基于提升小波變換的弱小目標(biāo)算法研究 本科畢業(yè)設(shè)計

1、裝訂線安安安徽徽徽工業(yè)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書摘 要復(fù)雜背景下弱小目標(biāo)的檢測在機械工程中有著十分重要的作用，也是當(dāng)前國內(nèi)外研究的熱點，高溫鎂溶液第一氣泡的識別就是其中的一種重要技術(shù)。本文主要研究基于提升小波變換的目標(biāo)檢測方法。在分析目標(biāo)檢測相關(guān)的小波變換理論的基礎(chǔ)上，研究基于提升小波變換的弱小目標(biāo)檢測方法。為提高弱小目標(biāo)檢測效果，首先研究利用小波變換對目標(biāo)圖像進行增強和去噪的預(yù)處理，通過分析研究小波的弱小目標(biāo)檢測方法，然后提出采用自適應(yīng)閾值快速算法結(jié)合目標(biāo)去噪和增強的方法。論文從提升小波變換的性質(zhì)出發(fā)，系統(tǒng)分析研究弱小目標(biāo)檢測方法，提出采用提升小波變換的弱小目標(biāo)的檢測方法。關(guān)鍵詞：弱小目標(biāo)

2、小波變換 小波基構(gòu)造 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 閥值A(chǔ)bstractThe first identification of the bubble in the surface temperature of magnesium melt is hydrogen content in molten magnesium rapid field detection of key technologies. Because of the magnesium alloy melt its own characteristics - easily oxidized and burned, it makes air bub

3、bles around the background very complex, using multi-scale decomposition of wavelet analysis, it is be able to reveale the amount of complex changes in the characteristics of the background.This paper mainly studies about wavelet transform based on lifting Target Detection.Basing on wavelet transfor

4、m theory of analysis and target detection ,it studies about Small Target Detection of Lifting Wavelet Transform .Proposed fast algorithm using combined adaptive threshold denoising and enhancement methods target。Proposed fast algorithm using combined adaptive threshold denoising and enhancement meth

5、ods target.Papers from the lifting wavelet transform the nature of the proceeding, the system analysis of small target detection method is proposed using wavelet transform to enhance small target detection method.Key words: Small target Wavelet Transform Wavelet Construction Morphology Threshold目 錄摘

6、 要IAbstractII第一章 緒 論11.1課題的背景與意義11.2弱小目標(biāo)的檢測11.2.1 弱小運動目標(biāo)的特性分析11.3本文主要內(nèi)容安排4第二章 基于提升小波變換的弱小目標(biāo)圖像預(yù)處理52.1小波變換理論基礎(chǔ)52.1.1概述52.1.2連續(xù)小波變換62.1.3離散小波變換92.2 小波變換的多分辨率分析102.3 Mallat算法122.4 小波構(gòu)造142.4.1 正交小波的概念142.4.2 雙正交小波的概念142.4.3 雙正交小波的構(gòu)造理論152.4.4 雙正交小波的性質(zhì)182.5小波變換去噪理論192.5.1小波去噪基本原理192.5.2小波去噪基本方法192.5 提升小波變換

7、的基本原理21第三章 弱小目標(biāo)檢測方法213.1 直方圖均衡化算法223.2 均值濾波算法233.3 中值濾波算法243.4 幀差法253.5 小波分析算法263.6 閥值法283.7 形態(tài)學(xué)313.7.1膨脹313.7.2腐蝕323.7.3開、閉運算333.8多頻譜分析343.9本章小結(jié)35第四章 總結(jié)與展望364.1論文總結(jié)364.2論文展望37參考文獻38致 謝40附錄一41附錄二49IV 共 頁 第 頁裝訂線安徽工業(yè)大學(xué)工商學(xué)院 畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書第一章 緒 論1.1課題的背景與意義 復(fù)雜背景中弱小目標(biāo)的檢測一直是監(jiān)視和預(yù)警系統(tǒng)的重要組成部分。要求監(jiān)視和預(yù)警系統(tǒng)具備極快的反應(yīng)速度，

8、只有及時地發(fā)現(xiàn)和捕獲目標(biāo)，才能實現(xiàn)有效的監(jiān)視和預(yù)警作用。例如鎂合金作為最輕的金屬結(jié)構(gòu)材料，具有密度小、比強度比剛度高、減震性和散熱性好等優(yōu)點，在汽車、通訊設(shè)備和電子行業(yè)中得到了日益廣泛的應(yīng)用。但是，顯微氣孔降低了它的力學(xué)性能。其中H2的析出起了主要作用。因此，有效地檢測鎂熔液含氫量成為目前研究的熱點。高溫鎂熔液表面第一氣泡的識別就是鎂熔液含氫量快速現(xiàn)場檢測的關(guān)鍵技術(shù)。在絕大部分時間內(nèi)，目標(biāo)在視場中是以小目標(biāo)形態(tài)出現(xiàn)的，而且目標(biāo)的對比度一般都很低，加上圖像中夾雜的雜散噪聲，要準(zhǔn)確地檢測出目標(biāo)的位置并把目標(biāo)從背景噪聲和雜散噪聲中提取出來是一項艱巨的任務(wù)。目標(biāo)信號幅值相對于背景和噪聲很弱，具有很低的

