煤炭協(xié)會網(wǎng)絡(luò)課程《誤差理論與測量平差》復(fù)習(xí)題

1、實(shí)用煤炭協(xié)會網(wǎng)絡(luò)課程誤差理論與測量平差復(fù)習(xí)題、寫出五種衡量精度指標(biāo)的名稱，并指出他們之間的關(guān)系是什么?文檔答：五種衡量精度指標(biāo)的名稱：方差2或中誤差相對誤差和極限誤差;2關(guān)系：方差2m 觀測值大小i ,一,極限誤差=2 或3K二、已知獨(dú)立觀測值Li、L2的中誤差分別為2,求下列函數(shù)的中誤差:(1)x 2Li 3L2；(2) x3LiL2；(3)sin L1ocos( LiL2)解(i) x 2Li 3L2= 2L2KL0,利用協(xié)方差轉(zhuǎn)播公式:KLKo,則,DxxKD LL K Ti29 22則，x4 i29 223LiL2,此式是非線性形式，需要線性化,對上式求全微分得:dx3L2)o dLi

2、(3Li)o dL2 (Li 3L2)o(3Li)odL.KdL dL2因此，Dxx利用協(xié)方差轉(zhuǎn)播公式:因此，Dxxx (L 3L2)0 ( 3bl)0(Li2(3L2)03Li)o_22_2(L 3L2)2 i 9L則,(L_22_：3L2)2 i 9L得:dx(3)sin Licos( L1L2),此式是非線性形式,需要線性化，對上式求全微分cosLicos(Li L2)sinL1sin(L1L2)cos2 (Li L2)dLisin Lisin( LiL2)"cos2 (Li L2)0dL2sinL1sin(L L2)2cosLi cos(Li L2) sinLisin(Li

3、L2)22coJ (Li L2)"co52(Li L2) "i三、若要在兩堅(jiān)強(qiáng)點(diǎn)間布設(shè)一條附合水準(zhǔn)路線，已知每公里觀測中誤差等于5.0mm,欲使平差后線路中點(diǎn)高程中誤差不大于10.0mm,問該路線長度最多可達(dá)幾公里?凸解 設(shè)路線總長S公里，按照測量學(xué)上的附合路線計(jì)算步驟，則路線閉合差fhHa h1 h2HB由于是路線中點(diǎn)，故ViV22fh1 ,，2 H Ah1 h2Hb則線路中點(diǎn)高程Hah1V1Hahiih12h21h2h1h22hbHa Hb ,此步的目的是將線路中點(diǎn)的高程化成觀測值函數(shù)設(shè)每公里高差觀測中誤差為h1 h2 ( S / 2)0按誤差傳播定律2 9, H?中點(diǎn)

4、2 h1002 h214142 h1h1四、(.s/25)2(s/2(. s/2設(shè)P1點(diǎn)及P2點(diǎn)的坐標(biāo)為:X1Y11000.00m1000.00mX2丫2(cm) 2試求坐標(biāo)差函數(shù)X20)25)2( s/2 0)225S 仙 101800.00m1500.00mX1與 Y Y2S 16(km)向量X1,Y,X2,Y2 T的協(xié)方差陣為:Y1的方差協(xié)方差陣;實(shí)用文解：XX2X1X1Y1X2Y2則坐標(biāo)差函數(shù)Y2Y1X2Y2X1Y1X2Y2X1Y1X1Y1X2Y2X2Xi與Y2Y1 的方差協(xié)方差陣：DXXDYXDXYDYY(cm)234 11五、有三角網(wǎng)(如圖1 ) ，其中 B 、 C 為已知點(diǎn)，A、

5、D 、 E 為待定點(diǎn)，觀測角Li ( i =1 , 2,，10)。試寫條件方程式并對非線性的條件方程進(jìn)行線性化;實(shí)用圖1解：本題，觀測值個數(shù)為 10個，必要觀測個數(shù)是 6個（3個未知點(diǎn)），可以列4個條件，分別為2個三角圖形條件、1個圓周角條件、1個極條件。文檔L?2L?6L?7180002個三角圖形條件：門cccL?4L?5L?180001 個圓周角條件：L7 L?8 (180 g L3) 3600 01個極條件：si嗎sing sin?6 1 0 sinL? sin? sin?這個極條件為:sinL? sin I? sin &sing sinL?3 sinL?5從圖上可以看出史處CD

