2437微積分初步

1、2437微積分初步習(xí)題、填空題（每小題 4分，本題共20分）L函數(shù) f(x)=1+J4-X 的定義域是(2,1)(1,4. ln(x 2)2 .若 lim sin-4 =2 ,則 k = J2. x0 kx3 .曲線y =ex在點(0, 1)處的切線方程是 y=x+1.4.1)dx =d e / 2 ln(x dx 15 .微分方程y' = y,y(0) =1的特解為y = ex .6 函數(shù) f (x +2) = x2 +4x _2，則 f (x) = x2 -6 .17 .當(dāng)xt0時，f(x) = xsin 為無否小量.x8 .若 y = x (x - 1)( x - 2)( x 3

2、),則 y'(1) =2.1 39 . L(5x3 -3x+1)dx=2_.10 .微分方程y' = y,y(0) =1的特解為y=ex.11 .函數(shù) f(x+1) =x2 +2x,則 f (x) = x2 1 .112 . hm xsin 一 =1. xi x13 .曲線y=Jx在點(1, 1)處的切線方程是 y =-x+-,2214 .若 f (x)dx =sin2x+c ,則 f '(x) = -4sin2x .15 .微分方程(y*)3 +4xy=y7cosx的階數(shù)為 5.16 .函數(shù) f(x+2)=x2+4x+7,則 f(x) = x2+3.4一“，x2+2,

3、 x*017 .若函數(shù)f(x)=,在乂 = 0處連續(xù)，則卜=工 k, x = 018 .函數(shù)y =2(x +1)2的單調(diào)增加區(qū)間是1. + 8).0 2x ,119 . e dx = .220 .微分方程(y>3 +4xy(4) =y5sinx的階數(shù)為4.21 .設(shè)函數(shù) f (x +2) =x2 +4x +5,則 f (x) =_x2 +1 .xsin- k, x ； 022 .設(shè)函數(shù)f(x)=( x在x = 0處連續(xù)，則k = -1 .1,x=023 .曲線f(x)=ex+1在(0,2)點的斜率是1.1 3,24 . j(5x3 - 3x+2)dx= 4 .25 .微分方程xy *&#

4、39; + (y ) 2 + y4 =0的階數(shù)是 3.1 一 一26 .函數(shù)f(x)=的定義域是答案：乂>2且乂#3.ln( x -2)27 .函數(shù)f(x)=-1十，4 x2的定義域是.答案：(2,1)= (1,2ln(x 2)2228 .函數(shù) f(x+2)=x +4x+7,則 f(x) =.答案：f (x) = x +3xsin 1 x 029 .若函數(shù)f(x)=/ x ', x 在x=0處連續(xù)，則k=.答案：k=1k, x , 030 .函數(shù) f (x-1) =x2 -2x,則 f (x) =.答案：f(x) = x2 -1x2 -2x -331 .函數(shù)y =的間斷點是 .答

5、案：x = 1x 11 32 . hmxsin-=.答案：1 x-x33 .若 lim sn4x =2 ,則 k =.答案：k = 2 x0 sin kx34 .曲線f(x) = Jx+1在(1,2)點的切斜率是 答案：1235 .曲線f(x)=ex在(0,1)點的切線方程是 .答案：y = x+e36 .已知 f (x) =x3 +3x ,貝U f '(3)=_.答案：f '(x) =3x2 +3x ln3,f '(3) =27 (1 + ln 3)1137 .已知 f(x) =lnx,則 f "(x)=.答案：>(刈=，,f 7x) = -J2 xx

6、38 .若 f (x) =xet,則 f 70) =.答案：f "(x) = 2e- +xe=, f *(0)= -239 .函數(shù)y =3(x1)2的單調(diào)增加區(qū)間是 .答案：(1,+望)40 .函數(shù)f(x) =ax2+1在區(qū)間(0,十叼 內(nèi)單調(diào)增加，則 a應(yīng)滿足.答案：a>0二、單項選擇題(每小題 4分，本題共20分)L設(shè)函數(shù)y=xsinx,則該函數(shù)是(A).A.偶函數(shù) B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D .既奇又偶函數(shù)2.當(dāng)k = ( C )時，函數(shù)2,k,x = 0，在x = 0處連續(xù).x = 0A. 0 B. 1 C . 23 .下列結(jié)論中(C )正確.A . f (x)在x=

