通信原理講稿第11章

1、制作人:劉鎮(zhèn)1第第11章章 差錯控制編碼差錯控制編碼11.1引 言11.2 糾錯編碼的基本原理11.3 常用的簡單編碼11.4 線性分組碼11.5循環(huán)碼制作人:劉鎮(zhèn)2 11.1 引言設(shè)計數(shù)字通信系統(tǒng)時，應(yīng)首先合理選擇調(diào)制、解調(diào)方法及發(fā)送功率。若不滿足要求，則考慮差錯控制。 從差錯控制角度看，信道可以分為三類：即隨機信道、突發(fā)信道和混合信道。隨機信道在隨機信道中、錯碼的出現(xiàn)是隨機的，且錯碼之間是統(tǒng)計獨立的。突發(fā)信道錯碼是成串集中出現(xiàn)的。混合信道存在隨機和突發(fā)兩種錯碼。制作人:劉鎮(zhèn)3常用的差錯控制方法有以下幾種： 檢錯重發(fā)法接收端在收到的信碼中檢測出(發(fā)現(xiàn))錯碼時，即設(shè)法通知發(fā)送端重發(fā)，直到正確收

2、到為止。前向糾錯法接收端不僅能發(fā)現(xiàn)錯碼，還能夠確定錯碼的位置，能夠糾正它。反饋校驗法接收端將收到的信碼原封不動地轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)送端與原信碼比較。若發(fā)現(xiàn)錯誤則發(fā)端重發(fā)。三種差錯控制方法可以結(jié)合使用。制作人:劉鎮(zhèn)4接收端根據(jù)什么來識別有無錯碼由發(fā)送端的信道編碼器在信息碼元序列中增加一些監(jiān)督碼元。這些監(jiān)督碼和信碼之間有確定的關(guān)系，使接收端可以利用這種關(guān)系由信道譯碼器來發(fā)現(xiàn)或糾正可能存在的錯碼。 在信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元就稱為差錯控制編碼，有時也稱為糾錯編碼。差錯控制編碼原則上是以降低信息傳輸速率為代價來換取傳輸可靠性的提高。制作人:劉鎮(zhèn)5ARQ系統(tǒng)組成信源編碼器和緩沖存儲重發(fā)控制雙向信道譯碼器指令產(chǎn)生

3、緩沖存儲收信者ARQ優(yōu)點：冗余碼元少、對信道有自適應(yīng)能力、成本和復(fù)雜性低；ARQ缺點：需要反向信道、重發(fā)控制較復(fù)雜、干擾大通信效率低、實時性差。制作人:劉鎮(zhèn)6例：3位二進制數(shù)字構(gòu)成的碼組，共有8種不同的組合。若將其全部利用來表示天氣，則可以表示8種不同的天氣。000(晴)，001(多云)，010(陰)，011(雨)，100(雪)， 101(霜)， 110(霧)， 111(雹)。任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個或多個措碼則將變成另一信息碼組。這時接收端將無法發(fā)現(xiàn)錯誤。 11. 2 糾錯編碼的基本原理制作人:劉鎮(zhèn)7若：000=晴001 =不可用010 =不可用011=云100 =不可用101=陰110=

4、雨111 =不可用則： 雖然只能傳送4種不同的天氣但是接收消卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個錯碼。 例如，若000(晴)中錯了一位，則接收碼組將變成100或010或001，這三種碼組都是不準許使用的，稱為禁用碼組，故接收端在收到禁用碼組時，就認為發(fā)現(xiàn)了錯碼。制作人:劉鎮(zhèn)8但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)兩個措碼，因為發(fā)生兩個錯碼后產(chǎn)生的是許用碼組。上述碼只能檢測錯誤，不能糾正錯誤。例如，當收到的碼組為禁用碼組100時，無法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯誤因為晴、陰、雨三者錯了一位都可以變成100。要想能糾正錯誤，還要增加多余度。例如，苦規(guī)定許用碼組只有兩個：000(晴)、111(雨)、其余都是禁用碼組。這時，接收場能檢測兩