6、 1,AD CD BD由右“cd BDsinL?十ADsin& 十CDsin l?4而在ABD中,；在ACD中,J,在BCD中,也ADsin |23CDsin £BDsin l?5將三個圖形的正弦代入 上式，可以得到極條件，因?yàn)樵摋l件是非線性的，需要線性化.利用泰勒級數(shù)展開并取至一次項(xiàng)，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到以下規(guī)律,cot L1 v1cot L2 v2 cot L3 v3cot L4 v4 cot L5 v5 cot L6 v6”(1sin L2 sin L3 sin L5 sin L1 sin L4 sin L6（總結(jié)其規(guī)律性）六、在圖2中，A、B、C是已知點(diǎn)P、P2為待定點(diǎn)，

7、網(wǎng)中觀測了 12個角度和6條邊長。已知測角中誤差為1.5 ,邊長測量中誤差為2.0cm,試用符號表示12號觀測角和18號觀測邊的誤差方程（線性化）和權(quán)。解：根據(jù)一般公式:"0"0YjkX jk Qvi國7Xj仁了%* j (S0k)2 k (S0k)2 ""Yj0 (S0h)2,”X0hj (S0h)2"0"0VYoYjh QXjk QXjy。、2 ?hy。2?h(Sjh)(Sjk)(L ( 0k0jh)該式子是是對應(yīng)上面的圖形，針對本題的12號觀測角，則:“丫丸vi(SCP2)2"-0XCP2 ?(SCP2)2 ?c&qu

8、ot;XC0P1(ScPi )2一&2)22"YCp1(Spi )2XC0P2"XCp1(SC)(Ll2(0CP2CP1 )邊長：viX0kY0k一區(qū)yQ0 yJSjkX0k該式子是是對應(yīng)上面的圖形，針對本題的18X0 當(dāng)出？Q0XjSiP2YP0P2X 0XRP2sP°p51 P2k11X0k?k (L觀測邊，則:X 0L?k (Ll8SPlP2實(shí)用文檔七、 已知觀測值的協(xié)因數(shù)陣為QLL ，求條件平差QL?L?。解：根據(jù)條件平差的基礎(chǔ)方程，建立平差值與觀測值之間的關(guān)系式子 因?yàn)?，在條件平差中：AL? A0 0, A(L V) A0 0, AV (AL A

9、0) 0, AV W 0其中 W ( AL A0)根據(jù)條件平差原理,其法方程:(AP 1AT ) K W 0,即 N K W1K N 1 W,1T1T11T1V P 1ATKP 1AT(N1W) P 1AT N1( (AL A0)1T 11T 1P 1AT N 1A L P 1AT N 1A01T 11T 11T 11T 1L? L V L P A N A LP A N A0 ( E P AN A)LP AN A0Q L?L? ( E P 1AT N 1A) QLL ( EP 1AT N 1A)T(QLL P 1AT N 1AQLL ) (E P1AT N 1A)T (QLL P 1ATN1A

10、QLL )(EAT N1AP 1)QLLQLLATN1AP1P 1ATN1 AQLLP1ATN1AQLLATN1AP 1QLLQLLATN1AP1P 1ATN1 AQLLP1ATN1NN 1AP 1QLLQLLATN1AP1P 1ATN1 AQLLP1ATN1AP 1T1 1T1QLL QLLATN 1AP 1 QLL QLLATN 1 AQLL八、 已知觀測值的協(xié)因數(shù)陣為Q LL ，求間接平差Q L?L? 。解：根據(jù)間接平差的基礎(chǔ)方程，建立平差值與未知數(shù)之間的關(guān)系式子在間接平差中：L? BX? d, L VB(X0 x?) dV Bx? (L ( BX0 d), V Bx? l法方程為：BT

