高中數(shù)學(xué)--《導(dǎo)數(shù)》練習(xí)

1、高中數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)練習(xí)1、已知函數(shù)f(x) ax3 bx2在點(3, f(3)處的切線方程為12x 2y 27 0,且對任意的x 0, f (x) kln(x 1)恒成立.(i)求函數(shù)f (x)的解析式；(n)求實數(shù)k的最小值； 1 11*(出)求證：1 k ln(n 1) 2 ( n N ).2 3n1 ln( x 1)2、已知函數(shù)f (x) -(x 0).x(I)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；k . (n)當x 0時，f(x) 恒成立，求整數(shù)k的最大值；x 1(出)試證明：(1 1 2) (1 2 3) (1 3 4) L (1 n(n 1) e2n 322-1

2、 ln x3、已知函數(shù)f(x)x(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, a(2)當x 1時,不等式f (x)1-)(a 0)上存在極值點，求實數(shù) a的取值范圍; 3k . . 一 恒成立，求實數(shù) k的取值范圍；(3)求證:(n21)!xn(n 1)e12 2Ln 1. ( n N , e為自然對數(shù)的底數(shù))4、已知函數(shù)f (x) ln xg(x)(1)求函數(shù)F(x) f (x) g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當x 1時，函數(shù)f(x) g(x)恒成立，求實數(shù) k的取值范圍;(3)設(shè)正實數(shù) a1,a2,L ,an滿足 a a2 L an 1.求證：ln 11,2ln 1a11,.12L In 12a2an2n

3、2n-25.已知函數(shù)f(x) ln(x a) x的最大值為0,其中a 0。(1)求a的值；(2)若對任意x 0,)，有f(x) kx2成立,求實數(shù)k的最大值;(3)證明： i i 2i*ln(2n 1) 2(n N )x6、已知函數(shù) f(x) 1 In(0 x 2).2 x(1)是否存在點 M(a,b),使得函數(shù)y f (x)的圖像上任意一點 P關(guān)于點 M對稱的點 Q也在函數(shù)y f(x)的圖像上？若存在，求出點 M的坐標；若不存在，請說明理由；2nli 122n 1*(2)定義 Snf(-) f (-) f (-) f ()，其中 n N，求 S2013；i 1 n n nna一 .- m .

4、*(3)在(2)的條件下，令Sn12an,若不等式2 n(an)1對n N且n2恒成立，求實數(shù) mln xx的取值范圍.7、已知函數(shù) f (x) x ln x , g(x)(I)求函數(shù)f (x)的極值和單調(diào)區(qū)間;(n)對于x 0的任意實數(shù)，不等式 g(x)ax 1f (x)恒成立，求實數(shù)a的取值；(m)數(shù)列l(wèi)n n( n2N )的前n項和為Sn,求證：(n一)- 2nSnn(n 1)(n 1)f (x) 6x 2 ,數(shù)列an的前n項和為Sn,點8、已知二次函數(shù)f(x) px2 qx( p 0),其導(dǎo)函數(shù)為* 一(n,Sn)(n N )均在函數(shù)y f(x)的圖像上；.(i)求數(shù)列an的通項公式；

5、1(n)若Cn-(an2),2bl22b223b3L2nbnCn ,求數(shù)列 bn的通項公式；3n ln k 2n2 n 1*(m)已知不等式ln(x 1) x(x 0)成立，求證：(n N ,n 2)k 2 k24(n 1) '1、已知函數(shù)f (x) ax3 bx2在點(3, f(3)處的切線方程為12x 2y 270,且對任意的x0,f (x) kln(x 1)恒成立.(i)求函數(shù)f (x)的解析式；(n)求實數(shù)k的最小值;(m)求證:1*一 ln(n 1) 2 ( n N )解：（I）將x 3代入直線方程得27a 9b 9 f (x) 3ax22bx, f (3)聯(lián)立，解得a(D)

6、(x)=X2 X1,b 1322X6,27a 6bf(x)1x33k ln( x 1)在 x261 2x20,設(shè) g(x)x k ln(x 1)0,恒成立;g (x) 2x2x x k ln( x 1),k 2x2 x1 x 1g（0） 0 , 只需證對于任意的x 0,有 g(x)g(0)1)當=18(k 1) 0,即g(x)在 0,單調(diào)遞增，2)當=18(k 1) 0,即由 x1x2綜上分析,（出）令k 1,x 0,X 1k 9 時，h(x) 0, 8g(x) g(0)設(shè) h(x)g (x)9,口、2k 一時，設(shè)Xi,X2是方程2x82x20的兩根且x1x21i八，c ，一,可知Xi0 ,分