9、信噪比，因而弱小目標(biāo)檢測仍然是當(dāng)前一個實用、熱門的課題。1.2弱小目標(biāo)的檢測1.2.1 弱小運動目標(biāo)的特性分析作為一類非平穩(wěn)隨機信號中不確定信號的檢測問題，序列圖像中弱小運動目標(biāo)的檢測，是在無法獲得圖像背景、噪聲及目標(biāo)信號特征分布的條件下進行的。由于目標(biāo)成像距離較遠，目標(biāo)在圖像平面上往往只有幾個到十幾個像素，目標(biāo)強度相對于背景雜波十分微小，更由于成像角度、大氣折射、外界干擾等影響，目標(biāo)在圖像上的成像形狀，往往呈不規(guī)則形狀；目標(biāo)與圖像背景融合，更無紋理可言。從這個意義上講，弱小運動目標(biāo)的檢測是在完全沒有先驗知識的條件下進行的。因此，弱小運動目標(biāo)的檢測是十分困難的，只有在深入分析和認(rèn)識弱小運動目標(biāo)

10、特性的前提下，根據(jù)弱小運動目標(biāo)的特性制定檢測方法，才能取得滿意的檢測效果。弱小目標(biāo)的特征包括“灰度特征”和“運動特征”?！盎叶忍卣鳌泵枋龅氖侨跣∧繕?biāo)和背景之間的“空域”關(guān)系，是目標(biāo)的“靜態(tài)”特征；“運動特征”描述的是弱小目標(biāo)和背景之間的“時域”關(guān)系，是目標(biāo)的“動態(tài)”特征。單幀圖像的灰度特征是進行圖像預(yù)處理，實現(xiàn)目標(biāo)增強的依據(jù)，而弱小目標(biāo)的運動特征是聯(lián)合多幀圖像進行目標(biāo)跟蹤確認(rèn)和獲取運動軌跡的關(guān)鍵所在。為了研究弱小運動目標(biāo)的“灰度特征”，首先要分析弱小目標(biāo)圖像的灰度分布情況，尤其是弱小目標(biāo)及其鄰域的灰度分布情況。圖 2-1 給出一幅目標(biāo)圖像，為便于觀察，標(biāo)記出了目標(biāo)，繪出了目標(biāo)圖像的灰度三維曲面

11、，并繪出了通過目標(biāo)中心的行、列灰度掃描線。(a)目標(biāo)圖像 (b)目標(biāo)圖像空間灰度分布(c)目標(biāo)中心行掃描灰度曲線 (d)目標(biāo)中心列掃描灰度曲線圖 2-1 弱小目標(biāo)灰度分布由圖 2-1 可見，在單幀情況下，弱小目標(biāo)灰度分布的典型特征為：1.成像面積小，無典型的形狀特征，無紋理，難以準(zhǔn)確建立描述其灰度變化的模型；2.自身灰度相對于全局背景較低，但在局部背景上常表現(xiàn)為圖像背景上的微小“凸起”，由于其形狀微小，被“淹沒”于圖像背景雜波之中。由此可見，弱小目標(biāo)在圖像中的灰度強度不足以構(gòu)成確認(rèn)其是目標(biāo)的完全條件，也無明顯的形狀，更無紋理可言，不能采用常規(guī)的檢測方法。因此，在單幀條件下僅僅依靠目標(biāo)的灰度強度

12、信息，并不能唯一地將弱小目標(biāo)檢測出來。為解決單幀條件下目標(biāo)的檢測問題，不能僅僅依靠目標(biāo)的灰度強度信息，而應(yīng)從弱小目標(biāo)在圖像背景上成微小“凸起”這個信息著手，通過檢測圖像中灰度起伏變化的“凸起”，實現(xiàn)弱小目標(biāo)檢測的目的。因此，弱小目標(biāo)在圖像背景上的這種“凸起”特性，為弱小目標(biāo)的檢測提供了依據(jù)。但是，僅利用單幀圖像中目標(biāo)的灰度信息并不能確保檢測出真實的目標(biāo)，還必須利用多幀序列圖像中目標(biāo)的運動信息。在多幀序列圖像中，弱小目標(biāo)運動的典型特征為：1.目標(biāo)的運動，相對于背景圖像的全局運動具有獨立性；2.目標(biāo)的運動軌跡在多幀圖像中是連續(xù)的，即目標(biāo)總是出現(xiàn)在上一時刻它出現(xiàn)位置的鄰域。由此，弱小目標(biāo)的運動獨立性

13、和軌跡連續(xù)性，構(gòu)成了序列圖像中弱小目標(biāo)的“運動特征”。綜上所述，對弱小目標(biāo)“灰度形態(tài)”的研究表明：弱小目標(biāo)在圖像背景中的出現(xiàn)，導(dǎo)致背景中出現(xiàn)微小的灰度“凸起”，在灰度分布上存在著相對于圖像背景的“奇異性”，可以通過檢測圖像中的灰度“凸起”，來實現(xiàn)單幀圖像中弱小目標(biāo)的檢測；對弱小目標(biāo)的“運動形態(tài)”研究表明：序列圖像中的弱小運動目標(biāo)，其運動具有獨立性和連續(xù)性。即弱小目標(biāo)的運動相對于背景圖像的全域運動是獨立的，同時，弱小目標(biāo)的運動軌跡在圖像序列中是連續(xù)的，可通過檢測目標(biāo)的連續(xù)運動軌跡來實現(xiàn)序列圖像中運動目標(biāo)的檢測。前面討論的目標(biāo)“灰度特征”和“運動特征”，都和目標(biāo)自身的因素有關(guān)；但另外一個方面，類目

