高中數學--《導數》練習

1、高中數學-導數練習1、已知函數f(x) ax3 bx2在點(3, f(3)處的切線方程為12x 2y 27 0,且對任意的x 0, f (x) kln(x 1)恒成立.(i)求函數f (x)的解析式；(n)求實數k的最小值； 1 11*(出)求證：1 k ln(n 1) 2 ( n N ).2 3n1 ln( x 1)2、已知函數f (x) -(x 0).x(I)函數f(x)在區(qū)間(0,)上是增函數還是減函數？證明你的結論；k . (n)當x 0時，f(x) 恒成立，求整數k的最大值；x 1(出)試證明：(1 1 2) (1 2 3) (1 3 4) L (1 n(n 1) e2n 322-1

2、 ln x3、已知函數f(x)x(1)若函數f(x)在區(qū)間(a, a(2)當x 1時,不等式f (x)1-)(a 0)上存在極值點，求實數 a的取值范圍; 3k . . 一 恒成立，求實數 k的取值范圍；(3)求證:(n21)!xn(n 1)e12 2Ln 1. ( n N , e為自然對數的底數)4、已知函數f (x) ln xg(x)(1)求函數F(x) f (x) g(x)的單調區(qū)間;(2)當x 1時，函數f(x) g(x)恒成立，求實數 k的取值范圍;(3)設正實數 a1,a2,L ,an滿足 a a2 L an 1.求證：ln 11,2ln 1a11,.12L In 12a2an2n

3、2n-25.已知函數f(x) ln(x a) x的最大值為0,其中a 0。(1)求a的值；(2)若對任意x 0,)，有f(x) kx2成立,求實數k的最大值;(3)證明： i i 2i*ln(2n 1) 2(n N )x6、已知函數 f(x) 1 In(0 x 2).2 x(1)是否存在點 M(a,b),使得函數y f (x)的圖像上任意一點 P關于點 M對稱的點 Q也在函數y f(x)的圖像上？若存在，求出點 M的坐標；若不存在，請說明理由；2nli 122n 1*(2)定義 Snf(-) f (-) f (-) f ()，其中 n N，求 S2013；i 1 n n nna一 .- m .

4、*(3)在(2)的條件下，令Sn12an,若不等式2 n(an)1對n N且n2恒成立，求實數 mln xx的取值范圍.7、已知函數 f (x) x ln x , g(x)(I)求函數f (x)的極值和單調區(qū)間;(n)對于x 0的任意實數，不等式 g(x)ax 1f (x)恒成立，求實數a的取值；(m)數列l(wèi)n n( n2N )的前n項和為Sn,求證：(n一)- 2nSnn(n 1)(n 1)f (x) 6x 2 ,數列an的前n項和為Sn,點8、已知二次函數f(x) px2 qx( p 0),其導函數為* 一(n,Sn)(n N )均在函數y f(x)的圖像上；.(i)求數列an的通項公式；

5、1(n)若Cn-(an2),2bl22b223b3L2nbnCn ,求數列 bn的通項公式；3n ln k 2n2 n 1*(m)已知不等式ln(x 1) x(x 0)成立，求證：(n N ,n 2)k 2 k24(n 1) '1、已知函數f (x) ax3 bx2在點(3, f(3)處的切線方程為12x 2y 270,且對任意的x0,f (x) kln(x 1)恒成立.(i)求函數f (x)的解析式；(n)求實數k的最小值;(m)求證:1*一 ln(n 1) 2 ( n N )解：（I）將x 3代入直線方程得27a 9b 9 f (x) 3ax22bx, f (3)聯立，解得a(D)

6、(x)=X2 X1,b 1322X6,27a 6bf(x)1x33k ln( x 1)在 x261 2x20,設 g(x)x k ln(x 1)0,恒成立;g (x) 2x2x x k ln( x 1),k 2x2 x1 x 1g（0） 0 , 只需證對于任意的x 0,有 g(x)g(0)1)當=18(k 1) 0,即g(x)在 0,單調遞增，2)當=18(k 1) 0,即由 x1x2綜上分析,（出）令k 1,x 0,X 1k 9 時，h(x) 0, 8g(x) g(0)設 h(x)g (x)9,口、2k 一時，設Xi,X2是方程2x82x20的兩根且x1x21i八，c ，一,可知Xi0 ,分