7、x0處連續(xù)，則一定在 Xo處可微.B .函數(shù)的極值點一定發(fā)生在其駐點上.C . f （x）在x=x0處不連續(xù)，則一定在 x0處不可導(dǎo).D.函數(shù)的極值點一定發(fā)生在不可導(dǎo)點上4 .下列等式中正確的是（D）A . sin xdx = d(cosx)C. axdx =d(ax).1、B. In xdx = d() x1D.dx = d(2 . x) x5 .微分方程（y，）3 +4xy & = y5sin x的階數(shù)為（B）A. 2 ;B. 3 ; C. 4; D. 516 .數(shù)f(x)=一'一 的定義域是(C) .ln(x -1)A. (1p B. (0,1) = (1FC. (1,2

8、)=(2什)D . (0,2)=(2*)7 .曲線y=e2x+1在x=2處切線的斜率是(D )A. 2 B . e2C , e4d . 2e48.下列結(jié)論正確的有（B ）.A .若f '（xo） = 0，則xo必是f （x）的極值點B . xo是f （x）的極值點，且f '(Xo)存在，則必有f '(xo) = 0C . Xo是f（X）的極值點，則Xo必是f（X）的駐點D .使f（X）不存在的點Xo, 一定是f（X）的極值點9.下列無窮積分收斂的是（A ）.2 xA. .0 e dxC.二 1dx1 x二 1B. 1dx1 x-haD.sinxdx- 010.微分方程(

9、y")3+y(4) cosx = y2 In x 的階數(shù)為(d2x -x -6 lim 2x >2 x -4= lim (x-3)(x 2) x -(x -2)(x 2)= lirmg=5 x >2 x 24A. 1 ; B. 2 ; C. 3 ; D. 411.設(shè)函數(shù)y=x2sinx,則該函數(shù)是(D)A.非奇非偶函數(shù)B.既奇又偶函數(shù)C.偶函數(shù)D .奇函數(shù)12.當(dāng)XT 0時，下列變量中為無窮小量的是（ C ）“1csin xxA. B. C . ln(1+x)D. 2xxx13 .下列函數(shù)在指定區(qū)間(*,+*)上單調(diào)減少的是( B ).A. cosx B . 5x C .

10、 x2 D .2xIn x14 .設(shè) J f (x)dx =+c,貝U f (x) = ( C ).“，, c 1nxe 1lnXc 2A. In In x B. C. 2 D. in xxx15 .下列微分方程中，(A )是線性微分方程.A. y "sin x _ y ex = y in x b . y'y+xy2=exC. y"+xy' = eyD .yx2+iny = y'16 .設(shè)函數(shù)y =xsinx,則該函數(shù)是(B ).A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D .既奇又偶函數(shù)17.當(dāng)xt +R時，下列變量為無窮小量的是(AB. in(1 x)

11、1xsin 一 x18.若函數(shù)f(x)在點xo處可導(dǎo)，則是錯誤的.函數(shù)函數(shù)f ( x)在點xo處有定義f (x)在點xo處可微函數(shù).iimx的(x)在點xo處連續(xù)f (x) = A，但 A¥ f (x0)19.若f(x)=x + jx(x >0),則f (x)dxA.x233x2 c2B.x2 x cC.D.1c 2 -1x2 -x2 c20.下列微分方程中為可分離變量方程的是A. dy dxC.曳 dx= in(x，y)；y;D.21.函數(shù)B.B dy dx dy dx=in(x y)A. x22.曲線+ ln x的定義域為(x=4 C.x0且x#1 Da. yf (x) =

