高中數(shù)學(xué)教案：直線與圓

1、直線與圓、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、高考考點(diǎn)1. 直線的傾斜與斜率； 2. 直線的方程及其應(yīng)用； 3. 兩條直線的平行、 垂直與有關(guān)夾 角和到角的公式；4. 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題； 5. 圓的方程及其應(yīng)用； 6. 直線與圓的相切與相交問(wèn)題； 7. 兩圓的位置關(guān)系；8. 直線、圓與其它圓錐曲線的綜合問(wèn)題 .三、知識(shí)要點(diǎn)（一）直線1、直線的傾斜角定義與規(guī)定（ 1）定義：對(duì)于一條與x 軸相交的直線，將x 軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角，叫做直線的傾斜角，習(xí)慣上記作.（ 2）規(guī)定：當(dāng)直線和x 軸平行或重合時(shí)，直線的傾斜角為0°.綜合上述一般定義和特殊規(guī)定，直線的傾斜角的取值范圍是 0

2、° , 180° ）或 0,兀）.提醒： 直線的傾斜角取值范圍是一般與特殊相結(jié)合的產(chǎn)物， 因此， 解決有關(guān)直線的傾斜角或斜率問(wèn)題時(shí)， 一方面要注意立足于這一特定范圍， 另一方面又要注意分“一般”與“特殊”兩種情況考察，以確保解題的完整與正確 .（ 3）直線的斜率與方向向量（1） 定義1:當(dāng)直線l的傾斜角不是90°時(shí)， 的正切叫做直線l的斜率，直線的 斜率通常用 k 表示即： 特例：當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，直線的斜率不存在.認(rèn)知：直線的傾斜角與斜率的另一聯(lián)系： ； （直線的斜率不存在）（n）斜率公式已知直線1上兩點(diǎn)，則直線1的斜率：.（出） 定義2:直線

3、1上的向量與平行于1的向量都稱為直線1的方向向量.設(shè)，則直線 l 的方向向量的坐標(biāo)是；當(dāng)直線 l 不與 x 軸垂直時(shí)， ，此時(shí)，直線l 的方向向量可化為（這里k 為直線 1 的斜率） .2、直線的方程（ 1） 理論基礎(chǔ)：直線的方程與方程的直線之定義在直角坐標(biāo)系中，如果直線 1 和二元方程的實(shí)數(shù)解之間建立了如下關(guān)系：直線 1 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解（純粹性）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線 1 上（完備性）那么，這個(gè)方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線 .（ 2）直線方程的幾種形式（I）點(diǎn)斜式：已知直線1的斜率為k,且過(guò)點(diǎn)，則直線1的方程為：（n）斜截式已知直線1的斜率為k,且在y軸

4、上的截距為b,則直線1的方程為：注意 ：由斜截式方程的推導(dǎo)過(guò)程可知，斜截式是點(diǎn)斜式的特例 . 直線方程的特殊形式各自都有其局限性，兩者都不能表示與x 軸垂直的直線的方程. 因此，運(yùn)用上述兩種形式求直線方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特別考察直線斜率不存在的情形。（m）兩點(diǎn)式已知直線 l 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線l 的方程為：（IV）截距式已知直線 l 在 x 軸和 y 軸上的截距分別為，則直線 l 的方程為：注意 ：截距式是兩點(diǎn)式的特例，以其自身特色被人們樂(lè)于應(yīng)用 . 但應(yīng)注意，兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線 （水平直線和鉛垂直線） ， 而截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直以及過(guò)原點(diǎn)的直線 . 運(yùn)用

5、它們求直線方程，都需要單獨(dú)考察它們不能表示的特殊直線 .（V） 一般式 方程叫做直線方程的一般式直線方程的一般式適合于任何直線，并且是尋求直線方程的最后歸宿 . 直線的一般式方程的產(chǎn)生基于命題： 任何一條直線的方程都可以表示為關(guān)于x,y 的一次方程， 反之， 任何關(guān)于 x,y 的一次方程都表示一條直線 . 這一命題的正反兩個(gè)方面，使直線和二元一次方程完成了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化與統(tǒng)一.3、兩條直線的位置關(guān)系（ 1）兩條直線平行的條件設(shè) l 1、 l 2 為兩條不重合的直線，則（I）的斜率相等或它們的斜率都不存在.因此，已知l 1/l 2 時(shí)，解題時(shí)要注意對(duì)“一般”和“特殊”兩種情況的討論.（n）若設(shè)直線

