復(fù)數(shù)的基本知識

1、補充復(fù)數(shù)的基本知識:1、虛數(shù)單位由于在實數(shù)集R內(nèi)負(fù)數(shù)不能開平方，所以在實數(shù)集內(nèi)方程 x2 1 0無引入虛數(shù)，虛數(shù)單位符號為j，并規(guī)定(1)它的平方等于-1,即j21 ;(2)j可以和實數(shù)一起進行四則運算,原有的加、減運算規(guī)律仍然成.立性質(zhì)：j1j ； j21 ；般地，對于任意整數(shù)n，有:j4n 1 ； j4 n1 j2、復(fù)數(shù)集定義：形如a bj (a,bR)的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。通常用大寫拉丁字母Z表示一個復(fù)數(shù)，即a bj (a,b R)其中a稱為復(fù)數(shù)Z的實部，Re(Z) a ；b稱為復(fù)數(shù)Z的虛部，Im(Z) b ；舉例：2 3j，-1 5j，3j的實部、虛部?有理數(shù)實數(shù)(b 0)無理數(shù) 復(fù)數(shù)a bj

2、 虛數(shù)(b 0)無純虛數(shù) (a 0) 虛數(shù) )非純虛數(shù)(a 0)3、復(fù)數(shù)的相等及共軛復(fù)數(shù)定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部也相等,則稱這兩個復(fù)數(shù)相等，即a bj c dj a c, b d定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)Z a bj的共軛復(fù)數(shù)記作Z a bj例：1 j, 2 3j的共軛復(fù)數(shù)注：(a bj)(a bj) a2 b24、復(fù)數(shù)的幾何表示(復(fù)平面)任何一個復(fù)數(shù)a bj都可以由一對有序?qū)崝?shù) 佝b)唯一確定；反之，任何一對有序?qū)崝?shù)(a,b)都能唯一確定一個復(fù)數(shù)a bj ;因此，復(fù)數(shù)Z a bj與平面直角坐標(biāo)系中的點Z(a,b)是對應(yīng)關(guān)系。于是，

3、可以在平面直角坐標(biāo)系中用橫坐標(biāo)為a，縱坐標(biāo)為b的點Z(a,b)表示復(fù)數(shù)Z a bj。j虛軸a bjb實軸用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)平面稱為 復(fù)平面。復(fù)數(shù)Z a bj與復(fù)平面上的點Z(a,b)是對應(yīng)關(guān)系。即復(fù)數(shù) Z a bj 點 Z(a,b)矢量(或向量)：既有大小又有方向。矢量可以用帶箭頭的有向線段來 表示，箭頭的方向表示矢量的方向，線段的長度表示矢量的大小。如下圖所示：相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。(1) 矢量的大小稱為矢量的模；矢量0Z的模r稱為復(fù)數(shù)Z a bj的模，記作：|Z或a bj即：r Z a bj yja2 b2(2) 矢量的方向以實軸的正半軸為始便，矢量0Z所在的射線為終邊的

4、角，稱為復(fù)數(shù)Z a bj的輻角。非零復(fù)數(shù)的輻角有無窮多個值，他們彼此相差2的整數(shù)倍。通常適合于的輻角稱為主輻角，值稱為輻角的主值。規(guī)定：要用主輻角表示復(fù)數(shù)Z a bj的輻角。模和主輻角可以唯一確定一個非零復(fù)數(shù)。tanarctabrb2Z a bj r (cosjsin )cos sinr5、復(fù)數(shù)的指數(shù)形式歐拉公式： ej cos jsin例如：ej 3 cosj sin 333對于任何一個復(fù)數(shù):例：121 3j j cos1 sine 32 3335j 、34( ； j 5 ).34eja如3v 34V 347、復(fù)數(shù)的四則運算(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式(Z a bj )的加減法(a bj) (c dj

5、) a c (b d)j復(fù)數(shù)的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減(2)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法(a bj )(c dj) ac bd (ad bc) j按多項式的乘法運算法則進行，把所得結(jié)果中j2換成-1，并且把實部、虛部分別合并。例：(2 3j)(1 j) 1 5j (4 3j)(2 3j)17 6j(3) 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法分子與分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分母實數(shù)化后，所得結(jié)果要化簡。c dj (c dj )(a bj)acbdadbc :a bj (abj)(abj)a2b2a2b2j例:1 j51 . j3 2j 1313(4)復(fù)數(shù)指數(shù)形式(Zrej)的乘除運算令 Z11 ；Z2 r2ej2

6、則 Z1?Z2r1ej1r2ej2r1r2ej( 12)Z1r1e丿1口 j(e12)Z2 r2e丿2r 2.4例：(1j)(3 4j)5.2ej(4 arctan3戸 ej(I 7) e右 j1 j(5)復(fù)數(shù)極坐標(biāo)形式(Z r )的乘除運算設(shè)復(fù)數(shù) 1 , Z2 r22Zi ?Z2 rir2 ( i2)號口（iZ2 r2&方程根的求解一元二次方程根的求解。一元二次方程有兩個根，可以是兩個實數(shù)根, 也可以是復(fù)數(shù)根（共軛復(fù)根）例：x2 7x 6 0 xi1，xi6 ；2x2X 20xi,2補充題:i、計算下列各式，并作幾何表示(i)(22j)(i2j)(2)(35j)(32j)(22j)(i2j)3 4jarctan4 53.ir 5在復(fù)平面上描述3(35j)(32j)3j90 r 3在復(fù)平面上描述2、計算下列各式，并化成代數(shù)形式（i）宀伍恬（2