數(shù)學(xué)中的類比思想

1、小議數(shù)學(xué)中的類比思想王 安 平關(guān)鍵字：類比的思想 數(shù)形之間、數(shù)數(shù)之間的類比所謂類比，是指兩種事物之間存在著相互類似的性質(zhì)或特點(diǎn)。這個(gè)詞來(lái)源于希臘文“ analogia”原意為比例，后來(lái)引申為某種類似的 事物。類比的思想方法在科學(xué)發(fā)展中占有著十分重要的地位。例如，著名科學(xué)家牛頓的萬(wàn)有引力定律就是把天體運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)做類比而 發(fā)現(xiàn)的；著名的生物學(xué)家達(dá)爾文把植物的自花受精與人類的近親結(jié)婚 相類比，從而發(fā)現(xiàn)了自己子女體弱多病的原因。類比的思想涉及了對(duì)知識(shí)的遷移。所謂遷移就是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué) 習(xí)的影響。在教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)注意對(duì)學(xué)生遷移意識(shí)的培養(yǎng)，也就是說(shuō)要注重運(yùn)用類比的思想。在我們平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，

2、經(jīng)常發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中有一些相類似的概念， 可以利用類比法進(jìn)行學(xué)習(xí)；另外，在教學(xué)中也可以利用類比的思想進(jìn) 行教學(xué)。的確，類比法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種常用方法。數(shù)學(xué)的類比主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：幾何圖形之間的類比幾何形體數(shù)量關(guān)系的類比平面圖形立體圖形三角形面積公式：s ±ah2三棱錐體積公式：V丄Sh3梯形的面積公式：1S -（a b）h2棱臺(tái)的體積公式：1V 孑（6 J®S2 S2）h在以往的高考題目中，也出現(xiàn)了類似題目。例如：在某年上海的高考模擬題中的一道題：已知：在平面幾何有勾股定理：“假設(shè) ABC的兩邊AB、AC互相垂 直，則有關(guān)系：AB2 AC2 BC2?！碑?dāng)我們拓展到空間，類

3、比平面幾 何的勾股定理并研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系時(shí)，我們可得到相應(yīng)結(jié)論：假設(shè)三棱錐 A BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩 兩垂直，則 S2abc S2acd S2adb S2bcd幾何性質(zhì)之間的類比例如，幾何體中的橢圓與雙曲線就有很多的相似之處：焦點(diǎn)類型在x軸或在y軸上焦點(diǎn)坐標(biāo)（1）在x軸上（c,0）（2）在y軸上（0, c）離心率c e -a準(zhǔn)線a2在x軸上x(chóng) ca2在y軸上y c在平面幾何與立體幾何中也存在性質(zhì)之間的類比，例如:三角形存在唯的外接圓和內(nèi)切圓三棱錐存在唯的外接球和內(nèi)切球三角形的三條中線交于三棱錐的四條中線相交一點(diǎn)，且該點(diǎn)分每條中線的比為2:1于點(diǎn)，且該點(diǎn)分

4、每條中線的比為3:1三角形的三條角平 分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn) 是三角形內(nèi)切圓的圓 心。三棱錐的六個(gè)二面角的 平分面相交于點(diǎn)，這 個(gè)點(diǎn)是三棱錐內(nèi)切球的 球心。同樣是在某年上海的高考模擬題中的一道題：已知：在三角形中存在余弦定理：a數(shù)與形之間的類比眾所周知，初等數(shù)學(xué)可分為代數(shù)與幾何。在數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，代數(shù)與 幾何是相互獨(dú)立的兩個(gè)學(xué)科，但隨著解析幾何的產(chǎn)生，代數(shù)與幾何實(shí) 現(xiàn)了統(tǒng)一。數(shù)形結(jié)合的思想也是我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)過(guò)程中需重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué) 生所具備的一種數(shù)學(xué)思想。下面我們看幾道例題：例1 :求函數(shù)y 口更的最值 sin x b2 c分析：這道題如果我們按照代數(shù)運(yùn)算的常規(guī)解法，只能作出如下解答： 2bccosA

5、，那么，在三 棱柱ABC A1B1C1中存在關(guān)系（假設(shè) 表示平面 BCC1Bi與平面 ACC1A1 所成的二面角）：3 cosx2 sin x2y ysi nx 3 cosxysinx cosx 3 2ySABBiAi SBCCi Bi SACCi Ai 2SBCCiBi SACCi Ai cos:3 2 y 3 2 yisi n(x ) 3 2y sin(x ) =2丨=2I 1Jy2 1Jy2 1|3 2y|y2 1(3 2y)2 y2 13y2 12y 8 06 2 .36 2 36 2 .36 2 3yymin, ymax3 333但是本題，我們?nèi)衾脭?shù)形結(jié)合的思想，則會(huì)使解答過(guò)程大幅