5、個以下錯碼，或能糾正一個錯碼。制作人:劉鎮(zhèn)9分組碼的一般概念。為了傳輸4種不同的信息，用兩位二進制碼組就夠了，它們是：00、01、10、11。代表所傳信息的這些兩位碼，稱為信息位。前面使用3位碼，多出的一位稱為監(jiān)督位。信息碼分組，每組信碼附加若干監(jiān)督碼的編碼集合，稱為分組碼。例如制作人:劉鎮(zhèn)10制作人:劉鎮(zhèn)11分組碼的結(jié)構(gòu)符號 (n，k)表示分組碼k信息碼元數(shù)n碼組長度(碼長)n-k監(jiān)督碼元數(shù)an-1an-2arar-1a0k位信息位r位監(jiān)督位n=k+r時間制作人:劉鎮(zhèn)12碼重、碼距與碼的糾檢錯能力碼重“1”的數(shù)量稱為碼組的重量碼距兩個碼組對應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組的距離，簡稱碼距。又稱漢

6、明(Hamming)距離。最小碼距某種編碼中各個碼組間距離的最小值稱為最小碼距(d0)。若記： d0 最小碼距； e檢錯位數(shù)； t糾錯位數(shù)；則有：制作人:劉鎮(zhèn)13（1） e +1 d0，即碼的檢錯能力e比最小碼距d0小1位；（2）2t+1 d0，即碼的糾錯能力t的2倍比最小碼距d0小1位；（3） e +t+1 d0 ，即若碼同時糾t個錯并檢出e個錯誤，則e +t比最小碼距d0小1位。以下說明：制作人:劉鎮(zhèn)14（1） e +1 d0制作人:劉鎮(zhèn)15（2） 2t +1 d0制作人:劉鎮(zhèn)16（3） t +e+1 d0制作人:劉鎮(zhèn)17差錯控制編碼的效用 假設(shè):發(fā)送“0”的錯誤概率和發(fā)送“1”的錯誤概率

7、相等，都等于P，且P1，則在碼長為n的碼組中恰好發(fā)生r個錯碼的概率為rrnrrnnprnrnpprPC)!( !)1 ()(例如，當碼長n7時，p=10-3則有P7(1) 7p= 710-3 ；P7(2) 21p2=2.110-5 ；制作人:劉鎮(zhèn)18P7(3) 35p3=3.510-8?？梢?，采用差錯控制編碼，即使僅能糾正(或檢測)這種碼組中12個錯誤，也可以使誤碼率下降幾個數(shù)量級。這就表明，即使是較簡單的差錯控制編碼也具有較大實際應(yīng)用價值。制作人:劉鎮(zhèn)19 11. 3 常用的簡單編碼1奇偶監(jiān)督碼奇偶監(jiān)督碼包括奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼。只有一位監(jiān)督位。在偶監(jiān)督碼中，監(jiān)督位使碼組中“l(fā)”的個數(shù)為偶

8、數(shù)，即滿足下式條件在奇監(jiān)督碼中，監(jiān)督位使碼組中“l(fā)”的個數(shù)為奇數(shù)，即滿足下式條件0021aaann1021aaann制作人:劉鎮(zhèn)202二維奇偶監(jiān)督碼又稱方陣碼。每一行是奇偶監(jiān)督碼的一個碼組，若干碼組再按列排列成矩陣，每列增加一位監(jiān)督位。制作人:劉鎮(zhèn)21二維奇偶監(jiān)督碼特點：l可檢測偶數(shù)個錯誤l適于檢測突發(fā)錯碼。l不僅可檢錯，還可糾一些錯。l檢錯能力強。制作人:劉鎮(zhèn)223恒比碼每個碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。應(yīng)用：電傳機傳輸漢字，每個漢字用4位阿拉伯數(shù)字表示。每個阿拉伯數(shù)字又用5位二進制符號構(gòu)成的碼組表示。每個碼組的長度為5位，其中恒有3個1，稱為5中取3恒比碼?？赡芫幊傻牟煌a組數(shù)等

9、于從5中取3組合數(shù)30。30種許用碼組恰好可用來表示10個阿拉伯數(shù)字。制作人:劉鎮(zhèn)23 4正反碼一種簡單的能夠糾正錯碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)與信息位數(shù)相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同(是信息碼的重復(fù))或者相反(是信息碼的反碼)。 由信息碼中“1”的個數(shù)而定。解碼方法：先將接收碼組中信息位和監(jiān)督值按位模2相加，產(chǎn)生校驗碼組。最后，觀察校驗碼組中“1”的個數(shù)，按表93進行判決及糾正可能發(fā)現(xiàn)的錯碼。制作人:劉鎮(zhèn)24 11. 4 線性分組碼 從上節(jié)介紹的一些簡單編碼可以看出，每種編碼所依據(jù)的原理各不相同，而且是大不相同，其中奇偶監(jiān)督碼的編碼原理利用了代數(shù)關(guān)系式。我們把這類建立在代數(shù)學基礎(chǔ)上的編碼稱為代數(shù)碼

