第四章 流體流動(dòng)基本原理

1、1基本內(nèi)容： 系統(tǒng)與控制體 輸運(yùn)公式 質(zhì)量守恒方程 動(dòng)量守恒方程 動(dòng)量矩方程 能量守恒方程 4 4 流體流動(dòng)基本原理2 流體作為特定形態(tài)的物質(zhì)，其流動(dòng)過程必然遵循物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本原理，即質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒等。本章將以控制體分析方法，建立流體流動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、動(dòng)量矩守恒和能量守恒的積分方程，分析研究流體運(yùn)動(dòng)的宏觀行為。4.1 概述 在研究流體運(yùn)動(dòng)的宏觀行為時(shí)，既可在流場中選定部分流體即系統(tǒng)為對象，也可以選擇確定的流場空間即控制體為對象。34.1.1 系統(tǒng)與控制體 系統(tǒng)與控制體是流體力學(xué)中兩個(gè)既有區(qū)別又有聯(lián)系的概念。（1）系統(tǒng)是一團(tuán)流體質(zhì)點(diǎn)的集合，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)的形狀和位置可以不斷

2、變化，而它所包含的流體質(zhì)點(diǎn)卻始終不變。4 上圖示為一流道，t1時(shí)刻在位置1選取一個(gè)系統(tǒng)（虛線），在t2時(shí)刻這個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到了位置2，t3時(shí)刻在位置3。在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)的形狀和位置都發(fā)生了變化，但其所包含的流體質(zhì)點(diǎn)卻不變。由于系統(tǒng)始終包含相同的流體質(zhì)點(diǎn)，所以系統(tǒng)是與拉格朗日方法相聯(lián)系的概念。 1235系統(tǒng)以外的物質(zhì)稱為外界。系統(tǒng)與外界的分界面 稱為邊界。系統(tǒng)可通過邊界與外界發(fā)生力的作用和能量交換，但不發(fā)生質(zhì)量交換。質(zhì)量不變是系統(tǒng)的特點(diǎn)。1236 顯然，對于流動(dòng)過程，不管劃定哪一部分流體為系統(tǒng)，該系統(tǒng)都必然處于運(yùn)動(dòng)中，其邊界形狀也會(huì)不斷發(fā)生變化。因此，以系統(tǒng)為對象研究流體運(yùn)動(dòng)，就必須隨時(shí)對系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤識

3、別其邊界，這在實(shí)際流動(dòng)過程中顯然是很困難的。況且，工程上所關(guān)心的問題也不在于跟蹤質(zhì)量確定的流體的運(yùn)動(dòng)，而在于確定的設(shè)備空間中流體的流動(dòng)行為。所以在工程流體力學(xué)中，更多的是采用以控制體為對象而不是以系統(tǒng)為對象的研究方法7（2）控制體 根據(jù)需要選擇的具有確定位置和體積形狀的流場空間。它是與歐拉方法相聯(lián)系的概念。 控制體的表面稱為控制面。在控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而且還可以有質(zhì)量的交換。8123 圖中，實(shí)線即為控制體。一般來說，控制體的體積形狀不變，但控制體內(nèi)流體的質(zhì)量是隨時(shí)間而變化的。9系統(tǒng)控制體定義流體質(zhì)點(diǎn)集合流場空間特性形狀位置變化位置體積形狀確定與外界關(guān)系力的作用；能量交換；無

4、質(zhì)量交換力的作用；能量交換；有質(zhì)量交換主要特征質(zhì)量不變質(zhì)量隨時(shí)間變化對應(yīng)的方法拉格朗日方法歐拉方法10由于有關(guān)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本原理都是針對具有確定質(zhì)量的系統(tǒng)而言的，所以，以控制體為研究對象時(shí)就存在這樣一個(gè)問題： 如何將基于“系統(tǒng)”的基本原理表達(dá)成適用于“控制體”的形式？ 這就是所謂輸運(yùn)公式要解決的問題。114.1.2 雷諾輸運(yùn)公式 基于系統(tǒng)的基本原理之所以要轉(zhuǎn)換成適用于控制體的表達(dá)形式，是因?yàn)榭刂企w的質(zhì)量是變化的，因此這種轉(zhuǎn)換只涉及與質(zhì)量成正比的量，如質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒原理中的質(zhì)量m、動(dòng)量mv、和能量E。而這三個(gè)量都是以其時(shí)間變化率的形式出現(xiàn)在基本原理表達(dá)式中。12所以關(guān)鍵問題是將 (dm/d

