+（同券，13 證明：因?yàn)?r 士 11 +32+21,2-2/ + 5/,1-”.r |3 + 4r P -2 + 10f, - 22|,1 I4J0.-2L=0從而E = 即曲線是平而曲線.令 = 0,則得 r(0) = 11,2,11,r，0)=l3,-2,0L作為平面曲線.它所在的平面即是它的密切平面,其方程為t - 1 y = 2 z - I 3-20=0.410-

20、2即2E + 3丁+19之-27 =。.14證法一 設(shè)曲線r：門(mén)=I (”)，口 ：6二r2(力).因?yàn)? %.從而a, = 4 ,于是, d01d$?. = + i1 -心七.c , _ d$iM 4 a -七人再于是有工Y) fJasi_ d5 二 rrd7r,即 a 人井ElkTTT因?yàn)?Q.人從而 O* = 九上式兩邊對(duì)一求導(dǎo)，得k* fl* = rfl所以d d$ * 因此，艮瓦.即n,匚在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線平行.又叫叫,所以 九了工，即A、G在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的副法線平行.證法二因?yàn)閒fj x a2 =0,所以*必工 44 x% + 6 X%匹=。，于是有Ai 乂。 +x kJ?從而土 M兒x

21、。i 士，?一 次人= 0 (根據(jù)叫= a 1) .因此力力*又由于窯工明,所以艮跖.15證明；因?yàn)榈腁,于是七_(dá)1孰._1_的.從而3M喉=0.所以叫%為常數(shù)，即M與叫作固定角.16證明：設(shè)曲線“ = r(Q曲線Nr* =/ (/).在，(。的主法線與了在r* (J )的副法線聿合，則r*(r )=r(s) + A(J)/l(s).于是有；= r + A。+ 期，1 -= & + 力(一行cr + ry).因?yàn)?，Y，于是力_La，,0_L。,.上式兩邊點(diǎn)乘再可得1=0.從而A是常數(shù).設(shè)a=編.則上式兩邊對(duì)$求微商，可得+ CT = （1 - M氏） a + *（1 A KA）/ 十（Aqt）

22、 /-Ara/J.上式兩邊點(diǎn)乘隊(duì)可得出（1_入4）_入0=0*4 = 20（由 +，）.17 解因?yàn)?r= %(-sin1 一 cos t) , usin l, - 2 a sina sin , a co f * * n cos，Xt= - 2 a %in* g當(dāng)多=* * ，即 t =ir + 2nit= (2rt + l)x 時(shí)，g = p 最大. -jK-IC 18解t因?yàn)閞(s)在打點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式，(“+$) =，( 5。)+ i(Sn)As + Xr (s0 ) 十 芟 ,苗1( %)+ 看(50,$)($ )3, 于是尸(0+ $) - r($o )=。2)“沁)3)，+春+包用口

23、(跖)+5() +鼠舟)。(%) +0(%)，(%) +叼（“ ） 7 （$0 ） J=-g-e, （s ）（$），tf（Jo） +1/Sv y十年（）&），十1/（與）3s ,（與）+| 上0番/&）3 +（與）（A5 y （“）.設(shè)ztxty分別是r （“十$ ）點(diǎn)列/ （與）點(diǎn)的密切平面、法平 面、從切平面的距隅，則I=I ，（$十65）（$。）口（9）I=產(chǎn)一卷長(zhǎng)（&八：5（M）如對(duì).3 =1 1（% +加）- ”曲）f （團(tuán)）I=去4（ %），*）* 十去， 2，宅=1”（與+）-，（），（與）1= 耳上。寸口（$ ），4 事（$.）（ Ai ） ,當(dāng)Asf。時(shí)，QfO,即J（5），

24、與（電）.門(mén)（J0）一。所以,若 攵工0,則以上三個(gè)距離的近似值分別為x=f | Aj | ,衛(wèi)山。（&s y I 二立 $ ”.a=9若% =0/（% ）R0.則近似距離分別為產(chǎn).（物）3 =y| J（3,）| I Asi1.r0( As J1JA-第二章 1曲面的概念1 .求正螺面r = u cosv ,u sin v, bv 的坐標(biāo)曲線.解 u-曲線為：=u cosv0 ,u sinv0,bv 0 = 0,0,bv0+u cosv0, sin v0,0, 為曲線的直母線；v-曲線為：= u0 cosv, u0 sin v ,bv 為圓柱螺線.2 .證明雙曲拋物面,=a (u+v) , b