12、in x在x = e對應(yīng)點處的切線方程是(B. y = 1x -1 C.23.下列等式中正確的是(D.).1,y 二一 x - e 1eA . sin xdx = d(cosx)1、B. in xdx = d() xC.xx、a dx = d(a ) D.1 ,、dx = d(2 . x)24.下列等式成立的是(AA. f (x)dx = f(x) dxB.f(x)dx=f(x) d f (x)dx = f(x)D.df(x)=f(x)25.下列微分方程中為可分離變量方程的是(A.dx=x + y ; B.a=xy + y; dxC.)dy dx= xy+sinx； d. dy = x(y +

13、 x)dx26.設(shè)函數(shù)y-xxe e2,則該函數(shù)是(B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D .既奇又偶函數(shù)27.卜列函數(shù)中為奇函數(shù)是(A.xsinxC . ln(x + V1+x2)D28.x函數(shù)y =十ln(x+5)的定義域為( Dx 4A.29.設(shè) f(x+1).x#-4 C . x>-5且x=02=x -1 ,則 f(x) = (C )A.x(x 1)C. x(x2)D. (x+2)(x1)30.當(dāng) k = (D)時,函數(shù)f(x)'ex + 2,k,x-0在x=0處連續(xù).x=0B.A.31.當(dāng) k = (B)時,函數(shù)f(x)x21,k,，在x = 0處連續(xù).0A.B. 1-132.函

14、數(shù)f (x)=-3A.x = 1, x =2x2 -3x 2B .的間斷點是(A33.若 f (x) =e，cosx ,則 fx = 3(0)=C . x=1,x = 2,x=3 D.無間斷點A. 2B. 1(c )C. -1D. -2則 d y =(1 dx xln10ln10 dxx34.設(shè) y = lg2 x ,A. dx B2x35.設(shè)y = f (x)是可微函數(shù)，則df (cos 2x) = (DA . 2f (cos2x)dxC . 2 f (cos 2x) sin 2xdx36.若 f (x) =sin x +a3,2A . cosx +3aBf (cos 2x) sin 2xd

15、2x一 f (cos2x)sin 2xd2x其中a是常數(shù)，則f "(x) = (C).sinx 6a一 sin xcosx37.函數(shù) y =(x+1)2 在區(qū)間(-2,2)是(DA.單調(diào)增加先增后減.先減后增38.滿足方程(x) =0的點一定是函數(shù)y = f(x)的(CA.極值點B.最值點 C .駐點D.間斷點39.下列結(jié)論中(A )不正確. f (x)在x=x0處連續(xù)，則一定在xo處可微. f(x)在x =x0處不連續(xù)，則一定在 x0處不可導(dǎo).可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定發(fā)生在其駐點上D.函數(shù)的極值點可能發(fā)生在不可導(dǎo)點上40.下列函數(shù)在指定區(qū)間(-8,)上單調(diào)增加的是(B 三、計算題（本題

16、共 44分，每小題11分）ex Cx2 D2x -6x 81 .計算極限 lim -.x 4x -1x 岸 x -3x 2原式=lim (x-4)(x2) = limx )2 (x -2)(x -1) x 心32 .設(shè) y = ln x + cos x ,求 dy .1c 2 ,., y=- 3cos x( -sin x)x,1c. 2 、,dy =(- -3sinxcos x)dxx3 .計算不定積分(2x -1)10dxio .1io1ii(2x -1) dx= - (2x -1) d(2x-1)=9(2x-1) c2 e4.計算定積分 ln xdx -1e2111nxdx=xlnxe21

17、e2dx = 2e2 -e2 1 = e2 1 x-2x? -cosx c 38.計算定積分. x sin xdx 0 2二 xo 2sinxdx1-x cosx 2ji1 二 , cosxdxn1 .=十 sin x22Ji9.計算極限限x2 -3x 2x2 x -62 _65 .計算極限lim x .xx -436 .設(shè) y = sin 5x + cos x ,求 dy .y =5cos5x 3cos2 x(-sin x)2=5cos5x-3sin xcos xdy = (5cos5x _3sin xcos2 x)dx3.)斗傳八3 - - x xsin x7 .計算不7E積分 fdx,3