5、t)系統(tǒng) (dmv/dt)系統(tǒng) (dE/dt)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成與控制體相關(guān)的表達(dá)式。13t 時(shí)刻的時(shí)刻的系統(tǒng)邊界系統(tǒng)邊界固定的固定的控制體控制體t 時(shí)刻時(shí)刻的流線的流線 下面以(dm/dt)系統(tǒng)為例進(jìn)行推導(dǎo)。圖中陰影部分為固定于流場中的控制體，現(xiàn)將控制體所包括的流體區(qū)域即所要觀察的系統(tǒng)，稱為控制體系統(tǒng)。14 起始時(shí)刻t，系統(tǒng)的邊界與控制體表面相重合，系統(tǒng)所占據(jù)的空間與控制體空間相重合。隨著流體的流動(dòng)，在經(jīng)過t的時(shí)間間隔后，系統(tǒng)的邊界移動(dòng)到一個(gè)新的位置，所占據(jù)的空間變?yōu)閰^(qū)域II和區(qū)域III，但控制體空間是固定不動(dòng)的，仍然是區(qū)域I和區(qū)域II。I IIIIIIIIIIIt 時(shí)刻的時(shí)刻的系統(tǒng)邊界系統(tǒng)邊界固定

6、的固定的控制體控制體t 時(shí)刻的流線時(shí)刻的流線t+t 時(shí)刻時(shí)刻的系統(tǒng)邊界的系統(tǒng)邊界15 于是，在起始時(shí)刻t，系統(tǒng)的質(zhì)量m|t將等于該時(shí)刻區(qū)域I和區(qū)域II的流體質(zhì)量之和，即：在t+t時(shí)刻，系統(tǒng)的質(zhì)量m|t+t則等于該時(shí)刻區(qū)域II和區(qū)域III的質(zhì)量之和，即tIItItmmm|ttIIIttIIttmmm|I IIIIIIIIIIIt 時(shí)刻的時(shí)刻的系統(tǒng)邊界系統(tǒng)邊界固定的固定的控制體控制體t 時(shí)刻的流線時(shí)刻的流線t+t 時(shí)刻時(shí)刻的系統(tǒng)邊界的系統(tǒng)邊界16tmmmmtmmdtdmtIItIttIIIttIIttttt|lim|lim)/(00系統(tǒng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，系統(tǒng)的質(zhì)量變化率為17 為明確上式中極限項(xiàng)的物

7、理意義，引入t+t時(shí)刻區(qū)域I的質(zhì)量。于是上式得 )|lim|lim(| )(| )(lim|lim)/(0000tmtmtmmmmtmmmmmmdtdmttItttIIIttIIIttIIItttIttItIItIttIIIttIIt系統(tǒng)t 時(shí)刻的時(shí)刻的系統(tǒng)邊界系統(tǒng)邊界18上式中第一項(xiàng)極限的意義是控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率（mcv）/t。由于t+t時(shí)刻區(qū)域III的質(zhì)量 表示的是t時(shí)間內(nèi)通過控制面輸出控制體的流體質(zhì)量，而區(qū)域I的質(zhì)量 表示的是t時(shí)間內(nèi)通過控制面輸入控制體的流體質(zhì)量，所以第二、三項(xiàng)極限的意義是：輸出控制體的質(zhì)量流量減去輸入控制體的質(zhì)量流量等于控制體凈輸出的質(zhì)量流量。ttIIIm|ttIm

8、|19于是，對于控制體所包括的流體系統(tǒng)，其質(zhì)量變化率可表述為：(dm/dt)系統(tǒng)=輸入控制體輸入控制體的質(zhì)量流量的質(zhì)量流量控制體內(nèi)的控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率質(zhì)量變化率控制體凈輸出的質(zhì)量流量輸出控制體輸出控制體的質(zhì)量流量的質(zhì)量流量20同理可表述動(dòng)量mv、能量E： (dmv/dt)系統(tǒng)系統(tǒng)= + 輸出控制體輸出控制體的動(dòng)量流量的動(dòng)量流量輸入控制體輸入控制體的動(dòng)量流量的動(dòng)量流量控制體內(nèi)的控制體內(nèi)的動(dòng)量變化率動(dòng)量變化率控制體凈輸出的動(dòng)量流量控制體凈輸出的動(dòng)量流量 (dE/dt)系統(tǒng)系統(tǒng)= + 輸出控制體輸出控制體的能量流量的能量流量輸入控制體輸入控制體的能量流量的能量流量控制體內(nèi)的控制體內(nèi)的能量變化率能量

9、變化率控制體凈輸出的能量流量控制體凈輸出的能量流量上述三式即為雷諾輸運(yùn)公式。214.2 質(zhì)量守恒積分方程4.2.1 控制體系統(tǒng)的質(zhì)量守恒方程 根據(jù)質(zhì)量守恒原理，對于質(zhì)量為m的系統(tǒng)，其質(zhì)量守恒方程為由輸運(yùn)公式，以控制體為研究對象時(shí)質(zhì)量守恒方程可表述為0)(系統(tǒng)dtdm22輸出控制體輸出控制體的質(zhì)量流量的質(zhì)量流量輸入控制體輸入控制體的質(zhì)量流量的質(zhì)量流量控制體內(nèi)的控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率質(zhì)量變化率控制體凈輸出的質(zhì)量流量控制體凈輸出的質(zhì)量流量+= 023微元面上流體的法向速度為： vcos=( vn ) 流體流過dA單位面積的質(zhì)量流量 質(zhì)量通量與質(zhì)量流量 在流場中取一任意控制體。設(shè)在微元面積dA上，流體密