14、標(biāo)干擾對弱小目標(biāo)檢測的影響不可忽視。所謂類目標(biāo)干擾，指的是目標(biāo)圖像中在成像面積和灰度分布方面，和真實目標(biāo)十分相似的干擾。單幀情況下，類目標(biāo)干擾和真實目標(biāo)具有相似的灰度“凸起”特性，唯一與真實目標(biāo)不同的是：由于類目標(biāo)干擾是圖像背景的一部分，其運動是圖像全域運動的一部分，不具有真實目標(biāo)那樣的獨立運動。因此，單幀條件下無法準(zhǔn)確區(qū)分真實目標(biāo)和類目標(biāo)干擾，而只有在多幀條件下，通過對各個可疑目標(biāo)的運動特征進行綜合分析，才能區(qū)分真實目標(biāo)和類目標(biāo)干擾。另一方面，由于背景運動的復(fù)雜性以及運動估計精度的影響，作為虛警的部分類目標(biāo)干擾可能會在短時間內(nèi)具有“有限”的獨立運動。雖然這種所謂的“獨立運動”是由運動估計的誤

15、差造成的，但也給真實目標(biāo)的檢測帶來了不利的影響。因此，更長時間的目標(biāo)運動特征檢測，即軌跡跟蹤，在弱小運動目標(biāo)的檢測中必不可少。事實上，弱小目標(biāo)檢測中的虛警主要是由類目標(biāo)干擾造成的。1.2.2 弱小運動目標(biāo)圖像的信號分析弱小目標(biāo)和圖像背景之間的關(guān)系，可表述為“加性”關(guān)系相關(guān)，目標(biāo)灰度占據(jù)了圖像空間頻域的高頻部分；而圖像背景在空域和時域空間上變化緩慢，像素之間有較強的相關(guān)性，主要占據(jù)圖像頻域的低頻部分；噪聲與目標(biāo)類似，占據(jù)圖像頻域的高頻部分。但對復(fù)雜的場圖像背景如大地背景而言，不僅含有低頻成份，也含有與鄰域灰度分布相關(guān)性較小的高頻成份。而正是這些背景中的高頻成份，構(gòu)成 式(2-4)將原本屬于圖像背

16、景中的類目標(biāo)干擾單獨表述，這是因為在目標(biāo)檢測過程中， f0具有與真實目標(biāo) ft相似的灰度分布，在單幀圖像處理過程中，很難將真實目標(biāo)區(qū)分開來。類目標(biāo)干擾的存在，對檢測系統(tǒng)的性能有較大影響，有必要對其進行單獨處理。動特征”上的不同，在目標(biāo)的運動檢測和運動跟蹤過程中，抑制虛警，以最終去除類目標(biāo)干擾的影響，捕獲真實目標(biāo)。 綜上所述，序列圖像中弱小運動目標(biāo)的檢測，需要建立一個將目標(biāo)灰度分布和運動變化有機聯(lián)系起來的檢測模型，即建立一個基于目標(biāo)灰度特征和運動特征的時空域聯(lián)合檢測方法，綜合應(yīng)用目標(biāo)的空域灰度特征和時域運動特征，在多幀序列圖像中檢測出弱小目標(biāo)。1.3本文主要內(nèi)容安排提升小波變換的提出拓寬了人們的

17、視野，利用提升小波變換進行目標(biāo)檢測是利用小波變換的多分辨率特點，降低圖像中干擾信息的干擾。本文的主要內(nèi)容是弱小運動目標(biāo)的檢測，包括預(yù)處理算法的研究，利用多幀序列圖像實現(xiàn)真實目標(biāo)的確認(rèn)。本文各章節(jié)的主要內(nèi)容安排如下：第一章是緒論，簡要介紹了課題的研究背景和意義，以及目前國內(nèi)外主要的弱小目標(biāo)檢測技術(shù)；第二章是本文的重點之一，為小波變換基本理論，闡述了小波變換的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)及其特性，之后在此基礎(chǔ)上引入了小波基構(gòu)造概念并構(gòu)造了兩個雙正交小波基；第三章是本文的重點之二，分析了弱小目標(biāo)檢測預(yù)處理的傳統(tǒng)方法，最后提出兩個檢測到鎂溶液第一氣泡微小目標(biāo)的兩個方法；第四章，總結(jié)論文與創(chuàng)新點，并加以展望。第二章 基

18、于提升小波變換的弱小目標(biāo)圖像預(yù)處理 本章首先給出了小波變換的基本理論及其在圖像處理中的應(yīng)用，簡單介紹了正交小波和雙正交小波，并構(gòu)造了兩個雙正交小波基。最后針對弱小運動目標(biāo)的檢測，提出了基于提升小波變換的兩種弱小目標(biāo)圖像預(yù)處理方法：低頻重構(gòu)法、小波閾值去噪方法。2.1小波變換理論基礎(chǔ)2.1.1概述小波變換是80年代后期在傅立葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，基本思想來自調(diào)和分析，具有嚴(yán)格的理論模型。繼承和發(fā)展了Garbor變換局部化的思想，同時又克服了窗口固定、缺乏離散正交性等不足，從而成為近期研究較多的頻譜分析工具。是近年來應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中的一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，是目前國際上公認(rèn)的信號信息獲取與處