18、 -Vx3 +xsin x ,dx= 3ln xx -1 lim x x 3原式:lim (ARx二1 x)2 (x -2)(x 3)10 .設(shè) y = cos Vx + 2x ,求 dy .1 xy - -sin、x 2 In 22 xx sin、xdy =(2x1n2 s)dx2 x11 .計算不定積分 R2x-1)10dx10 一 1io1ii(2x 一1) dx= - (2x -1) d(2x -1)=石(2x1) c12.計算定積分廣xsin xdxxsin xdx - -xcosx oJIT2 cosxdx = sin x0兀2 =1-x2 -413 .計算極限lim r. x 祥

19、 x2 - 3x 2(x 2)(x -2) x 2/原式=lim = lim = 4x)2 (x -2)(x -1)x N x -114 .設(shè) y =2x +cosjx ,求 dy_ x _1y =2 In 2 -sin、x .2、xdy=(2xln2-sin,x)dx2. x15 .計算不定積分fxedx解：xe/dx= xe/e'dx - -xe，e， ct八e3116 .計算定積分. dx1 x % 11nxe31e31 e3二2解：f -,dx =d(1 +lnx) = 2'1 + ln x"xJi +ln x 7 v'1+lnx1x2 -3x 217

20、.計算極限lim x 2x 必 x -4(x -1)(x -2)1解：原式 =lim =一x 2 (x -2)(x 2)418.計算不定積分(1 +?)dx .x2-解:(-x)-dx= 2 j(1+1*)2d(1 +或)=2(1 + ).x3x2 -2x -319.計算極限lim 2x >3 x -9(x -3)(x 1)2解：原式 : lim 二-X 3 (x -3)(x 3)320 .設(shè) y=e'x'+l,求 y. x?111解： y =e22,(x1 x八1121 .計算不定積分fexdxx1111 一一 1 一解：2-exdx = 一 exd- = -ex -

21、cxx22.計算定積分 x cos xdx-0Tt解： /xcosxdx = xsin x J。JI2 -0JIsinxdx = + cosx = 2n -1.lim (x-2)(x-1) x 2 (x -2)(x 2)x -1二 limx岸x 22-x -3x 223. lim 5x l2x2 _42x -3x 2解：lim 2x2x -424. limx a解:25. limx_4x2 9x2 -2x -3x2 -9lim x 3 x2 -2x -3x2 -6x 8x2 -5x 4lim (x-3)(x 3)x 3 (x -3)(x 1)x -22 一 一，、，的 r x -6x 8(x

22、-4)(x -2)解：lim 力 二 lim x 14 x _5x 4J4 (x - 4)(x -1)26.計算極限limx 0解：limx_0,1 -x -1=limx_0(.1 一x -1)(. 1 - x 1)27.計算極限四1 1 -x-1sin 4x解：limx )0.1 - x -1sin 4x-x 1)x( J - x 1)-1(.1 -x -1)( .1 -x 1)sin 4x(、1 - x 1)=limx0sin 4x( 1 - x 1)=lim x Q一 4x28.設(shè) y解:12 x 十 .=x ex ,求 y .11y = 2xex x2ex ( -3) x29.設(shè)解:3

23、0.設(shè)解:31.設(shè)=limx。x(. 1 - x 1)4sin 4x( 1 - x 1)1-ex(2x-1)= sin 4x +cos3 x ,求 y'.y = 4cos4x 3cos2 x( -sin x)2=4cos4x-3sin xcos xn 2y =e 十一，求 y .x2、（x 11 - x -1limx * sin 4x( 1 - x 1)1y = xVx +ln cosx ,解:10 2=x -tan x232.設(shè)y = y(x)是由方程x2十y2 xy = 4確定的隱函數(shù)，求 dy.解：方程兩邊對x求導(dǎo)，得2x 2yy' -( y xy ) = 0y -2xy