6、度簡(jiǎn)化。當(dāng)我們考慮到題目所給形式與直線的斜率公式k 坯丄 x2)X2 X1有些類似時(shí)，我們可以認(rèn)為原題為：過(guò)動(dòng)點(diǎn)(Sin x,cosx)與定點(diǎn)(2,3)的連線的斜率的最值，很明顯，點(diǎn)(sin x,cosx)是單位圓上的點(diǎn)。假設(shè)過(guò)點(diǎn)(2,3)的直線方程為y 3 k(x 2)，則求原題的最值就轉(zhuǎn)化為求上面這條直線與單位圓相切時(shí)k的值。由原點(diǎn)到直線的距離為過(guò)點(diǎn)到直線的距離可得,所以，原題ymin6 2胎 62運(yùn),y max33例2求函數(shù)f(x) Jx2 4x 13 Vx2 10x 26的最小值。分析：對(duì)于這道求函數(shù)最值的問(wèn)題，我們可以利用判別式的方法或其 它一些代數(shù)方法進(jìn)行求解，但是它們的計(jì)算量都較

7、大。當(dāng)我們觀察到 題目中只含有二次根式，并且在二次根式中含有二次式，同學(xué)們可以聯(lián)想一下，在高中階段我們所學(xué)的公式中，兩點(diǎn)間的距離公式是滿足 這種形式的。所以，可以將原函數(shù)配湊成兩點(diǎn)間距離公式的形式f(x) ,(x 2)2(0 3)2,(x 5)2(0 1)2?？梢?jiàn)，這里面包含著三個(gè)點(diǎn)(x,0),(2,3)和(5,-1)。依次設(shè)三點(diǎn)為A,B,C,其實(shí)本題就是在求|AB AC 的最小值。在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這三點(diǎn)，其中A點(diǎn)在x軸上移動(dòng)，當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)AB |AC |BC ;當(dāng)A點(diǎn)不在BC上時(shí)，這三點(diǎn)構(gòu)成三角形， 由三角形的知識(shí)我們知道 AB |AC |BC。不難看出，只有當(dāng)三點(diǎn)共 線時(shí)AB AC有最小值

8、BC。所以，f(x)min (AB AC ) min BC 5 通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，這時(shí)x 口。4在各個(gè)省市的高考模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)類似于這樣的題目：例3：方程：log3X x 3的解所在的區(qū)間是()A (0,1) B (1,2) C (2,3)D (3,4)從表面上看，這是一道解方程的題，然而這種題如果利用解方程的常 規(guī)方法，也只有利用逐步逼近的最小二乘法才能解決，但是這種數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用要求同學(xué)們有高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，這只有到了大學(xué)才能學(xué) 到，那么這道題對(duì)于高中階段的同學(xué)們就無(wú)從下手了嗎我們先來(lái)回顧 一下有關(guān)方程的一些表示的幾何意義。例如：方程x2 8x 7 0表示的就是一個(gè)二次函數(shù)y x2 8x

9、7與x軸的交點(diǎn)，也可以說(shuō)成一個(gè)二次 函數(shù)y x2 8x與一個(gè)常量函數(shù)y 7 0的交點(diǎn)，所以由此可知原題 log3x x 3的解實(shí)際上就是一個(gè)在求對(duì)數(shù)函數(shù) y logsX和一個(gè)一次函 數(shù)y 3 x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)?？梢?jiàn)，我們只要在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出 y logsX和y 3 x的圖像，然后觀察交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在區(qū)間就可以 了。通過(guò)畫(huà)圖像可明顯得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為(2,3)，選C。應(yīng)該講數(shù)與形的類比中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這是高職、高考中的一個(gè)重點(diǎn)，應(yīng)該引起足夠的重視。數(shù)與數(shù)之間的類比在代數(shù)中有一些概念是存在類比關(guān)系的，例如均值不等式中二元均值不等式二元均值不等式a2 b2 2aba3 b3

10、c3 3abca b 2 Jaba b c 33 abc.za b 2ab ( 2).za b c 3abc ()3當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“二”當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“二”并且我們?cè)诮庖恍┐鷶?shù)題目時(shí)，如果有著較強(qiáng)的類比能力的話往往題 目就會(huì)得到很大簡(jiǎn)化。例1:在三角函數(shù)中有著這樣的一道習(xí)題化簡(jiǎn)下面的式子:y sin2xsin2ysin2z sin(x y)sin( y z)sin(z x) sin(x z) sin( y z) sin(y x) sin(y x)sin 2zsin(x y) sin( y z)sin(z y)sin 2x sin(z x)sin(x z)sin2y分析：此題讓人眼花