10、度，流體速度矢量與微元面外法線單位矢量n的夾角為。24稱為質(zhì)量通量，其單位為kg/（m2s）。于是通過微元面積dA的質(zhì)量流量可表示為： ( vn )dAvcos=( vn )25 控制體凈輸出的質(zhì)量流量 質(zhì)量流量 有正負(fù)之分。 若為輸出，則90, ( ( v vn n )dA0 )dA0 ； 由于通常情況下，控制面上總有流體輸入面和輸出面兩部分，所以將 沿整個(gè)控制面CS積分，即為 26=dAnvCS )(輸出等于輸入輸出小于輸入輸出大于輸入, 0, 0, 027 控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率 對于控制體內(nèi)密度為的任意微元體積dV，其質(zhì)量為dV。將dV在整個(gè)控制體CV積分可得控制體內(nèi)的瞬時(shí)總質(zhì)量，再對時(shí)

11、間求導(dǎo)得:控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率=CVdVt280)(CVCSdVtdAnv+= 029 ( ( v vn n )dA0)dA0)dA0 。21,mmqq301212)()()(mmCSAAqqdAnvdAnvdAnv012tmqqCVmm31 0/tmCV22211121AvAvqqmm或 322211AvAv33)1 (22max2Rrvvv2v1zrR221134dAvdAnv1)(dAvdAnv2)(v2v1zrR221135212max21022max122)1 (2)()()(1212RvRvRvrdrRrvdAvdAvdAnvdAnvdAnvRAACSAA于是v2v1zrR2211

12、360CVdVt02212maxRvRv由于控制體內(nèi)為不可壓縮流體，則控制體內(nèi)總質(zhì)量不隨時(shí)間變化,即則有故有vmax=2v137)1 (202maxrrvvp00pv38max202020max22)1 (0vrrdrrrvvdAqArm000RTp39示。取控制體如圖中虛線所化率。中空氣密度對時(shí)間的變下面求儲(chǔ)氣罐和排氣管故skgRTpvrqm/0552. 08 .27706.287104 . 132025. 0225200max20p00pv40smkgVqtqVtdVtqdVtvdAmmCVmCVCS3/1725. 0/002所以有布的，故上式可寫成由于空氣密度是均勻分即由質(zhì)量守衡方程有P

13、49例4-2414.3 控制體系統(tǒng)的動(dòng)量守恒方程 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，對于質(zhì)量為m，速度為v的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，其動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于作用于該系統(tǒng)的各力之矢量和系統(tǒng)系統(tǒng)）（dtvdmamF)(思考題：系統(tǒng)上的作用力包括哪些力？42 對流動(dòng)系統(tǒng)，以控制體為對象研究其動(dòng)量守恒時(shí)，動(dòng)量守恒方程可表述為輸出控制體的動(dòng)量流量輸入控制體的動(dòng)量流量控制體內(nèi)的動(dòng)量變化率控制體凈輸出動(dòng)量流量作用于控制體系統(tǒng)各力矢量之和=-+43dAvnxyzGF1F2 觀察如圖流場中的控制體。其中 ， 表示作用于控制體上的表面力。 表示體積力。 表示力的矢量和。 GF 動(dòng)量流量定義：動(dòng)量流量=速度 質(zhì)量流量則流體通過微元面積dA的

14、動(dòng)量流量為：F2F144dAnvv)(單位：kgm/s2，方向與速度方向相同。 動(dòng)量流量的分量為：dAnvvdAnvvdAnvvzyx)()()(動(dòng)量流量的正負(fù)與質(zhì)量流量的正負(fù)是一致的。思考題：可否表示成點(diǎn)積形式？思考題：為什么括號內(nèi)的速度不寫成分量形式？45 控制體凈輸出的動(dòng)量流量 將動(dòng)量流量沿整個(gè)控制面CS積分，得到輸出控制體的動(dòng)量流量與輸入的動(dòng)量流量之差：控制體凈輸出動(dòng)量流量dAnvvCS)(=46 控制體的動(dòng)量變化率 對于控制體內(nèi)密度為，速度為v 的任意微元體積dV，動(dòng)量為 ，則動(dòng)量變化率為：控制體內(nèi)的動(dòng)量變化率=dVvtCV任意時(shí)刻t的流線上式也可寫成三個(gè)分量式的形式47 動(dòng)量守恒方