6、 ，則 （此式包含了一般與特殊兩種情形）（出）平行于直線的直線（系）方程為：（ 2）兩條直線垂直的條件對(duì)于兩條直線l 1 和 l 2（I）的斜率之積等于-1或它們中一個(gè)斜率為0而另一個(gè)斜率不存在（n）若設(shè)直線11：,則，（此式包含了一般與特殊兩種情況）（出）垂直于直線的直線（系）方程為：（ 3）直線1 1 到 1 2 的角；直線 1 1 與 1 2 的夾角 設(shè) 1 1 與 1 2相交（I）直線11到12的角，是指11繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與12重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，通常記作1 1 到 1 2 的角中的“到”字，畫龍點(diǎn)睛的道出了這個(gè)角的方向性，注意到當(dāng) 1 1 /1 2 時(shí)不定義 1 1 到 1

7、2 的角，故的取值范圍為（ 0 ，）設(shè) 1 1 與 1 2 的斜率分別為k1,k 2, 1 1 到 1 2 的角為，則當(dāng)；當(dāng)（注意：分子是后一直線斜率減去前一直線斜率）（n）直線11與12的夾角，是指11與12相交所成的四個(gè)角中，不大于直角的那個(gè)角，將其記為 .1 1 與 1 2的夾角沒(méi)有方向性，注意到當(dāng) 1 1 /1 2時(shí)不定義 1 1 與 1 2夾角的概念，故得的取值范圍為：設(shè) 1 1 與 1 2 的斜率分別為k1,k 2, 1 1 與 1 2 的夾角為，則當(dāng)；當(dāng).（ 4）點(diǎn)到直線的距離設(shè)點(diǎn)，直線則點(diǎn)P 到直線 1 距離：討論（兩平行直線間的距離）：設(shè)兩條平行直線， 則 1 1 與 1 2

8、 之間的距離為 .（ 5）兩條直線的交點(diǎn)1 ）直線（ 2）經(jīng)過(guò)直線l 1 與 l 2 的交點(diǎn)的直線（系）方程為（這里不含 l 2 ）（二） 圓的方程1、定義與方程（ 1 ）定義（ 2）方程（I）標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為（a、b）,半徑為（ n） 一般方程：圓心為，半徑為（ III ）參數(shù)方程： 圓心為 （a ， b） ， r 為半徑長(zhǎng)2、性質(zhì)與應(yīng)用（ 1）圓的基本性質(zhì)（I）關(guān)于弦的性質(zhì)圓心與弦中點(diǎn)連線垂直于這條弦（或弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心）； 兩圓相交時(shí)，兩圓心的連線為公共弦的垂直平分線；若設(shè)圓半徑為 r ，弦心距 d ，弦長(zhǎng)為 2l ，則有（n）關(guān)于切線的性質(zhì)切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的圓的半徑；圓心到切線

9、的距離等于圓的半徑 .（ 2）圓的性質(zhì)的應(yīng)用解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)， 適時(shí)運(yùn)用圓的性質(zhì)， 往往可避免或縮短某個(gè)局部的求解過(guò)程， 既有效地減少計(jì)算量，又使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷明快. 關(guān)于圓的問(wèn)題的解題技巧，主要表現(xiàn)在“設(shè)”的技巧上：（I）巧設(shè)圓心坐標(biāo)若已知（或可知）圓心所在直線的方程或其它特征，則可據(jù)此巧設(shè)圓心坐標(biāo)，減少所引參數(shù)的個(gè)數(shù).（n）巧設(shè)圓的方程一般地，當(dāng)所給問(wèn)題與圓心或半徑相關(guān)時(shí)，以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為上；在特殊情況下，根據(jù)問(wèn)題的具體情況設(shè)圓的一般方程或圓系方程，亦會(huì)收到簡(jiǎn)明效果.3、直線與圓設(shè)直線，圓，則直線與圓的位置關(guān)系有兩種判別方法：（ 1）“特性”判別法（只適合于直線與圓位置關(guān)系的判定）：設(shè)圓

