Stolz定理的若干應用

1、Stolz定理的若干應用XXXX（XXXXXX 大學 XXXXXX 專業(yè) XXX 級 XX 班）摘要極限思想是許多科學領域的重要思想之一.為了解決求極限的問題，本文介紹了計 算極限的一種方法一一Stolz定理，并對Stolz定理的結(jié)論進行了推廣.本文先敘述有關Stolz定理的一些已知結(jié)論，然后通過實例說明Stolz定理及其推廣 的有關結(jié)論在極限求解中的應用.Stolz定理可以說是數(shù)列的L' Hospital法則，它對求 數(shù)列的極限很有用.Stolz定理可以推廣到函數(shù)極限的情況，有些問題使用Stolz定理可 變得十分容易.Stolz定理是證明數(shù)列和函數(shù)極限存在性的重要定理，文中給出了St

2、olz 定理的數(shù)列情形、函數(shù)情形.關鍵詞Stolz定理；數(shù)列；函數(shù)；極限貞腳Some applications of Stolz theoremsZHANG Ran(Grade 2004 Class (2)Information and Computing ScienceCollege of Mathematics and PhysicsUniversity of Science and Technology of Suzhou)AbstractThe limit thought is one of many scientific field important thoughts. In or

3、der to solve asks the limit the question , this article introduced the computation limitr s one methodStolz theorem, and has popularized theconclusion of Stolz theorem.This article first narrates related Stolz theorem some known conclusions, then in the limit solution through the example explained t

4、he application of the Stolz theorem and its popularized related conclusion. The Stolz theorem can be said to be sequence LrHospital principle, it is very useful to asks the sequence the limit. The Stolz theorem can be popularized to the situation with the limit of function, some questions use the St

5、olz theorem to become very easy. The Stolz theorem is important theorem to prove the limit existence of the sequence and function. This article has given the Stolz theorem the situation of sequence and the situation of function.Keywords Stolz theorem； sequence； function； limit摘要關鍵詞Abstract Keywords2

6、 序列形式的Stolz定理1 2. 1二型Stolz公式2. 2 & 型 Stolz 公式32. 3序列形式的Stolz定理應用43 函數(shù)形式的 Stolz 定理103. 1 一型 Stolz 公式103.2 &型Stolz公式 03. 3函數(shù)形式的Stolz定理應用14致貞腳1引言極限論是數(shù)學分析的基礎，極限問題是數(shù)學分析中困難問題之一.中心問題有兩個: 一是證明極限存在，二是求極限的值.兩問題有密切關系：若求出了極限的值，自然極 限的存在也被證明.反之，證明了存在性，常常也就為計算極限鋪平了道路.講述極限論，通常先講序列極限，然后講函數(shù)極限.兩類極限，有平行的理論，類 似的

7、方法，彼此有著深刻的在聯(lián)系.極限思想是許多科學領域的重要思想之一.因為極限的重要性，從而怎樣求極限也 顯得尤其重要.對于一些復雜極限，直接按照極限的定義來求就顯得非常局限，不僅計 算量大，而且不一定能求出結(jié)果.為了解決求極限的問題，有不少學者曾探討了計算極 限的方法.本文介紹了計算極限的一種方法一一Stolz定理，并對Stolz定理的結(jié)論進行 了推廣，討論如何利用Stolz定理計算極限，并且以實例來闡述方法中蘊涵的數(shù)學思想.本文先敘述有關Stolz定理的一些已知結(jié)論，然后通過實例說明Stolz定理及其推廣 的有關結(jié)論在極限求解中的應用.Stolz定理可以說是數(shù)列的L' Hospital

8、法則，它對求 數(shù)列的極限很有用.Stolz定理可以推廣到函數(shù)極限的情況，有些問題使用Stolz定理可 變得十分容易.Stolz定理是證明數(shù)列和函數(shù)極限存在性的重要定理，文中給出了Stolz 定理的數(shù)列情形、函數(shù)情形.2序列形式的Stolz定理2.1女型Stolz公式CC定理2.1 （:型Stolz公式）設招嚴格遞增（即有X”且O0lim x = +8.若liin = a ,則lim 1=（其中a為有限數(shù)，+ 8或一 8）. ”一>8_ V->8 V人”人-I人證1° （。為有限數(shù)的情況）因為卜“嚴格遞增，所以x “一七. >0.記按已知條件有l(wèi)irn % =0,即T