15、程 由上述各式可得控制體系統(tǒng)的動(dòng)量守恒方程：dVvtdAnvvFCVCS)(上式即為矢量形式的動(dòng)量守恒積分方程。作用于控制體系作用于控制體系統(tǒng)各力矢量之和統(tǒng)各力矢量之和輸出控制體輸出控制體的動(dòng)量流量的動(dòng)量流量輸入控制體輸入控制體的動(dòng)量流量的動(dòng)量流量控制體內(nèi)的控制體內(nèi)的動(dòng)量變化率動(dòng)量變化率控制體凈輸出動(dòng)量流量控制體凈輸出動(dòng)量流量=-+48 實(shí)際應(yīng)用中常采用該方程的分量式。對直角坐標(biāo)系統(tǒng)，動(dòng)量守恒方程的分量式為：CSCVzzzCSCVyyyCSCVxxxdVvtdAnvvFdVvtdAnvvFdVvtdAnvvF)()()(49Fx為作用于控制體系統(tǒng)各力在x方向的分力之和；vx(vn)dA為x方向

16、動(dòng)量的輸出或輸入流量；vxdV為x方向上的動(dòng)量。其余兩方向分量含義類似。504.3.2 動(dòng)量守恒方程的應(yīng)用 以平均速度表示的動(dòng)量方程 實(shí)際工程應(yīng)用中，往往采用平均速度來計(jì)算進(jìn)出口截面上流體的動(dòng)量。設(shè)控制體進(jìn)出口截面上流體的平均速度分別為v1和v2，質(zhì)量流量分別為qm1，qm2，則x方向動(dòng)量的凈輸出流量為：思考題：控制體進(jìn)出口流量qm1和qm2是否相等？511212)(mxmxCSxqvqvdAnvv于是可得：CVxmxmxxdVvtqvqvF1212同樣可得其余兩個(gè)表達(dá)式。52 穩(wěn)態(tài)流動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)量方程 穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)，流體參數(shù)及流動(dòng)參數(shù)與時(shí)間無關(guān)，控制體動(dòng)量隨時(shí)間的變化率為零。于是有1212121

17、21212mzmzzmymyymxmxxqvqvFqvqvFqvqvF53注意： 動(dòng)量方程描述了流體的動(dòng)量變化和導(dǎo)致這種變化的作用力之間的關(guān)系，在分析流體機(jī)械及管道受力中十分有用。 動(dòng)量方程中的力指的是作用于流體上的力，而流體作用于管道設(shè)備上的力則是其反力。在分析實(shí)際問題時(shí)，通常采用分量形式的動(dòng)量方程，因而，首先要建立合適的坐標(biāo)系統(tǒng)，然后按方向逐一列出動(dòng)量方程。54動(dòng)量方程的解題步驟：1.選分離體（控制體） 根據(jù)問題的要求，將所研究的兩個(gè)斷面（通常為進(jìn)、出口）之間的流體取為分離體； 2.選坐標(biāo)系 選定坐標(biāo)軸的方向，確定各作用力及流速的投影的大小和方向； 3.作計(jì)算簡圖 分析分離體受力情況，并在

18、分離體上標(biāo)出全部作用力的方向； 4.列動(dòng)量方程解題 將各作用力及流速在坐標(biāo)軸上的投影代入動(dòng)量方程求解。計(jì)算壓力時(shí)，壓強(qiáng)采用相對壓強(qiáng)計(jì)算。55例題1：流體穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，經(jīng)過x-y平面內(nèi)的彎頭，彎頭進(jìn)出口截面面積為A1，A2。試確定流體對彎頭的作用力。56解：取1和2截面間的管道空間為控制體。流體受力分為三部分： 1.進(jìn)出口壓力 2.重力 3.彎頭內(nèi)壁面對流體作用力的合力57sincos222211ApGFFApFApFyyxx于是有58控制體凈輸出動(dòng)量流量為2222121111222212)sin()cos(1212AvvqvqvAvvAvvqvqvmymymxmx由于是穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，則得x，y方向的動(dòng)

19、量守恒方程分別為：sinsincoscos222222121122222211AvApGFAvAvApFApyx59解得：sinsin)coscos222222112212112222ApGAvFApApAvAvFyx流體對彎頭的作用力的分量正好與Fx，F(xiàn)y相反。60例題2：如圖所示，噴水推進(jìn)船，從前艙進(jìn)水，然后用泵及直徑為d=15cm的排水管從后艙排向水中。已知船速v1=36km/h，推進(jìn)力F=2kN。試求水泵的排水量為多少m3/s? v2Fv1v1d61解：取船內(nèi)流管的全部內(nèi)壁輪廓為控制體，已知進(jìn)水速度為 v1=36km/h=10m/s，設(shè)相對于船艇的排水速度為v2，排水量為Q，則由動(dòng)量方

20、程得 代入數(shù)據(jù)得044)4()(21221212FdQvdQvdQQvvQFsmdQvsmQ/75.164,/296. 0223P54例4-462例題3：水從固定噴嘴定常噴出，垂直沖擊一塊平板。水離開噴嘴的速度為v1=20m/s，噴嘴出口面積為A1=0.005m2。假定水沖擊平板后沿平板流動(dòng)。水的密度=1000kg/m3，試確定支撐這塊平板所需的水平力。63解:如圖所示選擇控制體。由動(dòng)量守恒定理有：RyxdAnvvFcs)(動(dòng)量流項(xiàng)有三部分：一個(gè)流入和兩個(gè)流出。其中兩個(gè)流出動(dòng)量流量由于與x向垂直，所以沿x向的分量為零，因而沿x向的動(dòng)量流量只有進(jìn)口截面上的值。64。力大小為故支撐這塊平板的水平即

