新人教版七年級下冊數(shù)學第六章實數(shù)知識點總結及階梯練習

1、第六章實數(shù)考點一、實數(shù)的概念及分類1、實數(shù)的分類雪員汩理額正萬里數(shù)2、無理數(shù)在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一點，歸納起來有四類(1)開方開不盡的數(shù)，如 J7,3/2等;(2)有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數(shù)，如2+8等;3(3)(4)有特定結構的數(shù)，如 0.1010010001等；0,6是有理數(shù)，而不是無理數(shù)。某些三角函數(shù)，如 sin60o等(這類在初三會出現(xiàn))判斷一個數(shù)是否是無理數(shù)，不能只看形式，要看運算結果，如3、有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別(1)有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù);1的分數(shù))，而無理數(shù)則不能寫成分數(shù)形(2)所有的有理數(shù)都能寫成分數(shù)

2、的形式(整數(shù)可以看成是分母為 式。考點二、平方根、算術平方根、立方根1、概念、定義(1)如果一個正數(shù)x的平方等于a,即X 二次，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根。(2)如果一個數(shù)的平方等于 a,那么這個數(shù)就叫做 a的平方根(或二次方跟)。如果五。二次，那么x叫做a 的平方根。(3)如果一個數(shù)的立方等于 a,那么這個數(shù)就叫做 a的立方根(或a的三次方根)。如果/=辭，那么x 叫做a的立方根。2、運算名稱(1)求一個正數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。平方與開平方互為逆運算。(2)求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。開立方和立方互為逆運算。3、運算符號(1)正數(shù)a的算術平方根，記作“中丁”。(2)

3、a(a>0)的平方根的符號表達為 士/俗3°)。(3) 一個數(shù)a的立方根，用 表示,其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)。4、運算公式a a >0另、在乖|二二；33 (町=白4二注意：這說明三次根號內的負號砌移到根號外面)4、開方規(guī)律小結(1)若a>0,則a的平方根是 后,a的算術平方根 Ja;正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術平方根；0的平方根和算術平方根都是 0;負數(shù)沒有平方根。實數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與被開方數(shù)的符號相同。正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0。(2)若a<0,則a沒有平方

4、根和算術平方根；若 a為任意實數(shù)，則a的立方根是 西。(3)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，兩個互為相反數(shù)的實數(shù)的立方根也互為相反數(shù)?？键c三、實數(shù)的性質有理數(shù)的一些概念，如倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值等，在實數(shù)范圍內仍然不變。1、相反數(shù)(1)實數(shù)a的相反數(shù)是-a；實數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零)(2)從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關于原點對稱，如果 a與b互為相反數(shù)，則有 a+b=0, a=-b,反之亦成立。2、絕對值(1)要正確的理解絕對值的幾何意義，它表示的是數(shù)軸上的點到數(shù)軸原點的距離，數(shù)軸分為正負兩半，那么不管怎樣總有兩個數(shù)字相等的正負兩個數(shù)到

5、原點的距離相等。|ap0。(2)若|a|=a則a冷；若|a|=-a則a耗，零的絕對值是它本身。寒的絕對值昨(3)a(a 0)a(a 0)3、倒數(shù)(1)如果a與b互為倒數(shù)，則有 ab=1,反之亦成立。實數(shù) a的倒數(shù)是1/a (aw。)(2)倒數(shù)等于本身的數(shù)是 1和-1。零沒有倒數(shù)?？键c四、實數(shù)的三個非負性及性質1、在實數(shù)范圍內，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。2、非負數(shù)有三種形式(1)任何一個實數(shù)a的絕對值是非負數(shù)，即|a除0;(2)任何一個實數(shù)a的平方是非負數(shù)，即>0;(3)任何非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即 1之0傳之0)。3、非負數(shù)具有以下性質(1)非負數(shù)有最小值零；(2)非負數(shù)之和仍是非負數(shù)

6、；(3)幾個非負數(shù)之和等于 0,則每個非負數(shù)都等于 0.考點五、實數(shù)大小的比較實數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：(1)正數(shù)大于0, 0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；(2)實數(shù)和數(shù)軸上的點對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；(3)兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法。(4)對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。常用有理數(shù)來估計無理數(shù)的大致范圍，要想正確估算需記熟020之間整數(shù)的平方和 010之間整數(shù)的立方.考點六、實數(shù)的運算(1)在實數(shù)范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運

7、算(2)有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內仍然成立(3)實數(shù)混合運算的運算順序與有理數(shù)的運算順序基本相同，先乘方、開方、再乘除，最后算加減。同級 運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里。(4)在實數(shù)的運算中，當遇到無理數(shù)時，并且需要求結果的近似值時，可以按照所要求的精確度用相應的 近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算。二、典例剖析，綜合拓展知識點1：算術平方根1.工的算術平方根為()(A) (B) - - (。+ (D)(工)2169131313169算術平方根的定義：12 .的算術平方根可表不為,即 =169算術平方根的表示方法： (用含a的式子表示)3 . 工有算術平方根嗎？ 8的算術