9、e>0, BN >0,當“NN時，有|。三. n->x2由（1）得+）（X“一當T）=y-2 +（%T +- Zr-2）+ （% +。）（與一七1）=>V +（2必1 +。）（兀丫+| X' ） + +（2 + C/）（X“一的）=）'n + a.M+1（七“1 一 ±v）+ +?！?（x“一 x”T）+一 七丫）兩邊同時除以X”，再同時減去。，得居 ->v - aXN|4+1 - 0 I + + 1% 卜- XT I -。$ +;yN 一吟因為lim匕=+8,歆0N>N ,使得>M時有土.511A-,2于是上一。<&#

10、163; +芻=£.所以lim = a.x 2 2-乙2° （a = +co的情況）因為 lim'"'i =x）,所以對 M = l, 3>0,當>N 時， >1 > 1 ,即 一工 y yr r>N 時，£一打.】>x-xt >0且有 所以當N時，%嚴格遞增.（2）式中令 = N + l,N + 2,女 ,然后相加，可得此 一>'n >xXn >0.令 fs,知力->i,即limy =+s.于是y嚴格遞增，limy=+s,且 n->xlim 與' i

11、 = 0 由 1。的結(jié)論得 lim & = lim 與一 =。,故 lim、= +s.n-工 >> VT8 VT8 V VT8 V3。（4=70的情況）只要令% =-z”即可轉(zhuǎn)化為2°中的情況.注 lim=8 , 一般推不出Um 2A = s.例如3c Y - V30 Y八人一1人氏= 1,2,3,小, >>= 0,22,0,42,0,62,- -.、這時雖然lim 上三=s ,但,> = 0,2,0,4,0,6,不趨向8 .a Y vV人人-1注若lima=a,在Stolz定理中設x = ，+=+)+ &.因為 n->xlim _

12、 V" = lim a”.】=a ,所以lim紅土二二口 = .因而Stolz定理是它的推廣形 T+X v- _ v-T8/?>X1J人+1 人式.2.2，型Stolz公式定理2.2 （，型Stolz公式）設 f 8時y“ - 0, 4嚴格'0（嚴格單調(diào)下降趨向零）.若lim二一b± = "，則Hm ' =。（其中。為有限數(shù)，+8或一8）. nB V VV八人一1人證1° （。為有限數(shù)的情況）因為-8時K-0,與嚴格0（嚴格單調(diào)下降趨向零）.所以居一先+|>°，/一七川>0按已知條件lim 一、1 = ,可知V

13、e>0, mN>0,當 >N時，有 -a 、 一 Y 人人 一1a-£ < _<a + s . x-即（。一力工一 與川）V % 一 乂川< （a +以工一匕川）可得（。一 £）（% - %+p ）< % -v （。+ £）（ % - x+/） 令 P f 8 ,得 (。一 £)x < yn < (a + £)xn ,即 & - 4 < £ .當所以 lim 2A = .一42° (a = +co的情況)因已知lim匕- "1 =一,所以對VM&g

14、t;0, 3N>b,當九>N時，有' 二+i >“.乙一 七-1Z x向推得%-+p >M(%一 x4+,).令 pfs,得 >M (n > N).故Xnlim - = +co .怎3° ( = 的情況)只要令 =z”即可轉(zhuǎn)化為2°中 =+8的情況.注Stolz定理只是給出了極限存在的充分條件，并非必要.例如x, = 1 - 2 + 3 -4 + + (-1)z , % = n2 (n = 1,2,3,).雖然lim上二也不存在，但是卻有% = 0.另外，定理2.1其名為二型，其實 y” - +-18s只要求分母4/+8 (嚴格單

15、調(diào)上升趨向無窮大)，至于分子是否趨向無窮大，無關緊 要.定理2.2是名副其實的，型.因為定理要求分子、分母都以。為極限.因此，Stolz 定理為求某些待定型極限提供了一個有用的工具.2.3序列形式的Stolz定理應用Stolz定理，對于求序列的極限十分有用.例1應用Stolz定理求極限：小 . I2 +32 +52 + + (2 + 1尸(1) hm:;g 1-+32 +52 + + (2 + l/ 4 lim n<；- - z“33J解(1)由Stolz定理，得lim n->xl2 +32 +52 +- + (2/? + l)2(2)因為I2 +32 +52 + + (2+ 1