21、有NNAvvR20002000005. 020100020)(111654.4動(dòng)量矩方程及其應(yīng)用 動(dòng)量守恒方程闡明了流體運(yùn)動(dòng)的變化與所受外力的關(guān)系，但是當(dāng)系統(tǒng)還受到力矩的作用從而產(chǎn)生轉(zhuǎn)折或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如葉輪，往往就需要用到動(dòng)量矩定理。4.4.1動(dòng)量矩定理 動(dòng)量矩力矩為M=r F，大小為M=|r|F|sin動(dòng)量矩為r mv，大小為|r|mv|sin66 動(dòng)量矩定律 為確定力矩與動(dòng)量矩之間的關(guān)系，將動(dòng)量方程兩邊同時(shí)叉乘矢徑r系統(tǒng))(dtvdmrFr其中方程左側(cè)為r F=(r F)=M，為系統(tǒng)所受力矩之和；而右邊可按矢量微分法則展開67vmdtrddtvmrddtvdmr)(由于d r/dt=v ，

22、所以有 ， 于是可得：0)(vmdtrd系統(tǒng)dtvmrdM)(上式表明，系統(tǒng)所受力矩等于系統(tǒng)動(dòng)量矩隨時(shí)間的變化率，即動(dòng)量矩定理。684.4.2 控制體系統(tǒng)的動(dòng)量矩方程)()(vrmvmr因此，如果將速度矩矢量(r v )暫用H表示，則動(dòng)量矩方程可表示為系統(tǒng))(dtHdmM由于69這與動(dòng)量方程在形式上是一樣的。因此可按照推導(dǎo)動(dòng)量守恒方程完全相同的步驟得到控制體系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒方程。即：dVvrtdAnvvrMCVCS)()()(該方程的意義是：70則動(dòng)量矩方程在x方向的分量式為CVxxCSxdVvrtdAnvvrM)()()(y、z方向分量式只須改變相應(yīng)下標(biāo)即可。71 二維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)量矩方

23、程 動(dòng)量矩方程常應(yīng)用于二維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)系 統(tǒng)，如葉輪機(jī)械中的流動(dòng)和力矩分析。 二維條件下動(dòng)量矩方程只剩下一個(gè)分量式。？ 作為工程計(jì)算，不計(jì)進(jìn)出口截面上速度的具體分布，按平均速度計(jì)算。 由于是穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，所以有0)(dVvrtCV72風(fēng)扇：73高速泵葉輪74高速泵葉輪速度矢量圖75整體流動(dòng)顯示模擬結(jié)果76111111sin)(vrvrzzyxov11r1r2v22 設(shè)平面流道系統(tǒng)平行于x-y平面，與z軸垂直。在流道進(jìn)口截面上，流體質(zhì)量流量為qm1，流體的平均速度為v1，則進(jìn)口截面上速度v1對z軸的矩為：77zyxov1r1r2v2278 若出口截面上流體質(zhì)量流量為qm2，平均速度為v2，則有2222s

24、in)(vrvrz79 所以有12121211122211122212sinsin)(sin)(sin)()()()()()(mmAAAzAzcszqvrqvrdAnvvrdAnvvrdAnvvrdAnvvrdAnvvr80 于是根據(jù)動(dòng)量矩方程第三式，可得x-y二維平面系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)流動(dòng)情況下的動(dòng)量矩方程：12111222sinsinmmzqvrqvrM81應(yīng)用上式應(yīng)特別注意： 式中取Mz的正方向?yàn)檩S的正方向，所以式中的必須是由矢徑r的延伸線逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到與速度v相重合時(shí)的角度。 工程實(shí)際中，有時(shí)可能不知道出口面上的絕對速度v2，但知道其分速度v21和v22以及r2與它們的夾角21，22，這時(shí)可用)s

25、insin(222221212vvr代替r2v2sin2。82于是有12)sin()sin(111222miimiizqvrqvrM 該式多用于葉輪機(jī)械的流動(dòng)分析中，因?yàn)橹苯又赖氖侨~輪流道進(jìn)出口截面上流體的相對速度和牽連速度，而不是絕對速度。該式也可應(yīng)用于有多個(gè)進(jìn)出口的系統(tǒng)。83v2T）v2Rr221R2R1v1Tv1Rr184例題：密度=1200kg/m3，質(zhì)量流量qm=60kg/s的海水通過離心泵穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。葉片流道進(jìn)出口圓半徑分別為R1=0.05m和R2=0.20m，進(jìn)出口葉片寬度分別為b1=0.02m和b2=0.015m，角速度=124rad/s，葉片出口角2=135，設(shè)流體進(jìn)入流道時(shí)

