郭新柱理論力學(xué)(第五章)

1、第五章第五章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)第六章第六章 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)緒緒 論論一 運(yùn)動(dòng)學(xué) 研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)，包括研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)，包括運(yùn)動(dòng)規(guī)律、軌跡、速度、加速度。運(yùn)動(dòng)規(guī)律、軌跡、速度、加速度。不考慮力和不考慮力和質(zhì)量，點(diǎn)和幾何體。質(zhì)量，點(diǎn)和幾何體。(一一).運(yùn)動(dòng)學(xué)任務(wù)運(yùn)動(dòng)學(xué)任務(wù) 1.點(diǎn)和剛體運(yùn)動(dòng)的描述(運(yùn)動(dòng)方程); 2.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征量(軌跡, 速度和加速度); 3.剛體運(yùn)動(dòng)特征量(角速度和角加速度)。 動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) 選擇參考坐標(biāo)系選擇參考坐標(biāo)系 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 軌跡方程軌跡方程 速度方程速度方程 加速度方程加速度方程 對時(shí)間對時(shí)間 t 求導(dǎo)求導(dǎo) 對時(shí)間對時(shí)間 t 求導(dǎo)求導(dǎo) 消去

2、時(shí)間消去時(shí)間 t (二二). 明確兩個(gè)基本概念明確兩個(gè)基本概念 1.物體在空間的位置必須說明它是對哪個(gè)物體而言的； 2.運(yùn)動(dòng)學(xué)中涉及的時(shí)間概念主要是瞬時(shí)和時(shí)間間隔。矢量分析與微積分。矢量分析與微積分。二 理論基礎(chǔ)三 內(nèi)容線索 剛體簡單運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)剛體上兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)關(guān)系用復(fù)合運(yùn)動(dòng)研究剛體平面運(yùn)動(dòng) 參考系運(yùn)動(dòng)量關(guān)系動(dòng)點(diǎn)相對兩個(gè)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng) 四四. 要求要求 1.能能選用合適的方法選用合適的方法描述描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和和剛體的基本剛體的基本 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。能熟練的計(jì)算。能熟練的計(jì)算速度和加速度速度和加速度,角速度和角角速度和角 加速度加速度; 2.能正確的分析剛體的平面運(yùn)動(dòng)能正確的分析剛體的平面

3、運(yùn)動(dòng),能熟練地能熟練地確定速確定速 度瞬值，計(jì)算剛體角速度度瞬值，計(jì)算剛體角速度,熟練的熟練的選用不同的方選用不同的方 法求平面圖形上各點(diǎn)的速度和角速度法求平面圖形上各點(diǎn)的速度和角速度; 3.正確地選擇動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系，應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的方法正確地選擇動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系，應(yīng)用合成運(yùn)動(dòng)的方法 求點(diǎn)的速度和加速度。求點(diǎn)的速度和加速度。 建立機(jī)械運(yùn)動(dòng)的描述方法 建立運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān)系為后續(xù)課打基礎(chǔ)及直接運(yùn)用于工程實(shí)際。運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的對象：運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的對象：運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)習(xí)目的：運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)習(xí)目的：五研究方法 幾何法:矢量方法，形象直觀，瞬時(shí)分析解析法: 微積分，便于計(jì)算機(jī)，過程分析六難點(diǎn)，難點(diǎn)，重點(diǎn)（1）點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)；（）點(diǎn)的合成

4、運(yùn)動(dòng)；（2）剛體的平面運(yùn)動(dòng)）剛體的平面運(yùn)動(dòng)一、兩類物理量一、兩類物理量直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系x、y、z正向單位矢用正向單位矢用 表示表示 kji, 二、矢量的表示二、矢量的表示的單位矢的單位矢 ， , 矢量矢量 寫成寫成 AAAA0A0AAA 如如: 等BEaF,v標(biāo)量標(biāo)量 用數(shù)字和單位就可表示的量用數(shù)字和單位就可表示的量矢量矢量 有大小又有方向的量有大小又有方向的量書寫書寫 字母上加箭頭字母上加箭頭 印刷印刷 用黑體字用黑體字單位矢量單位矢量 模（或數(shù)值）為模（或數(shù)值）為1 1的矢量的矢量n,自然坐標(biāo)中切向和法向單位矢用自然坐標(biāo)中切向和法向單位矢用 表示表示 矢量及其運(yùn)算矢量及其運(yùn)算 矢量相減

5、矢量相減四、矢量的分解 平行四邊形法平行四邊形法:ABABCABABD平面矢量的分解平面矢量的分解三、矢量的合成三、矢量的合成 作圖法作圖法 正交分解正交分解空間矢量的分解空間矢量的分解 的大小A的方向AxyAAtan的大小 A22yxAAAjAiAjAiAAyxsincoszxyzAopA kA iA jA k 222zyxAAAAAxyoyAxAxzoyAzAxAyApp五、矢量的運(yùn)算五、矢量的運(yùn)算1. 1. 兩矢量的和與差兩矢量的和與差kBAjBAiBABAzzyyxx)()()(2. 2. 兩矢量點(diǎn)乘兩矢量點(diǎn)乘( (標(biāo)積）標(biāo)積） 性質(zhì)：性質(zhì)： 已知已知: ， kAjAiAAzyxkBj

6、BiBBzyx 結(jié)果為一標(biāo)量結(jié)果為一標(biāo)量。 是 與 的夾角ABA BAB 0BAABBA)(3BA)(2cosABBA定義定義:A)(1B單位矢量的點(diǎn)乘單位矢量的點(diǎn)乘 1kkjjii0ikkjji標(biāo)積的坐標(biāo)分量式標(biāo)積的坐標(biāo)分量式 zzyyxxBABABABA3、兩矢量叉乘（矢積）、兩矢量叉乘（矢積） sinABC 的大小 C結(jié)果為一矢量。令該矢量結(jié)果為一矢量。令該矢量為為 ， CCBA 的方向垂直的方向垂直 與與 構(gòu)成的平面，構(gòu)成的平面，指向由右手螺旋法則確定指向由右手螺旋法則確定CABABC 性質(zhì)：性質(zhì)： 單位矢量的叉乘單位矢量的叉乘ABBA)(3BA)(2ABC 0kkjjiikijjii