10、心C到直線1的距離為d,則直線1與圓C相交； 直線1與圓C相切； 直線1與圓C相離.（ 2）“通性”判別法（適于直線與圓錐曲線位置的判定）：將上述曲線方程與圓方程聯(lián)立，消去x（ 或 y） 所得一元二次方程的判別式為，則直線與圓C相交；直線與圓C相切；直線與圓C相離.4、挖掘與引申（ 1）兩圓的公共弦所在直線的方程設(shè)。與。相交于A、B兩點(diǎn)，則由-得兩圓公共弦 AB所在直線的方程為:（ 2）圓的切點(diǎn)弦所在直線（極線）的方程對(duì)于圓（I）當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，以M為切點(diǎn)的切線方程為；（n）當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)M分別向圓作切線MA MB（切點(diǎn)分別為A、B）,則切點(diǎn)弦AB 所在直線（極線）方程為.引申：當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)

11、，過(guò)點(diǎn)M分別向圓作切線MA MB（切點(diǎn)分別為AB）,則切點(diǎn)弦AB 所在直線（極線）方程為.四、經(jīng)典例題例 1 求經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 5 ， 2 ），并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l 的方程 .分析： 由題意知直線 l 與兩坐標(biāo)軸都相交， 因?yàn)椴淮嬖谥本€l 垂直于 x 軸的情形 . 但是，注意到直線 l 的兩截距互為相反數(shù)的一般情形與特殊情形，故解題也需分兩種情形討論.解：由題意知直線 l 與兩坐標(biāo)軸都相交.（ 1） 當(dāng)直線 l 在兩軸上的截距均不為零時(shí)，設(shè)直線l 的方程為： ，即a=3.此時(shí)直線l的方程為：.（ 2）當(dāng)直線 l 在兩軸上的截距為零，即直線 l 過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線l 的方程為： 綜

12、合（1） , （2）得所求直線l的方程為或.點(diǎn)評(píng)： 運(yùn)用直線的某一種特殊形式求直線方程， 從客觀上是默認(rèn)了這一形式存在的前提條件 . 因此，解題時(shí)還要考察這一形式不能表示的直線，只有實(shí)現(xiàn)“一般”與“特殊”的相互依存，才能實(shí)現(xiàn)解題的完解完勝. 在這里，直線的“截距式”不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線以及與坐標(biāo)軸平行（或重合）的直線 . 因此，要對(duì)這些特殊直線單獨(dú)考察.例2.直線l被兩平行直線所截線段AB的中點(diǎn)M在直線上，且l到12的角為45。，求直線 l 的方程 .分析：由已知條件易得直線l的斜率.欲求點(diǎn)M坐標(biāo)，先考察點(diǎn)M的位置特征，注意到， 點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，故點(diǎn)M在與、等距離的另一直線上.因此，為避

13、免復(fù)雜運(yùn)算，可先求 的方程 .解（利用平面圖形幾何性質(zhì)的技巧）：由題意知，點(diǎn)M在與l1 , l 2等距的直線l3上，注意到li, 12的縱截距分別為，故l 3的縱截距為l ,.由斜截式得l 3的方程為 將與聯(lián)立解得設(shè)直線l的斜率為k,則又由已知得，解得于是由得所求直線 l 的方程為點(diǎn)評(píng)： 解決直線問(wèn)題的主要技巧， 一是“設(shè)”的技巧： 通過(guò)巧設(shè)有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或有關(guān)直線的方程來(lái)減少計(jì)算量； 二是適時(shí)“利用平面圖形性質(zhì)”的技巧： 通過(guò)不失時(shí)機(jī)的利用平面圖形的特征，避免或減少解方程的運(yùn)算. 請(qǐng)?jiān)谙旅娴睦}中注意上述技巧的刻意運(yùn)用 .例3.已知點(diǎn)A （1,-1）和直線，過(guò)點(diǎn) A作直線l2與li交于點(diǎn)B,使