19、理領(lǐng)域的高新技術(shù)，是多學(xué)科關(guān)注的熱點，是信號處理的前沿課題。小波變換在信號分析中具有以下優(yōu)點：（1）具有多分辨率特點，即能夠通過伸縮和平移等運算功能對信號進行多尺度細化分析；（2）可以看成品質(zhì)因數(shù)恒定、相對帶寬恒定的一組帶通濾波器在不同尺度下對信號的濾波，特別適合于非平穩(wěn)信號分析；（3）適當(dāng)?shù)倪x擇基本小波，使之在時域上有限支撐，在頻域上也比較集中，可以保證小波變換在時、頻域中都能夠具有很強的表征信號局部特征的能力，有利于檢測信號的瞬態(tài)變化或奇異點。2.1.2連續(xù)小波變換21.2.1 連續(xù)小波變換的定義設(shè)，其傅立葉變換為，如果滿足如下條件(稱為容許條件 （2.1）則稱(t)為基本小波(或母小波)

20、，小波母函數(shù)(t)通過尺度伸縮和平移生成的如下函數(shù)族： （2.2）稱為由(t)生成的連續(xù)小波。其中a稱為尺度參量，b是平移參量。根據(jù)(2.1)式的容許條件要求，當(dāng)=0 時，為使被積函數(shù)為有效值必須有(0)=0，所以可得到(2.1)式的等價條件為： （2.3）此式表明(t)中不含直流，只含有交流即具有震蕩性，故稱為“波”。為了使(t)具有局部性，即在有限的區(qū)間之外很快衰減為零，還必須加上一個衰減條件： （2.4） (2.4)的含義是：當(dāng) t 時，(t)的衰減比 1/|t|快，衰減條件要求小波具有局部性，這種局部性稱為“小”，故(2.1)式稱為小波。小波變換定義為： （2.5） 小波

21、的時頻窗小波是時域和頻域中的局部函數(shù)，因此也可以類似窗口函數(shù)，定義其時頻中心和半徑，用來衡量它的局部化程度。按照正、負(fù)兩個頻段(0,)和(-,0)來定義小波的頻域中心和半徑。 （2.6） （2.7） （2.8） （2.9）按照上述定義小波的時頻窗中心和半徑經(jīng)計算分別為： （2.10） （2.11） （2.12） （2.13）從上述三個公式中我們可以看出，當(dāng)a較大時（相當(dāng)于低頻）時域分辨率較低，頻域分辨率較高；當(dāng)a較小時（相當(dāng)于高頻）時域分辨率較高，頻域分辨率較低。因此當(dāng)a從小逐漸大時，時頻分辨率就會發(fā)生相應(yīng)的變化，這種特性稱為小波的“變焦”特性或多分辨率分析。然而，由測不準(zhǔn)原理可知，無論a如何

22、變化窗口的面積是保持不變的，即時域分辨率的增加，必然導(dǎo)致頻域分辨率的減小，反之亦然。 傅立葉變換、Gabor 變換與小波變換的對比傅立葉變換是時域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，它確定了信號在整個時間域上的頻率特性。但在實際應(yīng)用中，我們往往需要知道，信號在某一時刻附近的頻譜特性，傅里葉變換是作不到的。Gabor變換即短時傅立葉變換把信號劃分成許多小的時間間隔，以便確定在該時間間隔內(nèi)的頻譜信息。Gabor變換在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅立葉變換不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù)選定后，矩形窗口的形狀就確定了。只能改變窗口在時頻平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。

23、短時傅立葉變換比較適合分析較平穩(wěn)的信號，而不太適合分析非平穩(wěn)信號。小波分析能夠較好地克服短時傅立葉的不足，它提供了一個隨頻率改變的時間-頻率窗口。小波基通過改變尺度因子a使被分析信號在高頻時（a?。r間域分辨率高，低頻時(a 大)頻率域分辨率高，達到了多分辨率分析的效果。小波分析的這種特點適合非平穩(wěn)信號的處理。圖2.1 和2.2 分別給出了Gabor 變換的相平面和小波變換的相平面。從圖中可以清楚地看出兩者的差別與聯(lián)系。表2.1給出傅立葉變換、Gabor 變換與小波變換的特征。圖 2. 1 Gabor 變換的相平面圖 2. 2 小波基函數(shù)的相平面表2.1傅里葉、Gabor和小波的特征對比特征變

24、換分解種類分析函數(shù)變量信息適應(yīng)場合算法復(fù)雜度傅里葉變換頻率正弦函數(shù)余弦函數(shù)頻率信號的頻率平穩(wěn)信號（NlgN)短時傅里葉變換時間-頻率震蕩函數(shù)頻率窗口位置窗口大小次平穩(wěn)信號依窗口大小小波變換時間尺度時間頻率時間有限的波尺度小波位置小波的寬窄非平穩(wěn)信號依小波變化2.1.3離散小波變換 連續(xù)小波變換離散化如公式(2.5)所示，小波無直流分量，因此分別在正頻軸上和負(fù)頻軸上考慮其頻域中心和半徑。當(dāng)小波為實函數(shù)時，且取 a 0,正負(fù)頻中心對稱，兩個頻半徑相等。當(dāng)母小波的頻率中心和半徑已知時，那么任何一個小波基元的頻率中心和頻率半徑也就知道了。為簡單記，省去參量上的上角標(biāo)+。由公式(2.10-

25、2.13)可計算出小波的中心頻率和頻窗寬度(直徑)之比為： （2.14）顯然，上式中的r 值與a、b無關(guān)，即任何一個小波基元的r值都相同，均等于母小波的r 值。在濾波器理論中，中心頻率與帶寬之比和中心頻率無關(guān)的帶通濾波器稱為常Q濾波器。由于的中心頻率ab=0/a，當(dāng)a越小時，中心頻率越高，而r值不變，所以所占帶寬越大，這一性質(zhì)與位移參量 b 無關(guān)。當(dāng)將公式(2.2)中的a 按照下式離散化，而 b應(yīng)保持取連續(xù)值，則公式(2.2)稱為二進小波，公式(2.5)稱為二進小波變換。顯然，上式中的r值與a、b無關(guān)，即任何一個小波基元的r值都相同，均等于母小波的r 值。在濾波器理論中，中心頻率與帶寬之比和中