7、jkkjjkiikBA)(10Ckij矢量叉乘可以寫成行列式矢量叉乘可以寫成行列式 zyxzyxBBBAAAkjiBA六、矢量的微商和積分（略）kBABAjBABAiBABAxyyxzxxzyzzy)()()()()(kBjBiBkAjAiABAzyxzyx矢積的坐標(biāo)分量式矢積的坐標(biāo)分量式( (一一).).參考體參考體: : 要確定某物體在空間的位置,必須選取另一不變形的物體作為參考體參考體. . 如:書和黑板擦放在講臺(tái)上,書在運(yùn)動(dòng),選黑板擦為“參考體”.( (二二).).參考坐標(biāo)系參考坐標(biāo)系: : 如將坐標(biāo)系固連于參考體上,就構(gòu)成參考坐標(biāo)系.若某一物體相對參考坐標(biāo)系是靜體,則對于此坐標(biāo)系來說

8、,物體靜止;反之運(yùn)動(dòng)。( (三三).).靜坐標(biāo)系靜坐標(biāo)系: :一般固連于地球上的坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)參考坐標(biāo)系系, , 通常稱為靜坐標(biāo)系。說明一點(diǎn)：古典力學(xué)認(rèn)為時(shí)間和空間的度量對于所有參考系都是一樣的，且將時(shí)間視為連續(xù)的自變量。一一 基本概念基本概念第第五五章章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)5.1 5.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體的基本運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和剛體的基本運(yùn)動(dòng)( (四四).). 瞬時(shí)瞬時(shí)：對應(yīng)于某一事件對應(yīng)于某一事件發(fā)生發(fā)生或或終止終止的時(shí)間。如上課開始時(shí)。( (五五). ). 時(shí)間間隔時(shí)間間隔: : 兩個(gè)瞬時(shí)之間的時(shí)間數(shù)。如得開始與結(jié)束之間的時(shí)間數(shù)50分鐘。( (六六). ). 軌跡軌跡: : 點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過

9、的路線。直線運(yùn)動(dòng), 曲線運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要分析以下四個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)主要分析以下四個(gè)方面：方面： 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程, 軌跡軌跡，速度速度，加速度。，加速度。 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間所占的位置隨時(shí)間連續(xù)變化而形成的曲線，稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可按軌跡形狀分為直線運(yùn)動(dòng)和曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軌跡為圓時(shí)稱為圓周運(yùn)動(dòng)。時(shí)稱為圓周運(yùn)動(dòng)。 表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。決定表示點(diǎn)的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律的數(shù)學(xué)方程稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。決定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), 就是確定動(dòng)點(diǎn)在參考系中

10、的每一瞬時(shí)的位置。本章研究的內(nèi)容為就是確定動(dòng)點(diǎn)在參考系中的每一瞬時(shí)的位置。本章研究的內(nèi)容為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、速度和加速度，以及它們之間的關(guān)系。基本方法基本方法: 1.: 1.自然法自然法; 2. ; 2. 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法; 3. ; 3. 矢徑法矢徑法。一一 自然法自然法 設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線是已知的。要確定動(dòng)點(diǎn)的位置: 1.軌跡方程 ; 2.每一瞬時(shí)在軌跡曲線上的位置。 （1 1）沿點(diǎn)的軌跡曲線建立一條曲線坐標(biāo)軸； （2）選定一點(diǎn)O為弧的起點(diǎn)，O到動(dòng)點(diǎn)M的弧長OM=S； （3）規(guī)定起點(diǎn)O的一邊弧長為正。二二 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方

11、程 S是代數(shù)量，稱為動(dòng)點(diǎn) M 的弧坐標(biāo)或自然坐標(biāo)。這樣，動(dòng)點(diǎn)沿已知軌跡的運(yùn)動(dòng)可用一時(shí)間 t 的連續(xù)函數(shù)來表示： S = f ( t ) 即為軌道運(yùn)動(dòng)方程。二二 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法 點(diǎn)在空間的任一瞬時(shí)的位置由 x , y , z 來確定。 SM(+)(-) 三三 矢徑法矢徑法 選O為原點(diǎn)r=OM當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，則矢徑的大小及方向均隨時(shí)間而變。 r = r ( t )r = r ( t ) 矢徑的運(yùn)動(dòng)方程 運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑端點(diǎn)所抽繪的曲線動(dòng)點(diǎn)軌跡 x z yOMyx z r平面：動(dòng)點(diǎn)M始終在平面 oxy 內(nèi)運(yùn)動(dòng)。則, 運(yùn)動(dòng)方程 x = f1( t ) , y = f2 ( t ) 軌跡方程F (x,y

12、) = 0MxyOrz 直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程（一般含時(shí)間 t ) （在方程中消去時(shí)間 t） 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（不含時(shí)間 t )()()(321tfztfytfx空間：)(trr 設(shè)有一點(diǎn)設(shè)有一點(diǎn)M沿曲線沿曲線AB運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)，在任一瞬時(shí)任一瞬時(shí)t，該點(diǎn)之位置可由如下矢該點(diǎn)之位置可由如下矢徑確定徑確定顯然，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)顯然，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M沿沿 AB 運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，r是一變矢量。是一變矢量。1. 位移位移 從瞬時(shí)從瞬時(shí) t 到到 t +t ，動(dòng)點(diǎn)位置由動(dòng)點(diǎn)位置由M改變到改變到M，其矢徑分，其矢徑分別為別為r和和r。在時(shí)間間隔。在時(shí)間間隔t內(nèi)內(nèi)，r 之變化量為之變化量為rMMrrrr)()(ttt它表示在它表示在t時(shí)

13、間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)矢徑之改變，稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)矢徑之改變，稱為動(dòng)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)的時(shí)間內(nèi)的位移。BMOr0ABM0Mrrr一、矢量法一、矢量法5.1.1 5.1.1 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述方法點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述方法2. 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程( ) trr選取參考系上某確定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)O向動(dòng)點(diǎn)M作矢量r，稱為點(diǎn)M相對原點(diǎn)O的位置矢量，簡稱矢徑。當(dāng)動(dòng)點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑r隨時(shí)間而變化，并且是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即MrO3. 點(diǎn)的速度動(dòng)點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。動(dòng)點(diǎn)的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線，并與此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*r0limttt ddrrv運(yùn)動(dòng)

14、軌跡t : Mt + t : M 當(dāng)當(dāng) t 0 MM = MM)()(trttrrMMtrv*平均速度速度對于時(shí)間的變化率加速度a* = d tvMMvaavvv 動(dòng)點(diǎn)的速度等于動(dòng)點(diǎn)的矢徑對于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù).動(dòng)點(diǎn)的瞬時(shí)速度 單位單位 : m/s , cm/s , km/h .dtdrtrvvttlimlim00*t : v t + t :v4. 加速度（1 1）、平均加速度）、平均加速度220ddlimddtttt vvra點(diǎn)的速度矢對時(shí)間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點(diǎn)的加速度等于它的速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 有時(shí)為了方便

