淺談觀察與實驗在中學數(shù)學教學中的作用

1、 淺談觀察與實驗在中學數(shù)學教學中的作用在一般的科學方法中，觀察與實驗是通過收集科學事實材料，獲得感性認識的基本途徑是形成、發(fā)展和檢驗自然科學理論的實踐基礎(chǔ)。那么，在數(shù)學中是否也要運用觀察與實驗方法呢？回答是肯定的。正如著名數(shù)學家歐拉所說的：“數(shù)學這門科學，需要觀察，也需要實驗?！彼自捳f，巧婦難無米之炊。一個數(shù)學家若不積累一定數(shù)量的科學事實即經(jīng)驗材料，他就很難作出什么數(shù)學猜想，也不能對數(shù)學猜想進行檢驗和修正，更不能有所發(fā)明和創(chuàng)新。而辯證唯物主義認識論告訴我們，獲得經(jīng)驗材料的基本途徑是對研究對象的關(guān)系、性質(zhì)等的觀察和實驗。所以觀察與實驗在中學數(shù)學教學中起到舉足輕重的作用。一、觀察與實驗前蘇聯(lián)數(shù)學教

2、育家ba奧加涅相認為：觀察是人們對客觀世界的各個客觀事物和現(xiàn)象，在其自然的條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系的方法。從數(shù)學角度來說，觀察就是人們對事物或問題的數(shù)學特征通過視覺獲取信息，運用思維辯證其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律或性質(zhì)的方法。著名數(shù)學家歐拉說：“在被稱為純粹數(shù)學的那部分數(shù)學中，觀察無疑占有極重要的地位?！庇^察也能引導我們連續(xù)探索求新的性質(zhì)而致力于它的證明。在數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中，觀察法是常用的有效方法之一。一般來說，實驗就是按照科學研究目的，根據(jù)研究對象的自然狀態(tài)和自身發(fā)展規(guī)律，人為地設(shè)置條件，來引起或控制事物現(xiàn)象的發(fā)生或發(fā)展

3、過程，并通過感觀來認識對象和規(guī)律的方法。實驗總是和觀察相聯(lián)系的，觀察常?？捎脤嶒炞骰A(chǔ)，而實驗有可使觀察得到的性質(zhì)或規(guī)律得以重現(xiàn)或驗證。實驗也是解決某些數(shù)學問題的有效方法。二、觀察法與實驗法在中學數(shù)學教學中的作用誠然，數(shù)學不能將觀察的結(jié)果或?qū)嶒炐缘尿炞C作為判斷數(shù)學命題真假性的充分依據(jù)。但是，對于數(shù)學活動中的兩個階段，即先于理論的事實積累階段和理論之后的應(yīng)用階段，觀察和實驗的重要性不亞于演繹理論本身。(一)觀察法在數(shù)學教學中的作用。從數(shù)學的發(fā)展史中可以看到，數(shù)學的許多成就皆起源于細致的觀察。在數(shù)學科學研究過程中，都需要收集材料和積累材料，這主要靠觀察來實現(xiàn)。在數(shù)學教學中恰當?shù)剡\用觀察來收集新材料

4、、發(fā)現(xiàn)新問題，對于培養(yǎng)學生的觀察能力，以及提高教學效果有很大的作用。（1）觀察法在數(shù)學概念教學中的作用。數(shù)學概念是客觀事物或現(xiàn)象的數(shù)學關(guān)系、空間形式的基本屬性的人們頭腦中的反映。所以，許多數(shù)學概念，尤其是中小學數(shù)學中的有關(guān)數(shù)、形、函數(shù)的概念，在實際生活中都可以發(fā)現(xiàn)它的現(xiàn)實原型；而且，數(shù)學概念是高度概括、高度抽象的產(chǎn)物，只有密切聯(lián)系現(xiàn)實原型，從學生接觸過或認識過的事物入手，才能使學生容易地理解、掌握數(shù)學概念。例如，在引入正負數(shù)概念之前，先有意識地讓學生觀察“零上8”，“高于5米，低于3米”等具有相反意義的量，了解引進新的數(shù)來表示這種實際問題的必要性，從而可使學生易于接受正負數(shù)的概念。（2）觀察法