26、的絕對速度沿葉輪徑向方向。試確定：1）流體在葉輪中受到的力矩；2）為使流體進(jìn)入葉片流道時(shí)的相對速度與葉片相切的葉片進(jìn)口角1。v2T）v2Rr221R2R1v1Tv1Rr185解：取控制體為葉輪半徑R1和R2包括的流體空間?？刂企w進(jìn)出口截面面積分別為22211122bRAbRA由于是穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，有qm1=qm2=qm。葉輪僅在垂直于z軸的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以屬于二維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)系統(tǒng)，僅有Mz。86對于出口截面： 出口截面上流體的絕對速度的兩個(gè)分量為： 牽連速度 v2T=R2相對速度 v2R與葉片相切，與矢徑的夾角為2-90，未知。）v2Rr21R2R1v2Tv1Tv1R87 由于只有徑向速度才能使流體流出

27、葉輪流道，因此，相對速度的徑向分量乘以出口面積等于流體體積流量/)90cos(22222mRqvbR則有2222sin2/bRqvmR）v2Rr21R2R1v2Tv1Tv1R88由此可得出口截面上流體動(dòng)量對z軸的矩為mmmTRmiiqRbqqvvRqvr)tan2/(270sin)90sin()sin(222222222222）v2Rr21R2R1v2Tv1Tv1R89對進(jìn)口截面： 由于假設(shè)絕對速度沿葉輪徑向，所以相對速度不一定與進(jìn)口處葉片相切。設(shè)相對速度與牽連速度的夾角為1，則有）v2Rr21R2R1v2Tv1Tv1R1111sin2/bRqvmR90進(jìn)口流體動(dòng)量對z軸的矩為mmmiiqRb

28、qqvr)tan2/()sin(21111111由于進(jìn)口截面流體的絕對速度沿徑向，所以該面上流體對z軸的動(dòng)量矩必然為零，即0)tan2/(2111mmqRbq(a)91于是，根據(jù)二維穩(wěn)定流動(dòng)的動(dòng)量方程有mmmiimiizqRbqqvrqvrM)tan2/()sin()sin(222211122212代入數(shù)據(jù)得：Mz= - 265.77Nm。這說明流體所受的矩指向z軸反向。92 根據(jù)進(jìn)口截面上動(dòng)量矩為零的條件，可得進(jìn)口相對速度和牽連速度的夾角為9 .127)2/arctan(1802111Rbqm即為葉片進(jìn)口角。0)tan2/(2111mmqRbq93例題2：對稱臂灑水器，旋轉(zhuǎn)半徑R=200mm

29、,噴口直徑d=8mm,=45,總流量qv=5.610-3m3/s,不計(jì)摩擦阻力矩，求旋轉(zhuǎn)角速度。若噴水時(shí)不讓其旋轉(zhuǎn)，應(yīng)受到多大的力矩？9495解：每個(gè)噴嘴的出口速度為smAqvv/7 .55)108(785. 02106 . 52233這一速度的切向分量即為旋臂的切向圓周速度sradRvRv/9 .1961020045sin7 .55sinsin396mnRvqMvrvrqMvv1 .44)0sin(0sin0)sinsin(11111222所以需施加的力矩為，徑方向重合，所以有由于入口速度方向與半由動(dòng)量矩方程有974.5 能量守恒積分方程 流體在流動(dòng)過程中除遵守質(zhì)量守恒和動(dòng)量守恒外，還要遵守

30、能量守恒。本節(jié)將通過建立控制系統(tǒng)的能量守恒方程來分析流動(dòng)系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)換。4.5.1 控制體系統(tǒng)的能量守恒方程 對于流體系統(tǒng)，熱力學(xué)第一定律可表達(dá)為：系統(tǒng)從外界吸熱的速率與系統(tǒng)對外界做功的速率之差等于系統(tǒng)能量的變化率。98系統(tǒng))(dtdEWQ式中，Q為單位時(shí)間內(nèi)控制體系統(tǒng)的吸熱速率，單位為J/s或W。并規(guī)定系統(tǒng)從外界吸熱時(shí)為正，向外界放熱時(shí)為負(fù)；W為單位時(shí)間內(nèi)控制體系統(tǒng)對外界的做功功率，單位為W，并規(guī)定系統(tǒng)對外界做功為正，外界對系統(tǒng)做功為負(fù)；E為控制體系統(tǒng)的瞬時(shí)能量，單位為J。99 控制體系統(tǒng)能量方程的表達(dá) 可將上式表述為控制體系統(tǒng)從外界吸熱速率控制體系統(tǒng)對外界做功速率輸出控制體的能量流量輸入控

31、制體的能量流量控制體內(nèi)的能量變化率控制體凈輸出能量流量100 能量流量 以e表示單位質(zhì)量流體所具有的能量，則流體通過微元面積dA時(shí)的能量流量為xyzWdAnve)( )1010)(dAnve 控制體凈輸出的能量流量 有流體輸出的控制面上，能量流量0)(dAnve將（a）式沿整個(gè)控制面CS積分，則得有流體輸入的控制面上，能量流量102控制體凈輸出能量流量dAnveCS)( 控制體內(nèi)的能量變化率 對控制體內(nèi)任意微元體積dV，其能量為edV，則有控制體內(nèi)的能量變化率CVdVet103 能量守恒方程 將上述各表達(dá)式代入控制體系統(tǒng)能量守恒方程表達(dá)式可得：CVCSdVetdAnveWQ)(上式為流動(dòng)系統(tǒng)中