7、析題意可知當x20時對任意2實數(shù)k的最小值為1 /曰1一,得一=1，原不等式得證.2、已知函數(shù)f(x)（I ）函數(shù)(n)當 x0,有 g(x)g(0);2212111n9 -7 分81.ln( x 1),即 x x2ln(x 1)在 x0,恒成立；9分ln(1 n1321 2 3ln(n 1)-13 分1)1-2 n1 2 n1 ln(x 1)(x(ln 2ln(nln(nln1)1)1) In n11(ln3 ln2) L (ln(n 1)ln(n 1)(n 1)nln(n 1)0).xf（x）在區(qū)間（0,）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論;0時,f(x)In n)（出）試證明：（11 2

8、) (1k值成立，求整數(shù)k的最大值；x 12 3) (1 3 4) L (1 n(n 1) e2n 3解：（I ）由題x0, f (x)1二 1n(X 1)0,故f （x）在區(qū)間（0,）上是減函數(shù)；3分(n)當x 0時,f(x)一 Xk恒成立，即1X 11 ln(x 1)在(0, x x 1取h(x) 1 xln(x1),則 h(x)x 1 ln(x 1)再取g(x) x 1ln(x而 g(1) ln20,g(2)11),則 g (x) 1 x 11 ln3 0,g(3) 2x 12ln 20,故g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,故g(x) 0在(0,)上存在唯一實數(shù)根a (2,3),a 10,

9、ln(a7分1) 0,故 x (0, a)時，g(x) 0;x (a,)時,g(x)0,故 h(x)min一ln(a 1)1 (3,4), k3,故 kmax(m)由(n)知:1 ln(x 1)令 x n(n1),ln1n(n 1)0)ln(x 1)又 ln(1 12)(1 2 3)(14)n(n 1)L (1 n(n3(1 n1)ln(1 12)ln(13)ln(1 n (n1),10分111,2n 3(1 2) (23) L1 nn)1 n 1 即：(1 1 2) (12n 3(13、已知函數(shù)f (x)2n3)(11 ln x(1)若函數(shù)f (x)在區(qū)間(2)當x 1時，不等式(3)求證：

10、(n 1)! 23 2n 3n 13 4) L (1 n(n1)2n 3 e12分(a, af(x)(n解：(1)函數(shù)f(x)定義域為則f(x)在0,1上單增,由題意得(2)令 g(x)g (x)1時，不等式1、， c、，一-)(a 0)上存在極值點，求實數(shù) a的取值范圍;3k工恒成立,求實數(shù)1)e0,1,f(x)1 1 ln x,xx 1 1 ln x x1時，f上單減,k的取值范圍;e為自然對數(shù)的底數(shù))x 1 ln x 12x0,當x 1時，fln x-2，xx 0,函數(shù)1,故所求實數(shù)1 lnx 1 1 ln xf (x)在x 1處取得唯一的極值。a的取值范圍為2-,13x 1 1 ln

11、xg(x)在 1,x x ln x一2x1.乂如乂乂1,則卜* 1一0,當且僅當x恒成立。1時取等號。所以h x因此(x)x ln x h x0,則g(x)在1, 上單調(diào)遞增,x min所以2,即實數(shù)k的取值范圍為,2(3)(2)知，當x 1時，不等式f(x)2 .恒成立,1lnlnx 二x 110分分別令,L ,lnln 1221 ,k1,2,3,L,n32故 1 22 324、已知函數(shù)(1)求函數(shù),則有l(wèi)nN則有l(wèi)n112 12In將這n個不等式左右兩邊分別相加,(n21)!(n 1)ef (x) ln xg(x)F(x) f (x)x 1g(x)的單調(diào)區(qū)間;1k-1則得14分x In x

12、在1,上單調(diào)遞增，h x h 11 0(2)當x 1時，函數(shù)f (x) g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍;(3)設(shè)正實數(shù)a1,a2,L ,an滿足a1 a2 L an 1 .求證:lnL ln12an2n2n 2解：(1) F(x)ln x kF(x)由x2當2(1k 一(x k)xx 1x 1x2 2(1 x(xk)x 11 0的判別式0,2 時，F(xiàn) (x)22_4(1 k) 4 4(k2k),0恒成立，則F(x)在(0,)單調(diào)遞增；2當k 0時，F(xiàn) (x) 0在(0,)恒成立，則F(x)在(0,)單調(diào)遞增；3分當k 2時，方程x2 2(1 k)x 1 0的兩正根為k 1 Jk2 2k,k