26、心頻率無關(guān)的帶通濾波器稱為常Q濾波器。由于的中心頻率ab=0/a，當(dāng)a越小時，中心頻率越高，而r值不變，所以所占帶寬越大，這一性質(zhì)與位移參量 b 無關(guān)。當(dāng)將公式(2.2)中的a 按照下式離散化，而b應(yīng)保持取連續(xù)值，則公式(2.2)稱為二進小波，公式(2.5)稱為二進小波變換。 （2.15）a經(jīng)公式（2.15）離散化后，的頻窗區(qū)間、頻窗直徑和中心頻率分別為： （2.16） （2.17） （2.18）若小波,并存在兩個正整數(shù)A,B滿足 （2.19）此時式(2.19)稱為二進小波的穩(wěn)定條件，若 A =B 稱為最穩(wěn)定條件。滿足穩(wěn)定條件的小波才能成為二進小波。另一方面，由穩(wěn)定條件可以推出式(2.1)的容

27、許條件，這表明二進小波必為容許小波，反之不真。2.2 小波變換的多分辨率分析多分辨率分析是小波分析20中最重要的概念之一，它從函數(shù)空間的高度研究函數(shù)的多分辨率表示，將一個函數(shù)表示為一個低頻成分和不同分辨率下的高頻成分。正是有了多分辨分析，正交小波基的構(gòu)造不再僅僅依賴于數(shù)學(xué)技巧。正交小波變換的快速算法也是以多分辨率分析為基礎(chǔ)產(chǎn)生的。 多分辨率分析(MRA)的定義：平方可積空間中的一系列閉子空間稱為的一個多分辨率分析(或多分辨率逼近、多尺度分析)，多分辨率分析包括如下一些性質(zhì)：性質(zhì)1 函數(shù)空間序列，jZ的單調(diào)性：即,。性質(zhì)2 函數(shù)空間序列，jZ的完整性：,。性質(zhì)3 伸縮性：。伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化

28、、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。性質(zhì)4 平移不變性：平移不變性是指在同一子空間中波形平移后不變化，即。性質(zhì)5 Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Riesz基?？梢宰C明，存在函數(shù)，使它在整數(shù)平移系構(gòu)成的規(guī)范正交基，稱為尺度函數(shù)。定義函數(shù)， （2.2.1）則函數(shù)系是規(guī)范正交的。多分辨率分析(MRA)定義了一個對逐漸逼近的空間序列，即有 由上述定義可知，每個子空間都對應(yīng)著一組基，它們都是由同一個函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移構(gòu)成的，生成公式如下：， (2.2.2)函數(shù)稱為尺度函數(shù)，稱作尺度空間。 因為，而是的基，故存在序列滿足 (2.2.3)其中，表示平方可和列。這個方程就是尺度函數(shù)的雙尺度方

29、程。 由MRA的定義可以很自然地想到，對任意一個函數(shù)，都可以用在上的投影來逼近。隨著j的減小，子空間越來越逼近，也越來越逼近。對于相鄰的兩個子空間和來說，和之間存在著差異，為了表示這一差異，定義另外一個空間，使得是在。中的正交補，即有 ， (2.2.4)所以空間的任意元素都可以唯一地表示成空間元素的和?？臻g序列同樣可由一個函數(shù)的伸縮和平移來產(chǎn)生，即子空間的基是 (2.2.5)函數(shù)稱為小波函數(shù)，稱為小波空間。具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 由于，而是的基，故存在序列滿足 （2.2.6）這就是小波函數(shù)的雙尺度方程。由以上論述可知，可以分解成如下圖所示的形式：圖2.1 的多分辨分解相應(yīng)

30、地，函數(shù)f可以被分解成子空間的投影和所有子空間的投影，即 （2.2.7）上式表明，用尺度空間逼近函數(shù)，得到函數(shù)的“近似值，通過將函數(shù)向尺度空間投影可以得到這些“近似值；小波空間包含了信號從j層次逼近j-1層次時所需的“細節(jié)”信息；任何函數(shù)都可根據(jù)分辨率為時的近似值和分辨率為下f的細節(jié)完全重構(gòu)。這也是MallaI算法的思想。 從以上分析可以看出，Mallat從函數(shù)空間分解的概念出發(fā)，在小波變換和多分辨率分析之間建立其聯(lián)系。把平方可積的函數(shù)看成是某一逐級逼近的極限情況。每級逼近都是用某一低通平滑函數(shù)對做平滑的結(jié)果，只是逐級逼近時平滑函數(shù)也做逐級伸縮。這也就是用不同分辨率來逐級逼近待分析函數(shù)。這也就

31、是“多分辨率分析得名的原因。 由上述多分辨率分析和雙尺度方程可知，小波基可由尺度函數(shù)的平移和伸縮的線性組合獲得，其構(gòu)造歸結(jié)為濾波器(的頻域表示)和(的頻域表示)的設(shè)計。因此，濾波器在分解和重構(gòu)中起著很重要的作用。尺度函數(shù)與小波一起，決定了小波函數(shù)族的性質(zhì)和特點。小波分析和多分辨率分析聯(lián)系在一起，小波可納入一個統(tǒng)一的框架多分辨率分析中。尺度函數(shù)又稱低通濾波器，小波函數(shù)又稱帶通濾波器。 在多分辨率分析的理論框架下，Mallat設(shè)計出了基于濾波器組的正交小波分解和重構(gòu)算法一Mallat算法，使小波變換和數(shù)字濾波器緊密聯(lián)系起來，用濾波器組計算等效的離散小波，使信號分解大為簡化。在小波變換多分辨率分析中