11、 PBx? BTPl 0, x? (BTPB) 1BTPlx? (BTPB) 1BTP(L (BX0 d) (BTPB) 1BTP L (BT PB) 1 BTP(BX0 d)T 1TT 1T T T 1TT 1Qx?x? (BTPB) 1BTP QLL (BT PB) 1 BTP)T (BTPB) 1BTP QLL PB( BT PB) 1則T 1T 1T 1 T 1T T 1 T 1(BTPB) 1BTP P 1 PB( BT PB) 1 (BTPB) 1BTPB(BTPB) 1 (BTPB) 1由于L? BX? d ，則QL?L? BQX?X?BT B(BTPB) 1 BT九、 寫出所學(xué)

12、過的四種經(jīng)典平差方法的名稱和各自的特點(diǎn)以及適用的條件。解：條件平差法是一種不選任何參數(shù)的平差方法，通過列立觀測值的平差值之間滿足 r 個條件方程來建立函數(shù)模型，方程的個數(shù)為c=r 個，法方程的個數(shù)也為r個，通過平差可以直接求得觀測值的平差值，是一種基本的平差方法。但該方法相對于間接平差而言，精度評定較為復(fù)雜，對于已知點(diǎn)較多的大型平面網(wǎng)，條件式較多而列立復(fù)雜、規(guī)律不明顯。附有參數(shù)的條件平差需要選擇u 個參數(shù)，且 u<t, 參數(shù)之間要求必須獨(dú)立，通過列立觀測值之間或觀測值與參數(shù)之間滿足的條件方程來建立函數(shù)模型，方程的個數(shù)為 c=r+u 個，法方程的個數(shù)為r+u 個。常適合于下述情況：需要求個

13、別非直接觀測量的平差值和精度時，可以將這些量設(shè)為參數(shù)；當(dāng)條件方程式通過直接觀測量難以列立時，可以增選非觀測量作為參數(shù)，以解決列立條件式的困難。間接平差需要選擇u=t 個參數(shù)，而且要求這t 個參數(shù)必須獨(dú)立，模型建立的方法是將每一個觀測值表示為所選參數(shù)的函數(shù)，方程的個數(shù)為c=r+u=n 個，法方程的個數(shù)為t 個，通過解算法方程可以直接求得參數(shù)的平差值。最大的優(yōu)點(diǎn)是方程的列立規(guī)律性強(qiáng)，便于用計(jì)算機(jī)編程解算；另外精度評定非常便利；再者，所選參數(shù)實(shí)用往往就是平差后所需要的成果。如水準(zhǔn)網(wǎng)中選待定點(diǎn)高程作參數(shù)，平面網(wǎng)中選待定點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù)。由于 r+t=n ,說明條件平差與間接平差的法方程個數(shù)之和等于觀測值

14、個數(shù)，因此，當(dāng)某一平差問題的r與t相差較大時，若r<t,通常采用條件平差；若r>t ,則采用間接平差，這樣就可保證法方程的階數(shù)較少。附有條件的間接平差與間接平差類似，不同的是所選參數(shù)的個數(shù)u>t ,但要求必須包含t個獨(dú)立參數(shù)，不獨(dú)立參數(shù)的個數(shù)為s=u-t個，因此，模型建立時，除按間接平差法對每一個觀測值列立一個方程外，還要列出參數(shù)之間所滿足的s個限制條件方程，方程的總數(shù)為c=r+u=n+s 個，法方程的個數(shù)為 u+s個。十、已知某平面控制網(wǎng)經(jīng)平差后 P點(diǎn)的坐標(biāo)協(xié)因數(shù)陣為:QX?1.2360.3140.3141.192(dm)2/(")2,單位權(quán)方差文檔(1)試求極值

15、方向E和F ,極大值E和極小值F ；(2)求與X軸夾角成49.0方向的位差 ，以及與極大值方向夾角成45.0方向的位差。14.272727解：(1 )極值方向的計(jì)算與確定(Qxx Qyy)1.236 1.1920.0442所以94 00 ;274 0047 00 ;137 00,因?yàn)镼xy0,所以極大值在二、四象限，所以有E 137 00;或 317 00, F 47 00;或 227 00方法一：直接利用公式一計(jì)算:222八 .2E 0 (Qxx cos E QxxSine QxySin2 e)_2_2-1 (1.236cos 137 001.192sin 137 00( 0.314)sin