15、，在字母上方加“.”表示該量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，加“.”表示該量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 avr（2 2）、瞬時(shí)加速度）、瞬時(shí)加速度 如在空間任意取一點(diǎn)O，把動(dòng)點(diǎn)M在連續(xù)不同瞬時(shí)的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到點(diǎn)O，連接各矢量的端點(diǎn)M1，M2，M3，就構(gòu)成了矢量v端點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。動(dòng)點(diǎn)的加速度矢a的方向與速度矢端曲線在相應(yīng)點(diǎn)M的切線相平行。 速度矢端曲線速度矢端曲線OM1M2M3vv1v2a加速度的方向確定加速度的方向確定這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。123( )( )( )xf tyf tzf txyzrijk如以矢徑r的起點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則矢徑r

16、可表示為：MrOkijyyxxzz1.1.運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程二、直角坐標(biāo)法二、直角坐標(biāo)法xyzxyzvvvvrijkijk 速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。2.點(diǎn)的速度若已知速度的投影，則速度的大小為222zyxv其方向余弦為cos( , ), cos( , ), cos( , )xyzvvvv iv jv k,xyzxxyyzzaaaavxavyavzaijk 加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。3.點(diǎn)的加速度若已知加速度的投影，則加速度的大小為222222zyxaaaazyx 其方向余弦為cos( , ), cos( , ), cos(

17、, )xyzaaaa ia ja k解：取M點(diǎn)的直線軌跡為 x 軸，曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O為坐標(biāo)圓點(diǎn)。M點(diǎn)的坐標(biāo)為：例1 下圖為偏心驅(qū)動(dòng)油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄 OA 長為r ，自水平位置開始以勻角速度w 轉(zhuǎn)動(dòng)，即j =wt，滑槽K-K與導(dǎo)桿B-B制成一體。曲柄端點(diǎn)A通過滑塊在滑槽K-K中滑動(dòng)，因而曲柄帶動(dòng)導(dǎo)桿B-B作上下直線運(yùn)動(dòng)。試求導(dǎo)桿的運(yùn)動(dòng)方程，速度和加速度。sinsinxOMOArjjBABOKMKwxjx 將j =wt帶入上式，得M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：sinxrtw將上式對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww 例2 曲柄連桿機(jī)構(gòu)是由曲柄、

18、連桿及滑塊組成的機(jī)構(gòu)。當(dāng)曲柄OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于連桿AB帶動(dòng)，滑塊沿直線作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)曲柄OA長為r，以角速度w 繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即jwt，連桿AB長為l。試求滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：取滑塊B的直線軌跡為x軸，曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)。在經(jīng)過 t 秒后，此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)為：ABOClxwxj整理可得B的運(yùn)動(dòng)方程：lrtltrxww22sin1cosCBOCOBx22sincosjjrlr由此可得滑塊B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrtttwww 2d(coscos2 )dvarttwww 將右邊最后一項(xiàng)展開：2(1)(coscos2)44xlrttww222244111

19、sin1sinsin28tttwww tltrxww22sin1cos例3 一人高 h2 ，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1 ，求人影的頂端M沿地面移動(dòng)的速度。解: 取坐標(biāo)系x如圖所示，由幾何關(guān)系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式對t求一階導(dǎo)數(shù)，得 M 點(diǎn)的速度為:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx)(tfs 這就是自然坐標(biāo)形式的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。1 弧坐標(biāo) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為如圖所示的曲線，則動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置可以這樣確定：在軌跡上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，動(dòng)點(diǎn)M在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數(shù)量，稱它為動(dòng)點(diǎn)M在軌

20、跡上的弧坐標(biāo)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，s隨著時(shí)間變化，它是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即 三、自然法三、自然法 利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡建立弧坐標(biāo)，用來描述和分利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡建立弧坐標(biāo)，用來描述和分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的方法叫析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的方法叫自然法自然法。 弧坐標(biāo)具有以下要素：弧坐標(biāo)具有以下要素：2、有、有正、負(fù)方向正、負(fù)方向(一般以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向作一般以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向作為正向?yàn)檎?；1、有、有坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)(一般在軌跡上任選一參考一般在軌跡上任選一參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn))；3、有、有相應(yīng)的坐標(biāo)系相應(yīng)的坐標(biāo)系(自然軸系自然軸系)。 在圖中點(diǎn)在圖中點(diǎn)M趨近于趨近于M，即即 趨近于零的過程中，包括直線趨近于零的過程中

21、，包括直線 MT 和和MT1的平面，將繞的平面，將繞MT轉(zhuǎn)動(dòng)而趨近于某轉(zhuǎn)動(dòng)而趨近于某一極限位置；在這極限位置的平面稱一極限位置；在這極限位置的平面稱為曲線在點(diǎn)為曲線在點(diǎn)M的的密切面或曲率平面。TMTMsT1 密切面密切面”指向“方向沿切線1limlim00srsrss= 單位矢量單位矢量 0MMrsMrrovs 空間曲線上的任意點(diǎn)都存在密切面，而且空間曲線上的任意點(diǎn)都存在密切面，而且是唯一的。是唯一的。 空間曲線上的任意點(diǎn)無窮小鄰域內(nèi)的一段空間曲線上的任意點(diǎn)無窮小鄰域內(nèi)的一段弧長，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線?；￠L，可以看作是位于密切面內(nèi)的平面曲線。 曲線在密切面內(nèi)的彎曲程度，稱為曲線的曲

22、線在密切面內(nèi)的彎曲程度，稱為曲線的曲率，用曲率，用1/ 表示。表示。 比值比值 可用來表示弧可用來表示弧MM的平均彎曲程度，并稱為的平均彎曲程度，并稱為平均曲率平均曲率。sskt0lim 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M趨近于點(diǎn)趨近于點(diǎn)M時(shí)，平均曲率時(shí)，平均曲率的極限值稱為曲線在點(diǎn)的極限值稱為曲線在點(diǎn)M處的處的曲率曲率，用用k 表示，有表示，有TMTMsT1 （取絕對值取絕對值）稱為曲線對稱為曲線對應(yīng)于弧應(yīng)于弧 MM的的鄰角鄰角，可用來說明該可用來說明該曲線的彎曲程度。曲線的彎曲程度。2. 曲線的曲率 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)M的曲率的倒數(shù)，的曲率的倒數(shù)，稱為曲線在點(diǎn)稱為曲線在點(diǎn)M的的曲率半徑曲率半徑，用用表表示，有示，有