32、，信號的分解和重建是通過濾波器來實現(xiàn)的，而不是利用小波函數(shù)或尺度函數(shù)來進行計算。一旦小波函數(shù)確定，可根據(jù)濾波器g、h實現(xiàn)信號的分解和重建，g、h是對應(yīng)于小波變換的高通和低通濾波器。小波函數(shù)或尺度函數(shù)和濾波器組之間有著密切的關(guān)系，如式(2.2.8)、(2.2.9)所示。由小波函數(shù)可以求出濾波器參數(shù)，反之，也可由濾波器來確定一個小波函數(shù)和尺度函數(shù)，因此，小波函數(shù)的選擇很重要。 (2.2.8) (2.2.9)另外，小波方法還可以和其它經(jīng)典的濾波方法結(jié)合，充分利用信號在小波域的信息，以發(fā)揮更大的作用。2.3 Mallat算法Mallat提出了信號的塔式多分辨率分解與重構(gòu)算法，即Mallat算法。Mal

33、lat算法是小波變換的一個快速算法，它在小波分析中的地位頗有些類似FFT在經(jīng)典Fourier分析中的地位。Mallat算法的基本思想如下：假定已經(jīng)計算出一函數(shù)在分辨率下的離散逼近,則f(x)在分辨率的離散逼近，可以通過離散低通濾波對濾波獲得。假如原始信號，它的分辨率為1。這樣原始離散信號可表示為 ,(k0)，也就是說，分辨率為1的原始信號f由低分辨率的逼近及其在 (一K k 一1)分辨率下的細節(jié)信號構(gòu)成，并且 （2.3.1） （2.3.2）其中，而且 （2.3.3）圖22一維DWT的塔式Mallat分解與重構(gòu)可見信號的小波分解和重構(gòu)可通過子帶濾波的形式實現(xiàn)，Mallat算法的塔式分解與重構(gòu)如圖

34、22?？梢宰C明，圖中G為高通濾波器，H為低通濾波器，和分別為G、H的鏡像濾波器。設(shè)原始信號序列 的分辨率和尺度均為1，它的分解過程是：信號經(jīng)過低通濾波器后再進行抽取去1/2，得到分辨率和尺度均減半的信號逼近()；另一方面，經(jīng)過高通濾波器后再抽取去，得到在減半的分辨率和尺度下的細節(jié)信息。它的逆過程是：低尺度和低分辨率的信號逼近通過兩個樣本之間插入零值進行拉伸，再經(jīng)過低通濾波器H得到在高尺度下的低分辨率的逼近；低尺度和低分辨率的細節(jié)同樣經(jīng)過提升尺度后得到高尺度下的細節(jié)；將它們相加就可以重構(gòu)原始信號 (2.3.4)對于圖像，如圖23所示，對圖像進行二層小波分解，第一層高頻系數(shù)HL1，LH2，HH2，

35、第二層低頻系數(shù)LL2，及高頻系數(shù)HL1，LH2，HH2。LL1HL2HL1LH2HH2LH1HH1圖2.3 圖像小波變換二層分解示意圖2.4 小波構(gòu)造 2.4.1 正交小波的概念設(shè)滿足小波母波公式的容許條件，如果其二進伸縮和平移得到的小波基函數(shù)，即 ， （2.4.1）必須構(gòu)成的規(guī)范正交基。下面，將從多分辨分析的角度引入正交小波基和正交小波變換。 從上章多分辨率分析討論可知，任意給定一個多尺度分析，就可以相應(yīng)地得到小波基函數(shù)和一系列相互正交的小波空間。從給定的多尺度分析發(fā)出，根據(jù)上式，將空間進行如下分解，即 （2.4.2）則稱為正交小波，稱為正交小波基函數(shù)。而相應(yīng)的離散小波變換，即 ， （2.4

36、.3）即稱為正交小波變換。正交小波變換在數(shù)學(xué)上具有良好的性質(zhì)，他使得信號的正交分解和重構(gòu)都極為簡單。但是，數(shù)學(xué)家Daubechies已經(jīng)證明了，除了Haar小波以外，所有正交基都不具有對稱性。而非對稱性會在某些應(yīng)用場合引入相位失真。為了解決這個問題，可以適當(dāng)放寬正交性的要求，構(gòu)造出雙正交基，使得小波基函數(shù)具有很多重要特性，例如，緊支性、對稱性等。應(yīng)此下面便引入雙正交小波概念。2.4.2 雙正交小波的概念雙正交基定義設(shè)函數(shù)列和是空間V的兩組基底，如果滿足雙正交條件： ， (2.4.4)則稱和是空間V的雙正交基，并稱是的對偶。如果和是空間V的雙正交基，則對任意，有 (2.4.5)在雙正交基中，如果

37、的對偶就是自身，則雙正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以，我們可以把標(biāo)準(zhǔn)正交基看作雙正交基的特殊情況。我們在上節(jié)給出了Riesez基的概念，正交基是Riesez基的特殊情況，如果和是空間V的兩組Riesez基，并滿足雙正交條件(2.4.5)，則它們就構(gòu)成了雙正交基。在上章我們已經(jīng)給出了多分辨分析的定義。對于空間，設(shè)有兩個多分辨分析和，滿足以下條件：（1），； （2.4.6）（2），；（2.4.7） 其中表示直和，不一定是正交和，表示正交；（3）存在尺度函數(shù)，小波函數(shù)，使得， （2.4.8）， 且是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Riesez基，是的Rie

