高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽資料數(shù)論部分

1、初等數(shù)論簡(jiǎn)介緒言：在各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中大量出現(xiàn)數(shù)論題，題目的內(nèi)容幾乎涉及到初等數(shù)論的所有專(zhuān)題。1 .請(qǐng)看下面的例子:（1） 證明：對(duì)于同樣的整數(shù)x和y,表達(dá)式2x+3y和9x+5y能同時(shí)被整除。（1894年首屆匈牙利 數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一題） 設(shè)n Z ,證明132n 1是168的倍數(shù)。具有什么性質(zhì)的自然數(shù) n,能使1 2 3 m n能整除12 3|n? （ 1956年上海首屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一題）31（3） 證明：n3 -n2 -n 1對(duì)于任何正整數(shù) n都是整數(shù)，且用 3除時(shí)余2。（ 1956年北京、天津市首22屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一題）（4） 證明：對(duì)任彳S自然數(shù) n ,分?jǐn)?shù)21n 4不可約簡(jiǎn)。（1956年首屆國(guó)際

2、數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽第一題）14n 3（5） 令（a,b,|M，g）和a,b,Q,g分別表示正整數(shù)a,b,|,g的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，試證：2a, b,c2a,b,ca,b b,c c, a a, b b, c c, a（1972年美國(guó)首屆奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽第一題）這些例子說(shuō)明歷來(lái)數(shù)論題在命題者心目中首當(dāng)其沖。2 .再看以下統(tǒng)計(jì)數(shù)字:（1）世界上歷史最悠久的匈牙利數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從18941974年的222個(gè)試題中，數(shù)論題有41題，占18.5%。（2）世界上規(guī)模最大、規(guī)格最高的IMO （國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）的前 20屆120道試題中有數(shù)論13題,占 10.8% 。這說(shuō)明：數(shù)論題在命題者心目中總是占有

3、一定的分量。如果將有一定“數(shù)論味”的計(jì)數(shù)型題目統(tǒng)計(jì)在內(nèi), 那么比例還會(huì)高很多。3 .請(qǐng)看近年來(lái)國(guó)內(nèi)外重大競(jìng)賽中出現(xiàn)的數(shù)論題:方程x3 6x2 5x y3 y 2的整數(shù)解（x, y）的個(gè)數(shù)是（）A、 0B、1C、3D、無(wú)窮多（2007全國(guó)初中聯(lián)賽5）21（2）已知a,b都是正整數(shù)，試問(wèn)關(guān)于 x的萬(wàn)程x abx - a b 0是否有兩個(gè)整數(shù)解?2如果有，請(qǐng)把它們求出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)給出證明。（2007全國(guó)初中聯(lián)賽 12）(3)是否存在正整數(shù) m,n ,使得m(m 2) n(n 1) ?設(shè)k(k 3)是給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)m,n,使得m(m k) n(n 1)?(2007全國(guó)初中聯(lián)賽14)(

4、4)關(guān)于x,y的方程x2 xy 2y2 29的整數(shù)解(x, y)得組數(shù)為()A、2B、3C、4D、無(wú)窮多(2009全國(guó)初中聯(lián)賽5)(5)已知a1，a2,a3,a4,a5是滿足條件a1 a2 a3 aa5 9的五個(gè)不同的整數(shù)，若 b是關(guān)于x的方程(xa1)xa2xa3xa4xa52009的整數(shù)根，則b的值為(2009全國(guó)初中聯(lián)賽8)(6)已知正整數(shù)a滿足192a3 191,且a 2009,求滿足條件的所有 可能的正整數(shù)a的和。(2009全國(guó)初中聯(lián)賽 12) n個(gè)正整數(shù)|自滿足如下條件：1 a a? an 2009 ；且&e2,|小小中任意n 1個(gè) 不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正數(shù)，求n的最大值。(2

5、009全國(guó)初中聯(lián)賽14)一 一k 1 k 2(8)在一列數(shù)x1，x2,x3，中，已知x1 1 ,且當(dāng)k 2時(shí)，xk xk 1 1 4( )(取整符號(hào) a44表示不超過(guò)實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，例如2.62,0.20）則 x2010 等于（）11 / 191 / 19A、1B 、2C、3D、4(2010全國(guó)初中聯(lián)賽4)(9)求滿足2p2 p 8 m2 2m的所有素?cái)?shù)P和正整數(shù) m。(2010全國(guó)初中聯(lián)賽13)(10)從1,2，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和(2010全國(guó)初中聯(lián)賽14)都能被33整除?（11）設(shè)四位數(shù)abcd滿足a3 b3 c3 d3 1