25、 (u-v) ,2uv的坐標(biāo)曲線就是它的直 母線。證 u-曲線為：= a (u+v0) , b (u-v0) ,2u v0= av0, bv0,0+ ua,b,2 v0表示過(guò)點(diǎn) a v0, b v0,0以a,b,2 v。為方向向量的直線；v-曲線為 r = a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u v = au, bu0 ,0 +va,-b,2 u表示過(guò)點(diǎn)(au, b u0 ,0)以a,-b,2 u0為方向向量的直線。3.求球面r=acos3sinQacos3sinQasin3上任意點(diǎn)的切平面和法線方程。解 rg=-asin S cosQ-asin S sin Q a co

26、sS , 中二-a cosS sin Q a cosS cosQ0x-acosScos中 yacossin 中 z asin&任意點(diǎn)的切平面方程為-a sin 3 cos*- a sin S sin*acos& =0 acos&sin 中acoscos中0；z - a sin:osin ：即 xcos ：cos : + ycos ：sin : + zsin ： - a = 0法線方程為x - a cos、： cos ： y - a cos、： sin :cos： cos :cos： sin :224.求橢圓柱面x2 +4=1在任意點(diǎn)的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此 a b曲面只有一個(gè)切平

27、面 。22解橢圓柱面與+與=1的參數(shù)方程為x = cos 3, y = asin G, z = t ,a bj - -asin ：,bcos ：,0,rt =0,0,1。所以切平面方程為:x-acos；： y-bsin；：0 = 0 ,即 x bcos & + y asin a b = 0-asin、：bcos、：00此方程與t無(wú)關(guān)，對(duì)于&的每一確定的值，確定唯一一個(gè)切平面，而 &的每一數(shù)值 對(duì)應(yīng)一條直母線，說(shuō)明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面。35 .證明曲面廠= u,v,a-的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常 uv數(shù)。3rU =1,0,3,u v3rv =0,1, -ay。

28、切平面方程為:uv與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2)uv于是，四面體的體積為:3V =13u 131V13a-=9a3 是常數(shù)。6 |uv| 2 2曲面的第一基本形式1 .求雙曲拋物面；=a (u+v) , b (u-v) ,2uv的第一基本形式 解ru =a, b,2v, rv =a,b,2u, E =ru2 =a2b24v2,F -ru rv=a2 -b24uv,G =rv2 =a2b24u2,錯(cuò) 誤！ 未 找 到引 用 源，(a2 +b2 +4v2)du2 +2(a2 -b2 +4uv)dudv + (a2 +b2 +4u2)dv2。2 .求正螺

29、面：= ucosv ,u sin v, bv 的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互 相垂直。解r：=cosv,sinv,0,rvv=-usin v,ucosv, b ,E = 2=1, F =rUrV =0 ,G=rv2=u2 +b2,錯(cuò)誤！未找到引用源。=du2+(u2+b2)dv2,二飛:。， 坐標(biāo)曲線互相垂直。3 .在第一基本形式為 錯(cuò)誤！未找到引用源。=du2 + sinh2 udv2的曲面上， 求方程為u = V的曲線的弧長(zhǎng)。解 由條件ds2 = du2 +sinh 2 udv2,沿曲線u = v 有du=dv ,將其代入ds2得ds2 = du2 +sinh2 udv2 = cosh2

30、 vdv2 , ds = coshvdv , 在曲線 u = v 上，從 v1 至Uv2的N2弧長(zhǎng)為 | coshvdv|=|sinh v2 -sinh v1 |。 vi4 .設(shè)曲面的第一基本形式為 錯(cuò)誤！未找到引用源。=du2+(u2+a2)dv2,求 它上面兩條曲線u + v = 0 ,u - v = 0的交角。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變 量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類(lèi)基本量 E=1, Fv = 0 , G = u2 + a2 , 曲線u + v = 0與u - v = 0的交點(diǎn)為u = 0

