精品導(dǎo)學(xué)案：數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

1、第1講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法最新考綱1. 了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2. 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).診斷基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)梳理1 .數(shù)列的概念數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列. 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，通常也叫做首項(xiàng).數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示、 那么這個(gè)公 式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)數(shù)列的前n項(xiàng)和在數(shù)列an中，Sn=a + a2+ an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和.2 .數(shù)列的表示方法(1)表示方法列表法列表格表達(dá)n與f(n)的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n,

2、f(n)圓在平曲直角坐標(biāo)系中公 式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用通項(xiàng)公式表達(dá)的方法遞推公式使用初始值a1和an+1 f(an)或a1, a2和an+1- f(an, an-1)等表達(dá)數(shù)列的方法(2)數(shù)列的函數(shù)特征：上面數(shù)列的三種表示方法也是函數(shù)的表示方法，數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集1,2,，n的函數(shù)an = f(n)當(dāng)自變量 由小到大依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.3 .數(shù)列的分類分類原則滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限單 調(diào)性遞增數(shù)列an + 1 an其中.*n N遞減數(shù)列an + 1 2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先 求

3、出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.【訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn =2Sn 一 n , n C N .(1)求a1的值；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解(1)令 n=1 時(shí)，T1 = 2S 1, T1 = S1 = a1, .a1 = 2a11, a1 = 1.2(2)n2 時(shí)，Tn 1 = 2$ 1 (n1),則 Sn TnTn 1 2Snn? 2Sn 1 (n1)2=2(Sn Sn 1) - 2n+ 1 = 2an 2n + 1.因?yàn)楫?dāng)n= 1時(shí)，a = Si = 1也滿足上式，所以 Sn=2an-2n+1(n1),當(dāng) n2 時(shí)，Sn 1 = 2an 1 2(

4、n1)+1,兩式相減得an= 2an2an-1 2,所以 an=2an-1 + 2(n/2),所以 an+ 2=2(an-1 + 2),因?yàn)?ai + 2=3*0,所以數(shù)列an+2是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)歹U. 所以 an+2=3X2“1, ；an= 3X2”12,當(dāng)n= 1時(shí)也成立，所以 an=3X2n 1-2.學(xué)生用書第80頁(yè)考點(diǎn)三由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例3在數(shù)列an中，(1)若 ai = 2, an+i = an+ n+ 1,則通項(xiàng) an=;(2)若 = 1, an+i = 3an+2,則通項(xiàng) an =.審題路線(1)變形為 an+i an= n+ 1?用累加法，即 an =

5、 ai+ (a2ai)+ (as a2)+ + (an an 1)?得出 an.an+1 + 1 i(2)變形為an+i + 1 = 3(an+1)?再變形為=鼻？用累乘法或迭代法可求 an.an+1 3解析 (1)由題意得，當(dāng) n2 時(shí)，an=ai + (a2 ai)+ (asa2)+ + (an an-i) = 2(n1 (2+n) n(n+ 1)+ (2+3+ , , + n) = 2+2 2 +1 ,1X(1+1 )又ai = 2 =2+ 1,符合上式,3n+ 1 + 1(2)3n + 1 3an+ 2,即 an+1 + 1 = 3(an+1),即 3,an+1a2+ 1法 =3,ai

6、+ 1as+ 1a4+ 1J,=3, 3n+ 1 + 1,=3.將這些等式兩邊分別相an+1an+l+ 1n乘得=3n.ai + 1an+1 + 1因?yàn)?a1 = 1,所以=3n,即 an+1 = 2X3n-1(n1),所以 an = 2X3 -1 + 11(n2),又 a1二1 也滿足上式，故 an=2X3n1 1.an+1+ 1法二 由=3,即 an+1+1 = 3(an+1),an+ 1當(dāng) n2 時(shí)，an+1 = 3(an1+1), an+1 = 3(an1 + 1)=32(an2+1) = 33(an3+ 1)= 3n1(a1+ 1) = 2X3n-1, .an=2X3n-1-1;當(dāng)n

