2018-2019學年高中數(shù)學第二章空間向量與立體幾何2.4用向量討論垂直與平行訓練案北師

1、2. 已知空間三點A(0 , 2, 3)，耳一 2, 1, 6) ,C(1 ,1, 5).若 |a| = 3,a分別與ABACi 直,A.B.C.D.則向量a為()(1 , 1 , 1)(1, 1, 1)(1 , 1 , 1)或(1, 1, 1)(1 , 1 , 1)或(1 , 1, 1)解析：選 C.設(shè)a= (x,y,z) , XB= ( 2, 1, x2+y2+z2= 3 ,2xy+ 3z= 0 ,/ 3y+ 2z= 0 x=1,3) ,AC(1 , 3, 2)，由題意得x=- 1,得丿y= 1,或y= 1,z=1z=1.3.在直三棱柱ABCABC中，AB= AC= AA,ABL AC的位

2、置關(guān)系是()E是BC的中點，則AE與平面ABCA.相交但不垂直B. AE/平面ABCC. AE丄平面ABCD. A莓平面ABC解析：選 A.建立如圖所示的空間直角坐標系.1 1取 |AB= 1,則A(0 , 0, 0) ,BU, 0, 0) ,CO, 1, 0) ,E(2,-,0),A(0 , 0 , 1) ,B(1 , 0 , 1),C(0, 1, 1), Afe=,1, 1),AB= (1 , 0 , 1),AC= (0 , 1, 1),由于AfeABM0 ,AfeAC0 ,故選 A.4.如圖所示，在正方體ABCEA1B1GD中，棱長為a,M N分別為AB和AC上的點，AMh AN=U,貝

3、U MN與平面BBGC的位置關(guān)系是( )A.相交C.B.D.平行 不能確定解析：選A(a,a,a),B.建立如圖坐標系，A (a,20 ,a) ,Ma, 3a,C(0,a, 0) ,B(a, 0 ,a), -.22、3-，3-,13 已)，Na, 3a,a),則MN=(13a,0 ,拿),E3A= (0 ,a, 0)2.4 用向量討論垂直與平行訓練訓練案一知能捉升案一知能捉升A.基礎(chǔ)達標1.已知A(1 , 2 , 11) ,B(4 , 2 , 3) ,C(6, 1, 4),則厶ABC的形狀是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：選 C. 6A= ( 5 , 1

4、, 7) ,6B=( 2 , 3, 1),由于CA- CB=0 且 |CA豐| 西,所以BCL CA故選 C.3加2 BA=0,故MNLBA又因為BA!平面BBCC,所以iM/平面BBCC,所以MN/平面BBCC5已知在平行六面體ABCDABGD中，點M P Q分別為棱AB CD BC的中點，平行 六面體的各棱長均相等.給出下列結(jié)論：AM/ DP;AM/ BQAM/平面DCC1;AM/平面DPQB這四個結(jié)論中正確的個數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 41解析：選 C.設(shè)AB= a,AD= b,AA=c,則AiM= AA+ AM=c+a,DP= SD+ SP=c+ 2a,即AM=D1P,故

5、AM/ DP.因為BQ= B1B+E3Q=C+労,所以EC與AM不共線，故AM和BQ不平行， 因為AM/ DP,D琴平面DC,D厚平面DPQB,所以AM/平面DCCD,AM/平面DPQB故正確.6.已知點A(2 , 4 , 0),01, 3 , 3),則直線AB與平面yOz交點C的坐標是 解析： 令C的坐標為(0 ,y,z),-1=2入,則由壷=入AC得一 1=(y 4)入，解得3 =z入，答案：(0, 2, 6)7.設(shè)平面 a 的一個法向量為(3 , 2, 1)，平面 3的一個法向量為(一 2,4k),若 a/3 ,貝 y k 等于3= 2 入,因為 a/3 ,所以(3 , 2, 1)=入(

6、一 2, 4,k),即2= 4入-1 =入k,23.23& 已知空間三點A(0 , 0 , 1) ,B( 1, 1, 1) ,C(1 , 2, 3),若直線AB上一點M滿 足CML AB則點M的坐標為 _ .解析：AB=( 1, 1, 0),因為AM/ AB所以尿=入AB=(入，入，0),故M的坐標為(一入，入，1) , CM=(入一 1,入一 2 , 4),1因為(ClVL AB所以CM- AB=0 ,1 1(2，2，1).11，1)9.如圖，在四棱錐S-ABCD,底面ABCD正方形，側(cè)棱E F分別為AB SC的中點證明：證明：建立如圖所示的空間直角坐標系.y= 2,z= 6,1入=

7、2.4八，解得k解析:答案:故M的坐標為1答案：(2,EF/平面SAD設(shè)A(a, 0, 0) ,S(0 , 0,b)，則B(a,a, 0),C(0,a, 0) ,Ea,|, 0 ,Fo,F= a, 0, 2 ；. 取SD的中點Go, 0, 2，連接AG則AG=a, 0, 因為 WF=AG所以EF/AG又AG平面SAD EF平面SAD所以EF/平面SAD10.在棱長為 1 的正方體ABCEA1B1CD中，E、F分別為棱AB和BC的中點，試在棱BB上找一點M使得DM!平面EFB.證明：分別以解析：選 B.要判斷點P是否在平面內(nèi)，只需判斷向量PA與平面的法向量n是否垂直,即判斷PAn是否為 0 即可