7、析題意可知當x20時對任意2實數k的最小值為1 /曰1一,得一=1，原不等式得證.2、已知函數f(x)（I ）函數(n)當 x0,有 g(x)g(0);2212111n9 -7 分81.ln( x 1),即 x x2ln(x 1)在 x0,恒成立；9分ln(1 n1321 2 3ln(n 1)-13 分1)1-2 n1 2 n1 ln(x 1)(x(ln 2ln(nln(nln1)1)1) In n11(ln3 ln2) L (ln(n 1)ln(n 1)(n 1)nln(n 1)0).xf（x）在區(qū)間（0,）上是增函數還是減函數？證明你的結論;0時,f(x)In n)（出）試證明：（11 2

8、) (1k值成立，求整數k的最大值；x 12 3) (1 3 4) L (1 n(n 1) e2n 3解：（I ）由題x0, f (x)1二 1n(X 1)0,故f （x）在區(qū)間（0,）上是減函數；3分(n)當x 0時,f(x)一 Xk恒成立，即1X 11 ln(x 1)在(0, x x 1取h(x) 1 xln(x1),則 h(x)x 1 ln(x 1)再取g(x) x 1ln(x而 g(1) ln20,g(2)11),則 g (x) 1 x 11 ln3 0,g(3) 2x 12ln 20,故g(x)在(0,)上單調遞增,故g(x) 0在(0,)上存在唯一實數根a (2,3),a 10,

9、ln(a7分1) 0,故 x (0, a)時，g(x) 0;x (a,)時,g(x)0,故 h(x)min一ln(a 1)1 (3,4), k3,故 kmax(m)由(n)知:1 ln(x 1)令 x n(n1),ln1n(n 1)0)ln(x 1)又 ln(1 12)(1 2 3)(14)n(n 1)L (1 n(n3(1 n1)ln(1 12)ln(13)ln(1 n (n1),10分111,2n 3(1 2) (23) L1 nn)1 n 1 即：(1 1 2) (12n 3(13、已知函數f (x)2n3)(11 ln x(1)若函數f (x)在區(qū)間(2)當x 1時，不等式(3)求證：

10、(n 1)! 23 2n 3n 13 4) L (1 n(n1)2n 3 e12分(a, af(x)(n解：(1)函數f(x)定義域為則f(x)在0,1上單增,由題意得(2)令 g(x)g (x)1時，不等式1、， c、，一-)(a 0)上存在極值點，求實數 a的取值范圍;3k工恒成立,求實數1)e0,1,f(x)1 1 ln x,xx 1 1 ln x x1時，f上單減,k的取值范圍;e為自然對數的底數)x 1 ln x 12x0,當x 1時，fln x-2，xx 0,函數1,故所求實數1 lnx 1 1 ln xf (x)在x 1處取得唯一的極值。a的取值范圍為2-,13x 1 1 ln

11、xg(x)在 1,x x ln x一2x1.乂如乂乂1,則卜* 1一0,當且僅當x恒成立。1時取等號。所以h x因此(x)x ln x h x0,則g(x)在1, 上單調遞增,x min所以2,即實數k的取值范圍為,2(3)(2)知，當x 1時，不等式f(x)2 .恒成立,1lnlnx 二x 110分分別令,L ,lnln 1221 ,k1,2,3,L,n32故 1 22 324、已知函數(1)求函數,則有l(wèi)nN則有l(wèi)n112 12In將這n個不等式左右兩邊分別相加,(n21)!(n 1)ef (x) ln xg(x)F(x) f (x)x 1g(x)的單調區(qū)間;1k-1則得14分x In x

12、在1,上單調遞增，h x h 11 0(2)當x 1時，函數f (x) g(x)恒成立，求實數k的取值范圍;(3)設正實數a1,a2,L ,an滿足a1 a2 L an 1 .求證:lnL ln12an2n2n 2解：(1) F(x)ln x kF(x)由x2當2(1k 一(x k)xx 1x 1x2 2(1 x(xk)x 11 0的判別式0,2 時，F (x)22_4(1 k) 4 4(k2k),0恒成立，則F(x)在(0,)單調遞增；2當k 0時，F (x) 0在(0,)恒成立，則F(x)在(0,)單調遞增；3分當k 2時，方程x2 2(1 k)x 1 0的兩正根為k 1 Jk2 2k,k