7、=1時(shí)，a1 = 1=2X3011也滿足.an=2X3n1 1.答案(1嚴(yán),1)+ 1 (2)2義3n 1 1規(guī)律方法 數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān) 系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有： 求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng).【訓(xùn)練3】 設(shè)an是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)an+1 nan+ an+1 an=0(n= 1,2,3,)，則它的通項(xiàng)公式 an =.角單析 (n 1)an+ + an+1 annan 0, (an+1

8、 + an)( n+ 1)an+1 nan 0,又 an+1 + an0, (nd- 1)an+1 nan 0,口口an+1na2a3 a4a5an1、/2、/3、/4、/ w n-11即=,： -=-x-x-x-x-x .&二 一.an n+1 a1 a2 a3 a4an 1 2 3 4 5n 5 n答案I課堂小結(jié)I1 .求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng)，通常用觀察法(對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般用(1)n或(1)n+1 來區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào))；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng),若求通項(xiàng)可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法.S1(n= 1),2 .由Sn求an時(shí)，an=$注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an的公Sn-S

9、i-1(n2式中，若不符合要單獨(dú)列出，一般已知條件含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮上述公式.3 .已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對(duì)這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三種常見思路：算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；(2) “an+1 = pan+q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an+1+ k= p(an+ N,由待定系數(shù)法求出入再化為等比數(shù)列；利用累加、累乘法或迭代法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.培養(yǎng)解題能力思想方法4用函數(shù)的思想解決數(shù)列問題【典例】(2013新課標(biāo)全國(guó)II卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知&。= 0, $5=25,則nSn的最小值為.解析 由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)，W知 a1 + a10=0, 21

10、+215=3.兩式相減，得 a15a1o=g= 5d,所以 d = 1, a= 3.33/32n（n 1） n 10n所以 nSn=n nai+dd =32x 10x23令 f(x) =3, x0,則f (x)=：x(3x 20),由函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f(x)在x=20時(shí)取得最小值， 33檢驗(yàn)n = 6時(shí)，6S6= 48,而n = 7時(shí)，75=49,故n$的最小值為一49.答案 49.一 . 、 -一 -一一 * 一一反思感悟(1)本題求出的nSn的表達(dá)式可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集N上的 三次函數(shù)，因此可以采用導(dǎo)數(shù)法求解. 20.、，(2)易錯(cuò)分析：由于n為正整數(shù)，因而不能將 答代入求最

11、值，這是考生容易忽略3而產(chǎn)生錯(cuò)誤的地方.【自主體驗(yàn)】1.設(shè)an= 3n2+15n18,則數(shù)列an中的最大項(xiàng)的值是c 13 B.yD. 0（）.a 16 A.V 3C. 4 解析 .an= 39一5) + 4,由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n = 2或3時(shí)，an最大，最大 為0.答案 D *22,已知an是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的nCN , an=n +入ifa成立，則實(shí)數(shù) 人的 取值范圍是.解析 設(shè)f(n)=an=n2+入q其圖象的對(duì)稱軸為直線 n=，要使數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，故只需滿足一22 時(shí)，an = SnSn1 =,. =5X(5+ 1) = 30.n+1

12、 nn(n+1)a5答案 D23 . (2014貴陽(yáng)模擬)已知數(shù)歹【an的前n項(xiàng)和為&,且Sn = 2n 1,貝U a3=().A. - 10 B.6 C. 10 D. 14解析 a3=Ss S2=2X321 (2X22 1)=10.答案 C4 .已知a1=1, an= n(an+1 an)(n C N ),則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是().A. 2n-1 B.fni1 1,n2C. nD.解析（構(gòu)造法）由已知整理得（n+1）an=nan+1,an+1n+ 1an一n，一 an 一 ，一數(shù)列T建常數(shù)列.an a11, an = n.法二（累乘法）：n2時(shí),annan-1 n1an-1n 1二:an2