38、sez基；（4）存在序列,使得 ， （2.4.9）其中，。滿足上述條件的小波與稱為雙正交小波，并稱是的對偶，是的對偶，而且對于任意，有如下分解： （2.4.10）對于雙正交小波，如果的對偶就是自身，即，則變成正交小波。在雙正交小波中，與構(gòu)成兩組對偶的濾波器系數(shù)。在實際應(yīng)用中，一組用于信號的分解，另一組用于重構(gòu)。類似與正交小波的分解公式及重構(gòu)公示的推導(dǎo)， 我們可以得到雙正交小波的分解與重構(gòu)公示： （2.4.11） （2.4.12） （2.4.13）2.4.3 雙正交小波的構(gòu)造理論本節(jié)簡要介紹雙正交小波的構(gòu)造理論，給出主要的結(jié)論，省略了繁雜的具體證明。 設(shè)和都是有限的實數(shù)序列，并設(shè)它們的支集為 ，

39、 (2.4.14)令 ， （2.4.15）定義，滿足 , (2.4.16)可以證明 (2.4.17)并有如下結(jié)論。定理 如果下式成立： （2.4.18）即 （2.4.19）則有（1）與一致收斂，并且在緊支集上絕對一致收斂；（2）， （2.4.20）即 ， （2.4.21）且和具有緊支集，即 ， （2.4.22）下面定義 ， （2.4.23） ， （2.4.24） ， （2.4.25）可以得到以下定理。設(shè)有限實數(shù)列和滿足條件：（1）， （2.4.26）（2）存在常數(shù)C，使 ， （2.4.27）則有 （1）構(gòu)成的一個框架，即存在，對任意，有 （2.2.27）（2）的對偶

40、框架為，并對任意，有 （2.4.28）且其中的級數(shù)為強收斂。（3）與構(gòu)成兩個對偶的Riesez基，且 （2.4.29）根據(jù)定理 ，只需構(gòu)造有限實序列和滿足定理中的條件，然后，令，則和就構(gòu)成了的兩個多分辨率分析，滿足前面2.2.2節(jié)中所介紹的雙正交小波的條件。定理 中條件（1）可由（2.4.17)式驗證。注意，如果，則雙正交就變成正交情形。為了驗證定理中的條件（2），假設(shè)（2.4.15）定義的和可以分解為 ， （2.4.30）其中，為三角多項式，即 ， （2.4.31）則有如下結(jié)論。定理 如果存在，使得 ， （2.4.32）則有，其中。為了

41、驗證，有如下定理定理 設(shè)有限實數(shù)列和滿足條件，假設(shè)存在，使得 （2.4.33）則，并有 . (2.4.34)注 （1）若，則，其中表示階連續(xù)可微函數(shù)的全體；（2）由于，所以,。2.4.4 雙正交小波的性質(zhì) 定理 設(shè)，不是常函數(shù)，其中，如果，有界，則 ， (2.4.35) 推論 設(shè)，特別構(gòu)成的對偶Riesz基，則有（1）能被整除；（2）能被整除。如果，且，則，所以 (2.4.36)另一方面，由（或）可以得出（或）能被（或者）整除，這樣有，從而有 ， （2.4.37）2.5小波變換去噪理論2.5.1小波去噪基本原理從數(shù)學(xué)角度上看，小波去噪過程實質(zhì)上是一個函

42、數(shù)的逼近過程，也就是在由小波母函數(shù)平移和伸縮所展成的函數(shù)空間里，尋找對原圖像的最佳逼近，以達到區(qū)分噪聲信息和原圖像信息的目的。利用小波對圖像進行分解，相當(dāng)于把圖像向平方可積的空間里的各正交基分量上投影，即求各小波基函數(shù)和圖像之間的相關(guān)系數(shù)，即小波變換值。小波變換在頻域和時域里同時具有很好的局部化性質(zhì)，所以通過小波變換消除圖像噪聲，可以更好的保留圖像的邊緣和紋理信息。因為信號具有帶限性，所以信號的小波系數(shù)只在頻率尺度空間的有限部分上存在。從低頻信息和高頻信息上看，一幅圖像經(jīng)過小波分解之后，被劃分為低頻信息和高頻信息，含噪圖像經(jīng)小波分解之后,低頻部分中的信息大部分是圖像的主要信息，而在高頻信息里面

43、大部分是圖像的紋理、邊緣和噪聲信息；從信號能量觀點來講，小波域里，僅有小部分小波系數(shù)對應(yīng)著信號能量，而噪聲的能量分布在所有的小波系數(shù)上，也就是噪聲的能量影響著所有的小波系數(shù)。因為局部圖像的小波分解系數(shù)只在一些比較大的尺度上存在,而且幅值比較大，而噪聲的小波分解系數(shù)的幅值比較小，且廣泛分布在各尺度上。從小波變換的特征可以知道，高斯噪聲經(jīng)小波變換之后依然是高斯分布的，所以，噪聲和圖像被小波分解之后會呈現(xiàn)出不同的特征，基于這些特點，專家和學(xué)者們提出了許多去除噪聲的方法。2.5.2小波去噪基本方法依據(jù)對小波系數(shù)處理方法的不同,常見的圖像去噪方法大致可以分三類：小波分解與重構(gòu)法去噪法、基于小波變換模極大