13、 1 Jk2 2k則 F(x)在(0,k 1 Jk2 2k)單調遞增，(k 1 Jk2 2k,k 1 Jk2 2k)單調遞減(k 1 Jk2 2k,)單調遞增.綜上，當k 2時，只有單調遞增區(qū)間；當k 2時，單調遞增區(qū)間為(0,k 1 Jk2 2k) , (k 1 Jk2 2k,)；單調遞減區(qū)間為(k 1 Jk2 2k, k 1 Jk2 2k).5分(2)即x 1時，F(x) 0恒成立.當k 2時，F(x)在(0,)單調遞增,當x 1時，F(x) F(1) 0滿足條件. 7分當 k 2時，F(x)在(k 1 Jk2 2k,k 1 Jk2 2k)單調遞減,則F(x)在(k 1展故實數k的取值范圍

14、為2k)單調遞減，此時(3)(2)知，lnx,2 .x 1在(1,x 1F(x) F(1) 0不滿足條件,分)恒成立,ln(1工，則anln(11-2an12an22an2 122an 110分又( 2a1 1 2(2alnln(1i 11-2 )ai1_2a212a24)ai5.已知函數f (x)1 2n2 n 2ln(x12a22a匕 1)a)(24(1)求a的值;n(3)證明:(2)若對任意2 ln(2 n2i 1解：(1) f(x)12an 1>1) (2a2 1)L (2an1)11分2n2n 213分x的最大值為0,其中a1)定義域為(-a,+ 8)0,)，有 f (x)i

15、0。.2、kx成立，求實數k的最大值;2(nf(x)1 x a，由 f' (x) =0,彳導 x=1-a>-a.x ax(-a,1-a)1-a(1-a,+ 8)f ,(x)+0-f(x)增極大值減當x變化時,f,(x), f(x)變化情況如下因此，f(x)在x=1-a處取得最大值，故 f(1-a)=a-1=0, 所以a=1.(2)當k 0時，取x 1有f(1) ln 2 1 0,故k 0不合題意.當 k<0 時，令g(x) ln( x 1) x kx2, xg,(x)1 2kxx 2kx(x 1)(1,)x( 2kx 2k 1)，令 g<x)00, x22k 12kx

16、20,g，(x)0在0,恒成立，因此g(x)在(0, +8)單調遞增從而對任意的x 0,+ 8 )，總有g(x) > g(0)=0,即f (x) > kx2在0,+ 00 )恒成立。一 1故k-符合題意。2當-1 k 0時,2X20,對于 x (0, x2), g,(x) 0,故gx在(0, x2)內單調遞減。因此取X01(0,x2),g(x0) g(0),即f(x0)做不成乂。故-5 k0不合題意，一一 1綜上，k的最大值為-12(3)當n=1時，不等式左邊=2<ln3+2=右邊，不等式成立. 當n>2時，n 2勺)i 1 2i 12 ln 1 2i在(2)中取-2得

17、 f(x)Qi所以有l(wèi)n(2n1)2萬n 2i 1 2i 122n12/x (x22nln 2ii 10)>ln3-2-綜上,i 2 2i23 2i2i 1ln(2n1)(2i 3)(i N,iln 2i2)片 1n 2n_2_10分2i 16、已知函數f (x)1 ln(1)是否存在點22i1 = f(2)22i 1=ln3-2- 11) 2六(0=ln3-2-1 +(nM (a,b),使得函數y f (x)的圖像上？若存在，求出點2n 1(2)定義&2i 3 2i 11 >-2.2n 12).12分y f(x)的圖像上任意一點P關于點M對稱的點 Q也在函數M的坐標；若不