6、10c d ,則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為 (2011全國(guó)初中聯(lián)賽10)(12)已知關(guān)于x的一元二次方程x2 cx a0的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程2x ax b 0的兩個(gè)根都大1,求a+b+c的值（2011全國(guó)初中聯(lián)賽11）（13）若從1,2,3，n中任取5個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù) a1,a2,a3,a4,a5其中總有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，求 n的最大值。（2011全國(guó)初中聯(lián)賽 13）（14）把能表示成兩個(gè)正整數(shù)平方差的這種正整數(shù)，從小到大排成一列：2,222a，a2,an,例如 a1213 , a2 325 ,那么 22007 =（2007福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽 12）（15）求最小的正整數(shù) n,使得集合1,2,

7、3，2007的每一個(gè)n元子集中都有2個(gè)元素（可以相同），它們的和是2的哥。（2007福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽14）（16）兩條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)a和b（其中b1000）,斜邊長(zhǎng)是b+1的直角三角形有（）A、20 個(gè)B、21 個(gè)C、22 個(gè)D、43 個(gè)（2008福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽 5）99 ,則 7x 5y 的（17）設(shè)x、y為非負(fù)整數(shù)，使得x 2y是5的倍數(shù)，x y是3的倍數(shù)，且2x y最小值為（2008福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽11)（18）正整數(shù)a a? a12中，若任意三個(gè)都不能成為三角形的三邊長(zhǎng)，則a2的最小值是a1（2008福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽 12）（19）設(shè)S 1,2,3，n （ n為正整數(shù)），

8、若S得任意含有100個(gè)元素的子集中必定有兩個(gè)數(shù)的差能被25整除，求n的最大值。（2008福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽 17）（20）設(shè)x是不超過(guò)x的最大整數(shù)，則 log；log：Iog3500iog3（2009福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽11)（21）已知集合M是集合S 1,2,3，,2009的含有m個(gè)元素的子集，且對(duì)集合M的任意三個(gè)元素x,y,z均有x+y不能整除z,求m的最大值。（2009福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽17)111(22)已知 a,b,c為正整數(shù)，且 c b a 1, (a )(b )(c )為整數(shù)，則 a+b+c= cab(2011福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽 12)1(23)正整數(shù)n 500,具有如下性質(zhì)：從集

9、合1,2，500中任取一個(gè)兀素 m,則m整除n的概率是 一，100則n的最大值是(2008福建省預(yù)賽12)(24)設(shè)f(x)施周期函數(shù)，T和1是f (x)的周期且0 T 1,證明：1(1)若T為有理數(shù)，則存在素?cái)?shù) P,使是f(x)的周期；P(2)若T為無(wú)理數(shù)，則存在各項(xiàng)均為無(wú)理數(shù)的數(shù)列an滿足1 an am 0 , (n=1,2,)且每個(gè)an都是f (x)的周期(2008全國(guó)高中聯(lián)賽加試二)x 9(25)萬(wàn)程x的實(shí)數(shù)解事 (其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù))2(2009福建初賽9)(26)設(shè) xi近 1訴 1 ,i 1,2,，2010,令 S x#2 x3x4 X2OO9X2010(1) S能否等

10、于2010?證明你的結(jié)論；(2) S能取到多少個(gè)不同的整數(shù)值？(2009福建初賽14)(27)設(shè)k,l是給定的兩個(gè)正整數(shù)，證明：有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)m k ,使得C；與l互素。(2009全國(guó)高中聯(lián)賽加試三)(28)已知集合A xxa0a17a272a373，其中ai0,1,2,3,4,5,6 , i 0,1,2,3 ,且a3 0 ,若正整數(shù) m,n A,且m n 2010, m n ,則符合條件的正整數(shù) m有 個(gè)。(2010福建預(yù)賽6)33333(29)將萬(wàn)程x33 x 4的實(shí)數(shù)解從小到大排列得X1,X2，Xk,則X1X2X3Xk的值為(2010福建預(yù)賽8)(30)設(shè) k是給定的正整數(shù)，r k 1