14、，求直線12的方程.分析：欲求的斜率k ，如直面求直線、聯(lián)立的方程組，再利用兩點(diǎn)間的距離公式，運(yùn)算復(fù)雜，故想到避其鋒芒，先求與的夾角的三角函數(shù)值. 為此，利用已知條件率先構(gòu)造含有的RtA .解（對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)不設(shè)不解）：過(guò)點(diǎn) A 作又為直線l 1與l 2的夾角 .由（ 1）當(dāng)直線 l 2 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l 2 的斜率為 k ，則由兩直線的夾角公式得此時(shí)，直線 l 的方程為（2）當(dāng)直線 l 2 的斜率不存在時(shí)，直線l 2的方程為，此時(shí)易得B（ 1， 4），符合已知條件.綜合（ 1 ）（2）得所求直線l 2 的方程為 .點(diǎn)評(píng)： 借助平面圖形的特征, 人為地構(gòu)造與求解, 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為運(yùn)用夾角公式求解

15、目標(biāo)直線的斜率 , 刻意避免了求解直線l 1 與 l 2 的交點(diǎn)坐標(biāo). 這樣對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“不設(shè)不解”的處理手法，也是直線與曲線相交問(wèn)題的基本解題策略之一.例4.在中，A (3,-1 ) , AB邊上的中線所在直線方程為的平分線所在直線方程為，求 BC邊所在直線方程.分析：如何利用的的平分線方程這一條件？通常的選擇是兩種：一是直面問(wèn)題，所用l 1 與 l 2 的角的計(jì)算公式；二是利用平分線性質(zhì)等價(jià)轉(zhuǎn)化 . 我們這里選擇第二條途徑.解(利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì))：由題意設(shè)B( 4t-10,t )則AB邊中點(diǎn)，點(diǎn) D在直線上， 點(diǎn) B (10, 5)又注意到AB與BC邊所在直線關(guān)于的平分線所在直線對(duì)

16、稱，故點(diǎn)A (3, -1 )關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn) A m m,n) 一定在直線 BC上由點(diǎn)A、A關(guān)于直線對(duì)稱得.A' (1,7)于是由得直線 A' B即直線BC的方程為點(diǎn)評(píng)： 本題解題特色， 一是利用已知直線方程巧設(shè)點(diǎn) B 和點(diǎn) D 坐標(biāo)； 二是利用平分線性 質(zhì)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題 . 此為解決這類直線問(wèn)題的基本策略.例5.已知過(guò)點(diǎn)A (1,1)且斜率為的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)P、Q 分別作直線的垂線，垂足為 R S,求四邊形PRSQ勺面積的最小值.分析：這里的四邊形PRSS直角才形且 PR/SQ,故梯形的高 RS為平行線 QS與PR間的距離，從設(shè)直線 l 的方程切入

17、 .解：設(shè)直線l的方程為 在中令，Q (0,m+1)在中令將P、Q兩點(diǎn)到直線的距離分別記為，則又直線QS方程為，直線 PR 方程為， 直線PR與QS間的距離即由得：(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)于是可知，四邊形 PRSQ勺面積的最小值為(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得)點(diǎn)評(píng)：從設(shè)直線l的方程切入，點(diǎn)P、Q坐標(biāo)以及點(diǎn)P、Q到l的距離依次登場(chǎng)，循序漸 進(jìn)，又借助兩平行直線間的距離公式求出梯形的高RS,四邊形面積的表達(dá)式便呼之欲出了.解題主線分明，脈絡(luò)清晰，這是我們應(yīng)追求的境界.例 6 設(shè)圓上的點(diǎn) A( 2， 3 )關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在此圓上，且該圓與直線相交的弦長(zhǎng)為，求圓的方程.分析：圓上的點(diǎn) A 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在此

18、圓上，由此我們可以推出什么？解(巧設(shè)圓心坐標(biāo))：由圓上的點(diǎn) A 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上知，圓心在直線上，可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(2t , -t ),圓的方程為則由題設(shè)條件得：由解得 所求圓方程為點(diǎn)評(píng)：要善于認(rèn)知題設(shè)的真面目：點(diǎn) A 關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在此圓上弦的垂直平分線為 直線過(guò)圓心例 7 一個(gè)圓與直線相切于點(diǎn) P（ 4， -1 ），且圓心在直線上，求圓的方程。分析： 求圓的方程， 當(dāng)已知條件與圓心或半徑關(guān)系較為密切時(shí)， 首先考慮運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .解（巧設(shè)圓心坐標(biāo)）：圓心在直線上.設(shè)圓心 C的坐標(biāo)為（3t,5t ）又，由此得解之得. 圓心C （3, 5）,半徑.所求圓的方程為點(diǎn)評(píng)：已知條件中出