23、k1TMTMsT1skt0lim曲曲 率率 通過點(diǎn)通過點(diǎn)M而與切線垂直的而與切線垂直的平面，稱為曲線在點(diǎn)平面，稱為曲線在點(diǎn)M 的的法面。 法面主法線副法線M法面法面 法面與密切面的交線法面與密切面的交線MN稱為稱為主法線。 法面內(nèi)與主法線垂直的法面內(nèi)與主法線垂直的直線直線MB稱為稱為副法線。密切面密切面3 自然軸系 即以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，這三個(gè)軸稱為自然軸系。且三個(gè)單位矢量滿足右手法則，即密切面法面切線主法線副法線Mnb bnMn 1 1 M1在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線上取極為接近的兩點(diǎn)M和M1，這兩點(diǎn)切線的單位矢量分別為 和 1，其

24、指向與弧坐標(biāo)正向一致。將 1平移到點(diǎn)M，則 和 1決定一平面。令M無限趨近點(diǎn)M1，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點(diǎn)M的密切面。過點(diǎn)M并與切線垂直的平面稱為法平面，法平面與密切面的交線稱主法線。令主法線的單位矢量為n，指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。過點(diǎn)M且垂直于切線及主法線的直線稱副法線，其單位矢量為b，指向與 、 n構(gòu)成右手系。自然軸系的自然軸系的特點(diǎn)特點(diǎn) 跟隨動(dòng)點(diǎn)在軌跟隨動(dòng)點(diǎn)在軌跡上作空間曲線跡上作空間曲線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。MrsABMOrrsv()()O1tddrv M點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度（矢量矢量）為為設(shè)已知點(diǎn)設(shè)已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)軌跡和運(yùn)動(dòng)方程)(tfs ttvtrr0lim

25、ddtssssttt.limlim00rrtst0limvtsdd) 1lim (0str由于dtdsvv4.點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度MrsABMOrrsv()()O1 方向沿軌跡在方向沿軌跡在M處的切線處的切線et 并并指向弧坐標(biāo)增加的一方。指向弧坐標(biāo)增加的一方。et 可見，點(diǎn)可見，點(diǎn)M的速度是沿軌跡切的速度是沿軌跡切線，并可表示為線，并可表示為 ttddeevvtstsvdd即：即：動(dòng)點(diǎn)的速度在切線上的投影，等于它的弧坐標(biāo)對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。又沿軌跡切線，所以它在法線上的投影恒等于零。又沿軌跡切線，所以它在法線上的投影恒等于零。其中其中v 是速度矢量在切線正向的投影，是速度矢量在切線正向的投影，大小

26、等于大小等于MrsABMOrrsv()()O1t tttddeevvts46切向加速度切向加速度 -表示速度大小的變化22dtSddtdva5、點(diǎn)的加速度、點(diǎn)的加速度法向加速度法向加速度 -表示速度方向的變化nvdtdvan2nvtvaaan2dddtdvdtdvvdtdtva)(dd上式表明加速度矢量a是由兩個(gè)分矢量組成：分矢量at的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數(shù)值隨時(shí)間的變化率；分矢量an的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時(shí)間的變化率。2ddvvtan全加速度為at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q定：22tnaaa大小：方向：

27、tnaaatn|tanaa200t12ssv ta tttddacva t 了解上述關(guān)系后，容易得到曲線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。例如所謂曲線勻速運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)點(diǎn)速度的代數(shù)值保持不變。 如果動(dòng)點(diǎn)的切向加速度的代數(shù)值保持不變，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在來求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 tavt0v例4 下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R16cm，料斗沿鉛垂提升的運(yùn)動(dòng)方程為y2t2，y以cm記，t 以s計(jì)。求卷筒邊緣一點(diǎn)M在t4s時(shí)的速度和加速度。OMRMA0AM0y解：此時(shí)M點(diǎn)的切向加速度為：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s當(dāng)t=4 s時(shí)速度為：d

28、4dSvttM點(diǎn)的法向加速度為：2216/nvacmsRM點(diǎn)的全加速度為：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aa例5 列車沿曲線軌道行駛，初速度v1=18km/h，速度均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若鐵軌曲線形狀如圖1-17所示。在M1、M2點(diǎn)的曲率半徑分別為1=600m, 2=800m 。求列車從M1到M2所需的時(shí)間和經(jīng)過M1和M2處的加速度。M1M2V2V1an1a1a2an2ar1ar2解：解：222210.1/2am ssvv200t12ssv ta ttavt0v求列車經(jīng)過M1和M2時(shí)的法向加速度為：221

29、110.042/namsv222220.281/nam sv12100tsavv列車經(jīng)過M1時(shí)的全加速度為：222110.108/naaacms111tan|2.38arctan 2.3867.4naa222220.293/naaacm s222ta n|0 .3 5 5a rc ta n 0 .3 5 51 9 .5naa列車經(jīng)過M2時(shí)的加速度為：55 5-6已知v0，求滑塊A的速度和加速度與距離x的 關(guān)系式。xlv0AOB解：設(shè) t =0 時(shí)，AB=a2202)(ltvax00)(22vtvaxx等式兩邊求導(dǎo)：22000)(lxxvxvtvax5600)(22vtvaxx20vxxxx x

30、xvx220 xlxxvv)(22220203220 xlv 例例7 7 如圖所示，固定圓圈的半徑為R，搖桿O1A繞O1軸以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)， 。軸固定在圓周上，小環(huán)M同時(shí)套在搖桿和圓圈上。運(yùn)動(dòng)開始時(shí)， ，搖桿O1A在水平位置。試分別用直角坐標(biāo)法和自然法寫出小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程，并求出其速度和加速度。wtwj0j解解 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法：以圓心O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示。任一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的位置用坐標(biāo) x、y表示。由于 ，而圓心角 ，于是以直角坐標(biāo)表示的小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程為twjtwj22tRytRxww2sin2cos 將運(yùn)動(dòng)方程分別對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，分別可得速度和加速度在直角坐標(biāo)軸上

31、的投影： tRtyvtRtxvyxwwww2cos2dd2sin2ddtRtyatRtxayxwwww2sin4dd2cos4dd222222速度的大小為速度的方向?yàn)閣Rvvvyx222cos()sin2cos()cos2xyvvitvvvjtvww ，加速度的大小為加速度的方向?yàn)?224wRaaayxcos()cos2cos()sin2xyaaitaaajtaww ， 弧坐標(biāo)法弧坐標(biāo)法： 動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，在軌跡上取水平直徑的端點(diǎn)O2為弧坐標(biāo)的原點(diǎn)，并規(guī)定O2點(diǎn)的上方為正，則任一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的位置可用弧坐標(biāo)S表示，顯然 這就是小環(huán)M以弧坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程。 將弧坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程分別對時(shí)