16、4 3/+32 + + (2" + 1)2 43“I=“3332所以，由Stolz定理，得原式=limn->®3口2+32+ + (2 + 1)2 43311m 3(2 + 1)2-413一(一1)3廿 3/72 -3(77-1) 2貞腳例2設0為vl,= X”(1 一 X”)( = 123,).證明：lim nxn = 1.證 設infx0 1 = 1,2,=。，則 &N0. Ve>0, 3m eN+ ,使得aWx加 va + £.由于x0+i=-x： 。，故x單調(diào)減因此，當 i時，有?！柏? va + e，可知limx“=a.令 f oc,

17、對遞推公式取極限，得a=0.即上是單調(diào)減的無窮小量, 一8利用Stolz定理r】11vlim nxn = lim = limn>x一一T818設數(shù)列冊收斂于。，則當夕金（。,1）時，有l(wèi)im (4 + q% + + q%°)=-30-1 -q證由Stolz定理，有l(wèi)im (% + qa,i + + q%o)n>®1 1 1 1a() + / + -2a2 + +-7%1111 q='LJStolz定理，必要時可以重復使用.例4設勺=»。3其中C；=k!r求 lim .TX 解 由于，/單調(diào)增且發(fā)散于+ 8 ,由Stolz定理YY Ylim T

18、= liin . i，= limir 28 ( + 1 - T8+ln= lim2 +1x2n +1n ln(« + 1)-2 In Z:= lim歸 再用Stolz定理28 2n +1=lim“T8(n + l)ln(7? + 2) ln( +1) - ln( +1)=lim -ln(l +28 22“+i _ J_ '2有時問題經(jīng)過處理之后，方能應用Stolz定理.例5設lim ”（A一 At）= °試證：極限lim存在時,lim 4= liin A+&+- +A”證因“ aA+&+ akn+兒+&+. +兒,只須證明第一項趨于零.為 了

19、利用一 AZ） = 0,特令 “=4，2=4-4，氏 = A- 4-1，則一8知 lim nan =0,且 4 = (A - A“_) + (A_| 一 A_,) + (A)- A,) + A, =an +% + + % . n->x于是lim A A+&+ 4=lim (% +)+ 3 + %)-+ ( + 42 ) + + (a I +2 +. + 0)、=limX生- 2%+ + (-1"(應用 Stolz 定理)=lim“f Xn( 一 )an “ 一 1=lim-，=0 一( 一 1)x n所以 limA.=limA+&+4”A例6設當"T8

20、時有極限；"為單調(diào)增的正數(shù)數(shù)列, JQ-1 f+oO ( - 8)證明：lim "M+ "= 0 . Pn證設4 f a ( - 8).由于ak = 4 - Aj ,所以1%+22 +一+/=P1A +2（A? 一4）+P“（A 一4_|）=（PP2）A +（2 - 3）& + + （億I - P叫T + P A -由Stolz定理，得n-11m PM+%+-+/“Pn=limTX, （Pl - 2）A + （2 - ）& + + （/* - ” ） A,1:=lim-PMi +a = 0.2'i、 2"-1,2一11 2'

21、;i + + In2 2“-1,一 1+ - + 2J,-222In -+ 2 In - 2-l23-l In-一應用Stolz定理，得y 12-2 In -2 1lim In A；t = lim：= = lim InTX "T8 2，I _ 2"-2“T8故原式=罌”(證明:例8設數(shù)列%,猊滿足：川=履”+>, reN+,其中風<1.liin bn = 0 <=> lim an = 0. 1|->Xf8證顯然成立."="設山2=0.若a=0,顯然有l(wèi)im% =0.n->x?->»若則 Ov 岡 vl.