11、繚亂，深感無(wú)從下手，如果利用兩角和的正弦公 式以及二倍角的正弦公式去進(jìn)行化簡(jiǎn)則工作量是十分巨大。 但我們觀察到，題目是一個(gè)六項(xiàng)的代數(shù)和，前三項(xiàng)是正的，后三項(xiàng)是負(fù)的，且 每一項(xiàng)都是三個(gè)正弦的乘積形式，我們可以與三階行列式的展開(kāi)式相sin xcosx sin xcosx sin xcosy sin ycosx cosysinx siny cosy sinzcosx coszsinx sinzcosy sin xcosx sin xcosy sin xcosz sinycosx sinycosy sinycosz sin zcosx sin zcosy sin zcoszcosxsin y sin

12、xcosz cosxsinz sinycosy sinycosz cosysinz coszsin y sin zcosz sin zcosz sinxcosx cosxsin y cosxsinz cosys inx siny cosy cosys inz coszsinx coszsin y sinzcoszsin xsi nxsin xcosxcosy coszsin ysin ysin ysin zsi nzsin z0 0 0例 2：( 1)解方程：3 x 1 3 3x 2 4x 3 0cosxcosxcosxsin xsin ysin zcosycosycosycoszcoszco

13、sz類比，可以進(jìn)行如下的解法:sin2xsi n(x y) sin (x z)ysin(y x)si n2ysin(y z)sin(z x)sin(z y)sin 2z(2)求證：(1 創(chuàng)03嚴(yán)(1 .2003嚴(yán)n<2003分析：同學(xué)們一看肯定就會(huì)問(wèn)，為什么例2包括了兩道題目，而且，這兩道題目表面上似乎沒(méi)有什么聯(lián)系，可謂是風(fēng)馬牛不相及，但是， 同學(xué)們還是先看一看這兩道題目的解題過(guò)程吧。解(1)：觀察到題目中x 1 3x 2 4x 33 x 13 3x 2 x 1 3x 20令 x 1 t3-t t 3 .3t 1 3t 1 0設(shè)一個(gè)函數(shù)f(t) -t t，則 f (3t 1)13t 1

14、3t 1所以，f(t) f(3t 1) 0又由于這個(gè)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，f( t) f(t)所以，f(3t 1)f(t) f( t)由于，函數(shù)f(t) 3.t t是在整個(gè)定義域區(qū)間內(nèi)單調(diào)的函數(shù)，所以133t 1 t tx-4 4所以原方程的解為x -4解(2)：設(shè)一個(gè)函數(shù)f(x) (1 x)2002 (1 x)2002，通過(guò)判斷可以知道，這個(gè)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)。所以函數(shù)的展開(kāi)式中一定只含有x的奇數(shù)次項(xiàng)，那么在函數(shù)g(x)丄蟲(chóng)(1 x)的展開(kāi)式中一定只含有x的偶x數(shù)次項(xiàng)，所以將(12003)2002 (12003)2002寸 2003展開(kāi)后，在 2003上一定就只有偶數(shù)次，也就是說(shuō)，在展開(kāi)式中將不再

15、含有有關(guān)2003的因式，而是一些整數(shù)的乘加運(yùn)算，綜上所述，我們可以推斷出結(jié)論:(1. 2003)2002(1. 2003)2002、2003總結(jié)：以上就是這兩道題目的解題過(guò)程，通過(guò)觀察我們不難發(fā)現(xiàn)，這 兩道表面上似乎沒(méi)有什么聯(lián)系的題目，在解題過(guò)程中，存在著很多共同之處。首先，兩道題目都設(shè)了一個(gè)函數(shù)，其次，對(duì)所設(shè)的函數(shù)的奇 偶性題目都進(jìn)行了討論，并且通過(guò)函數(shù)的奇偶性，我們解決了題目。 如果我們?cè)诮猓?）時(shí)，同學(xué)們還沿用常規(guī)方法（等式兩邊開(kāi)立方）， 那么題目的運(yùn)算量可想而知；如果，我們?cè)诮猓?）時(shí)，采用二項(xiàng)式 定理將原式展開(kāi)，那么它的運(yùn)算量也是不小的?？梢?jiàn)，在解題過(guò)程中, 合理的運(yùn)用我們所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，有時(shí)往往能使我們一籌莫展或 運(yùn)算量很大的題目柳暗花明，這就叫巧解。當(dāng)然我們?cè)谶M(jìn)行類比時(shí)也有可能出現(xiàn)諸如此類的錯(cuò)誤： 例如：由于a（b c） ab ac這個(gè)乘法的分配律，則錯(cuò)誤正確loga(x y) log a log a yloga(x y) log a x log a ylog a(x y) lOgaX log a yxlog a logax log a y ysi n() sinsinsin() sin coscos sincos() coscosco