19、現(xiàn)圓的切線，要想到利用圓的切線的性質(zhì). 上述解答便是利用了圓的切線的性質(zhì)之一，圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的圓的半徑.例8.已知圓C與圓相交，所得公共弦平行于已知直線，又圓 C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （-2,3）, B（ 1 ， 4），求圓C 的方程。分析：題設(shè)條件中出現(xiàn)兩圓的公共弦. 對(duì)此，處置問(wèn)題的常用方法有二：一是推導(dǎo)并利用公共弦所在直線的方程； 二是充分利用兩圓的公共弦的性質(zhì)， 著眼點(diǎn)不同， 隨之的解法也會(huì)不同 .解法一（利用公共弦所在直線的方程）：設(shè)圓C方程為，則圓C與已知圓的公共弦所在直線方程為.由題設(shè)得：又點(diǎn)A、B在圓C上，故有： 所求圓C的方程為：解法二（利用圓的性質(zhì)）：由已知得圓 C的弦AB的中

20、點(diǎn)坐標(biāo)為，圓C的弦AB的垂直平分線方程為又已知圓圓心為.兩圓連心線所在直線的方程為設(shè)圓心C （a,b）,則由、得解之得再注意到圓C的半徑 所求圓C的方程為點(diǎn)評(píng)：兩種解法各有所專長(zhǎng)，僅就解題的嚴(yán)密性而言，解法二的優(yōu)勢(shì)明顯一些.例9.已知圓M的方程為，點(diǎn) Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA QB分別切圓M于A、B,試求弦AB 的中點(diǎn) P 的軌跡方程.分析：本題出現(xiàn)“切點(diǎn)弦” . 鑒于問(wèn)題的復(fù)雜性，我們考慮推導(dǎo)并利用圓的切點(diǎn)弦所在直線的方程.解：由已知得M （0, 2）,圓M方程為設(shè)Q （t,0 ）,則由得切點(diǎn)弦 AB所在直線方程為又設(shè) P（ x,y ），則由得 將代入得討論：當(dāng)t=0時(shí)有x=0,代入得滿足式，

21、故點(diǎn)也是所求軌跡上的點(diǎn)綜上可知，所求弦 AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為：說(shuō)明：這里的切點(diǎn)弦AB所在直線的方程是需要推導(dǎo)或證明的.本題略去的推導(dǎo)或證明過(guò)程，請(qǐng)大家練習(xí) .例10.已知直線與。相交于A、B兩點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，求。C的方程； （2）當(dāng)時(shí)，求。C的方程（。為原點(diǎn)）解： （1）利用圓的性質(zhì)，對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“不設(shè)不解”注意到。C的方程為弦心距 由得 所求。C方程為：或設(shè)、，（2）對(duì)交點(diǎn)A B坐標(biāo)“既設(shè)又解” 將直線方程與。C方程聯(lián)立得：消去x得 由題意知：為方程的兩個(gè)不等實(shí)根 由韋達(dá)定理得： 又由 ，由、得：解得：a=3 （滿足式）所求。C方程為點(diǎn)評(píng)：在這里的“既設(shè)又解”中，“設(shè)”是真心實(shí)意地設(shè)（交點(diǎn)坐

22、標(biāo)）“解”是半心半 意地解（方程組），解至中途轉(zhuǎn)而運(yùn)用韋達(dá)定理求解例10的改作: 值.（1）已知。C:與直線相交于 A、B兩點(diǎn)，且（。為原點(diǎn)），求m的（2）已知。C的圓心坐標(biāo)為，O C與已知直線相交于A、B兩點(diǎn)，且（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求。C方程（3）已知過(guò)點(diǎn)（3, 0）的直線l與。C: 線l的方程.五、高考真題（一）選擇題相交于A、B兩點(diǎn)且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）1 . "”是“直線與直線相互垂直A.充分必要條件C.必要而不充分條件2 .設(shè)直線的傾斜角為，且，則的（B.D.a,b滿足）充分而不必要條件 既不充分又不必要條件A. a+b=1B. a-b=1( )C.a+b=0D. a-b=03.