8、平方根是2嗎？169算術平方根具有 性，即被開方數(shù) a 0 ，ja本身0 ,必須同時成立4、已知5 <11的小數(shù)部分為 m , 5 J11的小數(shù)部分為n ,則m n 跟蹤練習： 式子 &一3有意義，x的取值范圍 已知：y= 7 X 5+J5 X+3，求xy的值3 a Jb 40 ,求a+b的值知識點2:平方根1.49色平方根是，算術平方根是，它的平方根可表示為2、99的平方根是3、快速地表示并求出下列各式的平方根,、9,、-2(1)1 | 5|0.81(9) 216平方根的定義：平方根的表示方法 (用含a的式子表示)平方根的性質：4、如果一個數(shù)的平方根是 a 1和2a 7 ,求這

9、個數(shù)5.用平方根定義解方程 4x2-225=0(1)16 (x+2) 2=816、下列說法正確的是()A、J16的平方根是4 B 、 J6表示6的算術平方根的相反數(shù)G 任何數(shù)都有平方根D 、a2 一定沒有平方根知識點3:立方根1 . -8的立方根是 ,表示為 立方根的表示方法： (用含a的式子表示)2 .說出下列各式表示的意義并求值： V 0.512 = 一V 729 = V( 2)3 = (3'8 ) 3=3 .如果3/x 2有意義,x的取值范圍為 4 .用立方根的定義解方程(l)x3-27 =0(2)2 (x+3) 3=512拓展提高:1、已知 <3 1.732,、領 5.4

10、77, (1) <300 ; (2) V03 (3) 0.03的平方根約為 ； (4)若Jx54.77 ,則x 2、已知 V3 1.442 ,力30 3.107 , 3'3006.694，求(1) 3/0.3 ;(2) 3000 的立方根約為 ; (3) Vx31.07,則 x 知識點4:重要公式公式一 ：J22 =<32 =v42 =.(2)2 =,( 3)2 =.( 4)2 =.一 a2 = 有關練習： 1.( 1)2=,19992 =2 .如果(a 3)2 =a-3 ,則a的取值范圍是 ;如果V(a 3)2 =3-a,則a的取值范圍是 I3 .數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如

11、圖：化簡：J(a b)2 +|c+a|III-ab0C公式二：- ( <4 ) 2=(氐)2=( 2 25 ) 2=(a/ a) = (a)0)綜合公式一和二，可知，當滿足 a 條件時，Ja2 =(Ja)2公式三：V23 = V 33 =3/4 =3( 2)3=3 ( 3)3 = 3 ( 4)3 =%7 =,隨堂練習：化簡：當i<a<3時，而a)2 +3/(0獷公式四：( V8)3=( V27)3=( 3彳25)3=(3. a)3 =綜合公式三和四，可知，當滿足 a 條件時，Va3 =(3/a)3公式五：3/_a = 知識點五：實數(shù)定義及分類無理數(shù)的定義：實數(shù)的定義：實數(shù)與

12、上的點是一一對應的1、判斷下列說法是否正確：(1)實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù)。()(2)無限小數(shù)都是無理數(shù)。()(3)無理數(shù)都是無限小數(shù)。()(4)根號的數(shù)都是無理數(shù)。()一、選擇題(每題3分,共36分)1 .下列等式正確的是()(A)(.3)2 = 3( B) Jl44 = ± 12 (C) 48 = -2(D) 2 25 = 52 .算術平方根等于3的是()(A)#(B) 3(C) 9(D)區(qū)3 .下列說法：(1)任何數(shù)都有算術平方根；(2) 一個數(shù)的算術平方根一定是正數(shù)；(3) a2的算術平方根是a;4 4) ( 4) 2的算術平方根是一4; (5)算術平方根不可能是負數(shù)。其中不

13、正確的有()(A)5 個(B) 4個(C)3 個(D)2 個4 .若一個數(shù)的平方根與它的立方根完全相同，則這個數(shù)是()(A)0(B) 1(C)T(D)± 1,05 .若7x=x,則實數(shù)乂是()(A)負實數(shù)(B)所有正實數(shù)(C) 0或1(D)不存在6 .若Ja2=-a,則實數(shù)a在數(shù)軸上的對應點，一定在()(A)原點左側 (B)原點右側(C)原點或原點左側(D)原點或原點右側7 .在實數(shù)0, 3, 0 , J7,0. 123456中，無理數(shù)的個數(shù)是()(A)2(B) 3(C) 4(D) 58 .下列各式中，無意義的是()(a)./V qTlT(o .VTir (D).VTq8.4 J14

14、、226、15三個數(shù)的大小關系是()(A) .4V14 <15< <226(B) <226 <15<4 14(C) 4v14 <a;1226 <15(D) <226<4JT4<159 .化簡& 2)4的結果是()(A) .-4(B) .4(C) ±4(D)無意義二、填空題（每題3分，共24分）10 .如果 Jx 3 =2，那么（x+3）2=11 .若42a 2與|b+2|是互為相反數(shù)，則（a b）2=.13 .一個正方形的面積擴大為原來的100倍，則其邊長擴大為原來的 倍。16.點A在數(shù)軸上和原點相距*6個單位，點B在數(shù)軸上和原點相距 3個單位，且點B在點A左邊，則AB之間的距離為 14 . 一個三角形的三邊分別是a, b, c,則J（abc）2 ;J（ab孑=.15 .a是一個兩位數(shù)的十位數(shù)字，b是它的個位數(shù)字，則這個數(shù)可表示為.16 .4 2的算術平方根是 , J25的平方根是 , 一8的立方根是 .17 .已知 a+2