22、 V/2 e N" .%X = W + hn = "血T 十 %)十 -尤明-I + 動“T + bn = A_ (Aan_2 + bn_2 ) + 也1T + a=A-a_2 + A2b_2 + 地 _1 + 2=/ + /"-% + 獷、+勸 +1)+豺I* I m網(wǎng)”+同；+但彘+同，令 z” =同+|仇| j +IM 4 + +閡 J , yn AAA由0風1知，%是嚴格增加的正無窮大的數(shù)列，應用Stolz定理得慝I邛（同+陽:+岡+碉)77=lim2=lim 士fx v nB v 九JE = limy aToe1%=0.所以 lim k/n+11=0,即

23、 lim a = 0. /2->»'1?t->X設為自然數(shù)，求下列各極限:lim1 + 2P+3+.+九lim一>飲limK>+X(4) lim (a > 1). f a"解 設Xn=fkP , y=n.因為 eZ+,所以)，”單調(diào)增，且yn f +00 ( - s) 又x-5 _( +1) _+ pn，-' + + pit +1 y(+i尸一嚴 l(p + )/+1£±12尸+1 2!/1、 ( + l)P 119-( f O0).P + 1于是，由Stolz定理得11m工妹匕匕上n->x y，“(2

24、)因為1 + 2 + +“” _ (+1)0 + 2P+.+"q"|npp + 1(p + l)M現(xiàn)設覆=(p + l)l + 2P + '一P" , yn =(p + )np .因為pZ,，所以%單調(diào)增，且%-s).又X" 1 -= (p + )( + )P (" + 1 嚴 (p + l)(n + iy -np(p + l)P + M" + 1( + l)P尸 +- + 12!<21(P + DlpM” + 寫) p-2 +1 (p + )pnp- + "二"Li +1乙乙，'匕+(:一

25、( + l)p(p l)/'-2 + +(/7 + l)p"j + n 1，2 + 12!( + l)P(1 1 Y ，八 1+r# + 1)31丁故由Stolz定理得：當為自然數(shù)時=11mz'5 %+1 一 % 2(3)設 x” = 1 + 3。+ + (2-l)P ,則%單調(diào)增，且方一( -s).又因為X”1一/ _(2+ 1)。治+1-，"( + 1尸-。"_(2)P + p(2尸 + + p(2n) +1(p + l)M +(：)"/尸 + (/? + 1)/2+ 1 2!2!，+ /?2/，-1 -+ y2P="左&g

26、t; (H T co)(P + D +5L-與日2! n tv所以，由Stolz定理1 + 3P+ (2 1尸匕 *乙2Plim：= lim=. 用一/ + 1(4)設4=2, £,=".則由01知，9單調(diào)增，且y一日s).又因為= 2 + = J,如所以 lim 一L = _Llim 也±1 '+】_ y "'(a l) 6/-1 an)'+】_3'”_1T8 an注意仍為：型5-s),且滿足Stolz定理條件 aoo1, 2 +1 . 2( +1) + 1 (2 +1) r 2lim= lim；= lim= 0 .f

27、an Ji00 a -ana"(a -1)可知 lim"0.故 lim ± = lim 9口 = 0.- y” "B z y+l -+3函數(shù)形式的Stolz定理為了求非導函數(shù)的待定式的極限，在Stloz定理的基礎上，給出了Stloz定理的推廣 定理，并對定理進行了證明.3. 1女型Stolz公式OC定理3.1 (：型)若丁>0為常數(shù)， O0(i ) g(x + T)> g(x) (Vx > a);(ii) g(x)f+s (當 Xf xo時)，且/, g 在a,+s)閉有界(即指：V>a, f , g 在a,切上有界)；(iii)

28、 11m 八-， 一討 g(x + T)-g(x)則lim 3 = /(其中/為有限數(shù)，+8或一 8).g(x)證1° (/為有限數(shù)的情況)按已知條件g(x)f+8(當Xf XO時)，及l(fā)im /(上丁)二應)=/知 g(x + T)_g(x)Ve>0, 3A>0,當之 A 時有 g(x)>。，/(a- + T)-/(a)_/<£(1)g(x+r)-g(x)2記% =”7- 1)T) _(2：g(x + r)_g(x+(_i)T)則f(x + nT)=f(x + (n-l)T) + g(x + nT)-g(x + (n-l)T)(an + /)=f(