32、間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得速度與切向加速度的大小為tRRRswj220dd2dd22tsaRtsvw 因?yàn)榍邢蚣铀俣鹊扔诹悖嗜铀俣燃礊榉ㄏ蚣铀俣?，其大小為?即，速度的大小為 ，方向與 相同(與矢徑 r 垂直)。加速度大小為 ，方向指向圓心(與矢徑r反向)。 以上兩種方法求得的結(jié)果完全相同。由于運(yùn)動(dòng)軌跡已知，因而用自然法求解顯然更加方便。 224wRvanwR2 24wR例例5-85-8 已知：半徑為已知：半徑為r的輪子沿直線軌道無滑動(dòng)地滾動(dòng)的輪子沿直線軌道無滑動(dòng)地滾動(dòng)（稱為純滾動(dòng)），設(shè)輪子轉(zhuǎn)角（稱為純滾動(dòng)），設(shè)輪子轉(zhuǎn)角 為常值），為常值），如圖所示。求用直角坐標(biāo)和弧坐標(biāo)表示的輪緣上任一如圖

33、所示。求用直角坐標(biāo)和弧坐標(biāo)表示的輪緣上任一點(diǎn)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程，并求該點(diǎn)的速度、切向加速度及法的運(yùn)動(dòng)方程，并求該點(diǎn)的速度、切向加速度及法向加速度。向加速度。( tjw wMMjRoj M點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，取點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，取 直角坐標(biāo)系如圖所示。直角坐標(biāo)系如圖所示。OCMCrr tjw由純滾動(dòng)條件由純滾動(dòng)條件)sin(sin1ttrMOOCxwwjtrMOCOywjcos1cos11從而從而解：解：1cos,sinxyvxrtvyrtwwww)202sin2)cos1 (222wwwwwttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrtwwww222wraaayx00d2sind4 (1cos

34、)(02)22ttttsv trtrtwwww又點(diǎn)又點(diǎn)M的切向加速度為的切向加速度為2cos2ttrvaww 2sin22t2ntraaaww兩類問題由運(yùn)動(dòng)方程，求 微分av, 5-2. 連桿結(jié)構(gòu)，已知 求：點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度。 tjwyxjaMlwllcossinxlat ylatww2222cossinxyaxla t x ayla t y sincosxy vxla t vyla t 22221xylala軌跡yxjaMlwll由速度，加速度，求運(yùn)動(dòng)方程積分。5-4 凸輪機(jī)構(gòu)。已知 ，使頂桿AB勻速 上升一段，設(shè)計(jì)凸輪輪廓線。wuOBAwtavtvadddd tttavv00d)

35、(tvxtxvdd dd tttvxx00d)(初初始始位位移移時(shí)時(shí) ,00 xxt 初初速速度度時(shí)時(shí) ,00vvt 質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，是一維運(yùn)動(dòng)，則各運(yùn)動(dòng)量可作為標(biāo)量處理：由速度，加速度，求運(yùn)動(dòng)方程積分。例：設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，a=2t，t =0時(shí) x0=0， v0=0 試求: t =2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和位置。解：加速度a不是常量，將a=2t寫成 ：ttvd2d 對兩邊積分： txttxttx0202dd;dd;d2d00 tvttv) 1 (dd2ttxv )2(313tx 把t =2 s 分別代入(1)、(2)得：mxsmv67. 238;/4 指出在下列情況下指出在下列情況下,點(diǎn)點(diǎn)M作

36、何種運(yùn)動(dòng)作何種運(yùn)動(dòng)? , , , 0na常數(shù)a0a常數(shù)0a0na常數(shù)va, 0常數(shù)常數(shù)naa, 00na0a常數(shù)常數(shù)naa,(勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng))(勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng))(勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止)(直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng))(勻速運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng))(圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng))(勻速運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng))(直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng))(勻速曲線運(yùn)動(dòng)勻速曲線運(yùn)動(dòng))(勻變速曲線運(yùn)動(dòng)勻變速曲線運(yùn)動(dòng))72指出在下列情況下指出在下列情況下,點(diǎn)點(diǎn)M作何種運(yùn)動(dòng)作何種運(yùn)動(dòng)? , , , 0na常數(shù)a0a常數(shù)0a0na常數(shù)va, 0常數(shù)常數(shù)naa, 00na0a常數(shù)常數(shù)naa,(勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng))(勻速圓周運(yùn)動(dòng)

37、勻速圓周運(yùn)動(dòng))(勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止)(直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng))(勻速運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng))(圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng))(勻速運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng))(直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng))(勻速曲線運(yùn)動(dòng)勻速曲線運(yùn)動(dòng))(勻變速曲線運(yùn)動(dòng)勻變速曲線運(yùn)動(dòng))73 點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),判斷下列情況下點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)判斷下列情況下點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)判斷下列運(yùn)動(dòng)是否可判斷下列運(yùn)動(dòng)是否可 能出現(xiàn)能出現(xiàn),若能出現(xiàn)判斷是什么運(yùn)動(dòng)若能出現(xiàn)判斷是什么運(yùn)動(dòng)? ?(加速運(yùn)動(dòng)加速運(yùn)動(dòng)) (不可能不可能) (勻速曲線運(yùn)動(dòng)勻速曲線運(yùn)動(dòng)) (不可能或改作不可能或改作 直線加速運(yùn)動(dòng)直線加速運(yùn)動(dòng)) (不可能或改作不可能或改作直線減速運(yùn)動(dòng)直線減速運(yùn)動(dòng))(不可能不可能) (減速曲線運(yùn)

38、動(dòng)減速曲線運(yùn)動(dòng))M1 1點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)M2點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)M3點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)剛體的平行移動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)大量存在于工程實(shí)際，而且剛體的任何運(yùn)動(dòng)都可以看成是這兩種運(yùn)動(dòng)的組合。他們是研究點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)和剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。剛體的運(yùn)動(dòng)平行移動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng).2 剛體的平移及運(yùn)動(dòng)特征剛體的平移及運(yùn)動(dòng)特征剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)例 是指剛體的平行 移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)基本運(yùn)動(dòng)基本運(yùn)動(dòng) 一一.剛體平動(dòng)的定義剛體平動(dòng)的定義: 如果在物體內(nèi)任取一如果在物體內(nèi)任取一條直線，在運(yùn)動(dòng)過程中這條直線，在運(yùn)動(dòng)過程中這條直線始終與它的最初位條