11、,記 f (r) f (r)rr, f (l)(r) f (f (l 1)(r) , l 2。證明：2存在正整數(shù)m,使得f (m)(r)為一個(gè)整數(shù)。這里，x表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)。(2010全國(guó)高中聯(lián)賽加試二)(31)已知正整數(shù) x,y,z 滿足條件 xyz (14 x)(14 y)(14 z),且 x y z 28,則 x2 y2 z2 的最大值為(2011福建預(yù)賽7)(32)證明：對(duì)任意整數(shù) n 4,存在一個(gè)n次多項(xiàng)式f (x) xn anxn1ax a0具有如下性質(zhì)：(1) a0,a1, , an 1 均為正整數(shù)； 對(duì)任意正整數(shù) m ,及任意k(k 2)個(gè)互不相同的正整數(shù) 口，2,，

12、rk均有f (m)f (r1) f (r2)f (rk)(2011全國(guó)高中聯(lián)賽加試二)(33)證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n ,使得n2 1有一個(gè)大于2n J2n的質(zhì)因子。(2008 第 49 屆 IMO.3 )(34)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，a1,a2,ak(k 2)是集合1,，n中互不相同的整數(shù)，使得對(duì)于i 1,，k 1都有n整除4(、 1)。證明：n不整除ak(4 1)(2009第50屆IMO.1 )本資料主要介紹中學(xué)代數(shù)課程里未能深入談到的整數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，初等數(shù)論的解題過(guò)程通常不涉及很多的基礎(chǔ)知識(shí)，重要的是機(jī)智和靈活。本資料除打上“*”的是少數(shù)內(nèi)容外，初二年以上的學(xué)生均可學(xué)習(xí)掌握。為敘述方便

13、，本資料中的字母均表示整數(shù)。交有Z, N*, Z*分別表示整數(shù)集，正整數(shù)集和非零整數(shù)集。帶余除法與整除整數(shù)的概念、分類(lèi)、自然數(shù)兩種理論(基數(shù)理論，序數(shù)理論)基數(shù)用于表示“多少”：將所有有限集分類(lèi)，使所含元素個(gè)數(shù)一樣多的集合成為同一類(lèi)，對(duì)每一類(lèi)用 一個(gè)記號(hào)來(lái)表示它們(這一類(lèi)的集合)所含元素個(gè)數(shù)一樣多這個(gè)共同特征。這個(gè)記號(hào)就是一個(gè)自然數(shù)。公理化的方法：對(duì)已有的知識(shí)進(jìn)行深入的分析，選擇其中一些基本關(guān)系作為不定義的概念，一些基本性質(zhì)作為不加證明的公理，建立起公理系統(tǒng)。然后由所建立的公理系統(tǒng)出發(fā)，應(yīng)用形式邏輯的方法，來(lái)給 出其它有關(guān)概念的定義，并證明各種命題。序數(shù)表示“第幾”* （peano定理）如果非

14、空集合 N*中的某些元素之間有一個(gè)基本關(guān)系“直接后繼”（元素a的直接后繼記為 a）,且N*滿足以下條件： 一一*一一*一.1. 1 N , a N ,必有 a 1. . .* . . . *2. aba b a N ,b N*3. ab a ba N ,b N4. N*的子集M若具有下面的性質(zhì)i 1 M ii a M a M,則M N定理1帶余除法、.* . . . . . . 、 . . . . . . . _ .設(shè)a Z , b Z則有且只有一對(duì)整數(shù) q與r ,使得a bq r其中0 r b定義1、定理1中的q與r分別稱(chēng)a除以b的不完全商與最小非負(fù)余數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)商和余數(shù)。定義2、定理1中的r

15、0時(shí)（即a bq時(shí)）就稱(chēng)a為b的倍數(shù),b是a的約數(shù)（或因數(shù)）a能被b整除,b整除a ,記作b a性質(zhì)1、0是任何數(shù)白倍數(shù)（0除外）；1是任何數(shù)的約束;b aa 0b a *c Zb ab a ;b | aa b ;bc ac;b ab ac;c Zbai n ki Zb Kai 1,2,3,|,n i1n nn 1 n 2n 2 n1、公式 1、xy(xy)(x xyxy y)公式 2、xnyn(xy)(xn1 xn2yxyn2 yn1)*(n N )(n是正偶數(shù))公式 3、xn yn (x y)(xn 1 xn 2y例1、設(shè)b 99 99 (31位數(shù))a例2、設(shè)a cab cd求證a cad