29、x + (n- 2)T) + g(x + (n- 1)T) -g(x + (n- 2)7,)(a-1 + /)+ g(x + nT) -g(x + (n-l)T)(art+ /) =f(x + T) + g(x + 2T)-g(x + T)(a2 + /)+ g(x + 3T)-g(x + 2T)(a3 +/) + -+ g(x + nT) -g(x + (n-l)T)(art + /)= f(x + T) + a2g(x + 2T)-g(<x + T)+-+ tg(x + nT) - g(x + (n- 1)T) + lg(x + nT)-g(x + T).在除以g(x + T),減去

30、/,得/(x + 7)g(x + nT)/(x + T)-/g(x + r)g(x + nT)1+ -rx|g(X +丁)|a211ga + 2T)-g(x + T)什+ ang(x + nT)-g(x + (n-Y)T).上式右端4/(x + T)-/g(x + T)g(x + ")£ g(x + nT)-g(x + T) H2g(x + nT)由式知 ak<-(k = 1,2，,”)，因為 g(,v + 7) > g(x) (Vx > a),f(x + T)-hg(x + T) s十 一g(x + nT) 2按條件，f(x + T) /g(x + T)

31、在AA + T上有界,即玉W>0,使得 f(x + T)-l-g(x + T)<M .于是上式右端"常西+3 但 g(x) +S (當 X-+8 時)，故mN>0,當N 時有|ga+r)廣于所以/(X +叫£ £I S1 8 g(x + T)2 2故V)，>A + NT,總6i>N及veA,A + T,使得y = x +訂.從而由(3)式知U12一/ <£.g(y)即 lim 幺 = /.g(y)2。(/為+8的情況)因 lim g(x) = +s 及 lim 小二ZIzZLLIm+oo,故 VM>0, 3A&g

32、t;a,當 x>A 時, 田J” g(x + T) _ g(x)g0)>0.f(x + T) f(x ( 1)T)>2Mg(x + 7)_g(x_(_l)T)由此f(x + nT)> f(x + (n - 1)T) + 2Mgx + nT) - g(x + (n - 1)T)> f(x + (n- 2)T) + 2Mg(x + (n -1)7) - g(x + (n-2)T)+ 2Mg(x + nT)-g(x + (n - 1)T)>> f(x) + 2Mg(x + T)-g(x)+-+ 2Mg(x + nT)-g(x + (n - 1)T)=f(x)

33、 + 2Mg(x + nT)-g(x).兩邊同時除以g(x + 7),得/(x + T) > 2M + /(x)2Mg(x)g(x + nT)g(x + nT)注意到/(x) 2Mg(x)在AA +為上有界，而g(x + “r)fs,所以3V>0, 時,“x)-2Mg)_M,于是g(x + nT)g(x + nT)因 Vv > A + NT , 3? > N 及 x £ A, A + T,使得 y = x + nT.故"')=+")> m . g(y) g(x + nT)即lim 幺上=+oo .3 g(y)3。(/為一8的情

34、況)可考慮-/(%)即可轉(zhuǎn)化為2°中的情況.3.29型Stolz公式定理3. 2 (9型)設T>0,且0(i) 0 < g(x + T) < g(x) (Vx > a)；(ii) lim f(x) = lim g(x) = 0 ；(in) hm -= I.g(x + T)_g(x)則lim "? = /(其中/為有限數(shù)，+8或一 8).g(x)證1° (/為有限數(shù)的情況)因為 Ovg(x + T) vg(x) (VxNa).所以 g(x) - g(x + T) > 0 .按已知條件lim二 ')=/,可知 V£>

35、;0, BX>af 當 x>X 時，有g(x + T)-g(x)(/ _ £)g(x) -g(x + T)<f(x) - f(x + T) V (/ + £)g(x) _ g(x + 7).對VeN,由此可得(/一 £)g(x) -g(x+nT) < f(x) - f(x + nT) <(/ + e)g(x) - g(x + nT).因為 lim /(x) = lini g(x) = 0 ,令-> 8 ,得 -X->-rOC(/-£)g(X)< f(X)V (/ + 6)g(X).即 ZL2-/ <&