39、直線始終與它的最初位置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng)，簡稱平動(dòng)。行移動(dòng)，簡稱平動(dòng)。剛體的平行移動(dòng)剛體的平行移動(dòng)( (平動(dòng)平動(dòng)) ) 剛體是由無數(shù)的點(diǎn)構(gòu)成的。本章將研究剛體的兩種簡單的運(yùn)動(dòng) 平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。這是工程中最常見的運(yùn)動(dòng)，也是研究剛體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng)例 是指剛體的平行 移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)基本運(yùn)動(dòng)基本運(yùn)動(dòng) 1.1.當(dāng)剛體作平移時(shí)，剛體上所有各點(diǎn)的軌跡形狀相同，當(dāng)剛體作平移時(shí)，剛體上所有各點(diǎn)的軌跡形狀相同，并且位置平行。并且位置平行。證明證明：A1B1A2B2二、二、平移的特點(diǎn)平移的特點(diǎn) 2.2.當(dāng)剛體作平移時(shí)，同一瞬時(shí)，剛體上各點(diǎn)的速度相

40、當(dāng)剛體作平移時(shí)，同一瞬時(shí)，剛體上各點(diǎn)的速度相 等，各點(diǎn)的加速度也相等。等，各點(diǎn)的加速度也相等。 剛體作平移時(shí)的特點(diǎn)剛體作平移時(shí)的特點(diǎn)1 1可由圖說明?？捎蓤D說明。 剛體作平移時(shí)的特點(diǎn)剛體作平移時(shí)的特點(diǎn)2 2可證明如下：可證明如下：AOrBrABxzyBvAA由A,B 兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程式: 而)()(trr ,trrBBAAABABrrr即constrABBAABrrr AB為剛體上任意一矢量，則有為剛體上任意一矢量，則有AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B2A剛體平移時(shí)，剛體內(nèi)任一線段剛體平移時(shí)，剛體內(nèi)任一線段AB的長度和方向都保持不變。的長度和方向都保持不變。0ddABt因而因而)d(d

41、d)(ddddrvtrrrttrvAAABABB0dtABAAABABBatrrrttra222222dd)(dddd:同理即即: :平移剛體的運(yùn)動(dòng)可以簡化為一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。平移剛體的運(yùn)動(dòng)可以簡化為一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。AOrBrABxzyvBvAA1B1A2B2A 剛體平移時(shí)，其上各點(diǎn)軌跡形狀相同且相互平行，剛體平移時(shí)，其上各點(diǎn)軌跡形狀相同且相互平行，任一瞬時(shí)各點(diǎn)速度相同、各點(diǎn)加速度也相同。任一瞬時(shí)各點(diǎn)速度相同、各點(diǎn)加速度也相同。定理定理: 應(yīng)該注意，平移剛體內(nèi)的點(diǎn)，不一定沿直線運(yùn)動(dòng)，也應(yīng)該注意，平移剛體內(nèi)的點(diǎn)，不一定沿直線運(yùn)動(dòng)，也不一定保持在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，它的軌跡可以是任意的空間曲不一定保持在平面內(nèi)運(yùn)

42、動(dòng)，它的軌跡可以是任意的空間曲線。線。 由上述剛體平移的特點(diǎn)可見，當(dāng)剛體作平移時(shí)，只須由上述剛體平移的特點(diǎn)可見，當(dāng)剛體作平移時(shí)，只須給出剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)給出剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，就可以完全確定整個(gè)剛體的就可以完全確定整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。 這樣，剛體平移問題就可看為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題來處理。這樣，剛體平移問題就可看為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題來處理。 如果平移剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡都是平面曲線或直線，則如果平移剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡都是平面曲線或直線，則這些特殊情形稱為這些特殊情形稱為平面平移或直線平移平面平移或直線平移。 綜上所述，可以得出剛體平移的幾個(gè)主要結(jié)論： 剛體上的各點(diǎn)具有形狀相同的運(yùn)動(dòng)軌跡。剛體上的各點(diǎn)具有形

43、狀相同的運(yùn)動(dòng)軌跡。 剛體上的各點(diǎn)在某一瞬時(shí)具有相同的速度剛體上的各點(diǎn)在某一瞬時(shí)具有相同的速度 和和 加速度。加速度。 剛體平移時(shí)的運(yùn)動(dòng)分析可以簡化為其上任意剛體平移時(shí)的運(yùn)動(dòng)分析可以簡化為其上任意 一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析。一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析。1.水平曲線軌跡上行駛的火車箱是否平移?否。BA2.平移時(shí)，剛體上各點(diǎn)軌跡是平行直線，對嗎?不一定。可是平行曲線。 蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，如圖所示。鋼索長為長l，度單位為m。當(dāng)蕩木擺動(dòng)時(shí)鋼索的擺動(dòng)規(guī)律為 ，其中 t 為時(shí)間，單位為s；轉(zhuǎn)角0的單位為rad，試求當(dāng)t=0和t=2 s時(shí)，蕩木的中點(diǎn)M的速度和加速度。OABO1O2ll（+）例例 題題 5-1MM 由于

44、兩條鋼索O1A和O2B的長度相等，并且相互平行，于是蕩木AB在運(yùn)動(dòng)中始終平行于直線O1O2，故蕩木作平移。 為求中點(diǎn)M 的速度和加速度，只需求出A點(diǎn)（或B點(diǎn)）的速度和加速度即可。點(diǎn)A在圓弧上運(yùn)動(dòng)，圓弧的半徑為l。如以最低點(diǎn)O為起點(diǎn)，規(guī)定弧坐標(biāo)s向右為正，則A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為tlls4 sin0jj將上式對時(shí)間求導(dǎo)，得A點(diǎn)的速度tltsv4 cos4dd0j解：AOBO1O2ll（+）M再求一次導(dǎo)，得A點(diǎn)的切向加速度代入t = 0和t = 2，就可求得這兩瞬時(shí)A點(diǎn)的速度和加速度，亦即點(diǎn)M在這兩瞬時(shí)的速度和加速度。計(jì)算結(jié)果列表如下：tltva4 sin16dd02tjA點(diǎn)的法向加速度tllva4co

45、s16 22022njOABO1O2ll（+）0002 （鉛直向上）0 （水平向右）00an (ms2)at (ms2)v (ms1)(rad)t (s)04jl016jl20216j一一. .剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特征及其簡化剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特征及其簡化 當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)某一直線上的所有各點(diǎn)始終保持不動(dòng)-稱為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，簡稱剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。 不動(dòng)的直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。5.1.3 5.1.3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸以當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)軸以外的各點(diǎn)都分別在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面外的各點(diǎn)都分別在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在該平面與轉(zhuǎn)軸內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，