5、在發(fā)現(xiàn)數(shù)學定理、公式中的作用。數(shù)學中的定理、公式，就是數(shù)學對象之間的關(guān)系的一種反映或描述，而數(shù)學對象之間的許多關(guān)系是從對數(shù)學對象的直接觀察中得來的。所以，有人說，觀察是數(shù)學科學研究的“敲門磚”、“引路石”，很有道理的。例如，揭示凸多面體頂點數(shù)v、棱數(shù)e、面數(shù)f之間的關(guān)系的歐拉公式v+f-e=2正是始于觀察而發(fā)現(xiàn)的。又如，我國古代數(shù)學中關(guān)于二項式的冪（a+b）n的展開式系數(shù)的楊輝三角，通過觀察后一列系數(shù)與前一列系數(shù)之間的關(guān)系，便可以得到（a+b）n的展開式中任何一項系數(shù)。（3）觀察是一種有效的解題方法。數(shù)學解題需要透過觀察去認識本質(zhì)，找出問題的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。觀察是一種有目的、有計劃、有組織的主

6、動知覺的方法，邊觀察邊思考，有助于尋找解題的突破口，有助于探索和發(fā)現(xiàn)解題途徑。例1：自點a（-3，3）發(fā)出的光線射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓c：（x-2）2+(y-2)2=1相切，求光線的直線方程。分析：這個問題初看似乎難求解，我們不妨結(jié)合圖形來觀察。因為入射光線與反射光線關(guān)于x軸對稱的，所以圓c關(guān)于x軸對稱的圓c1必與入射光線 相切，這樣學生就能簡捷地解出光線的直線方程。（二）實驗法在數(shù)學教學中的作用。在數(shù)學中，實驗法可用來發(fā)現(xiàn)或驗證數(shù)學對換的性質(zhì)。如幾何中對各種圖形面積、體積的計算或公式的導出，常使用割補變換成易于計算的等積圖形來加以解決。因此，在數(shù)學中，應(yīng)重視實驗方法的

7、作用。不同的學科領(lǐng)域和不同的實驗目的，其所需要進行的實驗也不同，因而實驗方法各有不同。在數(shù)學中的實驗法，一般可歸納為三類：（1）特例實驗。特例實驗是指在解決數(shù)學系問題過程中，按照一定方向，取特例進行探索、試驗，從中探索求解決問題的方向和途徑，并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。例2：試求方程x2-7y2=1的最小正整數(shù)解。分析：將原方程化為x2=1+7y2，由于所求的是方程的最小正整數(shù)解，而最小的正整數(shù)是1，所以不妨取y=1,y=2,y=3,特殊值試驗。（2）定性實驗。定性實驗是探討研究對象的質(zhì)的規(guī)定性方法，它往往用來檢驗對象具有某些性質(zhì)，某種因素之間存在什么關(guān)系等，換言之，其目的在于驗證和修正猜想，使猜想更趨

8、于數(shù)學真理。例如，對于哥德巴赫猜想：“任何一個大于4的偶數(shù)均可表示成兩奇素數(shù)之和”，一時找不到證明的途徑，那么總想通過一些新的事物加以驗證，如我們考查偶數(shù)28，因為：28=5+23=即28可以表示成兩奇數(shù)素數(shù)之和。這樣便對猜想作了一些驗證。（3）定量實驗。定量實驗是以探索數(shù)學對象的量的變化及其規(guī)律為直接目的實驗，即是用來測定對象的數(shù)值、數(shù)量之間關(guān)系的實驗。其主要目的在于形成猜想。一般而言，定性實驗是基礎(chǔ)；定量實驗的精確化，其結(jié)果往往更具有說服力。例3：證明平面幾何中的“三角形內(nèi)角和定理”。教師在講授此定理時，一般可通過定量實驗引導學生發(fā)現(xiàn)這一定理，如用量角器測量三角形三內(nèi)角并求和。也可以用割補法。用紙片剪下一個三角形（記為abc），如圖所示，然后，“撕下”兩個角（a和b ），并將它們拼在c 的頂點會發(fā)現(xiàn)abc的三個內(nèi)角就以c為頂點