36、#163;.故 lim 11 = 1.gMi3c g(x)2° (/為+8的情況)因 lim /('一7) /3.)=,所以 VM>0, 3X>,當 x>X 時， g(x + T)-g(x)g(x + T)-g(x)推得 /(a) - f(x 4- nT) > Mg(x) g(x + nT).令“-> 8 ,得 /(%) > Mg(x),即坨NM.故皿3 =.g(x)f g(x)3。(/為-8的情況)可考慮-/*)即可轉(zhuǎn)化為2°中的情況.3.3函數(shù)形式的Stolz定理應用有些問題應用上述定理可變得十分容易.如例1 (Cauchy定

37、理)若/在(4,+s)有定義，且閉有界(即Va,0u (,+s), /在&切上有界)，則(1) lim lim/(x +1)-/(%)；XT佚 x2田(2) lim /(x)p = lim /(Vn (/(x) >c>0),XT"f(x)當右邊極限存在時成立.證(1)令g(x) = x，則 g(x + l) > g(x)，xe(a,+8)(取7 = 1),且 limg(x) = +s. .V->-hX又/(x)和gw在a,+s)上閉有界，故當lim / (x+ 1)- f (x)J = Inn = lim 什在際，可知1Txexf (x+l)-x+x

38、g(x +1) - g(x)lim "?= lim 存在，且有一e X 7 g(X)lim S= liin/(x + l)-/(x).XT 供 (2)已知 /(a) N c > 0,令 F(x) = In f(x) , g(x) = x ,則 g(x + 1) > g(x) , x e (a,+s)(取7=1),且 lim g(x) = +s.一日由于f(x)在(a,+8)上閉有界，則F(x)在(a,+8)上也閉有界.又g(x)在(a,+s)上閉有界，故當存在lim小衛(wèi)，從而也存在 /(X)./(x+1) rln/(x + l)-ln/(A)F(x + 1)-F(x).l

39、im In= lim = lim 時，可知xt 田JW xtw (x + l)-x I- g(x + l)_g(x)lim /(x)p = lim in f(A = Um 匕匚2存在，且有XTy,x .VfW g(x)r i f( i7 r /(x + l)hm l/(x) v = hmS依Iy f (x)例2設/在a,+s)上有定義，閉有界，lim .八上1)二/今)=/ (/二有限數(shù)，+8或2田X-oc).貝1J lim '(：)=.一田 xn +1證 f(X) f(X+)-f(X) v/(X + l)-/(X)lim = lim ：r = lim 一- (x +1嚴 _X向 一

40、+ + ( + 1)+.+1-2/(x + l) - /(x)I田 /八( + 1) 11 + 1( + 1) + + 1-2 x 父(/為+8, - 8也成立).例3設函數(shù)/(X)和g(X)在區(qū)間(4,+8)上滿足既8(力=+8； /(x)、g(x)可導，且 g'(x) W 0 ;(3) lim 4 = /.g，(x)則Um 小? = lim_S2 = /.g(X) "i g'W證 由條件(2)可知，g'(x) > 0 , xe(a,+8).以下驗證/(x)和g(x)在(4,+s)上滿 足定理3.1(二型)的條件(取7 = 1).O01)由條件(2),

41、利用Lagrange中值定理知，Vx£(a,+s),有 g(x + 1) g(x) = g<£)>0, £ £(X, X + 1) U (4+8),即 g(x +1) > g(x) , xe 3+8)成立.而由條件(1),已成立lim g(x) = +s.2)由條件知，/(x)和g(x)在(4,+s)上連續(xù)，從而閉有界.3)由條件(2)和(3),利用Cauchy中值定理知，Vxe(,+s),有4 £(x,x+l)u(4,+s)成立./(x + l)-/(x)(g) g(x + l)-g(x)g«)從而有1m"

42、;q=/.討 g(x + l)-g(x)g'(g)由定理3. 1(二型)，得證在上述條件下成立O0m g(x) “z g(x+l)-g(x) '1 g'(x)Stolz定理與L' Hospital法則是數(shù)學分析中處理型和型極限的兩個 O00重要工具，它們分別適用于變量為“離散的”和“連續(xù)的”情形.Stolz定理實質(zhì)上是已知數(shù)列%與正無窮大數(shù)列式“的各自相鄰兩項增長率之比的極限，來求得色的極限.這與求函數(shù)極限時，已知3 的極限來求&1的極限(： X"g'(x)g(x)6型)的情形(L' Hospital法則)有相似之處.Stolz