23、設(shè)直線的方程是，從 1,2, 值，則所得不同直線的條數(shù)是（5這五個(gè)數(shù)中每次取出兩個(gè)不同的數(shù)作為A. 204 .將直線沿xA. - 3 或 7B. 19C. 18D. 16軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（B. - 2 或 8C. 0 或 105 .已知直線l過(guò)點(diǎn)（一2,0）,當(dāng)直線l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),D. 1 或 11 其斜率k的取值范圍是A.B. C. D.6 .從原點(diǎn)向圓作兩條切線，則這兩條切線的夾角的大小為（A.7 .已知點(diǎn)A. -2 ,8.已知圓A.B.C.)D.P （x,y ）在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（-1B. -2, 1C與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則

24、圓B.C. -1C的方程為（2)D. 12D.C.（二）填空題1 .直線關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線方程是 :2 .設(shè)直線和圓相交于點(diǎn) A、B,則弦AB的垂直平分線方程為3 .若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P (-1, 0)的直線與圓相切，則此直線在y軸上的截距是 .4 .若，則x y的最大值是.5 .已知直線與圓相交于 A、B兩點(diǎn)，且，則 .6 .由動(dòng)點(diǎn)P向圓引兩條切線 PA PB,切點(diǎn)分別為A、B,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 .7 .非負(fù)實(shí)數(shù)x,y滿足，則的最大值為 .8 .設(shè)x,y滿足約束條件，則使目標(biāo)函數(shù)的值最大的點(diǎn)( x,y )是.9 .設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足，則的最大值為 .(三)解答題1 .如圖，直線與直線之間的陰影

25、區(qū)域(不含邊界)記為 WW其左半部分記為 W,右半部 分記為W2.(1)分別用不等式組表示 W和W;(2)若區(qū)域 W中的動(dòng)點(diǎn)P (x,y)到的距離之積為，求點(diǎn) P的軌跡C的方程；(3)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與(2)中曲線C相交于兩點(diǎn)，且與分別交于兩點(diǎn)，求證： 的重心與的重心重合 .2 .在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2,寬為1, AR AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖所示)，將矩形折疊，使 A點(diǎn)落在線段DC上.(1)若折痕所在直線的斜率為k,試寫出折痕所在直線的方程；(2)求折疊的長(zhǎng)的最大值.3 .如圖，直線與相交于點(diǎn) P,直線與x軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作 x軸的垂

26、線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作 y 軸的垂線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作 x軸的垂線交于， 這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1,Q, P2, Q,，點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 .(1)證明：；(2)求系數(shù)的通項(xiàng)公式；(3)比較與+5的大小.分析與解答(一)選擇題1 .選B.分析：當(dāng)時(shí)，兩直線為和，顯然垂直，條件具充分性；當(dāng)兩直線互相垂直時(shí)，由得：或，條件不具必要性. 故應(yīng)選B.2 .選D.分析：由為傾斜為得又由得，,即a=b,故應(yīng)選D.3 .選C. 分析：注意到A、B的順序，從1, 2, 3, 4, 5五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)作為中 A、 B的值有種解法，但其中有“A=1, B=2'與"A=2, B=4”表示同一直

27、線，“A=2, B=1”與“A=4, B=2'表示同一條直線，所以不同直線的條數(shù)為，應(yīng)選 C.4 .選A.分析：把直線即向左平移 1個(gè)單位得直線.解法一：若注意到圓與 y軸交于(0, 0)和(0, 4)兩點(diǎn)，即圓與y軸的相交弦為x=0, 當(dāng)時(shí)，直線都和圓與 y軸的相交弦相交，從而否定B, C, D,應(yīng)選A.解法二：將代入圓方程得，當(dāng)?shù)媒獾没颍瑥亩鴳?yīng)選 A.5 .選C.分析：將直線代入得, 故選C.6 .選B.分析：已知圓的圓心 C (0, 6),設(shè)兩切點(diǎn)為 A、B,則在中，則應(yīng)選B.7 .選 C.分析：首先由不等式確定可行域，而后研究目標(biāo)函數(shù)(即).結(jié)合圖形易知：當(dāng)直線，過(guò)點(diǎn)A（ 0