13、 n 2a3 3a2= 2,a2 2a11 兩邊分別相乘得an一=n,a1，又因?yàn)?a1=1,an= n.答案 D5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a = 1, S = 2an+1,則Sn=().A. 2n 1B I3n 1B. 2C. 3n1一 1D.*解析，Sn=2an+i, .當(dāng)n2 時(shí)，i = 2an,an= Sn Sn i = 2an+1 - 2an(n 2),3_即京=5(n)2)，一 1132又 a2=2，. an=2* 日/ (n2).當(dāng) n=1 時(shí)，a = 1 w2x :11一3,=1,f1, n an= 1 3 n2 2Sn=2an+1 = 2X 2X !21一二()T答

14、案 B 二、填空題6. (2013蚌埠模擬)數(shù)歹1an的通項(xiàng)公式an=-n2+ 10n+11,則該數(shù)列前 項(xiàng)的和最大.解析 易知ai = 200,顯然要想使和最大，則應(yīng)把所有的非負(fù)項(xiàng)求和即可，令 an0,則一n2+10n+110, . .-1n 2).由題思知，a1 = 3,符合上式，. . an=3n(n a ).-1答案 an=38. (2013淄博二模)在如圖所示的數(shù)陣中，第9行的第2個(gè)數(shù)為.3 3S k S7 11 II 79 18 22 18 9解析 每行的第二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an,由題意知a2 = 3, a3=6, a4=11, a5 = 18, 所以 a3a2 = 3, a4a3

15、=5, a5 a4=7, ，anan1 = 2(n 1)1=2n3,等式兩邊同時(shí)相加得2n 3+3)x (l2 )=d.為2 一22所以 an n 2n+a2=n 2n+3(n2),所以 a9 9 2X9+3=66.答案 66三、解答題一一 ，.一2_9 .數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an= n -7n + 6.(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？解 (1)當(dāng) n = 4 時(shí)，84 = 424X7 + 6= 6.(2)令 an=150,即 n2 7n + 6=150,解得n=16或n= 9(舍去)，即150是

16、這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).(3)令 an=n27n + 60,解得 n6 或 n2),兩式相減得，an+1 an = 2an +2n 2(n )2).由已知可得a2=3,n= 1時(shí)上式也成立. an+1 3an 2n 2(nC N ), an 3an 1 2(n 1)2(n2).兩式相減，得(an+1 an) 3(anan-1) = 2(n2)., bn = an+1 an ,bn-3bn 1 = 2(n2),bn+1 = 3(bn 1+1)(n2).v b1 + 1=3bn+1是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列， bn+1=3X3n 1 = 3n,bn = 3n1._1_2_n 1n上13.Tn =

17、 3 + 3 + + 3 n = 2 3 n 2(2)由知,an+ian = 3n1,二 an= (an an i) + (an i an 2)+ (an 2 an 3)+ + (a3 a2)+ (a2 ai)+ ai = 30+31 + 32+- + 3n 1-(n-1) = 2(3n+1)-n.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題41 .已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=11_2n，則潴足an + ian的n的取值為().A. 3 B. 4 C. 5 D. 64489斛析 由an+ 1 an ,得an+1an = g = 一-0,解得11*. Ln7,* ,_ . . . . . .

18、.C N ,且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().i9 Q79 Q 八A；，3 JB.驚 3J C. (1,3) D. (2,3)，一 ，.一 、，-，_. .、 . *解析.數(shù)歹Man是遞增數(shù)列，又an = f(n)(na),p-a0,a1,? 2af7答案 D二、填空題3 .在一個(gè)數(shù)列中，如果？ nCN ,都有anan+ian+2 = k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列 叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且ai=1, a2 =2,公積為 8,則 ai + a2+a?+ ai2=.解析 依題意彳#數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且ai=1, a2 = 2, a3=4,因此ai+ 82 + a3+ + ai2=4(ai + a2+ a3)= 4X (1 + 2 +4) = 28.答案 28 三、解答題4 .設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.已知 ai = a(a*3), an+i = Sn + 3n, nCN .(1)設(shè)bn=Sn3n,求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)若an+ian, nCN*,求a的取值范圍.解(i)依題意，&+i Sn= an+i = Sn+ 3n,即 Sn+i = 2Sn+3n,由止匕得 Sn+i 3n+1 = 2(& 3n),又Si 31=a 3(a*3),故數(shù)列Sn 3n是首項(xiàng)為a-3,公比為2的等比數(shù)列， 因此，所