43、定理常用于分子或分母是某一和式的極限求法，應用該定理時，要注意驗證 定理各條件.在同一題目中，只要定理條件滿足，Stolz定理可連續(xù)使用.對于可導函數(shù)來說型和“2”型可以互相轉(zhuǎn)化，L' Hospital法則是求待定 80式極限的一個有力工具，但是對非導函數(shù)而言，求待定式極限的值比較復雜.Stolz定 理可以說是數(shù)列的L' Hospital法則，它對求數(shù)列的極限很有用.Stolz定理還可以推 廣到函數(shù)極限的情況，有些問題使用Stolz定理可變得十分容易，此定理為推廣求非導 函數(shù)的待定式的極限提供一種非常有效的方法.因此，Stolz定理是求解證明數(shù)列和函 數(shù)極限存在性的重要定理.討

44、論Stolz定理在求解數(shù)列和函數(shù)極限問題中的應用是一件 很有意義的工作，我們應掌握并靈活運用Stolz定理.在本次畢業(yè)論文的撰寫過程中XXX老師給予了我極大的幫助和支持.在此，我謹對XXX老師的細心指導和幫助表示由衷的感！參考文獻1江澤堅，吳智泉，周光亞.數(shù)學分析.：人民教育，19782常庚哲，史濟懷.數(shù)學分析教程.：教育，19983華東師大學數(shù)學系.數(shù)學分析.：高等教育，19864本旺，汪浩.數(shù)學分析中的典型例題和解題方法.：科學技術，19815裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法.：高等教育，20026澤慶.數(shù)學分析的典型方法與例題選講.：海事大學，19977惜雯.數(shù)學分析例題分析及難點注釋

45、（上冊）.：交通大學，20048顯曾，黃安才.數(shù)學分析中的方法與題解.：師大學，20059吳良森，毛羽輝，士安，吳畏.數(shù)學分析學習指導書（上冊）.：高等教育，200410成章，黃玉民.數(shù)學分析上冊（第二版）.：科學，200411克典，馬云苓.數(shù)學分析選講.夏門：夏門大學，2006附錄A外文參考文獻(譯文)函數(shù)的極限4.1 定義令X和y是度量空間，假設EuX, /將E映入y.且是£的極限點.凡是我們寫當X f是/(x) - g ,或lim /(X)= q(1)XTP的時候，就是存在一個點qeY具有以下的性質(zhì)：對于每個£>0,存在著。>0,使得dy(f(xq)<

46、;£(2)對于滿足0 < dx (x, p) < 5(3)的一切xtE成立.記號八和%分別表示x和丫中的距離.如果x和(或)y換成實直線，復平面或某一歐氏空間W,那么，距離，和外自然 該換成絕對值或相應的數(shù).應當注意ex,但是上面的定義中，并不一定要求是后的點.此外，即使£石，也完全可能f(p)于lim f(x).ip我們還可以將這個定義用序列的極限改述為：4.2 定理令X, r, E, /和是定義4.1說的那些，那么lim /(x) = q(4)XTP當且僅當山】/(")= 9X>x對于£中合于p“ H p , lim pn = p(

47、6) 的每個序列”成立.證假定(4)成立，取E中滿足的“.給定了 £>0,那么就有6>0,使得當 x w E 且 0 V "x (x，p) V 3 時,cly(f(x q)<£ .同樣又有 N 使得當 >N 時， 0<dx(Pn，P)<6 這樣,對于,N,我們有(/(0),4)V £ .這就證明了(5)成立.反過來，假定不成立.這時便有某個£>0,使得對于每個5>0,都有點不£石(依 賴于 6),對這個 x 來說，力(/(0)，4)之£但0<八。,)<"取

48、，=1/，(7? = 1,2,3, ) 我們就在E中找到一個滿足(6),但使式不成立的序列.推論 如果/在有極限，那么這極限是唯一的.這可以由定理3. 2(b)及定理4. 2推出來.4.3 定義 設有定義在E上的兩個復數(shù)/和g,我們用f + g表示一個函數(shù)，它給 E的每個點x配置的數(shù)是/(x) + g(x).我們用類似的方法定義兩個函數(shù)的差/-g,積九 及商7/g,約定商只定義在E的那些使g(x)¥O的點x上.如果/給E的每點x配置同 一個數(shù)c,那么/就叫做一個常數(shù)函數(shù)，或簡單地叫做一個常數(shù)，并記作/=c.設/和 g都是實函數(shù)，如果對于每一個xe石來說/(x)2g(x),那么有時為了