28、， 1）時(shí)，；當(dāng)直線，過(guò)點(diǎn)B（ 2 ， 0）時(shí)，故應(yīng)選C.8 . 選 C.分析：已知圓圓心（ 1 ， 0），其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為（0 ， -1 ），由此否定A， B， D，應(yīng)選 C.（二）填空題1 . 分析：從點(diǎn)的對(duì)稱切入，當(dāng)直線上的點(diǎn)（ 0， 0 ）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為 A（ 2， 0 ），直線上的點(diǎn)（ 2， 1 ）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為 B（ 0， 1 ），則，從而直線 AB 的方程為，故所求對(duì)稱直線方 程為2 .分析：已知圓圓心（1, 0） , , 弦AB的垂直平分線的斜率為，弦AB的垂直平分線的方程為，故所求直線方程為：3 . 分析：已知圓方程為： ， 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（ -1 ， 0 ）且與圓相切的直線

29、的斜率存在，設(shè)這一切線的方程為， 則，由此解題 k=1,上述切線的方程為y=x+1 ,其在 y 軸上的截距是1，故應(yīng)填 1.4 . 分析：根據(jù)已知設(shè)，則（為輔助）x-y的最大值為5 .分析：由題設(shè)在中，應(yīng)填6 .分析：由題設(shè)得，又，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓."1動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為點(diǎn)評(píng)： 首先認(rèn)知?jiǎng)狱c(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡， 而后據(jù)此導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程， 此為求動(dòng)點(diǎn)軌跡 方程的又一途徑。7. 分析：由不等式組解得可行域. 可行域邊界上各交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 O（ 0 ， 0）， A（ 2，0 ）， B（ 0， 3），C（ 1 ， 2），當(dāng)，則比較u 在各交點(diǎn)處的函數(shù)值得 點(diǎn)評(píng)

30、：在 x,y 不受其它限制的情況下，目標(biāo)函數(shù)的最值一定是在可行域邊界上的“交點(diǎn)”處取得 . 因此，相關(guān)問(wèn)題均可仿7 解決 .8. 分析： 由不等式作出可行域， 求出可行域邊界上的各個(gè)“交點(diǎn)”的坐標(biāo)， 則仿 7 可得答案是點(diǎn)（ 2 ， 3） .9. 分析：由不等式組作出可行域，則可行域?yàn)樗鼑钠矫鎱^(qū)域（包含邊界）， ， 注意到表示區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn) P 與原點(diǎn)的連線的斜率， 又，（三）解答題1. 分析：對(duì)于（ 1）從題設(shè)中的直線方程切入；對(duì)于（3 ），則可考慮推理并運(yùn)用三角形重心坐標(biāo)公式證明 . 為此，尋找三頂點(diǎn)同名坐標(biāo)的和之間的聯(lián)系 .解： （ 1 ）由題設(shè)得： ，（ 2）直線，直線 . 由題意得

31、：即：二.點(diǎn)由，得：整理得所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：（3）證明：（I）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為,直線l ,曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱 并且與關(guān)于x軸對(duì)稱.，的中點(diǎn)坐標(biāo)均為（a, 0）,，的重心坐標(biāo)均為，即它們的重心重合.（n）當(dāng)直線1不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線1的方程為：代入得：由題意知這里： 且設(shè)，則由韋達(dá)定理得：又設(shè) 則由 得，由 得， ，于是可得：， 即的重心與的重心重合.點(diǎn)評(píng)：（ 1）這里區(qū)域.（ 2）根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式，要證明上述兩個(gè)三角形的重心重合，只要證三頂點(diǎn)的同名坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)分別相等. 于是，計(jì)算、推理的方向便更加明確了 .2. 分析：（1）由題設(shè)，知折痕上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，故求折痕所在直線的方程時(shí)考慮運(yùn)用待定參數(shù)法；（ 2）利用（1 ）的結(jié)果，先求折痕之長(zhǎng)的函數(shù)表達(dá)式，歸結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題解： （1）設(shè)折疊