16、(2 137 00 )1.5292222F0(Qxxcos F QxxSin f QxySin2 f)1 (1.236cos2 47 00 1.192sin247 00( 0.314)sin(2 47 00)0.899E 1.24dm, F 0.95dm方法二：利用公式二進(jìn)行計(jì)算:H . (Qxx Qyy)2 4Qxy. (1.236 1.192)2 4( 0.314)2 0.6295一 212212E2 2 02(Qxx QyyH) 1.529,F2 2 o(Qxx Qyy H) 0.899E 1.24(dm), F 0.95(dm),兩種方法計(jì)算的相同。(2)將 49.0直接代入公式:24

17、9.022 八 20 (Qxx cosQxx sinQxy2 )1 (1.236co嫉49.01.192sin249.0( 0.314)sin(2 49.0 ) 0.899,0.95(dm)_22_22 2 2_E cos F sin 1.529cos 45.00.899sin 45.01.2141.1 (dm)十一、舉出系統(tǒng)誤差和偶然誤差的例子各5個。答：系統(tǒng)誤差：鋼尺的名譽(yù)長度與實(shí)際長度不一致；尺不水平，尺反曲或垂曲，尺端偏離直線方向；水準(zhǔn)測量中儀器下沉，水準(zhǔn)測量中水準(zhǔn)尺豎立不直。偶然誤差：角度測量時讀數(shù)不準(zhǔn)確，瞄準(zhǔn)目標(biāo)不準(zhǔn)確，對中誤差，整平誤差，鋼尺上估讀誤差。十二、 已知觀測值L及其協(xié)

18、方差陣 DLL ,組成函數(shù)X AL和Y BX , A、為常數(shù)陣，求協(xié)方差陣 Dxl、Dyl和Dxy。解：由于L E LX A LY B X BA L則：Dxl A DllE A DllDyl BA DllE BA DllDxy A Dll (BA)T A Dll ATBT有一角度測20測回，得中誤差0.42 ,問再增加多少測回，其中誤差為0.28 ?解：設(shè)每個測回的中誤差為0 ,需要再增加n個測回，則0, 200.42,00.42.20(1)0，n 200.28,00.28 n 20(2)由上式可解出n.即20 0.42220.28220203-20 252再增加25個測回十四、 在圖1中，A

19、, B點(diǎn)為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，Pl, P2, P3, P4為待定水準(zhǔn)點(diǎn)，觀測一 一 T _ _ _高差向量為l 1Tlm2, 8 ，試列出條件平差的平差函數(shù)模型（將條件方程寫成8,1真值之間的關(guān)系式）。（10分）圖1圖22解：n=8,t=4,r = n-t= 4.HAh1h2h3.HAh1h6h5HAh1h7h4h2h8h60,可以列4個條件方程式 h4HB0h4HB0H b 0實(shí)用在如圖2的水準(zhǔn)網(wǎng)中，A為已知水準(zhǔn)點(diǎn)，Pi, P2, P3為待定點(diǎn)，觀測高差 T向量為Lhi,h2,h3,h4,hs,現(xiàn)選取P1，P2,P3點(diǎn)高程為未知參數(shù)X X1, X2, X3T ,試列出間接平差的函數(shù)模型。解： n=5

20、,t=3,r=n-t=2h iX i H Ah2X2H Ah3X 3H Ah 4X 2X 3h5X2Xi十六、已知觀測值的協(xié)因數(shù)陣為QLL ，求間接平差QX?X?。解：根據(jù)間接平差的基礎(chǔ)方程，建立平差值與未知數(shù)之間的關(guān)系式子L? BX? d, L V B(X0 x?) d 在間接平差中：V Bx? (L (BX0 d), V Bx? l法方程為：BT PBx? BTPl 0, x? (BTPB) iBTPlx? (BTPB) iBTP(L (BX0 d) (BTPB) iBTP L (BT PB) iBTP(BX0 d)T iTT iT T T iTTQx?x? (BTPB) iBTP QLL