10、。在代數(shù)碼中，常見的是線性碼。線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的，或者說，線性碼是按一組線性方程構(gòu)成的。本節(jié)將以漢明(Hamming)碼為例引入線性分組碼的一般原理。制作人:劉鎮(zhèn)25回顧奇偶監(jiān)督碼在接收端解碼時，實際上就是在計算若S0，認為無錯；若S1，認為有錯。上式稱為監(jiān)督關(guān)系式，S稱為校正子。S只有兩種取值，只能代表有、無錯兩種信息，不能指出錯碼位置。如果監(jiān)督位增加一位，則增加一個監(jiān)督關(guān)系式。由于兩個校正子的可能值有4種組合：00，01，10，11，故能表示4種不同狀態(tài)。0021aaann021aaaSnn制作人:劉鎮(zhèn)26若用其一種表示無錯，則其余3種就可能用來指示一位錯碼

11、的3種不同位置。同理r個監(jiān)督關(guān)系式能指示一位錯碼的(2r-1)個可能位置。 一般地，若碼長為n，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)r=n-k。如果希望用r個監(jiān)督位構(gòu)造出r個監(jiān)督關(guān)系式來指示一位錯碼的n種可能位置，則要求 2r-1 n，或者 2r r+k+1制作人:劉鎮(zhèn)27舉例說明如何構(gòu)造監(jiān)督關(guān)系式：設(shè)(n，k)分組碼中r=4。為了糾正一位錯碼，要求監(jiān)督拉數(shù)r 3。若取r=3，則n=k+r=7。校正子與錯碼位置的對應(yīng)關(guān)系如表94規(guī)定(也可以另外規(guī)定) 。S1S2S3錯碼位置S1S2S3錯碼位置001A0101A4010A1110A5100A2111A6011A3000無錯制作人:劉鎮(zhèn)28由表可見，當一錯碼

12、在a2,a4，a5或a6時校正子S為1；否則S為0即構(gòu)成如下關(guān)系同理24561aaaaS13562aaaaS03463aaaaS在發(fā)送端編碼時，信息位a6a5a4a3的值決定于穩(wěn)入信號，因此它們是隨機的。監(jiān)督值a2a1ao應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來確定即監(jiān)督位應(yīng)使上三式中的值為零(表示編成的碼組中應(yīng)無錯碼)，由此得到方程組制作人:劉鎮(zhèn)2901356aaaa00346aaaa02456aaaa由此解出3561aaaa3460aaaa4562aaaa給定信息位后，可直接按上式算出監(jiān)督位，其結(jié)果如表95所列。制作人:劉鎮(zhèn)30信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2

13、a1a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111制作人:劉鎮(zhèn)31 接收端收到每個碼組后，先按監(jiān)督方程計算出S1、S2、 S3 ，再按表94判斷錯碼情況。例，接收0000011，可得：S1S2S3=011 。由表94可知在a3位有錯碼。 (7，4)漢明碼：l最小碼距d0=3l糾一個錯碼或檢測兩個錯碼。l編碼效率k/n=(2r-1-r)(2r-1)=I-rn。當n很大時，則編碼效率接近1。制作人:劉鎮(zhèn)32線性分組碼的

14、般原理。線性分組碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線性方程的編碼。改寫為01356aaaa00346aaaa02456aaaa01356aaaa000101110123456aaaaaaa001010110123456aaaaaaa010011010123456aaaaaaa制作人:劉鎮(zhèn)330001011001110101011101000123456aaaaaaa(模2)簡記為 或TTHA00TAH制作人:劉鎮(zhèn)34101100111010101110100H稱為監(jiān)督矩陣IrPH001010100101111011110H矩陣的各個行是線性無關(guān)的行數(shù)=監(jiān)督位數(shù)，列數(shù)=碼字長度典型陣制作人:劉鎮(zhèn)353

15、561aaaa3460aaaa4562aaaa345620111aaaaa345611011aaaaa345601101aaaaa制作人:劉鎮(zhèn)363456012101111011110aaaaaaa Qaaaaaaaaaaa34563456012011101110111轉(zhuǎn)置得制作人:劉鎮(zhèn)37 Gaaaaaaaaaaaaaaa3456345601234560111011101110001001001001000QIGknk0111011101110001001001001000稱為生成矩陣制作人:劉鎮(zhèn)38GaaaaA3456生成矩陣G的每一行都是一個碼組。例如，（參照前頁矩陣G）。利用生成矩陣，