16、定義3、能被2整除的數(shù)稱(chēng)偶數(shù)，不能被IIbc 。n 2 n 1、xy y )(n是正奇數(shù))(以上三個(gè)公式中的 x, y可以是任意實(shí)數(shù))99(1984位數(shù))，求證b a。2整除的數(shù)稱(chēng)奇數(shù)。性質(zhì)2、用“ 0”代表偶數(shù)，“1”代表奇數(shù)，則有 0+0=0,0+1=1 , 1+0=1,1+1=00 0=0,0 1=0,1 0=0,1 1=1奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)任意個(gè)奇數(shù)之積是奇數(shù)*例3、設(shè)p,q都是正奇數(shù)，且 p q 2,求證p qqq pp注意：奇偶分類(lèi)在處理很多問(wèn)題時(shí)有用。求末位數(shù)問(wèn)題:令G(a)表示a的末位數(shù)，則有性質(zhì) 3、 G(a b) G G(a) G(b) G(a b) G G(a) G(

17、b) G(am) G G(a)m任一自然數(shù)的正整數(shù)次哥的末位數(shù)有周期變化的規(guī)律。例4、求171988的末位數(shù)例5、設(shè)n, R為自然數(shù)，求證 G(a4R n) G(an);設(shè)n為自然數(shù)，求證G(a4n) G(a4)67例 6、G(67 )bc性質(zhì)4、設(shè)b為奇數(shù)，c為偶數(shù)，則 G(ab) G(a)設(shè)b為偶數(shù)，c為奇數(shù)(c 1)則G(abc) G(a4)設(shè)b為偶數(shù)，c為偶數(shù)，則G(abc) G(a4)設(shè)b為奇數(shù)，c為奇數(shù)，(c 1)則G(abc) G(ab)19n個(gè),19 1例 7、求 G(2219),212111*例8、求a 13 的末兩位數(shù)。例9、設(shè)a1,a2,a3,|a7是1,2,3,|,7這

18、七個(gè)自然數(shù)的任何一種次序的排列，求證：(41)(a2 2)(a3 3)|(a7 7)總是一個(gè)偶數(shù)。例10、某班有49位同學(xué)，坐成七行七列，每個(gè)座位的前、后、左、右的座位叫做它的“鄰座”，要讓這49位同學(xué)中的每一位都換到他鄰座上去，問(wèn)這種調(diào)換座的方案能否實(shí)現(xiàn)？作為本節(jié)內(nèi)容的結(jié)束，請(qǐng)注意以下兩個(gè)重要的命題：在m(m 2)個(gè)相鄰整數(shù)中，有且只有一個(gè)數(shù)能被m整除。若整數(shù)g 1 ,則任一正整數(shù)a能夠唯一表示為a angn an 1gn 1a1g a0這里 ai Ln 0,且 0 ai1)是素?cái)?shù)(N*1 )定理二：素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)。定理三：若N*是合數(shù)，P (P1)是N*的最小正因數(shù),則 p jn以上的例子

19、和定理分別刻畫(huà)了素?cái)?shù)的某些分布特征和判斷素?cái)?shù)的方法。定理四：若ai Z,i 1,2,3, |“,n, P是素?cái)?shù)，p a1a2H|an則P整除某個(gè)ai定理五：(唯一分解定理)每個(gè)大于1的整數(shù)，都可唯一地分解成素因數(shù)(不計(jì)因數(shù)的順序)的積。推論：任一大于1的整數(shù)a可以唯一分解成a p11P22Mlpk k這里Pi是相異的素?cái)?shù)，i是正整數(shù)。有時(shí)為了表述方便，允許 i 0,上式稱(chēng)為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式。例2、設(shè)2m 1(m N)是素?cái)?shù)，求證：m是2的非負(fù)整數(shù)次募。定理六：若a,b得標(biāo)準(zhǔn)分解式為a p11P22Mlpnn, b p11P22mpn n ,則(a,b) p；1 p2r2|( pnrn , a,b

20、 Pi 1 p22|pnn。# / 1911 / 19這里 ri min( i, i), i max( i, i) , i 1,2,|,n例 3、求證a, b,c(ab,bc,ca) abcn定理七：若a的標(biāo)準(zhǔn)分解式為a pi 1 P2 2 1I Pn n ,則a的一切正因數(shù)的個(gè)數(shù) (a)( i 1),i 1n n i 1一切正因數(shù)的和為(a)-p。i 1 R 1例4、證明形如4n 1(n N)的素?cái)?shù)有無(wú)限個(gè)。哥德巴赫于1742年在和歐拉的通信中提出的猜想：1 .每個(gè)大于5的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和2 .每個(gè)大于8的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和1973年5月中國(guó)科學(xué)雜志刊出陳景潤(rùn)研究G氐猜想的結(jié)果：“