13、 1 Jk2 2k則 F(x)在(0,k 1 Jk2 2k)單調(diào)遞增，(k 1 Jk2 2k,k 1 Jk2 2k)單調(diào)遞減(k 1 Jk2 2k,)單調(diào)遞增.綜上，當k 2時，只有單調(diào)遞增區(qū)間；當k 2時，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,k 1 Jk2 2k) , (k 1 Jk2 2k,)；單調(diào)遞減區(qū)間為(k 1 Jk2 2k, k 1 Jk2 2k).5分(2)即x 1時，F(xiàn)(x) 0恒成立.當k 2時，F(xiàn)(x)在(0,)單調(diào)遞增,當x 1時，F(xiàn)(x) F(1) 0滿足條件. 7分當 k 2時，F(xiàn)(x)在(k 1 Jk2 2k,k 1 Jk2 2k)單調(diào)遞減,則F(x)在(k 1展故實數(shù)k的取值范圍

14、為2k)單調(diào)遞減，此時(3)(2)知，lnx,2 .x 1在(1,x 1F(x) F(1) 0不滿足條件,分)恒成立,ln(1工，則anln(11-2an12an22an2 122an 110分又( 2a1 1 2(2alnln(1i 11-2 )ai1_2a212a24)ai5.已知函數(shù)f (x)1 2n2 n 2ln(x12a22a匕 1)a)(24(1)求a的值;n(3)證明:(2)若對任意2 ln(2 n2i 1解：(1) f(x)12an 1>1) (2a2 1)L (2an1)11分2n2n 213分x的最大值為0,其中a1)定義域為(-a,+ 8)0,)，有 f (x)i

15、0。.2、kx成立，求實數(shù)k的最大值;2(nf(x)1 x a，由 f' (x) =0,彳導(dǎo) x=1-a>-a.x ax(-a,1-a)1-a(1-a,+ 8)f ,(x)+0-f(x)增極大值減當x變化時,f,(x), f(x)變化情況如下因此，f(x)在x=1-a處取得最大值，故 f(1-a)=a-1=0, 所以a=1.(2)當k 0時，取x 1有f(1) ln 2 1 0,故k 0不合題意.當 k<0 時，令g(x) ln( x 1) x kx2, xg,(x)1 2kxx 2kx(x 1)(1,)x( 2kx 2k 1)，令 g<x)00, x22k 12kx

16、20,g，(x)0在0,恒成立，因此g(x)在(0, +8)單調(diào)遞增從而對任意的x 0,+ 8 )，總有g(shù)(x) > g(0)=0,即f (x) > kx2在0,+ 00 )恒成立。一 1故k-符合題意。2當-1 k 0時,2X20,對于 x (0, x2), g,(x) 0,故gx在(0, x2)內(nèi)單調(diào)遞減。因此取X01(0,x2),g(x0) g(0),即f(x0)做不成乂。故-5 k0不合題意，一一 1綜上，k的最大值為-12(3)當n=1時，不等式左邊=2<ln3+2=右邊，不等式成立. 當n>2時，n 2勺)i 1 2i 12 ln 1 2i在(2)中取-2得

17、 f(x)Qi所以有l(wèi)n(2n1)2萬n 2i 1 2i 122n12/x (x22nln 2ii 10)>ln3-2-綜上,i 2 2i23 2i2i 1ln(2n1)(2i 3)(i N,iln 2i2)片 1n 2n_2_10分2i 16、已知函數(shù)f (x)1 ln(1)是否存在點22i1 = f(2)22i 1=ln3-2- 11) 2六(0=ln3-2-1 +(nM (a,b),使得函數(shù)y f (x)的圖像上？若存在，求出點2n 1(2)定義&2i 3 2i 11 >-2.2n 12).12分y f(x)的圖像上任意一點P關(guān)于點M對稱的點 Q也在函數(shù)M的坐標；若不