49、簡便，就記作 fNg,類似地，如果f和g把石映入便用(f + g)(x)=f(x) + g(x), (f - g)(x) = f(x) - g(x) 來定義f+g及fg;再若是實數(shù)，便定義()&) = &*).4.4 定理假設EuX, X是度量空間，是E的極限點，/與g是E上的復函 數(shù)，而且lim f(x) = A , lim g(x) = B .XTp.ip那么(a) lim(/ + g)(x) = A + 8 ,ip(b) lim(/g)(x) = A8, ip(c) lim(/g)(x) = A/8,假定 8 WO . .ip證 依照定義4.3,這些論斷可以從序列的類似性

50、質(zhì)(定理3.3)直接推出來.評注如果如果f與g將E映入R”，那么(a)仍然成立，而(b)就要變?yōu)?b)lim(f -g)(x) = A B . I"(參看定理3.4.)為了使我們能在廣義實數(shù)系中作運算，我們用領域的說法把定義4.1重述一遍，借 以擴大它的圍.對于任一實數(shù)X ,我們已經(jīng)定義了 X的領域就是任一開區(qū)間+4.5 定義對于任一實數(shù)C,合于x>c的實數(shù)X的集叫做+ 8的一個領域，記作 (c,+oo).類似地，集(-S,c)是-8的一個領域.4.6 定義 設/是定義在E上的實函數(shù)，A與x在廣義實數(shù)系中.如果對于A的 每個領域U存在著x的一個領域V ,使得VClE不空，并且對

51、一切/C/plE,有 /(/) U .我們說當x 時 f(x) A稍一考慮即可看出，當A和x是實數(shù)時，這與定義4.1是一致的.同定理4.4類似的定理仍然成立.它的證明并沒有什么新的東西.為了完備起見， 我們把它敘述出來.4.7 定理 設/與g定義在E上，假定當工時- gB ；那么(a) /«) - 4則有4=4,(/ + g)(f)f A + 8，(c) (/'g)(x)f(d) U/g)3-A/B只要(b), (c), (d)的右端有定義.注意8-8, 0.8, co/oo , A/0是沒有定義的.附錄B外文參考文獻（原文）Limits oF Functions4 . 1

52、Definition Let X and Y be metric spaces； suppose EuX, f maps E into Y, and p is limit point of E. We write f (x) t q as xfp, orlim f(x) = q(1)IPif there is a point q with the following property： For every £ > 0 there exists a 5 > 0 such that4y (/(x),g)<£(2)for all points x e E for

53、 which0 < dx (x, p) v 6 .(3)The symbols dx and dY refer to the distances in X and Y , respectively.If X and/or Y are replaced by the real line, the complex plane, or by some euclidean space Rk , the distances dx , clY are of course replaced by absolute values, or by norms of differences.It should

54、 be noted that peX , but that p need not be a point of E in the above definition. MoreoverT even if /? e E , we may very well have /(/?) W lim /(x). ipWe can recast this definition in terms of limits of sequences：5 .2 Theorem Let X, Y, E, f , and p be as in Definition 4. 1. Thenlim f(x) = q(4)XTPif

55、and only if啊 f(p)= q(5)for every sequence /? in E such thatp“ H p , Um pn = p .(6).一 8Proof Suppose (4) holds. Choose in E satisfying (6). Let £>0 be given.Then there exists J > 0 such that (/(x),) < s if x c E and 0 < dx (x, p < d . Also , there exists N such that n > N impli

56、es 0 < "x ("，)< 5 . Thus, for n> N . we have "?(/(),4) v £ , whice show that (5) holds.Conversely, suppose (4) is false. Then there exists some £>0 such that for every J > 0 there exists a point x w E (depending on 6) , for which dy(f8 but 0 < dx (x, /?) < J. Taking dn = /n , ( = L 2,3,),we thus finda sequence in E satisfying (6) for which (5) is false.Corollary if f has a limit at p , this limit is unique.This follows from Theorems 3.2(b) and 4.2.6 .3 Definition Su