21、任一充分大的偶數(shù)是一個(gè)素?cái)?shù)和另一個(gè)素?cái)?shù)的和，后者或?yàn)樗財(cái)?shù)，或僅另兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積?！贝硕ɡ肀缓?jiǎn)稱(chēng)為“ 1+2”當(dāng)然離“1 + 1”還有一段距離，不過(guò)這已經(jīng)是當(dāng)今最優(yōu)成果了。習(xí)題： 2/1、設(shè)p是異于3的奇素?cái)?shù)，求證24 P 12、設(shè)p,q是素?cái)?shù)，且p q 5,求證240 p4 q43、設(shè)整數(shù) a,b,c都大于 1,證明(a,c),(b,c) (a,b,c)224、求證：a,b, c (a,b)(b, c)(c,a) (a,b,c) a,b b,c c, a5、設(shè)a,n都是大于1, an 1是素?cái)?shù)，求證：a 2,且n是素?cái)?shù)6、從1到100這100個(gè)自然數(shù)中，任意選出 51個(gè)數(shù)，求證其中至少有兩個(gè)數(shù)

22、，它們中的一個(gè)是另一個(gè)的 倍數(shù)。7、設(shè) a,b N,(a,b) 1,證明(a,b)(a) (b); (ab) (a) (b)8、證明：形如3n 2的素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)。9、設(shè)n 2,證明：在n與n!之間至少有一個(gè)素?cái)?shù)。2n10、設(shè)Pn是表示由小到大排列的第 n個(gè)素?cái)?shù)，證明pn 221同余1定義給定正整數(shù) m,如果用它除任意兩個(gè)整數(shù)a,b,所得余數(shù)相同，就說(shuō)a,b對(duì)于模m同余，記作a b modm 。若所得余數(shù)不同，就說(shuō)a,b對(duì)于模m不同余，記作a b modm 。定理與性質(zhì)例1 正整數(shù)a能被9整除的充要條件是 a的各個(gè)數(shù)碼之和能被 9整除。例2 設(shè)2=2e- a1a0 ,求證：11 a a0 a1

23、a21 n an 0 modn 。例3 求正整數(shù)a能被7正處的充要條件。4444 例4 設(shè)4444 的各個(gè)數(shù)碼之和為 a, a的各個(gè)數(shù)碼之和為 b,求b的各個(gè)數(shù)碼之和為 c。例5 環(huán)形公路上有幾個(gè)汽車(chē)站，海拔高度只有5米和10米兩種，若相鄰兩站的海拔高度相等，則稱(chēng)連接它們的公路是水平的；如果兩相鄰汽車(chē)站海拔高度不等，則稱(chēng)相連公路是有坡的。有一旅行者坐汽車(chē)環(huán)行東路一周，發(fā)現(xiàn)水平公路的段數(shù)與有坡公路的段數(shù)相等，求證4整除n。例6設(shè)Pn 1n 2n 3n 4n n N，問(wèn)：怎樣的n使得10|Pn。例7 求證：任何整數(shù)x1,x2, ,x14都不能滿足方程習(xí)題1 .設(shè) a b modn ,求證： a,m

24、 b,m。22 .設(shè) a 5 mod10 ,求證：a 25 mod1003 .設(shè)ABCDE是按逆時(shí)針?lè)较蚺帕械奈褰瞧灞P(pán)，從 證明無(wú)論移動(dòng)多少次， C、E處永遠(yuǎn)不可能停留棋子。P4 .設(shè)a、b Z , P是素?cái)?shù)，求證 a b ap444x1x2x14 1599ooA沿逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)棋子，第K次移動(dòng)K步,bp mod p。# / 1913 / 1922.25 .證明 n n 1 n 40 mod360 。6 .設(shè) n, a N , 2恒,求證 a2 1 mod 2n2 。7 .已知n 4 mod9 ,求證n不能表為3個(gè)立方數(shù)的和。8 .已知n 7 mod8 ,求證n不能表為3個(gè)平方數(shù)的和。9 .求