18、存在，請說明理由;i 12f(1)f(1) f(2)(3)在(2)的條件下，令Sn 1 2an , 的取值范圍.解：(1)假設存在點 M(a,b),使得函數y2n 1f()，其中 n N ,求 S2013； n_ a-. m一一*若不等式2 (an)1對n N且nf(x)的圖像上任意一點 P關于點f(x)的圖像上，則函數 yf (x)圖像的對稱中心為 M (a,b).f (x) f(2a x) 2b,得 1xln 2 x2a x1 ln 2 2a2b ，2 2b2, x 2axln -2x 2ax 4 4a(0,2)恒成立,所以2b2恒成立，求實數m對稱的點Q也在函數所以存在點 像上.M (1

19、,1),使得函數f (x)的圖像上任意一點4P關于點4a0,解得0,M對稱的點(2)1)得f(x) f(2x)2(0x 2).令 x因為Snf(1) nf(2) nf(2-) n1 _ f(2 一),所以f(21-)f(2 n2) nf(-) fnn (1),n則 f (-)f (2 -)1,1.Q也在函數y2(i 1,2,f (x)的圖,2n 1).由+得2Sn 2(2n 1),所以Sn2n1(nN ).所以 S20132 2013 1 4025.(3)由(2)得 &2n*1(n N ),所以anSn12n(n N).因為當n2時,2an (an)m2nnln nmln 2所以當n2

20、時,不等式m + 、恒成立ln 2minmln 2設 g(x)(x0),貝 U g (x)ln x(ln x)2.當 0 x e時，g (x)g(x)在(0,e)上單調遞減;當 x e時，g (x)因為g(2)g(3)02ln2g(x)在(e,)上單調遞增.3ln3ln9 ln8 -0 ，ln2 ln3所以 g(2)g(3),所以當n且n 2時,g(n)min g(3)3ln3由 g(n)min，得ln 2 ln 3所以實數m的取值范圍是(mln 23ln 23ln 2ln 37、已知函數 f(x) x ln x , g (x)ln3ln x).(i)(n)x求函數f (x)的極值和單調區(qū)間；

21、對于x 0的任意實數，不等式 g(x)ax 1 f (x)恒成立，求實數 a的取值；數列l(wèi)n n(n N )的前n項和為& ,求證：(n 1) Sn 2nn(n 1)(n 1)x(0,1) e1ed,) ef'(x)0f(x)極小值(m)3),單調遞減區(qū)間為1 一，(0,一)；極小值為f(1) e(I)解：f '(x) ln x 1,一一、,1由上表可知，單調遞增區(qū)間為 (1,(n)因為x 0,所以eln x x2x，15，、ln x 一，設 m(x) xe ln x x,n(x)In m'(x)1 12(1) x x(In x x)2x1 x 2ln x再令h

22、(x)(x0)x 2ln x, h'(x)0,h(x)在(0, 當 x (1, 當 x (1,)上是單調遞增函數，且xh(1)時，h(x) 0.當 x (0,1)時,0.當x m'(x)(0,1)時, 0;h(x) 0;)時,m'(x) 0.所以n(x)在(0,1)上遞增，在(1,)上遞減.所以m(x)的最大值為1,又因為a m(x),所以a 1.11x1 n'(x)2 r(x 0).x x x當 x (0,1)時，n'(x) 0；當 x (1,)時，n'(x) 0.所以n(x)在(0,1)上遞減，在(1,)上遞增.所以n(x)的最小值為n(1)

23、 1.又因為a n(x)，所以a 1.綜上可知，a 1.(m)用數學歸納法證明:2(n 1) n(n 1)(n 1)當n 1時，S1 ln1 0,不等式- Sn成立.2n3(k1)2假設n k時不等式成立，即有 (k 1)2k由(n)可知，用k 1代替不等式叱 xSkk(k 1)(k 1) 成立. 3x ln x中的x ,得ln(k 1)k (k 1)ln(k 1)ln(k 1) k(k 1),k 1k 1所以，Sk1 Sk ln(k 1) k(k 1)(k 1) k(k 1) k(k 1)k 1 3 k(k 1)(k 2)333,21S Sk1、(k1)則 Sn 3n 2n,當 n 1 時，a S1 1；當 n 2 時，anSn Sn 1 6n 52分故數列an的通項公式：an 6n 51分(n)由(I)得，cn1(an