8、，因此，要對各個選項進行逐個檢驗.對于選項 A, A= (1 , 0 , 1),則 PA- n= (1 , 0 , 1) - (3, 1 , 2) = 5 工 0,故排除 A對于選項 B, PA= (1 , 4 ,1,則 PA- n= (1 , 4 , 2) (3, 1 , 2) = 0,故選 B.1.已知平面 a 內(nèi)有點A(2 , 1 , 2),它的一個法向量為P中，在平面 a 內(nèi)的是()3A. (1 , 1 , 1)B. (1 , 3,刁33C (1 , 3 , mD. ( 1, 3,-)n= (3 , 1, 2),則下列點a b2，2，b.DA DC DD所在直線為x軸、y軸、z軸建立空

9、間直角坐標系，則A(1 ,0 , 0),B(1, 1, 1),C(0, 1, 0), D(0, 0 , 1),E1, 2 , 01!,M1, 1,m.所以AC=( 1 ,1, 0),又E、F分別為AB BC的中點，所以 EF=2AC=又因為 Bfe= 0, 1, 1 ,SM=(1 , 1 ,m 1),2，因為DM!平面FEB,所以DM!EF且DM丄BE.即DM- EF= 0,且DiMh BE= 0.1 12 + 2+(m 1) 0=0 ,1所以 m=所以10-2+( 1-m) =0,故取BB的中點M就能滿足DM平面EFB.B.能力提升1 12，2，2.設(shè)A B C D是空間不共面的四點，且滿足

10、XB-AC0,XC- XD=0,XB- XD=o,則厶BCD是()A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.不確定解析：選B.因為Be- BD=(BMAC) -(BMAD=BAo,所以BC BD為銳角.同理可得CB CD, 均為銳角，故BCD為銳角三角形.3. 已知向量b= ( 2, 1 , 1)，點A 3, 1, 4) , 0 2, 2, 2).若在直線AB上,存在一點E,使得 6吐b(0為原點)，則點E的坐標為 _ .解析：AB=(1 , 1, 2)，因為 AE/AB所以AE=入屁=(入，一入，一 2 入)，故0E=(入一 3，一 入一 1， 2 入 + 4)，又因為OEL b,A9所

11、以O(shè)Eb=(入一 3,入一 1， 2 入+ 4) - ( 2, 1, 1) = 0,得入=，故E點的坐54已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果AB=(2 , 1, 4) ,AD=(4 , 2,0) ,AP=( 1, 2, 1).對于結(jié)論：APLABAP丄ADAP是平面ABC的法向量；AP/ BD其中正確的是_ .(填序號)解析：因為 XP-AB=( 1, 2, 1) - (2 , 1, 4) = 0，所以APLAB所以APL AB因為APAD= ( 1, 2, 1) - (4 , 2, 0) = 0，所以AP丄AD,所以APL AD故AP是平面ABC啲法向量，APLBD因此正確的

12、序號為.答案：5.如圖所示的長方體ABCDA1B1GD中，底面ABCD是邊長為 2 的正 方形，O為AG與BD的交點，BB=2,M是線段BD的中點.(1) 求證：BM/平面DAG(2) 求證：DO丄平面ABC.證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則點01 , 1, 0) ,D(0 , 0,承), 所以AD= ( 1, 1,2),又點耳 2 , 2, 0) ,M1 , 1 ,.2),所以目= ( 1, 1, ,2),所以0D= BM,標為(-6,14 2了 5答案：(|,142一虧，1)又因為0D與BM不共線，所以O(shè)D/ BM又0諄平面DAC BM平面DAC所以BM/平面DAC連接OB.因

13、為0D0B=( i, - 1,2)(1, i,2)= 0,0D AC=( i, -1,Q2) ( 2, 2, 0)= 0，所以0D丄OB, 0D丄AC即OD丄OB,OD丄AC又OBQAC=O所 以DO!平面ABC.6.（選做題）在正四棱柱ABCDABCD中，E, F分別是CD,CB的中點，G為CC上任 一點，tan /ECD）=4.(1) 求證：AGL EF;(2) 在CC上是否存在點G使AGL平面CEF并說明理由.解：因為ABCDAiBCD是正四棱柱，所以ABCD是正方形，設(shè)其邊長 為2a,/ECD是EC與底面所成的角.而/ECD=/CEC,所以CC= 4EC= 4a.以A為原點，AB, AD AA所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立 如圖所示的空間直角坐標系.則A(0 , 0, 0),耳 2a, 0, 0),C(2a, 2a, 0),D(0 , 2a, 0) ,A(0 ,0, 4a) ,B(2a, 0 , 4a) ,C(2a,2a, 4a),D(0 , 2a,4a