46、圓心在該平面與轉(zhuǎn)軸之交點(diǎn)上。之交點(diǎn)上。 二二. .剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn): : 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)例實(shí)例定軸轉(zhuǎn)動(dòng)-剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)其上或其延展部分有一根不動(dòng)直線。1.指出下列物體是否作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)?輪 否。定義定義: :w是車廂是Rw( (一一).).轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)動(dòng)方程 j -轉(zhuǎn)角,單位弧度(rad) j= f(t)-為轉(zhuǎn)動(dòng)方程 方向規(guī)定: 從z 軸正向看去, 逆時(shí)針為正 順時(shí)針為負(fù)2.物體螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有不動(dòng)直線?軸線升降。 剛體的位置可由角剛體的位置可由角j完全確定。角完全確定。角j也稱為也稱為角坐標(biāo)角坐標(biāo)，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角坐標(biāo)時(shí)，角坐標(biāo)j隨時(shí)間隨時(shí)間t而變化，

47、因而可表示為時(shí)間而變化，因而可表示為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù).三、轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律三、轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律（1）、角速度的大小表示剛體在該瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，即角速度的大小表示剛體在該瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，即單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)角的變化。單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)角的變化。jjw)(ddtft 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的角速度剛體的角速度，以以表示。表示。故有故有1. 角速度（2）、當(dāng)轉(zhuǎn)角當(dāng)轉(zhuǎn)角隨時(shí)間而增大時(shí)，隨時(shí)間而增大時(shí)，為正值，反之為為正值，反之為負(fù)值，這樣，角速度的正負(fù)號(hào)確定了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向。負(fù)值，這樣，角速度的正負(fù)號(hào)確定了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向。 (二二). 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速

48、度 和和正負(fù)相同，則角速度的絕對值隨時(shí)間而增大，即剛正負(fù)相同，則角速度的絕對值隨時(shí)間而增大，即剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；反之，兩者正負(fù)不同，則角速度的絕對值隨體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；反之，兩者正負(fù)不同，則角速度的絕對值隨時(shí)間而減小，即剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)間而減小，即剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。jjw )(dddd22tftt 角速度角速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱為角加速度角加速度，以以表示，表示，故有故有它表示單位時(shí)間內(nèi)角速度的變化。它表示單位時(shí)間內(nèi)角速度的變化。2. 角加速度的單位的單位: rad/s 的單位的單位:rad/s2與與w w方向一致為加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致為加速轉(zhuǎn)動(dòng), 與與w w 方向相反為減速轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反

49、為減速轉(zhuǎn)動(dòng) 3.勻速轉(zhuǎn)動(dòng)和勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)和勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)工程中常用單位：n = 轉(zhuǎn)/分(r / min)則則n與與w w的關(guān)系為的關(guān)系為:)nnn(rad/s1030602w（1）勻速轉(zhuǎn)動(dòng)）勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)w =常數(shù),為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)。有j = j 0+ w t 這里j 0是 t = 0 時(shí)轉(zhuǎn)角j 的值。)(22102022000jjwwwjjwwttt(2) 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng) =常數(shù),為勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)。有這里j 0和w 0是t = 0 時(shí)轉(zhuǎn)角和角速度。 在刮風(fēng)期間，風(fēng)車的角加速度 ，其中轉(zhuǎn)角 以rad計(jì)。若初瞬時(shí) ，其葉片半徑為0.75m 。試求葉片轉(zhuǎn)過兩圈（ ）時(shí)其頂端 P 點(diǎn)的速度。 20.

50、2/rad s000,6/rad sw4 radP例例 題題 6-2dddddtddtdwwww0.2ddww0400.2ddwww w 22200.2(4 )8.221/6.166/rad svrm swwwwPsBAOMvR 半徑R=20 cm的滑輪可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上繞有不能伸長的細(xì)繩，繩的另一端與滑輪固連，另一端則系有物塊A，設(shè)物塊A從位置B出發(fā)，以勻加速度a =4.9 ms2向下降落，初速v0=4 ms1，求當(dāng)物塊落下距離s =2 m時(shí)輪緣上一點(diǎn) M 的速度和加速度。例例 題題 6-3根據(jù) v2 v02 = 2as，得M點(diǎn)的速度M點(diǎn)的法向加速度M點(diǎn)的切向加速度 M點(diǎn)的總加速度12

51、0sm 96. 52vasv.ddtatvaRvasva202n222n2tsm 178aaa解:sBAOMvR200t12ssv ta ttavt0vM0MvsdtdRdtdSvjwRv 一一、速度、速度5.1.4 5.1.4 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度RvzjRS 各點(diǎn)速度分布圖各點(diǎn)速度分布圖 當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)每一點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)，圓心在轉(zhuǎn)軸上，圓心所在平面與轉(zhuǎn)軸垂直，半徑R等于該點(diǎn)到軸線的距離。用自然法， 點(diǎn)在 t時(shí)間內(nèi)，走過的弧長為 s=j R（1 1）剛體內(nèi)在平行于轉(zhuǎn)軸）剛體內(nèi)在平行于轉(zhuǎn)軸z的任一直線上，各點(diǎn)具有相等的的任一直線上，各點(diǎn)具有相等的

52、速度和相等的加速度，又各點(diǎn)的軌跡為同樣大小的圓周，其圓速度和相等的加速度，又各點(diǎn)的軌跡為同樣大小的圓周，其圓心都在轉(zhuǎn)軸心都在轉(zhuǎn)軸z上。上。2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度的特點(diǎn)（2 2）在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)）在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。動(dòng)半徑成正比。方向沿著點(diǎn)軌跡圓周的切線，指向轉(zhuǎn)動(dòng)前進(jìn)方向沿著點(diǎn)軌跡圓周的切線，指向轉(zhuǎn)動(dòng)前進(jìn)的一方。的一方。wRv 即即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度，等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度，等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角加速度的乘積徑與剛體角加速度的乘積。式中。式中和和at具有相同的正負(fù)號(hào)具有相同