16、碼字TTHA0再由 得，0TTTMHGMGHMG0THG制作人:劉鎮(zhèn)39譯碼,若發(fā)送碼組為接收碼組為二者之差為其中E稱為錯誤圖樣。021,aaaAnn021,bbbBnn021,eeeABEnniiiiibabae, 1, 0表示該位接收碼元無錯；表示該位接收碼元有錯。制作人:劉鎮(zhèn)40 接收端譯碼時計算當接收碼組無錯時S等于零有錯但不超過檢錯能力時， S不等于零。在錯碼超過檢錯能力時，B變?yōu)榱硪辉S用碼組，仍能成立S等于零。這樣的錯碼是不可檢測的。S稱為校正子(伴隨式) 。S只與E有關(guān)，而與A無關(guān)，意味著S與E有的線性變換關(guān)系，能與E一一對應(yīng)，可指示錯碼位置。SEHEHAHHEABHTTTTT)

17、(制作人:劉鎮(zhèn)41 線性碼重要性質(zhì)之一，是它具有封閉性。 若：A1和A2是線性碼中的兩個許用碼組，則：(A1+A2)仍為其中的一個碼組。由封閉性，兩個碼組之間的距離必是另一碼組的重量。故碼的最小距離即是碼的最小重量(除全“0”碼組外)。 線性碼又稱群碼，這是由于線性碼的各許用碼組構(gòu)成代數(shù)學中的群。制作人:劉鎮(zhèn)42 11. 5 循環(huán)碼11. 5 . 1 循環(huán)碼原理： 在線性分組碼中，有一種重要的碼稱為循環(huán)碼。循環(huán)碼除了具有線性碼的一般性質(zhì)外還具有循環(huán)性，即任一碼組循環(huán)一位(將最右端的碼元移至左端，或反之)以后，仍為該碼中的一個碼組。即若 是許用碼組，則 也是許用碼組。021,aaaAnn102,

18、nnaaaA制作人:劉鎮(zhèn)43循環(huán)碼舉例(7,3)循環(huán)碼碼組信息位監(jiān)督位碼組 信息位監(jiān)督位編號a6a5a4a3a2a1a0編號a6a5a4a3a2a1a00000000041001011100101115101110020101000611001013011100171110010制作人:劉鎮(zhèn)44碼組的多項式表示碼多項式。例如 A=1100101 A(x)=1x6+1x5+0 x4+0 x3+1x2+0 x1+1x0 =x6+x5+x2+1碼多項式表示具有線性的性質(zhì)021,aaaAnn0112211)(axaxaxaxAnnnn制作人:劉鎮(zhèn)45碼多項式的按模運算循環(huán)移位對應(yīng)的碼多項式如果規(guī)定xn

19、=x0，即規(guī)定xn+1=0，則有021,aaaAnn102,nnaaaA1102312)( nnnnnaxaxaxaxA)()( xAxxA制作人:劉鎮(zhèn)46這種xn+1=0的規(guī)定，實質(zhì)上是一xn+1為模的運算。對于整數(shù)m,若可以表示為則稱m=p(模n) ，或稱m與p是同余的。碼多項式也有類似的運算。多項式F(x)被n次多項式N(x)除，得到商式q(x)和一個次數(shù)小于n的余式R(x)，即 F(x)q(x)N(x)+R(x)則寫為F(x)R(x) ( 模N(x) )npQnm制作人:劉鎮(zhèn)47碼多項式系數(shù)仍按模2運算，即只取值0和1。例如于是，可以有由此可見為了使xn=1，只需做模xn+1的運算即可

20、。例如：x4+x2+1=x2+x+1 模x3+1111111133333xxxxx) 1(mod133xx制作人:劉鎮(zhèn)48由前面的分析可知，若T(x)是碼多項式，則在模xn+1的運算條件下， xiT(x)仍然是碼多項式。 制作人:劉鎮(zhèn)492循環(huán)碼的生成矩陣G 若能找到k個線性無關(guān)的碼組,就能構(gòu)成矩陣G。在循環(huán)碼中，一個(n，k)碼有2k個不同碼組，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為0的碼組，即 g(x)=0 1x x k位 n-k位則g(x) 、xg(x)，x2g(x) ，xk-1g(x)都是碼組，而且這k個碼組是線性無關(guān)的。因此可以用來構(gòu)成循環(huán)碼的生成矩陣G。 制作人:劉鎮(zhèn)50例 表96