25、出一個(gè)整數(shù)能被 101 （或37）整除的充要條件。779910 .求下列各數(shù)的末兩位數(shù)：77和9 。101011 .記 0 a 7,且 10 a mod7 ,求 a。12 .已知 792 113ab45c,求 a、b、c。補(bǔ)充題：1. （1）有幾個(gè)住鞫書(shū)，其積為 n,其和為零。求證 4| n。（2）設(shè)4| n,求證：可以找出幾個(gè)整數(shù)，使其積為n,其和為零。（十八屆全蘇中學(xué)生競(jìng)賽）2.設(shè)a, b, c是三個(gè)互不相等的正整數(shù)，求證：在a3b ab3, b3c bc3, c3a ca3三個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)數(shù)能被10整除。（86.全國(guó)初中聯(lián)賽，二試，四）3.把19,20,，79,80諸數(shù)連寫(xiě)成數(shù) A=

26、1920217980,試證1980 | A。（全蘇 14 屆 1980.8.1）4.試求所有能被11整除的三位數(shù)，且除得之商等于被除數(shù)中各數(shù)字的平方和。（二屆 IMO 1960）不定方程若方程或方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，它們的解又限制為正整數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)或其它類(lèi)別的數(shù)，則稱(chēng)此方程或方程組為不定方程。不定方程常聯(lián)系到一些有趣的問(wèn)題。競(jìng)賽中也時(shí)有所見(jiàn)。例1在等式x5 3yz 7850中還原數(shù)學(xué)x, y, z。（1987年全俄中學(xué)生競(jìng)賽題）例2解方程xyz zyx xzyyx。（1978年廣東省中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）例3求方程2w+2x+2y+2z=20.625滿足條件：wxyz的整數(shù)解。（1

27、979年湖南省中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽數(shù)論函數(shù)17 / 1914 / 19定義1設(shè)x為任一實(shí)數(shù)， x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)。函數(shù)x稱(chēng)數(shù)論函數(shù)，也稱(chēng)高斯函數(shù)、階梯函數(shù)等。數(shù)論問(wèn)題是競(jìng)賽中的熱門(mén)課題，而則是熱門(mén)中的熱門(mén)。由定義,x Z 小 x x x 1 顯然有；。定義x x 、稱(chēng)為乂的小數(shù)部分，顯然0 x 1。19 / 1915 / 191 ,n N2解方程x x 。3x2x 1已知方程2,求所有根的和。（1987年初中聯(lián)考）習(xí)題5 6x15x1.2.3Q3.x x 3。（英斯科第20屆奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）有時(shí)也常令x =x0,1通過(guò)對(duì)的討論來(lái)解題。例5方程2_4x 40 x51 0 ,51 0的實(shí)數(shù)解的個(gè)

28、數(shù)是（）。（1985美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）(A) 0 ；(B) 1 ；(C) 2 ；(D) 3 ；(E) 4 .表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)n是自然數(shù)，且I= n22n 1 n 1,那么(）。（1986年全國(guó)初中聯(lián)考）(A)(B) I N;(B) M=N ;(C) MN ;（D）以上答案都不對(duì)HI1988 ,那么 JS的值是x3.找出一個(gè)實(shí)數(shù)x,滿足證明，滿足上述等式的 x都不是有理數(shù)。n+2k-k+14.（1968第十屆IMO ）2a設(shè)n N ,計(jì)算和k=0 25.設(shè)a , b為互素的正整數(shù)，求證:6.然數(shù)集。min k2求所有自然數(shù)n ,使得（1991年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）nk219911 2表示不

29、超過(guò)k的最大整數(shù)，N是自不定方程若方程或方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，它們的解又限制為正整數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)或其它類(lèi) 別的數(shù)，則稱(chēng)此方程或方程組為不定方程。不定方程聯(lián)系到一些有趣的問(wèn)題。競(jìng)賽中也時(shí)有所見(jiàn)。例1.在等式中還原數(shù)字 x,y,z.（1987全俄中學(xué)生競(jìng)賽題）例2.解方程：例3.求方程2w 2x 2y 2z 20.625滿足條件：w x y z的整數(shù)解。（1979年湖南省中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）線性不定方程ax+by=c定理1設(shè)a,b,c Z,（a,b） d,a ad,b b d,則線性不定方程ax+by=c有整數(shù)解的充要條件是 d Co在有整數(shù)解的情形下，如果 x x0, y y0是一組整數(shù)解，