32、通用的能量守恒積分方程，各項(xiàng)單位為J/s。104幾點(diǎn)說明：一、做功功率W包括三部分：psWWWW Ws是軸功率:流體對機(jī)械設(shè)備做功功率為正；反之為負(fù)。 W是流體克服控制面上的粘性力（如剪切力）做功功率，即粘性功功率。對于理想流體，粘性功功率為零。105dAnvppdAv)(cos流體輸出控制面，其為正，表示系統(tǒng)對外做功；流體輸入控制面，其為負(fù)，表示系統(tǒng)獲得流動(dòng)功。 Wp流體克服控制面上的壓力做功的功率，稱為流動(dòng)功功率。在微元面dA上，壓力的作用力為pdA，單位時(shí)間內(nèi)流體在作用力方向( n方向)移動(dòng)的距離為vcos，所以單位時(shí)間內(nèi)流體所作的流動(dòng)功為106則控制體系統(tǒng)凈輸出的流動(dòng)功功率為dAnvp

33、WCSp)(于是，能量守恒方程又可表達(dá)為WdVetdAnvpeWQCVCSs)()(107二、單位質(zhì)量流體具有的能量e e通常由內(nèi)能u、動(dòng)能v2/2和位能gz組成：gzvue22于是能量守恒方程表示為WdVgzvutdAnvpgzvuWQCVCSs)2()()2(22108例題：滑動(dòng)軸承，軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，軸表面受到的切應(yīng)力為，軸承在軸線方向的寬度為W。假設(shè)潤滑油無外漏，確定保持油溫恒定所需要的散熱速率。分析：這個(gè)問題是穩(wěn)定散熱問題。分析：這個(gè)問題是穩(wěn)定散熱問題。取軸瓦間潤滑油空間為控制體，取軸瓦間潤滑油空間為控制體，由于控制體無流體進(jìn)出，潤滑油由于控制體無流體進(jìn)出，潤滑油本身也不存在軸功的輸

34、入或輸出本身也不存在軸功的輸入或輸出109解：由分析可知能量方程可簡化為 WQ此時(shí)的粘性功功率實(shí)際為軸對流體做功的功率，因此有WRRWRW21112)(2(即為所求的散熱速率。110 對能量方程的進(jìn)一步討論： 對穩(wěn)態(tài)流動(dòng)（當(dāng)控制體的進(jìn)口和出口的一切參數(shù)都不隨時(shí)間變化，控制體和外界單位時(shí)間交換的熱量和功也不隨時(shí)間變化），控制體內(nèi)的能量不隨時(shí)間變化，此時(shí)能量方程為dAnveWQCS)(下面再看一個(gè)例題。111例題：設(shè)有瀑布從高處大的水體泄入低處另一大的水體，瀑布的落差為100m，試求泄下后水的溫升。水的比熱c=4186J/kgk。截面1截面2100m1122()2()()2(12111122222

35、22gzvpugzvpuqdAnvpgzvuQmCS解：取一小截面流管控制體如圖所示，流管上端從上部的水體表面起始，下端到下部水體表面為止。水流為自由流動(dòng)，因此僅有流動(dòng)功。對該控制體應(yīng)用能量方程得113忽略流動(dòng)過程的熱傳遞，即Q=0，又p1/1= p2/2，v1=v2=0，則有2112gzgzuu由于u=c(T2-T1)，所以2112)(gzgzTTc則有KczzgT234. 04186/10081. 9/ )(21可見，對于水來說，很大的落差才能產(chǎn)生很小的溫度增加。114無熱量傳遞，即Q=0 無軸功輸出，即Ws=0流體不可壓縮，即=常數(shù)穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，即ECV /t=0 理想流體，即W=04.5.

36、2 伯努利方程及其應(yīng)用 下面討論能量方程在管流時(shí)的應(yīng)用。 對能量方程，假設(shè)：WdVgzvutdAnvpgzvuWQCVCSs)2()()2(221150)()2(2dAnvpgzvuCS則方程可簡化為：進(jìn)口截面上，vnv)(出口截面上，vnv)(對于理想不可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，可認(rèn)為流體參數(shù)與進(jìn)出口截面無關(guān)。無熱量傳遞意味著u為常數(shù)，則上式可寫成116222222111121)2()2(AvpgzvuAvpgzvu由于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，所以有cpgzvpgzv2222112122這就是伯努利方程，第一項(xiàng)為動(dòng)能，第二項(xiàng)為位能，第三項(xiàng)為壓力能。機(jī)械能守恒方程。117關(guān)于伯努利方程應(yīng)用的說明： 適用條件：質(zhì)