53、的正負(fù)號(hào)。tRRttvadd)(ddddtwwRa t 點(diǎn)點(diǎn)M的加速度包含兩部分：的加速度包含兩部分：切向分量和法向分量。切向分量和法向分量?；蚧騉aMvanat1. 1. 切向加速度切向加速度二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度不難看出，當(dāng)不難看出，當(dāng)和和正負(fù)相同時(shí)，切向加速度正負(fù)相同時(shí)，切向加速度at和和速度速度v有相有相同的指向，這相當(dāng)于加速轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)同的指向，這相當(dāng)于加速轉(zhuǎn)動(dòng)；當(dāng)和和正負(fù)不相同時(shí)，則正負(fù)不相同時(shí)，則at與與v有相反的指向，這相當(dāng)于減速轉(zhuǎn)動(dòng)。有相反的指向，這相當(dāng)于減速轉(zhuǎn)動(dòng)。 OaMvanatOaMvanat即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度，等于該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一

54、點(diǎn)的法向加速度，等于該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與剛體角速度平方的乘積。法向加速徑與剛體角速度平方的乘積。法向加速an恒向軌跡的曲率中恒向軌跡的曲率中心即圓心心即圓心O，因此也稱為因此也稱為向心加速度向心加速度。 RRva22n)(w2nwRa 2.2.法向加速度法向加速度OaMvanat或或42222n2twRRaaa42w Ra3.3.總加速度總加速度它與半徑它與半徑MO的夾角的夾角（恒取正值恒取正值）可可按下式求出按下式求出2nttanwRRaa2tanw或 顯然，當(dāng)剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度顯然，當(dāng)剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度a偏向轉(zhuǎn)動(dòng)前進(jìn)的一偏向轉(zhuǎn)動(dòng)前進(jìn)的一方；當(dāng)減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度方；當(dāng)減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度

55、a偏向相反的一方；當(dāng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)偏向相反的一方；當(dāng)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)a指向軸心指向軸心O。 OaMvanat 但是，總加速度但是，總加速度a與轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑所成的偏角，卻與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑所成的偏角，卻與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑無關(guān)，即動(dòng)半徑無關(guān)，即在任一瞬時(shí)，在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度對其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的偏角度對其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的偏角 都都相同相同；平面上各點(diǎn)加速度的；平面上各點(diǎn)加速度的分布如圖。分布如圖。 , 42w Ra 由上式可見，在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的切向加由上式可見，在任一瞬時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的切向加速度、法向加速度和總加速的大小都與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。速度、法向加速度和總加速

56、的大小都與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑成正比。2tanw4.4.加速度的分布規(guī)律加速度的分布規(guī)律5.5.速度與加速度分布圖速度與加速度分布圖vRw2tantnaaw2224tnaaaRw結(jié)論結(jié)論: （1）在每一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的速度和加速度的大小，分別與這些點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離成正比。 （2）在每一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的全加速度 a 的方向與半徑間的夾角 都相同。 速度分布圖加速度分布圖 試畫出圖中剛體上兩點(diǎn)在圖示位置時(shí)的速度和加速度。),(2121ABOOBOAO 例例1卷帶盤。已知v常數(shù)，帶厚a，求。arwv例例2 vr dd2dd2rrav rav,ttr 即2ddAav,Ar t 又1ddrv

57、 , rtr ddr r0 tddddAr avrt 232avr故arwv對該式求導(dǎo)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈轉(zhuǎn)動(dòng)一圈: A=avt2OA0wB1OM12r 已知 常數(shù) ，求兩 輪邊緣上點(diǎn)的加速度。121202O AO Br,ABO O ,21102Aaraa22222200024n,arraaa202220 0 2MAM vrvv又輪1平移AvMvAa1a例例3輪2轉(zhuǎn)動(dòng) 例4 滑輪的半徑滑輪的半徑r=0.2 m，可繞水平軸可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上纏有轉(zhuǎn)動(dòng)，輪緣上纏有不可伸長的細(xì)繩，繩的一端掛有不可伸長的細(xì)繩，繩的一端掛有物體物體A（如圖）。已知滑輪繞軸如圖）。已知滑輪繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律=0.15t3

58、 ，其中其中t以以s計(jì)，計(jì)， 以以rad計(jì)。試求。試求t=2 s時(shí)輪緣時(shí)輪緣上上M點(diǎn)和物體點(diǎn)和物體A的速度和加速度。的速度和加速度。 OM 首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律首先根據(jù)滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律 =0.15t3 ，求得求得它的角速度和角加速度它的角速度和角加速度245. 0tjwt 9 . 0j 代入代入 t =2 s， 得得, srad 8 . 11w2srad 8 . 1輪緣上輪緣上 M 點(diǎn)上在點(diǎn)上在 t =2 s 時(shí)的速度為時(shí)的速度為 sm 36. 01wrvM解：OMOM輪緣上輪緣上 M 點(diǎn)在點(diǎn)在 t =2 s 時(shí)的加速度的兩個(gè)分量時(shí)的加速度的兩個(gè)分量2tsm 36. 0ra22nsm 648.

59、 0wra總加速度總加速度 aM 的大小和方向的大小和方向 sm 741. 022n2taaaM556. 0 tan2wj29jOM 因?yàn)槲矬w因?yàn)槲矬wA與輪緣上與輪緣上M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不同，前點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不同，前者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運(yùn)動(dòng)，者作直線平移，而后者隨滑輪作圓周運(yùn)動(dòng)，因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。因此，兩者的速度和加速度都不完全相同。由于細(xì)繩不能伸長，物體由于細(xì)繩不能伸長，物體A與與M點(diǎn)的速度大小點(diǎn)的速度大小相等，相等，A的加速度與的加速度與M點(diǎn)切向加速度的大小也點(diǎn)切向加速度的大小也相等，于是有相等，于是有1sm 36. 0MAvv2tsm 36. 0 aaA它們的方向鉛直向

60、下。它們的方向鉛直向下。 我們常見到在工程中,用一系列互相嚙合的齒輪來實(shí)現(xiàn)變速,它們變速的基本原理是什么呢? 1.1.齒輪傳動(dòng)齒輪傳動(dòng)三、輪系的傳動(dòng)比三、輪系的傳動(dòng)比DDCCDCrrvvwwCDDCrrww1.）外嚙合）外嚙合trZ2齒數(shù)其中：其中： CDCDDCCDzzrriww設(shè)C主動(dòng)輪，D從動(dòng)輪，定義齒輪傳動(dòng)比齒輪傳動(dòng)比DCCDiww因?yàn)槭亲黾儩L動(dòng)(即沒有相對滑動(dòng))齒輪傳動(dòng)比齒輪傳動(dòng)比EFEFFEEFZZrriwwEFvv EFvv EEFFrrww2.2.）內(nèi)嚙合）內(nèi)嚙合2.皮帶輪系傳動(dòng)皮帶輪系傳動(dòng)BAvv (而不是 方向不同 ) BAvv BBAArrww皮帶傳動(dòng)ABBAABrriw