44、值去噪法和小波閾值去噪法。(1)小波分解與重構(gòu)去噪法小波分解與重構(gòu)法是一種關(guān)于分辨率的分解，一幅圖像經(jīng)小波 n 尺度分解之后，會出現(xiàn)一個低頻子帶，和 3n 個不同的高頻子帶，從而將交織在一起的不同頻率組成的混合信號分解成不同頻段的子信號，所以小波變換具有對信號進行按頻帶分析的性能。小波分解與重構(gòu)法去噪與快速傅里葉方法中多通道的濾波去噪相似，不同的是快速傅里葉方法是將信號變換到頻域，而小波方法是將信號變換到小波域。對于確定性噪聲，且信號和噪聲的頻帶不相互重疊時，用該方法進行去噪特別有效。該方法的基本過程是:按需要將含噪信號分解到某一尺度下的不同頻帶上，之后再將噪聲所處的頻帶置為零，或者直接利用有

45、用信號所在的頻帶進行小波重構(gòu)，從而可達到去除噪聲的目的。這種方法簡單且速度快，缺點是應(yīng)用面窄，對白噪聲去噪效果較差，僅在信號和噪聲頻帶相互分離的時候，去噪的效果比較好。(2)基于小波變換模極大值去噪法基于小波變換模極大值去噪法是 Mallat 提出的一種利用小波變換模極大值原理進行信號去噪的方法。這種方法在去除噪聲的同時，不僅可以有效地保留信號的奇異點信息，而且去噪后的信號不會產(chǎn)生多余振蕩，是原始信號的一個最佳的估計。小波模極大值方法對噪聲的依賴性比較小，故不用計算噪聲方差，因此它對低信噪比的信號去噪效果尤其好。但用這種方法重構(gòu)，計算速度慢;而且小波分解尺度的選擇對這種方法的去噪效果影響很大，

46、大尺度下會丟失某些重要的局部奇異性，小尺度下小波系數(shù)受噪聲影響很大，產(chǎn)生很多偽極值點；所以，利用小波模極大值法去噪還需要選擇合適的小波分解尺度。這種方法主要適用于信號中含有較多奇異點且混有白噪聲的情況。Mallat 首先對小波系數(shù)的模極大值進行處理，接著在小波變換域內(nèi)消除因噪聲干擾產(chǎn)生的模極大值點，最后只保留了由真實信號所產(chǎn)生的模極大值點，可是只通過這些數(shù)量有限的模極大值點重構(gòu)信號，造成誤差會很大。所以，在利用模極大值原理進行信號除噪時，存在由模極大值點重構(gòu)小波系數(shù)產(chǎn)生的誤差問題。(3)小波閾值法小波閾值去噪方法是小波去噪方法中最早被提出來的，閾值去噪方法計算簡單，效果明顯。它的思想是：小波變

47、換猶其是正交小波變換具有很好的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號的能量集中在小波域里那些較大的小波系數(shù)中；而噪聲對應(yīng)的能量卻分布在整個小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后信號的小波系數(shù)幅值較大，數(shù)目較少，而噪聲的小波系數(shù)的幅值較小，數(shù)目較多。故可以認(rèn)為，幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲?；谶@樣的思想 Donoho 提出了小波閾值去噪方法，它可以使大部分噪聲系數(shù)衰減。小波閾值法去噪過程是：首先選擇合適的尺度對含噪聲的信號進行小波分解，對大尺度低分辨率的所有小波系數(shù)給以保留；對各尺度高分辨率下的小波系數(shù)進行閾化處理，確定一個合適的閾值，將幅值比這個閾值低的小波系數(shù)置為零，

48、將幅值比這個閾值高的小波系數(shù)完全保留，或者做相應(yīng)的縮減處理。最后用這些處理后的小波系數(shù)通過逆小波變換進行重構(gòu)，恢復(fù)出原始的信號。小波閾值法主要適用于信號中混有白噪聲的情況，消除噪聲的同時且能很好的保留反映原始信號的特征點。但是經(jīng)硬閾值函數(shù)處理后的小波系數(shù)在閾值-T和閾值T處是不連續(xù)的，利用閾值化后的小波系數(shù)重構(gòu)所得的圖像可能會產(chǎn)生偽吉布斯現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)方法估計出來的小波系數(shù)整體連續(xù)性比較好，用軟閾值法去噪可以使去噪信號是原始信號的近似最佳估計。用閾值法對圖像去噪時，閾值的選擇對去噪效果有著很重要的影響，實際中需要根據(jù)具體的情況來選擇合適的閾值。閾值法的計算速度很快，為，其中N為信號長度，適應(yīng)性廣泛，取得了比較好的效果，是小波去噪方法中應(yīng)用最廣泛的一種。2.6提升小波變換的基本原理Daubechies 等已經(jīng)證明任意有限長濾波器的離散小波變換都可以通過對它的多相矩陣進行因式分解化為有限的提升步驟來解決。提升算法可以實現(xiàn)所有能夠用Mallat算法實現(xiàn)的小波5，計算量約為傳統(tǒng)小波濾波器組算法的一半。提升小波算法的實質(zhì)在于將一個基本小波濾波器分解成基本的構(gòu)造模塊，分步驟完成小波變換，構(gòu)建出一個更加良好的新的小波濾波器，包括分裂、預(yù)測、更新三個步驟。分裂過程是將原始數(shù)據(jù)集（j代表分辨率）分解為低分