31、, v = 0,交點(diǎn)處的第一類(lèi)基本量為 E = 1 ,Fv =0 , G =a2。曲線u + v = 0 的方向?yàn)閐u = -dv , u - v = 0 的方向?yàn)? u= 6 v ,設(shè)兩曲線的夾角為邛，則有2Edu u Gdv u1 - acos 中=一二。Edu2 Gdv2 v E u2 G v21 a5 .求曲面z = axy上坐標(biāo)曲線x = x ,y = yO的交角.解 曲面的向量表示為：=x,y,axy, 坐標(biāo)曲線x = x0的向量表示為?= Xo，y,ax 0y ,其切向量=0 , 1, ax。;坐標(biāo)曲線y = y0的向量表示為；=x ,V。,ax y。,其切向量rx=1 , 0,

32、 ay。,設(shè)兩曲線x = x。與y = y。的夾角為中,則2rx ry _a xoy。1rx 11ry |1 a2x； 1 a2 y。26 .求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解 對(duì)于u-曲線dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向?yàn)? u: 6 v ,則有Edu6 u + F(du 6 v + dv 6 u)+ G d v 6 v = 0,將 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲線的 正交軌線的微分方程為E6 u + F 6V =。.同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為 F6u + G 6V =。.7 .在曲面上一點(diǎn)，含du ,dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2=0,確

33、定兩個(gè)切方向(du : dv)和(6u : 6v),證明這兩個(gè)方向垂直的充要條件是 ER-2FQ+ GP=0.證明 因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv#。,則所給二次方程可寫(xiě)成為P(曲)2 + dvdudu u du u R du u 2Q2Q+ R=0，設(shè)其一根鼠，.， 貝嘉=5， + = -錯(cuò)誤！未找至1引用源。又根據(jù)二方向垂直的條件知 E也 加+ F( + 6u )+ G =。錯(cuò)誤！ dv v dv v未找到引用源。將錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。則得ER - 2FQ + GP =。.8 .證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2 =Gdv2.證 用分別用6、6*

34、、d表示沿u曲線，v曲線及其二等分角線的微分符號(hào)，即沿u曲線6u# 0, 6v=0,沿v 曲線6u=0, a*v手0 .沿二等分 角軌線方向?yàn)閐u:dv ,根據(jù)題設(shè)條件，又交角公式得(Edu v Fdv u)2 (Fdu、v Gdv、v)2 (Edu Fdv)2 _ (Fdu Gdv)222.222E、u2ds2G、v2ds2EG展開(kāi)并化簡(jiǎn)得E(EG-F2)du2=G(EG-F2) dv2,而EG-F20,消去EG-F2得坐標(biāo)曲線 的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.9 .設(shè)曲面的第一基本形式為 錯(cuò)誤！未找到引 用源。=du2 + (u2 + a2)dv2,求曲面上三條曲線 u = 土

35、 av, v =1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。曲 線圍城的三角形的面積是01a1S= !1, 0 3 2幾)之間可建立等距映射 9 =arctgu + v , t=Ju2 + 1 .分析 根據(jù)等距對(duì)應(yīng)的充分條件，要證以上兩曲面可建立等距映射3 = arctgu+ v , t=Ju2 +1,可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù)，然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為 錯(cuò)誤！未找到引用源。=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2,2旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為 錯(cuò)誤！未找到引用源。=(1+”)d

36、t2 +t2d&，在旋轉(zhuǎn) t2 -1曲面上作一參數(shù)變換=arctgu + v , t=4u2+1 ,則其第一基本形式為：22u 1 u 2212(12 ) 2 du2 (u2 1)(2 du dv)2u u 11 u=(u-2+1)du2+1du 2 +2dudv + (u2 + 1)dv2 =2 du2+2 dudv+( u2+1) dv2 =錯(cuò) u1 u誤！未找到引用源。所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射& =arctgu + v , t = Uu2 +1 . 3曲面的第二基本形式1 .計(jì)算懸鏈面7 =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式，第二基本形式.解 ru =sin