37、量力為重力；不可壓縮；理想流體；穩(wěn)態(tài)流動(dòng) 伯努利方程應(yīng)用于管流時(shí)，一般要求管流進(jìn)出口處于均勻流段或等直徑管段。 方程的物理意義：沿著同一根流線流體的動(dòng)能，位能和壓力能可以相互轉(zhuǎn)變，三者之和保持不變。 方程的幾何意義：將方程改寫成118gpzgvH22上式表明，沿同一根流線，流體的總水頭即：速度水頭、位置水頭和壓強(qiáng)水頭之和為常數(shù)。 對于粘性流體流動(dòng)，應(yīng)計(jì)入內(nèi)摩擦導(dǎo)致的機(jī)械能損耗，通常單位質(zhì)量流體的摩擦能耗又叫阻力損失，以hf 表示。于是粘性不可壓縮流體穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的機(jī)械能守恒方程可表示為：1191121222222pgzvhpgzvf若流動(dòng)過程中同時(shí)有軸功的輸出或輸入，則伯努利方程可表示為sfWpg

38、zvhpgzv1121222222Ws為流體輸出的軸功 對于可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，只要流體的速度v與當(dāng)?shù)匾羲賏之比（馬赫數(shù)）Ma=v/a0.3且與外界無能量交換，則可近似按不可壓縮流動(dòng)處理。120伯努利方程的應(yīng)用1.皮托管 當(dāng)水流受到迎面物體的阻礙，被迫向兩邊（或四周）分流時(shí)，在物體表面上受水流頂沖的A點(diǎn)流速等于零，稱為滯止點(diǎn)（或駐點(diǎn)）。在滯止點(diǎn)處水流的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓能。駐點(diǎn)的壓強(qiáng)稱為滯止壓強(qiáng)或總壓。皮托管就是利用這個(gè)原理制成的一種測量流速的儀器。 121 簡單的皮托管是一根兩端開口彎成直角的玻璃管。1773年，皮托首次用這樣的玻璃管測量了塞納河水的流速。122其方法是：將玻璃管的一端放入水

39、深為H0處，開口面向來流，另一端開口向上，管內(nèi)液面上升，高出水面h。A點(diǎn)速度為零，是水中的駐點(diǎn)。在A點(diǎn)的上游同一水平流線上取一點(diǎn)B，B點(diǎn)未受測管的影響， B點(diǎn)的速度即水流的速度。123AAABBBpgzvpgzv2222對A、B兩點(diǎn)應(yīng)用伯努利方程由于vA=0，zA=zB，則有ABBppv22124又由于pB=gH0， pA=g(H0+h)，帶入上式得：ghvB2這樣測得了河水的流速。討論： 式（a）指出了A點(diǎn)的總壓和B點(diǎn)的壓強(qiáng)及速度的關(guān)系。實(shí)際上A點(diǎn)的總壓和B點(diǎn)的總壓必定相等，因此點(diǎn)B的總壓同樣等于式（a）左端的兩項(xiàng)之和。125對任意一點(diǎn)都有：2210vpp總壓或滯總壓或滯止壓強(qiáng)止壓強(qiáng)靜壓靜壓

40、動(dòng)壓動(dòng)壓值得注意的是： 靜壓不是靜止流體的壓強(qiáng)，而是流動(dòng)流體真實(shí)的壓強(qiáng)。所以稱為靜壓是由于為了測量流動(dòng)流體的壓強(qiáng)，可以讓測壓計(jì)隨同流體一起運(yùn)動(dòng)，與流體保持相對靜止，這樣流體不受任何擾動(dòng)，就可以測出流動(dòng)流體的真實(shí)壓強(qiáng)。1262.文丘里管 文丘里管在工程上用于測量管道中流體的流量。它由收縮和擴(kuò)散管連接在一起組成，收縮和擴(kuò)散管連接處稱為喉部。h12127 測量原理為，管道收縮，流通截面變小，流體流速增加，從而使壓強(qiáng)降低。因此可以根據(jù)壓強(qiáng)降低的程度來確定流速的大小，計(jì)算出流體的流量。測量時(shí)，在文丘里管入口前的直管段截面1和喉部界面2兩處測量靜壓強(qiáng)，在中心流線和這兩個(gè)截面的交點(diǎn)1和交點(diǎn)2間建立伯努利方程2222112122pgzvpgzv128212221221221122212121/,22ddvAAvvAvAvpvpvzz質(zhì)量守恒方程縮流體的另一方面，根據(jù)不可壓上式變?yōu)?，文丘里管水平放置時(shí)，129)1()(24)1()(2414221224142212ddppdQddppv因此體積流量為則有130例：水沿漸縮管道垂直向上流動(dòng)。已知d1=0.3m，d2=0.2m，壓力表顯示相對壓力p1=196kpa，p2=98.1kpa，h=2m，若不計(jì)摩擦損失，試計(jì)算其流量。d1d2h131)(1 2)(,44