24、 二2y - x于是得到dy二匕4 dx2y - x33.設(shè) cosx +ex +ey = y2,求 dy .解：方程兩邊對x求導(dǎo)，得x _y-sin x e e y = 2yyx sinx -ey 二 VT2yxsinx - e ,于是得到dy =dxey -2y34.求微分方程y '= ex4y的通解解：將原方程分離變量當(dāng)-exdxee'dy =exdx兩端積分得通解為-e' =ex C35 .求微分方程xy' = y ln y滿足y(1) = e的特解.解：將原方程分離變量一dy = xdxyin y兩端積分得lnln y = In C xCx通解為y =

25、 e將y(1) =e代入通解，得C =1,故特解為y = e x36 .求微分方程yr- = 的通解. x In x.、，、一11解 此方程為一階線性微分方程，且 P(x) = -1,Q(x)=， x In x則方程的通解為-dx1-dx1y = e x ( e x dx C) = x( dx C) = x(ln In x C)In xx In x37 .求微分方程y ' +)= x2 +1滿足初始條件y(1)=-的特解. x412解 此方程為一階線性微分方程，且 P(x) =1,Q(x) =x2 +1 ,x則方程的通解為-dx c 1dx1c11711cy =e x (x21)e x

26、 dxC) = (x(x21)dx C) = 一(x4 x2C)xx 42將初始條件y(1)=-代入通解，得C =1 ,于是滿足初始條件的為41 J 41 2 八y =-(-x -x 1) x 42四、應(yīng)用題108立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省?用材料為y ,由已知x2h=108,h = 108x解：設(shè)底邊的邊長為 x,高為h ,1 .欲做一個底為正方形，容積為2, ,2y = x 4xh = x432+x10824x 2- = xx“432-令 y =2x - =0 ,解得x = 6是唯一駐點,x2 432 且y =23x說明x =6是函數(shù)的極小值點,所以當(dāng)2.用鋼板焊接一個容積為

27、364m3的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少?4解：設(shè)水相的底邊長為 x ,圖為h ,表面積為S ,且有h = x2216所以 S(x) = x 4xh = x , xS (x) = 2x -16令 S'(x) =0,得 x=2,x = 2,h = 1時水箱的表面積最小因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以，當(dāng)此時的費用為S(2)m 10 +40=160 (元)3.欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省?解：設(shè)長方體底邊的邊長為 x ,高為h ,用材料為y ，由已知 x

28、2h =108, h =108y = x2 4xh 二 x2 4x 畔=x2x432x108 = 3時用料最省.36解：設(shè)容器的底半徑為 r,高為h ,則其表面積為S,由已知V =nr2h ,于口 V，是h = -2，則其表面積為 二 rS = 2%2 + 2冗由=2冗產(chǎn)2Vr,.432-令y =2x -2-=0 ,解得x = 6是唯一駐點, x因為問題存在最小值， 且駐點唯一，所以x = 6是函數(shù)的極小值點，即當(dāng)x = 6, h問容器的底半徑與高各為多少時可使用料最省?4.某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為V的有蓋圓柱形容器,2VVV 4V令S =0 ,解得唯一駐點r =3 ,由實際問題可知，當(dāng) r =31 時可使用料最省，此時 h = 3, 、2冗寸2冗、冗即當(dāng)容器的底半徑與高分別為3殍與3：0V時，用料最省.g =廿jodx-c jiTEW + oQ 于1)J右十1(1)，一短！皿(。0 旦04 ) 。工女=A + cS。且口 #1) JIna1)'=k dx = l+c(lognX y = T Q0 且口 力】)(Inx)7 =上 , 工(sinj：/ = ccsjr(cosa:)7 3n 工(tanx y j-cos rd.r 加 | 工 | + fJ JFJsinxdjr = -cosj; 4- r| coshcLt - aim? + ti-