18、存在，請說明理由;i 12f(1)f(1) f(2)(3)在(2)的條件下，令Sn 1 2an , 的取值范圍.解：(1)假設(shè)存在點 M(a,b),使得函數(shù)y2n 1f()，其中 n N ,求 S2013； n_ a-. m一一*若不等式2 (an)1對n N且nf(x)的圖像上任意一點 P關(guān)于點f(x)的圖像上，則函數(shù) yf (x)圖像的對稱中心為 M (a,b).f (x) f(2a x) 2b,得 1xln 2 x2a x1 ln 2 2a2b ，2 2b2, x 2axln -2x 2ax 4 4a(0,2)恒成立,所以2b2恒成立，求實數(shù)m對稱的點Q也在函數(shù)所以存在點 像上.M (1

19、,1),使得函數(shù)f (x)的圖像上任意一點4P關(guān)于點4a0,解得0,M對稱的點(2)1)得f(x) f(2x)2(0x 2).令 x因為Snf(1) nf(2) nf(2-) n1 _ f(2 一),所以f(21-)f(2 n2) nf(-) fnn (1),n則 f (-)f (2 -)1,1.Q也在函數(shù)y2(i 1,2,f (x)的圖,2n 1).由+得2Sn 2(2n 1),所以Sn2n1(nN ).所以 S20132 2013 1 4025.(3)由(2)得 &2n*1(n N ),所以anSn12n(n N).因為當n2時,2an (an)m2nnln nmln 2所以當n2

20、時,不等式m + 、恒成立ln 2minmln 2設(shè) g(x)(x0),貝 U g (x)ln x(ln x)2.當 0 x e時，g (x)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞減;當 x e時，g (x)因為g(2)g(3)02ln2g(x)在(e,)上單調(diào)遞增.3ln3ln9 ln8 -0 ，ln2 ln3所以 g(2)g(3),所以當n且n 2時,g(n)min g(3)3ln3由 g(n)min，得ln 2 ln 3所以實數(shù)m的取值范圍是(mln 23ln 23ln 2ln 37、已知函數(shù) f(x) x ln x , g (x)ln3ln x).(i)(n)x求函數(shù)f (x)的極值和單調(diào)區(qū)間；

21、對于x 0的任意實數(shù)，不等式 g(x)ax 1 f (x)恒成立，求實數(shù) a的取值；數(shù)列l(wèi)n n(n N )的前n項和為& ,求證：(n 1) Sn 2nn(n 1)(n 1)x(0,1) e1ed,) ef'(x)0f(x)極小值(m)3),單調(diào)遞減區(qū)間為1 一，(0,一)；極小值為f(1) e(I)解：f '(x) ln x 1,一一、,1由上表可知，單調(diào)遞增區(qū)間為 (1,(n)因為x 0,所以eln x x2x，15，、ln x 一，設(shè) m(x) xe ln x x,n(x)In m'(x)1 12(1) x x(In x x)2x1 x 2ln x再令h

22、(x)(x0)x 2ln x, h'(x)0,h(x)在(0, 當 x (1, 當 x (1,)上是單調(diào)遞增函數(shù)，且xh(1)時，h(x) 0.當 x (0,1)時,0.當x m'(x)(0,1)時, 0;h(x) 0;)時,m'(x) 0.所以n(x)在(0,1)上遞增，在(1,)上遞減.所以m(x)的最大值為1,又因為a m(x),所以a 1.11x1 n'(x)2 r(x 0).x x x當 x (0,1)時，n'(x) 0；當 x (1,)時，n'(x) 0.所以n(x)在(0,1)上遞減，在(1,)上遞增.所以n(x)的最小值為n(1)

23、 1.又因為a n(x)，所以a 1.綜上可知，a 1.(m)用數(shù)學(xué)歸納法證明:2(n 1) n(n 1)(n 1)當n 1時，S1 ln1 0,不等式- Sn成立.2n3(k1)2假設(shè)n k時不等式成立，即有 (k 1)2k由(n)可知，用k 1代替不等式叱 xSkk(k 1)(k 1) 成立. 3x ln x中的x ,得ln(k 1)k (k 1)ln(k 1)ln(k 1) k(k 1),k 1k 1所以，Sk1 Sk ln(k 1) k(k 1)(k 1) k(k 1) k(k 1)k 1 3 k(k 1)(k 2)333,21S Sk1、(k1)則 Sn 3n 2n,當 n 1 時，a S1 1；當 n 2 時，anSn Sn 1 6n 52分故數(shù)列an的通項公式：an 6n 51分(n)由(I)得，cn1(an