21、 (BT PB) iBTP)T (BTPB) iBTP QLL PB(BTPB)T iTiT i T iTT i T i(BTPB) iBTP P i PB(BTPB) i (BTPB) iBTPB(BTPB) i (BTPB) i十七、簡述條件平差方法和間接平差方法的各自特點(diǎn)以及適用的條件。解：條件平差法是一種不選任何參數(shù)的平差方法，通過列立觀測值的平差值之間滿足 r 個條件方程來建立函數(shù)模型，方程的個數(shù)為c=r 個，法方程的個數(shù)也為r 個，通過平差可以直接求得觀測值的平差值，是一種基本的平差方法。但該方法相對于間接平差而言，精度評定較為復(fù)雜，對于已知點(diǎn)較多的大型平面網(wǎng)，條件式較多而列立復(fù)雜

22、、規(guī)律不明顯。間接平差需要選擇u=t 個參數(shù)，而且要求這t 個參數(shù)必須獨(dú)立，模型建立的方法是將每一個觀測值表示為所選參數(shù)的函數(shù)，方程的個數(shù)為c=r+u=n 個，法方程的個數(shù)為t 個，通過解算法方程可以直接求得參數(shù)的平差值。最大的優(yōu)點(diǎn)是方程的列立規(guī)律性強(qiáng)，便于用計(jì)算機(jī)編程解算；另外精度評定非常便利；再者，所選參數(shù)往往就是平差后所需要的成果。如水準(zhǔn)網(wǎng)中選待定點(diǎn)高程作參數(shù)，平面網(wǎng)中選待定點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù)。由于r+t=n ，說明條件平差與間接平差的法方程個數(shù)之和等于觀測值個數(shù)，因此，當(dāng)某一平差問題的r 與 t 相差較大時，若r<t, 通常采用條件平差；若 r>t ，則采用間接平差，這樣就可保

23、證法方程的階數(shù)較少。十八、簡述偶然誤差的四個特性。答： 1. 在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零，稱為“有界性”。2 . 絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大，稱為“密集性”文檔實(shí)用3 .絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同，稱為“對稱性”4 .偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即： E( ) E(E(L) L) E(L) E(L) 0。換句話說，偶然誤差的理論平均值為零，稱為“趨零性”十九、設(shè)有函數(shù)Ffixf2y ,其中i Lii Li2L2. nLn2L2. n Ln是無誤差的常數(shù),Li的權(quán)為Pi , Pj0(i j)。求函數(shù)F的權(quán)倒數(shù)

24、1Pf解：由題意可求出Qxx, Qyy, Qxy即:Qxx 12%10n001P2000001Pn 2i1Pin 2同理可得：Qyyi 1 Pii 1 PiQyxQFF1Pff1f2QxyQxxQyxf1f2f12Qxx2f1 fzQxyf22Qyyn 2nn 2f12- 2f1 f2 -L f22Li 1 Pii 1 Pii 1 Pi.已知觀測值向量 L ,其協(xié)因數(shù)陣為單位陣。有如下方程：V BX L,BTBX BTL 0, X (BTB) 1BTL , L? L V ,式中：B 為已知的系 數(shù)陣，BTB為可逆矩陣。求(1)協(xié)因數(shù)陣Qxx、Q郃；(2)證明V與X和I?均互不相關(guān)。解：(1)L的協(xié)因數(shù)陣為單位陣E._T_ 1_T_ _T_ 1_TT _T_ 1_T_ _T_ 1 TQxx (BTB) 1BTE(BT B) 1 BT)T (BT B) 1BT B(BT B) 1)T(BTB)1? L V L B LB)?TT 1 TQ電BQll BT B(BTB) 1BT(2).因?yàn)?V=BX-L,QvxBQxx QlxB(BTB) 1 B(BTB)T) 10因?yàn)?I? L V,L BX