21、的循環(huán)碼, 唯一的一個(n-k)次碼多項式代表的碼組是0010111，相對應(yīng)的碼多項式為)()()()(21xgxxgxgxxgxGkk一旦確定了g(x)，則整個(nk)循環(huán)碼就被確定了。因此,循環(huán)碼的生成矩陣G可以寫成制作人:劉鎮(zhèn)51這個生成矩陣不是系統(tǒng)碼的生成矩陣，可以通過行變換，變換成系統(tǒng)碼的生成矩陣。001011101011101011100)()()(2xgxxgxgxG g(x)x4+x2+x+1將此g(x)代入上式，得到制作人:劉鎮(zhèn)52g(x)的性質(zhì)：lg(x)必須是一個常數(shù)項a0=1；l次數(shù)為(n-k)次；l唯一的(n-k)次多項式；l我們稱這唯一的g(x)為碼的生成多項式。l

22、g(x)是xn+1的因式（見后面分析）。制作人:劉鎮(zhèn)53說明g(x)是xn+1的因式。因為任碼多項式T(x)都是g(x)的倍式，所以有 T(x)=h(x)g(x)g(x)本身也是一個碼組，其次數(shù)為n-k次。把它循環(huán)移位k次仍為一個碼組。所以xkg(x)是n次多項式，在模xn+1 運算下，所以即) 1(mod),()(nkxxTxgx1)()(1)(nnkxxTxQxxgx制作人:劉鎮(zhèn)54因為xkg(x)是n次的，所以Q(x)=1 。所以所以即 g(x)是xn+1的因式。 這樣就可以通過對xn+1的因式分解得到g(x).1)()(11)(11)(nnnkxxgxhxxTxxgx1)()(nkxx

23、gxhx制作人:劉鎮(zhèn)55因為所有碼多項式T(x)都可被g(x)整除。所以非系統(tǒng)碼編碼：T(x)=m(x)g(x)系統(tǒng)碼編碼：l用xn-k乘m(x)，即把m(x)左移n-k位；l用xn-k除以g(x)，得余式r(x)；lT(x) =xn-km(x)+ r(x)11.5.2 循環(huán)碼的編、解碼方法制作人:劉鎮(zhèn)56例：信息碼110，信息碼多項式m(x)=x2+x生成多項式g(x)=x4+x2+x+1即于是，編出碼字1100000+101=1100101制作人:劉鎮(zhèn)57隨機信號分析隨機信號分析平穩(wěn)隨機過程的定義、性質(zhì)；什么是廣義平穩(wěn)隨機過程？平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度如何定義，有何性質(zhì)？平穩(wěn)隨

24、機過程通過線性系統(tǒng)后，均值、自相關(guān)與方差、功率譜密度有何關(guān)系？制作人:劉鎮(zhèn)58什么是高斯噪聲？什么是高斯白噪聲？什么是窄帶高斯噪聲？窄帶高斯噪聲的幅度和相位服從什么分布？窄帶高斯噪聲的同相分量和正交分量服從什么分布？習題1、2、3、7、8、12制作人:劉鎮(zhèn)59信道信道信道分類：廣義信道與狹義信道、調(diào)制信道與編碼信道、恒參信道與變參信道；離散信道信道的信道容量是如何定義的，它的物理意義是什么？連續(xù)信道信道的信道容量是如何定義的（山農(nóng)公式）？習題8、13、14、15制作人:劉鎮(zhèn)60模擬調(diào)制模擬調(diào)制幅度調(diào)制的原理（時域表達式、頻域表達式、波形圖、頻譜圖）；相干解調(diào)AM、DSB、SSB、VSB原理、信噪比計算；瞬時頻率與瞬時相位、調(diào)頻與調(diào)相信號的時域表達式、帶寬的計算；相干解調(diào)器的原理、相干解調(diào)輸入和輸出信噪比、寬帶調(diào)頻單音調(diào)制信噪比的計算。習題：7、9、10、13制作人:劉鎮(zhèn)61數(shù)字信號的基帶傳輸數(shù)字信號的基帶傳輸基帶傳輸系統(tǒng)組成模型。基帶數(shù)字信號的時域表達式、功率譜密度的一般表達式；碼型的概念與常用碼型（單極性非歸零、單極性歸零、雙極性非歸零、差分碼、AMI、HDB3）。單、雙極性非歸零碼的功率譜的特點；制作人:劉鎮(zhèn)62理解奈奎斯特第一準則的推導過程與